集合及其表示(4大考點(diǎn))

i.集合概念：把一些能夠確定的、不同的對象匯集在一起，就說由這些對象組成一個集合，簡稱“集”.

組成集合的每個對象都是這個集合的元素.

2.元素與集合

集合一般用英文大寫字母A,B,C表示，元素一般用英文小寫字母a,b,c表示.

(1)元素與集合的關(guān)系是或關(guān)系，用符號或表示.

例：1—{1,2}；3—{1,2}.

(2)集合中元素的三個特征：、、.

確定性：集合的元素必須是確定的，不能模棱兩可，應(yīng)明確的判斷出來，即awN或。任么，二者其一；

互異性：集合中任意兩個元素一定是不同的；

無序性：集合中的元素可以任意排列.

(3)給定兩個集合A和B,如果組成他們的元素完全相同，就稱這兩個集合相等，記作N=8.

3.集合的分類：

(1)有限集：含有有限個元素的集合；

(2)無限集：含有無限個元素的集合；

(3)空集：不含任何元素的集合稱為空集，記。.可看成0個元素的集合，所以空集是有限集

另外，根據(jù)集合元素的類型不同可以把集合分為數(shù)集，點(diǎn)集等等.

4.幾種常見的數(shù)集

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號NN+或N*ZQR

5.集合的表示方法：

(1)列舉法：把集合中的元素一一列出(不考慮元素的順序)，注意元素用逗號隔開(單元素不用)，并寫

在大括號內(nèi).

例：不等式2x-1140的正整數(shù)解組成的集合，可以表示為{1,2,3,4,5}

(2)描述法：在大括號內(nèi)先寫出這個集合的元素的一般形式，再畫出一條豎線，在豎線后面寫出集合中元素

所共同具備的特征性質(zhì).其形式為卜卜滿足的性質(zhì)P}

例：方程》?—%—6=0的解的集合，可以表示為卜卜2—%—6=0}

⑶維恩(Venn)圖法

6.區(qū)間及其表示

一般地，如果則規(guī)定:

定義名稱符號數(shù)軸表示

開區(qū)間-(!>6—>

ab

{乂Q<X<.b\左閉右開區(qū)間j-?

ab

{x|tz<x<b\左開右閉區(qū)間1A

ab

{x|tz<x<Z7}閉區(qū)間-1JA

ab

用“+co”表示“正無窮大”，用“-8”表示“負(fù)無窮大”.

實(shí)數(shù)集R可表示為區(qū)間（-00,+00）

1.集合理解(判斷)

(1)若{N,1}={0,1},則x=0,l.()

(2){1,2,3}={3,2,1}.()

(3)0={0}.()

(4)不等式2x-的所有解的集合表示為()

考點(diǎn)一集合的三大特征

【例1】1.下面給出的四類對象中，構(gòu)成集合的是（）

A.某班個子較高的同學(xué)B.相當(dāng)大的實(shí)數(shù)

C.我國著名數(shù)學(xué)家D.倒數(shù)等于它本身的數(shù)

2.已知a€R,6CR,若卜0+瓦（）｝,則小014+按014=

【訓(xùn)練1】1.下列各項(xiàng)中，不可以組成集合的是（）

A.所有的正數(shù)B.等于2的數(shù)C.接近于0的數(shù)D.不等于0的偶數(shù)

2

2.已知集合$={a,b,c}中的三個元素可構(gòu)成aABC的三邊長，那么aABC一定不是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

3.設(shè)集合M={2加-1,加-3},若-3eAf，則實(shí)數(shù)加=（）

A.0B.-1C.0或一1D.0或1

4.已知集合/={l,a,6},B={a2,a,ab}<若4=B，則/⑵+尸期=（）

A.-1B.0C.1D.2

考點(diǎn)二元素與集合的關(guān)系

【例2】1.若集合/={xeR|ox2+G+i=0}中只有一個元素，則。=（）

A.4B.2C.0D.0或4

2.定義集合運(yùn)算：/*8={z|z=;<y,xC/,設(shè)/={1,2},8={0,2},則集合的所有元素之和是（

A.0B.2C.3D.6

3.已知A={—2,-1,0,1},B={x\x=\y\,yeA},則集合2=.

【訓(xùn)練2】1.下列命題中正確的是（）

A.{0}是空集B.{xeQ|@eN}是有限集

X

C.{X《Q|X2+X+2=O}是空集D.集合N中最小的數(shù)是1

2.用符號￡或任填空：

(1)2N(2)V2Q(3)00

(4)0{0}(5)b{a,仇c}(6)0N*

3.下列關(guān)系中正確的是()

A.0G{(0,1)}B.0e{0,1}C.1G{(O,1)}D.U{0,1}

4.若集合/={-1,1},5={0,2},貝憔合{z[z=x+y,xEA,昨團(tuán)中的元素的個數(shù)為()

A.5B.4C.3D.2

5.已知含有三個元素的集合M={x,xy,x—y},N={0,歹}且M=N,求x、歹的值.

3

考點(diǎn)三集合的表示方法

【例3】1.用列舉法表示下列集合：

(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)集；

(2)自然數(shù)中不大于10的質(zhì)數(shù)集；

(3)方程/+2%-15=0的解.

2.用描述法表示下列集合，并指出它們是有限集還是無限集：

(1)所有被2整除的數(shù)；

(2)坐標(biāo)平面內(nèi)，x軸上的點(diǎn)的集合；

【訓(xùn)練3】1.若集合S={xeZ|)-eN*},用列舉法表示集合S.

x-1

2.寫出下列集合中的元素(并用列舉法表示)：

(1)既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)的整數(shù)組成的集合

(2)大于10而小于20的合數(shù)組成的集合

3.用描述法表示下列集合：

(1)被5除余1的正整數(shù)所構(gòu)成的集合.

(2)平面直角坐標(biāo)系中第一、第三象限的點(diǎn)構(gòu)成的集合.

(3)函數(shù)歹=2/一1+1的圖像上所有的點(diǎn).

4.用列舉法表示下列集合：

⑴{(x,y)|x+y=5”NJEN}

(2)^x|x2-2X-3=0,XGR|

(3){x.-2X+3=0,XER}

一12

(4)<x-----GN,xGZ>

5-x

4

集合關(guān)系及基本運(yùn)算

1.集合間的基本關(guān)系

表示關(guān)系文字語言符號語言

相等集合A與集合B中的所有元素都相同A=B

子集集合/的任意一個元素都是集合5的元素4GB或8ZDA

集合間的

集合/的任意一個元素都是集合8的元素，并且5中至少

基本關(guān)系真子集ASB

有一個元素不屬于A

不含任何元素的集合0QA,

空集

空集是任何集合的壬集，是任何非空集合的真子集0建B(B*0)

對應(yīng)地，如果幺不是8的子集，則記作或524）,讀作“幺不包含于5”（或“8不包含2”）

小結(jié)：/旦3有三種可能：

（1）/中所有元素是5中的一部分元素;

（2）任何一個集合是它本身的子集；

（3）規(guī)定：空集0是任何集合的子集.

子集的個數(shù)：含有〃個元素的集合的子集個數(shù)是,真子集個數(shù)是,非空子集個數(shù)是

非空真子集的個數(shù)是.

2.集合的基本運(yùn)算

集合的交集集合的并集集合的補(bǔ)集

圖形語言榨遨

符號語言CrrA=U\x&U,S.x^A}

5

3.集合的運(yùn)算性質(zhì)

交集的性質(zhì)：

AA0=；AAA=；AnB=BAA；AClB=A=.

并集的性質(zhì)：

AU0=；AUA=；AUB=BUA；AUB=A=.

補(bǔ)集的性質(zhì)：

AUCVA=；AClCJJA；.

cv(/n8)=su(c?,Q(/u8)=S)ns).

i.集合運(yùn)算(判斷)

(1)若4={x[y=x2},B={(x,y)\y=x2},貝U/n8={x|xeR}.()

⑵若AnB=Anc,貝UB=C.()

(3)對于任意兩個集合N,B,關(guān)系(/n8)=(/U8)總成立.()

(4)若全集U={-1,0,1,2},P={XGZ|X2<4},則C°P={2}.()

(5)設(shè)集合S={x|x>—2},T={x|x2+3x-4<0},則(CRS)UT={XL4WXW1}.()

考點(diǎn)一集合間的基本關(guān)系

【例1】1.若集合/={xRzN—3x+2=0}的子集只有兩個，則實(shí)數(shù)。=.

【訓(xùn)練1】1.集合{—1,0,1}共有個子集.有個非空子集，有個真子集，

有個非空真子集.

2.設(shè)M為非空的數(shù)集，M￡{1,2,3}，且〃中至少含有一個奇數(shù)元素，則這樣的集合M共有()

A.6個B.5個C.4個D.3個

3.已知集合/={小2—3x+2=0,xeR},8={x|0〈x〈5,xeN},則滿足條件NUCU8的集合C的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

4.已知集合兇={0,1,2,3,4},4={1,3,5},P=MCN,則尸的子集共有()

A.2個B.4個C.6個D.8個

5.已知集合/={0,1},則滿足條件/U2={2,0,1,3}的集合3共有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

6

考點(diǎn)二集合的基本運(yùn)算①

【例2】1.設(shè)集合“={X|-2WX<2},z為整數(shù)集，則NCZ中元素的個數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

2.（21全國甲文）設(shè)集合兇={1,3,5,7,9}1={》|2%〉7卜，則“口雙=（）

A.{7,9}B.{5,7,9}.C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}

3.（22全國乙理）設(shè)全集。={1,2,3,4,5},集合乂滿足?！啊?{1,3},則（）

A.2eMB.3GMC.4eMD.5史M

【訓(xùn)練2】1.（多選）若非空集合尸滿足：McN=N,MuP=P，則（）

A.PjMB.MC\P=M

C.NuP=PD.Mr>Cp=0

2.（22全國甲文）設(shè)集合/={—2,—l,0』,2},8=1x[0<x<m],則2口8=（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

3.設(shè)集合A={1,2,4},B={X|X2-4X+W=0}.若ARB={1},則8=（）

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

4.已知集合/={0,2},2={1,a2},若/U2={0,l,2,4},則實(shí)數(shù)a的值為.

5.（21全國乙理）已知集合5={s|s=2〃+1,〃￡Z}。，T="卜=4〃+1,〃￡Z},則Sp|T=（）

A.0B.S-C.TD.Z

6.（23全國甲理）設(shè)集合4=卜|3左+1,左EZ},夕=卜|3左+2,左EZ},,U為整數(shù)集，CU（/UB）=

A.{x|x=3左，左EZ}B.{x|x=3k-l,keZ}

C.{x|x=3k-2,keZ}D.0

7

7.(22全國甲理)設(shè)全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合N={-1,2},8={x|x2—4x+3=o}，則

Cu(4uB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

卜卜之

8.(23新高考一)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N=-x-6=o},則AfcN=()

A.{-2,-1,0,1)B.{0,1,2}c-{~2}D.2

9.(24全國甲文)集合Z={123,4,5,9},5={xx+le^},則Zc8=()

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{354}D.{1,2,9}

10.(24全國甲理)集合/={1,2,3,4,5,9},8=卜|五《幺),則。4(2C8)=()

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

考點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算②

【例3】1.已知集合/={-2,—1,0,1,2},B={X|(X-1)(X+2)<0},則AfTB=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,11D.{0?1,2)

2.(22新高考1)若集合M={x[&<4},N={x|3x21},則“nN=()

A.x0<x<2B.sx—<x<2>C.x|3<x<16}D.<x—<x<16>

3[3J

3

3.（24新高考一）已知集合4={x|-5<X<5},5={-3,-1,0,2,3}-則4c8=()

A.B.C.D.{-1,0,2)

【訓(xùn)練3】1.(22新高考n)已知集合/={—1,1,2,4},8=卜卜一1區(qū)1},則/口8=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

8

2設(shè)集合4={X|——4x+3<0},5={x|2x—3>0}則4。3二

(-34B./)D.G)

A.

3.已知集合/={x,2—2無>0},B=[X\—6〈X<6,貝U()

A.AHB=0B./U8=RC.BQAD.A￡B

4.設(shè)集合/={x|x2+2x—8<0},2={x1尤<1},則圖中陰影部分表示的集合為（）

A.{x|x>l}B.{x|—4<x<2}

C.{x|-8<x<l}D.{x\l<x<2}

5.(20全國I理)設(shè)集合4={x|N-40O},B={x\2x+a<0}fS.AHB={x\-2<x<l}f則Q=()

A.-4B.-2C.2D.4

6.設(shè)全集。為整數(shù)集，集合/={xEN[y=j7x—x2—6},5={xGZ|—l<x<3},則右圖中陰影部分表示的集

合的真子集的個數(shù)為()

A.3B.4C.7D.8

x

7.已知集合M={x|——>0,xGR},N={y\y=3x2+l,xGR},則MAN等于()

x-l

A.0B.{x\x>l}

C.{x|x>l}D.{減侖1或x〈0}

8.已知集合/={xCR||x+2|<3},集合5={花N(%一加)(工一2)<0},且4n5=(—1,〃)，則機(jī)=,n=

，2)

P=(xeR|l<x<3)2=UeR|x>4,則尸。（）（）

9.已知集合11J-1I八G?Q=

A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-00,-2[°[l,+oo)

io.已知集合/={（"/'"+>-1},5={（x，Hy-x}則/AB中元素的個數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

9

11.（23全國乙理）設(shè)集合U=R,集合拉={小<1},N={x[—l<x<2},貝4木22}=（）

A.Cu（MuN）B.NuCuM

C.C*McN）D.MUCUN

12.2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)典頻傳：看電影，學(xué)黨史”系列短視頻，傳揚(yáng)中

國共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國大典》三支短

視頻，某大學(xué)社團(tuán)有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開

國大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀