第02講空間向量的數量積運算

目錄

第02講空間向量的數量積運算.................................................................1

一、空間向量的夾角與數量積...................................................................2

基礎知識...................................................................................2

考點1計算空間向量數量積.................................................................3

考點2計算空間向量的夾角.................................................................3

考點3由空間向量的數量積求模............................................................4

考點4向量垂直的應用.....................................................................5

二、向量的投影................................................................................6

基礎知識...................................................................................6

考點5求解投影向量.......................................................................6

考點6向量數量積的應用...................................................................7

三、課后作業(yè)...................................................................................9

單選題.....................................................................................9

多選題....................................................................................10

填空題....................................................................................11

解答題....................................................................................11

一、空間向量的夾角與數量積

基礎知識

1.空間向量的夾角

(1)定義：已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點。，作勿=。，彷="則叫做向量a,b的夾角,

記作〈。，b).

ObB

(2)范圍：0<(a,b)<7t.

特別地，當〈a,b)=；時，aVb.

2.空間向量的數量積

已知兩個非零向量a,b,則M|〃cos〈a,b〉叫做m〃的數量積，記作〃協(xié).

定義BPa9b=\a\\b\cos〈〃，b).

規(guī)定：零向量與任何向量的數量積都為0.

?a-Lb<^>ab=0

性質

?a-a=a2=\a\2

?(2?)-6=2(a-A),2eR.

運算律②"力=6?(交換律).

③“-3+￡>)=0力+。《分配律).

3.空間向量夾角的計算

->->

a-b

.cos(a,b\\a\\b\cos(a.b](aJ

求兩個向量的夾角：利用公式\'/=門||求\'/,進而確定\'

4.空間向量數量積的計算

求空間向量數量積的步驟：

(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.

(2)利用向量的運算律將數量積展開，轉化為已知模和夾角的向量的數量積.

(3)代入°?6=同/卜05〈°,?求解.

考點1計算空間向量數量積

；Mi7，Y，已知向量價訪的夾角為120。，且@=2,|同=5,則儂―尤）?

a=（）

A.12B.8+V13C.4D.13

【例1.2]（23-24高二上?山東威海?階段練習）在正四面體P-ABC中，棱長為2,且E是棱4B中點，則而?前

的值為（）

A.-1B.1C.3D.7

【變式1.11（23-24高廣東河源?期末）如圖,在正三棱錐P—48C中，高PO=6,AB=3?氤E,F

分別為PB,PC的中點，則布（）

P

式：已知球。內切于正四棱錐P—4BCD,P4=4B=2,E尸是球。的一

條直徑，點。為正四棱錐表面上的點，則赤?麗的取值范圍為（）

A.[0,2]B.[4-2V3,2]C.[0,4-V3]D.[0,4-2V3]

考點2計算空間向量的夾角

；已知空間向量方花]滿足同=2,同=3,同=V7Ma+b+c=0,

則N與書的夾角大小為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

已知空間向量社+1+2=6,同=2,\b\=3,|c|=4,則cos值㈤=

）

【變式2.1］（23-24高二下?江蘇連云港?期中）已知平行六面體ABCD—&B1C1D1中，441=2,BD=3,

珂?比-西?就=4,則3伍有，畫=（）

2233

A.-B.--C.-D.--

3344

1式2.2］（23.24高二上?北京順義?階段練習）如圖，在平行六面體4BCD—4/iCiDi中，AB=AD=

A4i=l,^BAD=Z.BAA=^DAA=p貝!1直線BD1與直線AC所成角的余弦值為（）

Z4rr

考點3由空間向量的數量積求模

已知五、7、2均為單位向量,(a,b)=(b,c)=90°,(a,c)=60°,

則同一了+用=()

A.4B.V2C.2D.V3

已知力BCD—力/10。1是平行六面體，AB=4。==2,

4BAD=p4BAA1=N￡M&=/貝1儲%=()

A.2V5B.20C.5D.25

在平行六面體ABCD-AiBiCiDi中，其中4B=BC=BBi=

2/AB81=NABC=NBIBC=/則IB。/=()

A.12B.2V3C.6D.2V6

在棱長為2的正方體力BCD-&B1C1D1中，E,F,G,H分別為

的中點，貝小市+旗+2函|=()

A.V6B.2V6C.V3D.2V3

考點4向量垂直的應用

如圖，P41面4BCDMBCD為矩形，連接AC、BD、PB、PC、PD,

下面各組向量中，數量積不一定為零的是（）

A.玩與麗B.而與瓦?

C.而與屈D.刀與方

已知a,b是異面直線，alb,瓦，霓分別為取自直線a,b上的

單位向量，且布=2瓦+3石，元=卜瓦一4而，mln,則實數k的值為（）

A.-6B.6C.3D.-3

已知空間向量之，b,[a\=1,\b\=V2,且N—石與方垂直，則五

與石的夾角為（）

A.60°B.30°C.135°D.45°

I;「二12二艙二,n如圖，在平行六面體ABCD—&B1C1D1中，4B=4D,NB4D=

NB7L41==60°,若AiCIBCi，則地為（）

123

A-1B.5C.-D.-

二、向量的投影

基礎知識

1.向量0的投影

⑴如圖(1),在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面a

內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c,c=|a|cos<a,b)向量c稱為向量a在

|b|

向量b上的投影向量.類似地，可以將向量a向直線1投影(如圖(2)).

(2)如圖(3),向量a向平面。投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面0的垂線，垂足分別為A，，B\

得到AB,f,向量F7可f稱為向量a在平面B上的投影向量.這時，向量a,F7可的夾角就是向量a

所在直線與平面B所成的角.

(1)(2)(3)

考點5求解投影向量

在空間四邊形ABCD中，4ABD=4BDC=9Q°,AC=2BD,則前

在北上的投影向量為()

111D一1D

-一--

2，2D.4

已知同=4,空間向量3為單位向量，位,初=T，則空間向量方

在向量Z方向上的投影的數量為()

11

A.2B.—2C.—D.—

22

爭試)已知空間向量同=舊，同=5,且方與石夾角的余弦值

為-^貝皈在刃上的投影向量為()

65

n9V13-r9—?9—?

A.-------------bB.-----bD.力

1313

【變式1.2](23-24高二上?安徽合肥?期中)若空間向量瓦,行滿足I久I=|2久+&|=3,則瓦在京方向上

投影的最大值是()

3V3

A.3B.0C---D--1

考點6向量數量積的應用

【例2.1](23-24高二西?期末)已知N,B,C,尸為空間內不共線的四點，G為△4BC的重心.

(1)證明：PA+PB+PC=3PG；

(2)若向量方，PB,1的模長均為2,且兩兩夾角為全求國

如圖，在平行六面體48。。-4為'。力'中，底面力BCD是邊長為a

的正方形，側棱A4'的長為b,且乙=乙47￡>=120。.求：

(LMC'的長；

(2)直線BD'與力C所成角的余弦值.

式A已知五,了7是空間中的三個單位向量，且方15位Z=佰㈤=

60°.若。M=2方+b—己OA=a+b+c,OB=a+2b+c.

⑴求阿I；

(2)求麗和瓦?夾角的余弦值.

[式2.2](2023高?全國?專題練習)如圖，正方體力BCD—ABiROi的棱長是a,CD】和。Q相交于點

0.

⑴求珂.而；

(2)判斷而與可是否垂直.

三、課后作業(yè)

單選題

”‘，：設「「已知萬=3萬—2年方=力+申萬洛是相互垂直的單位向量，貝展?石=()

A.1B.2

C.3D.4

I對于任意空間向量市b,c,下列說法正確的是()

A.若力加且萬//2,貝！|方〃？B.a.(K+c)=a-b+a-~c

C.若方方=力二且方力6,則1=7D.(a.h)c=a(b-c)

如圖，在直三棱柱4BC-4181的中，AC=4B=AAr=&,BC=2AE=

A.30°B.45°

C.60°D.90°

4<23:4,「「：名叫D如圖，正方體48。。一481的。1的棱長為1,設方=五，漏=豆砧=西

則@+5).@_0=()

A.1B.-1C.0D.2

已知N,b,是空間中兩兩垂直的單位向量，則|33+石—24=（）

A.V14B.14C.V2D.2

：4『已知空間向量N+了+7=0,|?|=1,尼|=4,cos（a,b）=則團=（）

A.3B.V13C.V21D.21

已知方=21—2,+泥，萬=G—j+5%（；,：,工為兩兩互相垂直的單位

向量）,若3，反貝奴=（）

A.-1B.1C.-2D.2

考試）正方體ABCD-A/iCi%的棱長為1,動點M在線段CCi上，動點P在平

面4上，且AP1平面MB。1.線段AP長度的取值范圍是（）

多選題

9.（23-24m一下,江力常州?階段練習）在正方體4BCD—中，下列命題是真命題的是（）

2

A.(A47+AD+AB)=3同2

B.A^C,AB1=0

C.河與畫夾角為60°

D.正方體48?！?gt;-4/1的。1的體積為|萬?苑*?通|

10.（23-24高一上?河北滄州?期末）在棱長為