專題09空間向量與立體幾何

第28練空間向量的概念、運算與基本定理

1維練基礎

1.（2022?寧夏?石嘴山市第一中學一模（理））如圖，在三棱錐S—ABC中，點E,尸分別是SA,8C的中

FG1

點，點G在棱E尸上，且滿足黑=若&4=°，SB=b，SC=c，貝1SG=（）

GF2

B

111

A.—a——b7+—cB.L-L+L

326362

-11,1幼

C.-Q—bH—CD.L++L

632366

【答案】D

【解析】由題意可得SG=SE+EG=SE+g所=SE+g（SF-SE）

=-SE+-SF=-SE+---（SB+SC]

33332、'

=--SA+-（SB+SC]=-a+-b+-c.

326、,366

故選：D

2.（2022?新疆烏魯木齊?二模（理））在三棱錐尸-ABC中，PB=PC=1,ZAPB=ZAPC=90°,NBPC=60°,

則AB/C=（）

3B.C.1D.V2

【答案】A

【解析】解：因為三棱錐尸一ABC中，PB=PC=1,ZAPB=ZAPC=90°,/BPC=60°,

A

所以PC=（PB—PA）.PC=PC-PC=|P胤PqcosZBPC-O=lxlxcos60。=g,

故選：A.

3.（2022?重慶八中模擬）若｛。力,。｝構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量也可以構(gòu)成空間中的一個基底的是

（）

A.^a+b,b+c,c+a^B.^a—b,b—c,c—a^

C.^a+b,c,a+b+c^D.\a-b+c,a+b-c,3a-b+c^

【答案】A

【解析1選項A：令c+Q=X（Q+人）+4（b+c）,貝!J/I,//e0,A正確；選項B：因為△—〃=—（〃一A）—僅一d）,

所以,一人,b—乙心一〃｝不能構(gòu)成基底；選項C：因為d+b+c=（〃+/?）+△,所以｛。+b,c,Q+b+c｝不能構(gòu)成

基底；選項D：因為3Q—b+c=2（〃—b+c）+（〃+b—彳），所以｛a—b+2,a+b—d,3a—b+c｝不能構(gòu)成基底.

故選：A.

4.（2022?上海黃浦?二模）在長方體ABC。-A4G2中，設A5=Q，AD=b，AA.=c,若用向量〃、b、

uuu

c表示向量AG,則AG=.

【答案】a+b+c

UUULlUULlUUlLIUL1ULMULUULlLUl11i

【解析】由題意，ACl=AB+BC+CQ=AB+AD+AAl=a+b+c

故答案為：a+b+c

5.己知直三棱柱ABC-中，ZABC=120°,AB=2,BC=CCX=\,則異面直線A片與所成角的余

弦值為.

【答案】巫

5

【解析】如圖所示，將直三棱柱ABC-ABCi補成直四棱柱A2CD-44GR,

連接AQ,則ADtBG,所以/月或其補角為異面直線ABi與BCi所成的角.

因為ZABC=120°,AB=2,=CG=1,

所以蝴=石，叫=也.

在\BXDXCX中,N51GD=60°,BQ]=IAQ=2

所以B]R=JB[C：+-2x4G義℃*cos60

=V12+22—2xlx2xcos60°=6

所以cosABxADx=AB1+AD—BR-=5+=3=眄

2xAB1xAD12xV5xV25

故答案為:f

2堆練能力

1.（2022?廣西桂林?模擬（文））如圖，已知正方體4BCD4/B/C/O/的中心為。，則下列結(jié)論中

①。4+0方與。4i+OOi是一對相反向量；②OB05與0C081是一對相反向量；?OAi+OBi+OCi+OD

i與?！?gt;+6^+。2+。4是一對相反向量；④。COA與0C1041是一對相反向量.

正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】設瓦尸分別為和4a的中點，

①O4+OD=2O2與。4+0。=20/不是一對相反向量，錯誤；②。8OC]=GB與。C不是一對

相反向量，錯誤；③。41+081+0。+。，=-0。-8-。4-。3=-（。。+8+。4+。2）是一對相反向量,

正確；④0CQ4=AC與OCiOA=AG不是一對相反向量,是相等向量，錯誤.

即正確結(jié)論的個數(shù)為1個

故選：A

2.（2022?江西新余?二模（文））已知長方體A8CZ）-A4G2,AB^AD=2,懼=4,加是的中點,

點尸滿足3P=43C+〃84,其中〃目0,1],且〃平面人42,則動點P的軌跡所形成的軌跡

長度是（）

A.A/5B.472c.2V2D.2

【答案】A

【解析】如圖所示，E,F,G,H,N分別為Bg,G2，DD、,DA,A2的中點,

則,MN//BtA//FG,

所以平面MEFGHN//平面4耳2,

所以動點P的軌跡是六邊形MEFGHN及其內(nèi)部.

又因為的=4BC+〃網(wǎng)，所以點尸在側(cè)面3cBG，

所以點尸的軌跡為線段雨，

因為48=A_D=2,M=4,

所以EM

故選：A.

3.（2022?江蘇南通?模擬圮知正四棱臺"CO-4月GR的上、下底面邊長分別為1和2,尸是上底面4與C4

的邊界上一點.若FAJC的最小值為g,則該正四棱臺的體積為（）

75

A.—B.3C.—D.1

22

【答案】A

【解析】由題意可知，以。為坐標原點，O%OC,Oa所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系。-邛z,

如圖所示

A（0,-V2,0）,C（0,A/2,0）,由對稱性，點p在A環(huán)片￡，A2，G2是相同的,

故只考慮P在上時，設正四棱臺的高為人則

Q0,與,h,

設尸(x,y,z),PC,=-x,--y,h-z,—,0

、J\

因為尸在Bg上，所以PG=%4G（04%41）,則

、

[以一應一立+4-/fA/2,3V2A/2

PA==------X,---------1-A--,-—-h,

[222J

2227

%=「偵40一也+也4一〃1J一正4也+變4T

222222

2122人22J

=-A2+-A2+-A--A--+h2

22222

=A2-A——+h2=[A———+h2

2I2j4

i7

由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當2=5時，P4PW取得最小值為"-彳，

又因為P4PC的最小值為:，所以解得〃=±：（負舍），

2422

故正四棱臺的體積為

丫=/+質(zhì)+

故選：A.

4.（2022?浙江溫州?二模）如圖，在四面體ABCD中，E、尸分別是A3、CD的中點，過E尸的平面e分

別交棱ZM、BC于G、H（不同于A、B、C、D）,尸、。分別是棱3C、CD上的動點，則下列命題錯

誤的是（）

A.存在平面a和點尸，使得APH平面?

B.存在平面a和點Q,使得AQ〃平面a

C.對任意的平面a,線段政平分線段GH

D.對任意的平面a,線段G”平分線段所

【答案】D

【解析】對于A選項，當AP//EH時,因為AP<Z平面a,EHu平面a,此時AP〃平面a,A對；對于B

選項，當AQ/AFG時，因為4。。平面a,FGu平面a,此時AQ〃平面a,B對；對于C選項，取AC的

中點。，G”的中點為V,設AG=2AO,CH=/JCB,

貝情OE=OA+AE=OA+；AB=OA+1（OB-OA）=|（OA+OB）,

D

同理可得OP=；(OC+0D)=g卜04+0D)OM=-(0G+0H

2、

OG=OA+AG=OA+AAD=OA+2WF，

OH=OC+CH=OC+JLICB=OC+2JUOE=2/JOE-OA,

所以OG+OH=22O尸+2〃OE,所以，OG=-OH+2MJF+2瓜圮,

因為￡、F、G、H四點共面，貝！J24+2//—1=1,所以，X+4=l,

所以，20M=OG+OH=2：lOF+2juOE,則OM=4。尸+〃OE=4。月+（1—%）OE,

所以，OM-OE=X（OF-OE）,可得EM=2EF，

即V、E、尸三點共線，即GH的中點在所上，即線段班'平分線段G”，C對；對于D選項，若線段GH

平分線段跖，又因為線段斯平分線段GH,則四邊形EGEf/為平行四邊形，

事實上，四邊形EGFH不一定為平行四邊形，故假設不成立，D錯.

故選：D.

5.（2022?廣東茂名?二模）正方體ASCD-A8cZ）'的棱長為2.動點P在對角線3D上.過點尸作垂直于

BD'的平面?.記平面a截正方體得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y=Ax）,設BP=x,xe（0,2百）.下

列說法中，正確的編號為.

①截面多邊形可能為四邊形；②函數(shù)/（x）的圖象關于x=6對稱；③當無時，三棱錐P-A8C的外

接球的表面積為97t.

【答案】②③

【解析】連接AQ,AC,A'D,DC,分別以D4,DD'為x,y,建立如下圖所示的空間直角坐標系：

A(2,0,0),BQ,2,0),C(0,2,0),B'(2,2,2),D'(0,0,2),

:.AC=(-2,2,0),AB'=(0,2,2),D'B=(2,2,-2),

：.ACD,B=-2x2+2x2+0x(-2)=0,AB,-D,B=0x2+2x2+2x(-2)=0,

所以￡>3_LAC,D'BLAB',又AB'AC=A,所以。方上面人夕仁

同理可證：ZXB_L面4cZ),所以面4CT)〃面ABC,如下圖所示，

夾在面A'C'D和面4ZTC之間并且與這兩個平面平行的截面為六邊形，

故截面只能為三角形和六邊形，故①錯誤；由正方體的對稱性，當P在3。中點處時，可得函數(shù)/(%)的圖像

關于工=2叵=若對稱，故②正確；當天=退時，此時點P在線段的中點，連接AC,如圖，

2

則PA=PB=PC=PD=?PH=1,AH=^,貝IAP-=AH2+PH2,

所以P〃_LAC,同理可證：PHLBD,BD,ACc?ABCD,所以/7/，面48。，

取PH的中點為。，OB-Q+詆2=>,則三棱錐尸-ABC的外接球的球心為。，半徑為

V222

3

則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4萬X(Q)2=9兀，故③正確.

故答案為：②③.

6.（2022?上海徐匯?三模）已知0、6是空間相互垂直的單位向量，且M=5,c-a=c-b=2y[i,則卜

的最小值是.

【答案】3

【解析】因為。力互相垂直，所以a.6=0，

\a-ma—nb\^=c2+nra1+n2b2-2ma-c-2nb-c+2mna-b

=25+m2+n2-Ayjlm-4y/2n=^m-2A/2j+（〃-2點）+9,

當且僅當m=〃=2應時，卜-〃奴一回取得最小值，最小值為9,

則卜-松一回的最小值為3.

故答案為：3

7.（2022?四川南充?二模（文））如圖，棱長為1的正方體ABCD-A4G，中，點尸為線段上的動點,

點M,N分別為線段AG，CG的中點，給出以下命題

①②三棱錐尸-叱的體積為定值；③加2v.④”+可的最小值為半

其中所有正確的命題序號是.

【答案】①②④

【解析】①如圖所示，連接A。，BG，由正方體可知BqJ.A。,且CD_L平面2CC4，即COLBC],又

CDAtD=D,所以BG_L平面AC。，所以2^人4（7,即4尸_126，正確;

Z>1G

②如圖所示，連接用M,B、N,MN,PB[,PM,PN,由點、M,N分別為線段AG，CQ的中點，得MN//*,

故AC//平面B、MN，即點尸到平面B’MN的距離d為定值，旦MN=；A、C=與B、M=B、N=字故S.

為定值，所以三棱錐尸-瓦M0的體積丫=^/5々為定值，正確;

③連接AP,RP,由點尸為線段AC上的動點，設4?[0』，故

PA^AlA-AlP=（l-A）AlA-AAlBi-^Dl,PD1=4"―人尸=（1—/1）42―彳4耳一/L^A,

PA-PD彳、+（1-彳）（-彳）+（-彳）（1-彳）

X3彳2_2力__]1

322-2A+l-1-322-2A+l，當彳=§時,

I叫叫（J（l_X），（Y）2+（_2）j

cos〈PA,PD、=l-1，取最小值為當4=1時，cos（PA,PR）=l-。，，，，取最大值為故

''3/1—2X+12'/3Z—24+1乙

cos《A,PD,w——,即cosNA尸Re，/APR￡—,錯誤；

乙乙乙乙jj

B

222)22)22,當人:時，

@AF+D1P=|PA|+|DIP|=^(1-2)+(-2)+(-2)+^/(1-/1+(-2)+(-2=2A/32-2Z+1

AP+RP的最小值為名后，正確；故答案為：①②④.

3

3雉練素養(yǎng)

1.(2022?遼寧大連?二模)如圖所示，在正方體AB。-A耳G，中，點尸是棱AA上的一個動點(不包括頂

點)，平面交棱CG于點E,則下列命題中正確的是()

A.存在點R使得/。尸8為直角

B.對于任意點R都有直線4G〃平面8匹，

C.對于任意點尸，都有平面平面BE，/

D.當點P由A向A移動過程中，三棱錐尸-2月2的體積逐漸變大

【答案】C

【解析】對于A,易知"F?~8=(94+4/>(以+48)=4/?①=一|4月4班卜。，故。尸與FB不垂直,

故A錯誤；對于B,連接AG、AC、EF,則平面ACCA1平面8即尸=￡尸，

若AG〃平面B即尸，則AG〃EF,顯然僅當尸和E為所在棱中點時AG與EF才平行，故B錯誤；對于

C,連接A。、AG、G。、BDi、A，、BCi，

由AB_1_平面ADDXA^得AB.LAtD,易知ADX.LA}D,

VABnAD1=A,AB,AD|U平面A3CQ,4。_L平面42G2，

AJD±BDX,同理可證AG±BDi,

vA^nAG=A.A。、46匚平面46。，，22，平面46。，

：5Ru平面，；.平面AG。，平面BE2/，故C正確；對于D,連接8。、叫、BR,

：AA]//BBt,AA,<z平面BBQ,BBlu平面BB,D,,

：.AA〃平面BBR,則F到平面BBR的距離為定值，

又△BBQ面積為定值，故三棱錐廠8BQ體積為定值，故D錯誤.

故選：C.

2.（2022?河南省杞縣高中模擬（理））正四面體A-BCD的棱長為4,空間中的動點尸滿足|尸8+2葉=2近,

則APED的取值范圍為（）

A.[4-2^,4+2A/3]B.[72,372]

C.[4-372,4-72]D.[-14,2]

【答案】D

【解析】分別取BC,AO的中點E,F,貝1而+尸4=|24q=20,

所以|尸耳=應，

故點尸的軌跡是以E為球心，以血為半徑的球面，

222

AP-PD=-(PF+fA)-(PF+FD)=-(PF+7vl).(PF-JE4)=|FA|-|PF|=4-|PF|,

又ED=ylDC2-CE2=V16-4=歷=25EF=\IDE2-DF2=y/12-4=瓜=2也,

所以=EF-x/2=>/2,IPFI=EF+V2=3V2,

IminIImax

所以AP./發(fā)的取值范圍為[-14,2],

故選：D.

3.（多選題）（2022?重慶八中模擬）下列說法不正確的是（）

A.若1=（1,2）,&=（1,-1）,且0與。+筋的夾角為銳角，則，的取值范圍是（-?,5）

B.若A,B,C不共線，且OP=2OA-4O3+3OC,則尸，A,B、C四點共面

C.對同一平面內(nèi)給定的三個向量J,b，c，一定存在唯一的一對實數(shù)2,〃，使得a=2b+〃c.

D.ABC中，若AB.BC<0，貝UABC一定是鈍角三角形.

【答案】ACD

[5-A>0

【解析】對于A,依題意，a+=（1+A,2-A）,a-（a+血）>0且a與a+勸不同向共線，求得?，

IZuW0

解得：彳<5且彳*0,A錯誤；對于B,由。尸=2。4一4OB+3OC,貝1」0尸一，^=2（。4一。0—4（。3—00,

即CP=2CA-4CB,

于是得CP,CA,CB共面，且公共起點C,而A,B,C不共線，P,A,B,C四點共面，B正確；對于C,

同一平面內(nèi)不共線的非零向量a,b，c，才存在唯一的一對實數(shù)彳，〃，使得。=4%+〃c,否則不成立,

C錯誤；對于D,在A5c中，ABBC<0,則|A8118clcos（萬一NA8C）<0,于是得NABC是銳角，不能

確定.ABC是鈍角三角形，D錯誤.

故選：ACD

4.（多選題）（2022?江蘇?常州高級中學模擬）棱長為1的正方體AB。-A4GR中，點尸為線段AC上

的動點，點”，N分別為線段AG，CG的中點，則下列說法正確的是（）

A.AyPLAB,B.三棱錐M-瓦NP的體積為定值

C.ZAPD,e[60°,120°]D.AP+。尸的最小值為|

【答案】ABC

【解析】選項A,連接ABt,由正方體可知A4且CB，平面ABBXA},

而CB_LAg,又CBcAB=B,所以A片，平面

而ACu平面所以A4，AC,即APLA耳，故A正確；

AB

選項B,連接與M,B\N,MN,PB},PM,PN,

由點M,N分別為線段AC，CG的中點，

得MN//",肱Vu平面4初V,A。（Z平面耳MN,

故AC//平面BXMN,即點p到平面BtMN的距離d為定值，

又MN=gAC=￥，B1M=B1N=曰,故為定值，

所以三棱錐M-B.NP的體積=匕^加=3ssiMN?d為定值，故B正確;

DiG

選項C,連接AP,D.P,由點尸為線段AC上的動點,

設AP=XAC=XA4+X42+XAA,2e[o,i],

i^PA=AlA-AlP=(l-A)AlA-AAiBl-AAlDl,PDl=AlD]-AlP=(l-A,)AlD}-AAlBl-AAlA,

所以氤崗_A2+(l-2)(-2)+(-2)(l-2)

(J(1T)2+(T)2+(—.)]

3萬_2/1_]_]_]_1

3A2-22+l~~3A2-2A+1~--7~1Y2,

V-3J+3

當2=g時，cos(PAPA)取最小值為一;當4=1時，cos(PA,PR)取最大值為

故cos(PA,P2)e-J,g,gpcosZAPD,e,ZAPD,e[60°,120°],

故C正確;

AB

222222

選項D,AP+DtP=|PA|+仰尸|=^/(l-2)+(-2)+(-2)+^(1-2)+(-1)+(-2)

當2=2時，AP+QP的最小值為亞，故D錯誤.

33

故選：ABC.

5.（多選題）已知直四棱柱片G2的底面為正方形，AA1MAB=BP為直四棱柱內(nèi)一點,

且"=mAB+〃A￡>i,其中小句?！?，Aze[O,l],則下列說法正確的是（）

A.當機=g時，三棱錐P-ACR的體積為定值

B.當”■時，存在點P,使得P4LPC

C.當〃?+〃=1時，私+PC的最小值為逑

5

D.當〃?+2〃=1時，存在唯一的點P,使得平面%平面PBC

【答案】ACD

設。，R分別為AB，RG的中點，連結(jié)QR,則。R〃A，.QRa面AC，，面ACR,所以QR〃平

面ACDX.

因為AP=wAB+〃AR,其中機，當機=!■時，所以點尸在線段QR上運動，QR〃平面ACR,

所以點P到面ACR的距離為定值，而△ACQ的面積為定值，因此三棱錐尸-ACR的體積為定值，故A正

確；對于B選項,

連結(jié)BQ,設〃，N分別為AQ,8G的中點，連結(jié)MN,則KV〃AB.

因為AP=/〃AB+〃AD],其中me[0』],?e[O,l],當時，所以

點尸在線段MN上運動，S.AP>AM=\,CP>CN=1,MAP2+CP2>2=AC2,故不可能存在點P,

使得尸ALPC,故B錯誤；對于C選項，

連結(jié)BR,貝U由〃工+zz=l可知8,P,2三點共線，故點尸在線段8R上運動.

連結(jié)CD,,將BCD,翻折到平面AB?內(nèi),得到四邊形ABCR,其中AB=3C=1,=CQ=2,，ADt,

BC'IC'D,,連結(jié)AC,如圖1,所以AC'LBR,AC=正,所以PA+PC=PA+PCbAC'=述，故C

55

正確；對于D選項,

設M為AR的中點，連結(jié)則AP=?MB+〃AD]=〃zAB+2mU/,由優(yōu)+2〃=1知P在線段上運動.

設S為他的中點，連結(jié)SM,則SM〃&Z)〃3C,連結(jié)BS,過P作PT〃SM交BS于點T,則易知PT為

平面B4D與平面PBC的交線，AT_LPT,3T_L,PT，故NA7B為二面角A—PT—3的平面角，當AT_LBS

時，平面平面尸8C,且T點唯一確定，所以尸點也唯一確定.故D正確.

故選:ACD.

6.（多選題）（2022?湖北省天門中學模擬）如圖，在棱長為4的正四面體ABCD中，E,尸分別在棱ZM,

0c上，5.EFIIAC,若OE=sZM，EP=tEF，5e（O,l）,fe（0,l）,則下列命題正確的是（）

A.BPe

i（J22J2

B.s=j時，8尸與面ABC所成的角為"，貝ijsinee——

2I3'_

C.若s+f=l,則尸的軌跡為不含端點的直線段

D./=；時，平面ACD與平面3D尸所的銳二面角為。，則$畝0€（［0』

【答案】AD

【分析】利用型的范圍，根據(jù)向量數(shù)乘的意義得P點軌跡，判斷AC,作出直線與平面所成的角，計算正

弦值，作出二面角的平面角，計算正弦值，然后判斷BD.

【解析】由題意，當se（。/），止（。,1）,點P的軌跡是八4。。內(nèi)部（不含邊界），8尸的的最小值是B點到

平面ACD的距離，最大值是棱長?。ㄈ〔坏剑?，如圖，設。是八4。的中心，則BOJL平面ACD,從而

有8。與平面ACD內(nèi)所有直線垂直，

oo=2x立><4=迪，BO=^BD2-DO1=—,

3233

所以3P的范圍是,4,A正確.

s=!時，斯是△ACD中位線，尸點軌跡是線段收（不含端點），作PMJL平面ABC,M為垂足，連接

BM,則是5P與平面A3C所成的角。.

。點到平面ABC的距離等于20=生色，EF是八48中位線，PeEF,

3

由跖〃AC,￡F<Z平面A3C,ACu平面ABC,得EF〃平面ABC,

所以PM等于E到平面A5C的距離，也等于。點到平面ABC的距離的一半，即產(chǎn)加=劣苗，

3

_3￡尸中，BE=EF=2y/3,EF=2,EF邊上的高為?26丫_儼=布,

所以sinp=警，所以正<sine4名回，B錯；

當s=0"=l時，P與。重合，s=l,"。時，p與A重合，A。是兩個極限點（實際上取不到），當s==，f=]

22

時，尸是中位線政的中點N.RN,A三點不共線，因此C錯誤;

I)

在AC上取點。，使得AQ=gaC,連接D。，t=g時，P點軌跡是線段OQ（不含端點），如圖，由A選

項討論知3O_L平面ACD,從而有80與平面ACD內(nèi)所有直線垂直，BOLDQ,

作OR，。。，垂足為R,連接酸，則由于。氏是平面30R內(nèi)兩條相交直線,

則￡>Q_L平面3QR,BRu平面BOR,所以OQ-LBR,所以/BRO是平面ACD與平面3DP所的銳二面角的

平面角，即/BRO=6.

DQT(T是AC中點)中，DO二型,7。=(2一%4=￡

3233

DQ=4DT2+TQ1

4732

得籍所以。公之亍2后

由！DOR!DQT/

4幣21

3

4A/6

.〃B0亍14762A/2

D正確.

BR2V13371333

7

故選：AD.

7.（2022?山東泰安?模擬）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算,

其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.在塹堵A2C-A4G中，ABLAC,M是AG的中點，AB=7,N,

G分別在棱8月，AC上，S.BN=-BB,AG=~AC,平面MNG與A2交于點X,WJ—=___________,

3i3BH

HM-AB=?

【答案】642

【解析】如圖，延長MG,交AA的延長線于K,