第34講空間點、線、面之間的位置關(guān)系

鏈教材夯基固本

激活思維

1.（人A必二Pl28T2）下列說法正確的是（C）

A.三點確定一個平面

B,一條直線和一個點確定一個平面

C.梯形可確定一個平面

D.圓心和圓上兩點確定一個平面

【解析】對于A,三個不在同一條直線上的點確定一個平面，故A錯誤.對于B,直

線和直線外一點，確定一個平面，故B錯誤.對于C,兩條平行直線確定一個平面，梯形

有一組對邊平行，另一組對邊不平行，故梯形可確定一個平面，故C正確.對于D,因為

圓的一條直徑不能確定一個平面，所以若圓心和圓上的兩點在同一條直徑上，則無法確定一

個平面，故D錯誤.

2.（人A必二Pl31Tl（2））設(shè)直線a,b分別是長方體相鄰兩個面的對角線所在的直線，

則。與儀D）

A.平行

B.相交

C.是異面直線

D.可能相交，也可能是異面直線

【解析】如圖，在長方體/8CD-N0。。中，當48所在的直線為a,所在的直線

為6時，a與6相交；當42所在的直線為a,夕C所在的直線為6時，a與b異面.

D'C

AB

（第2題答）

3.（人A必二P131練習T4改）已知平面a〃平面產(chǎn)，直線a〃平面a,直線6〃平面少則

。與6的位置關(guān)系可能是（D）

A.平行或相交B.相交或異面

C.平行或異面D,平行、相交或異面

【解析】當。與6共面，即。與6平行或相交時，如圖所示，顯然滿足題目條件.在

。與6相交的條件下，分別把a,6平行移動到平面6，平面a上，此時。與6異面，亦滿足

題目條件.

/T7ZT7

（第3題答）

4.（人A必二Pl31T3改）下列說法正確的是（D）

A.若直線/上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，貝U/〃a

B.若直線/與平面a平行，貝！1/與平面a內(nèi)的任意一條直線都平行

C.如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行

D.若直線/與平面a平行，貝門與平面a內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點

【解析】對于A,當直線/與平面a相交時，直線/上也有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，故A

錯誤.對于B,/與平面a內(nèi)的任意一條直線異面或平行，故B錯誤.對于C,另一條直線也

可能在這個平面內(nèi)，故C錯誤.對于D,因為/〃a,所以/與a沒有公共點，所以/與a內(nèi)任

意一條直線都沒有公共點，故D正確.

5.如圖，已知長方體48CD-4HC7/中，4B=2出,/。=2他，4T=2,則2C和?。

所成角的大小是.45。、，44,和8C所成角的大小是60：.

D'C

（第5題）

【解析】連接?。（圖略）.因為〃9C,所以異面直線和所成的角即為直線

夕。和所成的角，為在Rt△?夕。中，A'B'=AB=2^3,B'C'=AD=1^>,所以

tan/?C?=1,所以/4C?=45。，即異面直線BC和H。所成的角為45。.連接（圖略）,

因為q，所以異面直線4T和所成的角即為直線和所成的角，為/B，BC.

在夕。中，B'C'=AD=2\l3,BB'=AA'=2,所以tan/98。=43,所以/氏8。=60。，

即異面直線44,和2。所成的角為60°.

聚焦知識

1.平面的基本性質(zhì)

基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.

基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).

基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公

共直線.

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.

推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.

推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.

2.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

直線與直線直線與平面平面與平面

平圖形aA_____/

A______/

行語言/B/

關(guān)符號

a//ballaa//P

系語言

相圖形

交語言行

關(guān)

符號

系a^b=AQPla=4aC0=l

語言

獨圖形

語言

有

關(guān)符號a,b是

qua

系語言異面直線

3.平行直線

(1)基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

(2)定理：如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩

個角相等.

4.異面直線

(1)判定：與一個平面相交的直線和這個平面內(nèi)一不經(jīng)過交點一的直線是異面直線,如圖

所示.

(2)異面直線所成的角：設(shè)°,6是異面直線，經(jīng)過空間任意一點0,作直線/〃a,b,//b,

我們把直線M與〃所成的銳角(或直角)叫做異面直線a,6所成的角或夾角，其取值范圍為

5,常用結(jié)論(唯一性定理)

(1)過直線外一點一有且只有一條一直線與已知直線平行:

(2)過直線外一點一有且只有一個.平面與已知直線垂直:

(3)過平面外一點.有且只有一個.平面與已知平面平行:

(4)過平面外一點.有且只有一條直線與已知平面垂直.

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題固法

目幀u平面的基本事實及應(yīng)用

例1如圖，在正方體NBCZMLBIGDI中，對角線小。與平面3DC1交于點。，AC,

BD交于點、M,￡為的中點，尸為441的中點.

(例1)

(1)求證：Ci,O,M三點共線；

【解答】因為NiCC平面5DCi=O,所以。G4C,OG平面BOG.又因為4Cu平面

ACCxAx,所以。G平面/CCMi.因為/C,BD交于點、M,所以“e/C,MGBD.又4Cu平

面NCC遇1,8￡>u平面3DG,所以平面NCC遇1,平面3DG.又Ge平面/CG4,

GC平面ADG,所以Ci,O,M三點在平面/CCMi與平面2OG的交線上，所以G,O,

”三點共線.

(2)求證：E,C,Di，尸四點共面；

【解答】連接34,￡F,AC,3G,因為￡為的中點，尸為441的中點，所以EF〃241.

又因為3C〃/LDI,BC=AXDX,所以四邊形8coMi是平行四邊形，所以A4i〃CDi,所以

EF//CDx,所以￡,F,C,A四點共面.

(3)求證：CE,DiF,D/三線共點.

【解答】因為平面平面設(shè)CE與DF交于一點、P,則尸GCE,

C￡u平面ABCD,所以尸G平面ABCD,同理，尸e平面ADD\A\,又平面/8COC平面ADDA

=AD,所以PG/。，所以直線CE,DiF,DA三線交于一點、P,即三線共點.

(例1答)

<總結(jié)提煉A

共面、共線、共點問題的證明

(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi).

(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.

(3)證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

變式1如圖，在四面體48CD中作截面尸0？,若尸。與C2的延長線交于點M,RQ

與。8的延長線交于點N,R尸與DC的延長線交于點K.

A

K

（變式1）

（1）求證：直線MNu平面尸QR；

【解答】因為尸。U平面尸直線尸Q,所以Md平面PQR因為R0U平面PQR,

NG直線尺。，所以NG平面尸。凡所以直線MVu平面PQR.

（2）求證：點K在直線上.

【解答】因為直線C3,C5u平面2co，所以平面BCD由⑴知平面PQR,

所以M在平面尸。尺與平面BCD的交線上，同理，可知N,K也在平面尸QR與平面BCD

的交線上，所以M,N,K三點共線，所以點K在直線上.

目幀日空間兩直線的位置關(guān)系

例2（多選）如圖，在正方體中，M,N分別為棱GA,CC的中點，

下列說法正確的是（CD）

（例2）

A.直線與CG是相交直線

B.直線與8N是平行直線

C.直線3N與"Bi是異面直線

D.直線與。。是異面直線

【解析】因為點4在平面CDDCi外，點〃■在平面CDDCi內(nèi)，直線CG在平面CDDiCi

內(nèi)，CG不過點M,所以直線與CG是異面直線，故A錯誤；如圖，取。5的中點E,

連接/￡,則8N〃/￡,但/￡與相交，故B錯誤；因為點囪與直線8N都在平面BCGBi

內(nèi)，點”在平面8CC由1外，8N不過點Bi,所以8N與Affli是異面直線，故C正確；同理

D正確.

（例2答）

變式2在底面半徑為1的圓柱。。1中，過旋轉(zhuǎn)軸OOi作圓柱的軸截面48cD,其中母

線48=2,￡是BC的中點，歹是的中點，貝1(D)

A.AE=CF,NC與即是共面直線

B.AE^CF,/C與斯是共面直線

C.AE=CF,/C與斯是異面直線

D.AE乎CF,NC與即是異面直線

【解析】如圖，由題意知，圓柱的軸截面/2C。為邊長為2的正方形，E是病的中點,

尸是A8的中點，所以ZCu平面NBC,E尸與平面/2C相交，且與NC無交點，所以NC與

EF是異面直線.又5=112+22=寸5,/￡=寸22+(/)2=#,所以NEWCF.

(變式2答)

目棘幻異面直線所成角的計算

例3如圖，已知O是圓柱下底面圓的圓心，441為圓柱的一條母線，2為圓柱下底面

圓周上一點，04=1,ZAOB^—,△///為等腰直角三角形，則異面直線小。與48所

3

成角的余弦值為B.

一4一

（例3）

【解析】方法一：如圖，過點5作5囪〃/4交圓柱的上底面于點連接4/1,BQ,

則由圓柱的性質(zhì)易證四邊形4/1氏4為矩形，所以41歷〃45,所以或其補角即為異

面直線小。與4B所成的角.在△ZO5中，04=05=1,/A0B=處,所以45=2O5sin

3

幺絲=2sin四=3.因為山為等腰直角三角形，且所以44I=/B=3,所

23

以BTO=AIO=NAA%+OA2=2.又A、BI=AB=3,所以cos+小/B\O

2AiOAiBi

4+3-4也，即異面直線4。與45所成角的余弦值為也.

方法二：在△AB。中，O/=O3=l,NAOB=@,所以48=2。2sin匹=3,ZOAB

33

=匹.因為山為等腰直角三角形，且所以44I=/8=3,易知/4_L/O,所

+0/2=

以/。=山區(qū)2,AArA^=0,所以芯＞勿=（歷一刀0?壽=歷?養(yǎng)一刀「荔=

―?―?3

一—7T?一一4Q4BTA/Q,

|/。||451cos-=一，所以cos〈A、O,AB）=~~二=__2_=--,則異面直線小。與45

62\ArOi\AB\2X^34

所成角的余弦值為強.

4

4

（例3答）

＜總結(jié)提煉A

異面直線所成角的求法

1.平移使相交：通過平移一條（或2條），使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，然后在三角形中

利用余弦定理求角；

2,向量法：已知a,6為兩異面直線，A,C與B,。分別是a,6上的任意兩點，a,b

所成的角為。，則cos6=|cos{AC,BDy|=.

MCI即

變式3（1）（2021?全國乙卷）在正方體48czM閏CQ中，已知尸為21A的中點，則直

線必與ADi所成的角為（D）

【解析】如圖，連接8G,尸G.因為4Di〃3G,所以NP3G或其補角為直線P8與

401所成的角.因為A8i_L平面421aoi，尸Qu平面所以又PCJSA,

BBi,BLDIU平面尸381,所以尸GJ_平面尸89.又P8u平面網(wǎng)與，所以

尸設(shè)正方體的棱長為2,則BCi=2也,PCi=』BiDi=啦,從而sinZFSCi="

2BCi2

所以/PBCi=&.

（變式3⑴答）

（2）（2024?南平三檢）在正四面體48CD中，尸為棱40的中點，過點/的平面a與平面

心C平行，平面ccG平面45。=冽，平面aG平面4CD=〃，則加，〃所成角的余弦值為（B）

【解析】因為平面?！ㄆ矫媸?C,平面QG平面45。=冽，平面尸5CG平面尸，

所以加〃5p因為平面Q〃平面尸5C,平面QG平面/CZ）=幾，平面尸5CG平面4CQ=PC,所

以n//PC,所以冽，〃所成角即為BRPC所成角，5。,尸C所成角為N5PC設(shè)正四面體4BCO

的棱長為2,所以/2=/C=/O=AD=3C=2,所以APuPCn/2二，所以cosNBPC

-3+3-4=1

2XA/3X^33'

隨堂內(nèi)化

1.已知平面a與平面￡,/都相交，則這三個平面可能的交線有（D）

A.1條或2條

B.2條或3條

C.1條或3條

D.1條或2條或3條

2.設(shè)Pl，Pl,Pi,P4為空間中的四個不同點，則“尸1,Pl，P3,尸4中有三點在同一條

直線上”是"P1,尸2,尸3,尸4在同一個平面內(nèi)”的（A）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

3.（2024,日照一模）已知/,"2是兩條不同的直線，a為平面，〃?ua,下列說法中正確

的是（B）

A.若/與a不平行，貝心與加一定是異面直線

B.若/〃a,貝!]/與正可能垂直

C.若/Ca=N,且/生加，貝!]/與加可能平行

D.若/Ca=/,且/與a不垂直，則/與加一定不垂直

【解析】對于A,若/與a不平行，則/與a的位置關(guān)系有相交或直線在平面內(nèi)，且冽u

。，則/與加的位置關(guān)系有平行、相交或異面，故A錯誤；對于B,若/〃a,則/與加可

能垂直，如圖（1）所示，I〃I',l'ua,I'_Lm,可知/_L機，故B正確；對于C,若/Da=/,

JLA^m,mua,則/與加異面，故C錯誤；對于D,若/Ca=/,且/與a不垂直，貝1J/與

加可能垂直，如圖（2）,取a為平面/BCD,/=/Di,m=AB,符合題意，但/，加，故D錯誤.

圖⑴

圖⑵

（第3題答）

4.（2024?保定二模）如圖，在正四棱柱向C0中，AA^AAB,則異面直線由2

與/Di所成角的余弦值為（C）

（第4題）

【解析】如圖，連接BQ,AiCi,在正四棱柱/BCD-/山Ci。中，有N8〃CLDI且

=CiDi,所以四邊形/8GD1為平行四邊形，則有3c則/43C1就是異面直線/山

與4Di所成的角.設(shè)48=1,則3ci=43=\"7,A?=也,在△//口中，由余弦定理得

_BG-\-A\B2—A\C?_17+17-2_16

cosAA\BC\

2BC1A1B2X1717,

（第4題答）

品馨提示〕

'_____,金30gM—_______）

練案?趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學(xué)們及時完成《配套精練》.

練案?1.補不足、提能力，老師可增加訓(xùn)練《抓分題?高考夯基固本天天練》（提高版）

對應(yīng)內(nèi)容，成書可向當?shù)匕l(fā)行咨詢購買.

2.為提高高考答卷速度及綜合應(yīng)考能力，老師可適時安排《一年好卷》或《抓分卷?高

考增分提速天天練》（提高版），成書可向當?shù)匕l(fā)行咨詢購買.

配套精練

A組夯基精練

一、單項選擇題

1.已知互不重合的三個平面a,P，y,其中aCl￡=a,0Cy=b,yHa=c,且如6=尸，則

下列結(jié)論一定成立的是（D）

A.6與c是異面直線

B.a與c沒有公共點

C.b//c

D.bCc=P

【解析】因為46=尸，所以尸Ga,PCb,因為a=a7,b=0Cy,所以PGa,P",

尸G%因為an〉=c,所以尸Gc,所以6nc=P,所以。品=尸，如圖，故A,B,C錯誤.

（第1題答）

2.（2024?岳陽三模）下列命題正確的是（B）

A.若直線/上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，則/〃a

B,若直線a不平行于平面a且aUa,則平面a內(nèi)不存在與a平行的直線

C.已知直線a,b,平面a,P，且aua,bu0,a//P，則直線a,6平行

D.已知兩條相交直線a,b,且a〃平面a,則6與＜7相交

【解析】若直線/上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，則/〃a或/與a相交，故A不正確；若

直線。不平行于平面a且aZa,則。與a相交，所以平面a內(nèi)不存在與a平行的直線，故B正

確；已知直線a,b,平面a,P，且qua,6u￡,a//P，則直線a,6平行或異面，故C錯誤;

已知兩條相交直線a,b,且?！ㄆ矫鎍,則6〃平面a或6與a相交，故D錯誤.

3.（202牛威海二模）在正方體/8。。-48?〃1中，E,尸分別為棱8C,SG的中點，若

平面DBS與平面/跖的交線為/,貝I]/與直線/Di所成角的大小為（C）

A.-B.-

63

C.-D.-

42

【解析】因為瓦尸分別為棱3C,21cl的中點，所以BBM/EF,因為EFu平面4EF,

88以平面4EF,所以281〃平面4EE又平面DBBiC平面4EF=/,58仁平面所以

381〃/.又所以/4〃/,如圖，在正方體中，/與直線4Di所成角的大小等于N44D1

_K

~4

-Jc

（第3題答）

4.（2024?南昌二模）在三棱錐/-BCD中，A8_L平面8cD,AB=\（3,BC=BD=CD=2,

E,尸分別為/C,CD的中點，則下列結(jié)論正確的是（A）

A.AF,3E是異面直線，AFLBE

B./尸，BE是相交直線，AFLBE

C.AF,BE是異面直線，/尸與8E不垂直

D./R3E是相交直線，/尸與不垂直

【解析】顯然根據(jù)異面直線判定方法：經(jīng)過平面/CD外一點8與平面NCD內(nèi)一點￡

的直線與平面NCO內(nèi)不經(jīng)過￡點的直線4F是異面直線.下面證明8E與4F垂直：

因為4S_L平面5c。，COu平面3c。，所以/8_LCD因為8C=3D=C。，尸為C。的中點，

連接AF,所以BF_LCD因為/BAB尸=5,AB,AFu平面NAF,所以CD_L平面如圖，

取N廠的中點0,連接80,EQ,因為/尸u平面所以尸，又因為￡?！??！辏?所

以￡Q_L/E因為8C=3D=C￡）=2,所以BF=：X2=3=AB,又因為。為4F的中點，

所以2Q_L/F.因為3。1"1￡。=0,BQ,EQu平面2E。，所以/F_L平面3￡。，又因為BEu

平面BE0,所以/F_LBE.

（第4題答）

二、多項選擇題

5.（2025-南通海安期初）在空間中，設(shè)a,b,c是三條不同的直線，a,y是三個不重

合的平面，則下列能推出?！?的是（BD）

A.a_Lc,b_Lc

B.a//a,au￡,aC8=b

C.a_Ly,aPly=a,6c尸b

D./3Ay-—Cja//c

【解析】對于A,如圖，在正方體中，取直線45為a,直線5C為人，直線BB、為c,

顯然有q_Lc,b±c,但。06=從所以A錯誤；對于B,由線面平行的性質(zhì)可知，B正確；

對于C,如圖，在正方體中，取平面4534為a,平面5CC山1為平面人平面4BCQ為小

顯然滿足￡JLy,^aHy=AB,0Cy=BC,且45門5。=5,即a,b相交，所以C錯誤;

對于D,因為aCl4=a,貝l|au/J,又用Ay=c,則cu/7,cuy,又a〃c,顯然有所以a〃

y,又qua,aDy=b,所以a〃b,故D正確.

（第5題答）

6.（2024?新鄉(xiāng)三模）已知n,/為空間中三條不同的直線，a,￡,y為空間中三個不重

合的平面，則下列說法正確的是（ACD）

A.若an￡=〃?，m^y,貝!Ja_Ly,［）Y.y

B.若mua,〃<Za,則m與n為異面直線

C.若aCip=/,pp\y—m,yC\a—n,且加加=「，則尸

D.若/_La,m邛,a//y,貝必〃y

【解析】對于A,顯然7*ua,"?u￡,又則aJ_y,fi-Ly,A正確；對于B,由

mca,n（Za,得〃z與"可能相交、平行或異面，B錯誤；對于C,由aPip=/,/3C\y—m,lC\m

=P,知點P在平面a,￡,y內(nèi)，即為平面a,y的公共點，而加（/=”，因此尸G”，C正確；

對于D,由〃?_La,加_1_￡,得a〃￡,而a〃y,因此￡〃y,D正確.

7.如圖，在正方體/BCO-NiBCiDi中，P,。分別是棱44i,CG的中點，平面。尸0c

平面431cLDi=/,則下列結(jié)論正確的有（AD）

A.I過點51

BJ不一定過點Bi

C.DP的延長線與DxAx的延長線的交點不在/上

D.DQ的延長線與￡>,Ci的延長線的交點在I上

【解析】如圖，連接尸Bi,QBi,在正方體/BCD-N/iCiDi中，取8囪的中點N,連

接CN,則。尸〃CN〃Q8i,DP=CN=QB\,所以四邊形。PA。是平行四邊形，為?平面

DPBxQ,Bid平面/出口01,所以歷6/,故A正確，B錯誤.如圖，。尸的延長線與

的延長線交于點*。。的延長線與DiG的延長線交于點￡,因為DPu平面。尸為。，所以

尸w平面。尸81。.因為。i4u平面481clA,所以歹e平面481GA,所以尸w/.因為DQu

平面。尸210,所以Ed平面。尸210.因為DiCiU平面//Ci。，所以Ed平面//iCiA,所

以E0,故C錯誤，D正確.

（第7題答）

三、填空題

8.已知在直三棱柱/3C-4SC1中，ZABC=12O°,AB=2,BC=CG=1,則異面直線

,與2所成角的余弦值為一

【解析】如圖，補成直四棱柱4BC0-4成直A,^ABi//CxD,所以/耳與8G所成角

為乙BGD或其補角.又3c尸啦，BD=\j22+12-2X2X1Xcos600=A/3,CQ=4Bi=5

易得gpBC!±BD,因此cos

CiD455

DiCi

AB

（第8題答）

9.在三棱錐尸。中，AC=\,PB=2,M,N分別是E4,BC的中點，若MN=H

2

則異面直線/C’依所成角的余弦值為條.

（第9題答）

【解析】如圖，取N3的中點。，連接QW,QN,因為。是A8的中點，N是的中

點，所以QN〃/C,QN=，C=J同理Q0〃PB,QM=^PB=1,所以異面直線/C,PB

所成角為/MQV或其補角.在△MQN中，。河=1,QN=；,MN=個,則cos/MQN=

22

g^+g7V-W=3＞即異面直線/c,依所成角的余弦值為3

2QM-QN44

四、解答題

10.如圖，在正方體43cz5-43CLDI中,E,尸分別為DCi,G—的中點,ACHBD=

P,/CiCEF=。.求證：

DtEC,

(第10題)

(1)。，B,F,E四點共面；

【解答】如圖，連接Bid,由題意知所是△A21G的中位線，所以EF〃為。1.在正

方體45co-/iBiGA中，BxDi//BD,所以EF〃BD,所以EF,8。確定一個平面，即D,B,

F,￡四點共面.

PtEC,

(第10題答)

(2)若/C交平面DRFE于點R,則P,Q,R三點共線；

【解答】記/i,C,G三點確定的平面為平面a,平面BDEF為平面.，因為。e/Ci,

所以。ea.又06￡尸，所以06人所以0是a與P的公共點，同理，P是a與P的公共點，所

以aC°=PQ.又AiCC/^=R,所以RG/C,RGa,且RGQ,則RGP0,故尸，Q,R三點

共線.

(3)DE,BF,CG三線交于一點.

【解答】因為EF〃BD且EFVBD,所以DE與2尸相交，設(shè)交點為M,則由A/GDE,

DEu平面ADCG,得平面ADCCi.同理，"G平面BiBCCi.又平面ADCGA平面

BiBCCi=CCi,所以所以DE,BF,CG三線