第18講面積計(jì)算（一）

一、知識要點(diǎn)

計(jì)算平面圖形的面積時(shí)，有些問題乍一看，在已知條件與所求問題之間找不到任何聯(lián)

系，會(huì)使你感到無從下手。這時(shí)，如果我們能認(rèn)真觀察圖形，分析、研究已知條件，并加以

深化，再運(yùn)用我們已有的基本幾何知識，適當(dāng)添加輔助線，搭一座連通已知條件與所求問題

的小“橋”，就會(huì)使你順利達(dá)到目的。有些平面圖形的面積計(jì)算必須借助于圖形本身的特

征，添加一些輔助線，運(yùn)用平移旋轉(zhuǎn)、剪拼組合等方法，對圖形進(jìn)行恰當(dāng)合理的變形，再經(jīng)

過分析推導(dǎo)，方能尋求出解題的途徑。

二、精講精練

【例題1】已知如圖，三角形ABC的面積為8平方厘

米，AE=ED,BD=2/3BC,求陰影部分的面積。

【思路導(dǎo)航】陰影部分為兩個(gè)三角形，但三角形AEF的

面積無法直接計(jì)算。由于AE=ED,連接DF,可知S^AEF=S^EDF（等底等高），采用移補(bǔ)的

方法，將所求陰影部分轉(zhuǎn)化為求三角形BDF的面積。

因?yàn)锽D=2/3BC,所以S^BDF=2S4DCF。又因?yàn)锳E=ED,所以S4ABF=SABDF=2S4

DCFo

因此，SAABC=5SADCFo由于S^ABC=8平方厘米，所以S^DCF=8+5=1.6（平方

厘米），則陰影部分的面積為1.6X2=3.2（平方厘米）。

練習(xí)1：

1、如圖，AE=ED,BC=3BD,S^ABC=30平方厘米。求陰影部分的面積。

2、如圖所示，AE=ED,DC=1/3BD,S^ABC=21平方

A

厘米。求陰影部分的面積。

D,

3、如圖所示，DE=1/2AE,BD=2DC,S4EBD=5平方厘米。求三角形ABC的面積。

BD

【答案】1.陰影部分面積12cm2

2.陰影部分面積9cm2

3三.角形ABC的面積是22.5cm2

【例題2】兩條對角線把梯形ABCD分割成四個(gè)三角

工

形，如圖所不，.已知兩個(gè)二角形的面積，求另兩個(gè)二角形/1

的面積各是多少？/

【思路導(dǎo)航】已知SABOC是S4DOC的2倍，且高相B一

等，可知：B0=2D0；從S.4ABD與S4ACD相等（等底等高）可知:S4ABO等于6,而△ABO

與AAOD的高相等，底是AAOD的2倍。所以AAOD的面積為6+2=3。

因?yàn)镾4ABD與SAACD等底等高所以S^AB0=6

因?yàn)镾ABOC是SADOC的2倍所以△ABO是△AOD的2倍

所以△A0D=6+2=3。

答：△AOD的面積是3。

練習(xí)2：

1、兩條對角線把梯形ABCD分割成四個(gè)三角形，（如圖所示），已知兩個(gè)三角形的面

積，求另兩個(gè)三角形的面積是多少？

2、已知AO=1/3OC,求梯形ABCD的面積（如圖所

示）。

3、已知三角形AOB的面積為15平方厘米，線段0B的長

度為0D的3倍。求梯形ABCD的面積。（如圖所示）。

【答案】1.三角形COD面積是4,三角形AOD面積是2

2.

3.梯形ABCD的面積是80平方厘米

【例題3】四邊形ABCD的對角線BD被E、F兩點(diǎn)三等分，且四邊形AECF的面積為15

平方厘米。求四邊形ABCD的面積（如圖所示）。

【思路導(dǎo)航】由于E、F三等分BD,所以三角形ABE、

AEF、AFD是等底等高的三角形，它們的面積相等。同理，三角

形BEC、CEF、CFD的面積也相等。由此可知，三角形ABD的面

積是三角形AEF面積的3倍，三角形BCD的面積是三角形CEF面積的3倍，從而得出四邊形

ABCD的面積是四邊形AECF面積的3倍。

15X3=45（平方厘米）

答:四邊形ABCD的面積為45平方厘米。

練習(xí)3：

1、四邊形ABCD的對角線BD被E、F、G三點(diǎn)四等分，且四邊形AECG的面積為15平方

厘米。求四邊形ABCD的面積（如圖）。

2、已知四邊形ABCD的對角線被E、F、G三點(diǎn)四等分，且陰影部分面積為15平方厘

米。求四邊形ABCD的面積（如圖所示）。

F

G

BC

3、如圖所示，求陰影部分的面積（ABCD為正方形）。

【答案】1.15X2=30(cm2)

2.15X4=60(cm2)

3.(6+3)X64-2=27

【例題4】如圖所示，B0=2D0,陰影部分的面積是4平方

厘米。那么，梯形ABCD的面積是多少平方厘米?

【思路導(dǎo)航】因?yàn)锽0=2D0,取B0中點(diǎn)E,連接AE。根據(jù)

三角形等底等高面積相等的性質(zhì)，可知S.4DBC=S^CDA；SA

C0B=SAD0A=4,類推可得每個(gè)三角形的面積。所以,

SACD0=44-2=2(平方厘米)SADAB=4X3=12平方厘米

S梯形ABCD=12+4+2=18（平方厘米）

答：梯形ABCD的面積是18平方厘米。

練習(xí)4：

1、如圖所示，陰影部分面積是4平方厘米，0C=2A0o求梯形面積。

AD

9

BC

2、已知0C=2A0,SAB0C=14平方厘米。求梯形的面積（如圖所示）。

3、已知S4A0B=6平方厘米。0C=3A0,求梯形的面積（如圖所示）。

【答案】1.4X2=8(cm2)8X2=16(cm2)16+8+8+4=36(cm2)

2.144-2=7(cm2)74-2=3.5(cm2)14+7+7+3.5=31.5(cm2)

3.6X(3+1)=24(cm2)6-?3=2(cm2)24+6+2=32(cm2)

【例題5】如圖所示，長方形ADEF的面積是16,三角形ADB的面積是3,三角形ACF的

面積是4,求三角形ABC的面積。

【思路導(dǎo)航】連接AE。仔細(xì)觀察添加

輔助線AE后，使問題可有如下解法。

由圖上看出：三角形ADE的面積等于長方形面積的一半（16+2）=8o用8減去3得到

三角形ABE的面積為5。同理，用8減去4得到三角形AEC的面積也為4。因此可知三角形

AEC與三角形ACF等底等高，C為EF的中點(diǎn)，而三角形ABE與三角形BEC等底，高是三角形

BEC的2倍，三角形BEC的面積為5+2=2.5,所以，三角形ABC的面積為16—3—4—2.5

=6.5o

練習(xí)5：

1、如圖所示，長方形ABCD的面積是20平方厘米，三角形ADF的面積為5平方厘米,

三角形ABE的面積為7平方厘米，求三角形AEF的面積。

2、如圖所示，長方形ABCD的面積為20平方厘米,S^ABE=4平方厘米，S4AFD=6平

方厘米，求三角形AEF的面積。

3、如圖所示，長方形ABCD的面積為24平方厘米,三角形

ABE、AFD的面積均為4平方厘米，求三角形AEF的面積。

【答案】1.連接AC。204-2-7=3(cm2)3X-=1.5(cm2)

2

20-7-5-1.5=6.5(cm2)

2.連接AC。204-2=10(cm2)(10-4)X吐=(cm2)

105

23

20-6-4-2-=7-(cm2)

55

41

3.連接AC。244-2=12(cm2)(12-4)X(1-—)=5-(cm2)

123

12

24-4-4-5-=10-(cm2)

33

三、課后練習(xí)

1、已知三角形