




版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)
文檔簡介
平行四邊形全章專項復習【3大考點10種題型】
>題型梳理
【考點1平行四邊形】.........................................................................1
【題型1由平行四邊形的性質(zhì)求值】............................................................2
【題型2由平行四邊形的性質(zhì)證明結(jié)論】........................................................6
【題型3平行四邊形的判定】..................................................................10
【題型4平行四邊形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】.................................................16
【考點2三角形的中位線】....................................................................22
【題型5與三角形中位線有關(guān)的求解問題】.....................................................22
【題型6與三角形中位線有關(guān)的證明問題】.....................................................26
【考點3多邊形及其內(nèi)角和】..................................................................31
【題型7多邊形內(nèi)角和公式的應(yīng)用】...........................................................32
【題型8多邊形外角定理的應(yīng)用】.............................................................35
【題型9多邊形的截角問題】..................................................................40
【題型10求不規(guī)則圖形中相關(guān)角的和】.........................................................42
?舉一反三
【考點1平行四邊形】
1.平行四邊形的性質(zhì)
性質(zhì)數(shù)學語言圖示
邊平行四邊形的對四邊形曲力是平行四邊形,AD
邊相等AD=BC,AB=CD二
BC
角平行四邊形的對四邊形血D是平行四邊形,
角相等.??/A=/C,/B=/D
對角線平行四邊形的對四邊形是平行四邊形,4D
LW
角線互相平分0A=0C=3ACQB=0D=3BD
BC
【拓展延伸】
(1)證明平行四邊形的性質(zhì)時,一般通過作對角線把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形來解答.
(2)平行四邊形的性質(zhì)為證明線段平行或相等、角相等提供了理論依據(jù).
(3)平行四邊形的每條對角線都將平行四邊形分成兩個全等的三角形.
(4)平行四邊形被兩條對角線分成的四個小三角形的面積相等,每個小三角形的面積都等于平行四邊形面
積的];相鄰兩個三角形周長之差的絕對值等于平行四邊形兩鄰邊之差的絕對值.
【規(guī)律方法】
(1)平行四邊形的鄰角互補;
(2)若一條直線經(jīng)過平行四邊形兩條對角線的交點,則該直線乎分平行四邊形的周長和面積.
2.平行四邊形的判定方法
判定方法數(shù)學語言圖形
兩組對邊分別平行的四邊ADHBC.ABHCD.
形是平行四邊形.(定義)四邊形血D是平行四邊形.
兩組對邊分別相等的四邊???AD=BC,AB=CD,
邊
形是平行四邊形.四邊形向0是平行四邊形.
一組對邊平行且相等的四-,-AD//BC(或AB0J),
---------'C
邊形是平行四邊形.四邊形然CD是平行四邊形.
?.?/DAB=/DCB,/ABC=
兩組對角分別相等的四邊
角ZADC,
形是平行四邊形.
四邊形物力是平行四邊形.
對角線互相平分的四邊形?:OA=OC,OB=OD,
對角線
是平行四邊形.四邊形然Q)是平行四邊形.
【題型1由平行四邊形的性質(zhì)求值】
【例1】(24-25八年級?全國?期末)如圖,在平行四邊形4BCD中,AB=6,力。=8,^ADC=60°,過8c
的中點E作EF1AB于點F,延長FE交0C的延長線于點G,貝UDE的長為().
A.V19B.2V19C.8D.2V5
【答案】B
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識點,靈活運用平行四邊形的性質(zhì)成為解題的
關(guān)鍵.
由平行四邊形的性質(zhì)可得CD=AB=6,BC=AD=8,AB\\CD,進而得到MCE=Z5=60°;再根據(jù)中點的定
義可得CE=BE=4;然后說明NG=90。,易得CG=:CE=2;再運用勾股定理求得EG=2遮,最后再運
用勾股定理求解即可.
【詳解】解:四邊形力BCD是平行四邊形,
.-.CD=AB=6,SC=AD=8,AB\\CD,
.?ZGCE=AB=60°,
,?,£是BC的中點,
:.CE=BE=4,
-EF1AB,
:.EF1DG,
.?ZG=90°,
/.CG=|CE=2,
??.EG=y/CE2—CG2=2yf3,DG=CD+CG=6+2=8,
DE=7EG2+DG2=(2V3)2+82=2V19.
故選B.
【變式1-1](24-25八年級?安徽黃山?期末)如圖,力C是平行四邊形ABC。的對角線,點E在2C上,
AD=AE=BE,Z-D=114°,則ABAC的度數(shù)是.
【答案】22°
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),三角形外角的性質(zhì),掌握平行四邊形的性質(zhì)
及等腰三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵;設(shè)NB4C=a;由等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)得N8EC=2a,由平
行四邊形的性質(zhì)及已知,BE=BC,貝U有NBCE=ND4C=2a,則NBA。=3a,再由平行線性質(zhì)即可求解.
【詳解】解:設(shè)NB4C=a;
'.'AD=AE—BE,
:.Z.EBA=Z.BAC=a,
;/BEC=Z.EBA+Z-BAC=2a;
???四邊形ZBC。是平行四邊形,
:.BC=AD,AD\\BC,AB\\CDf
.,.BE=BC,Z-DAC=Z-BCE,
??/BCE—乙BEC=Z-DAC—2a,
:.Z-BAD=Z-BAC+Z-DAC=3a;
-ABWCD,
4-4BAD=180°,
即114。+3a=180°,
.,.a=22°,
BPZBAC=22°.
故答案為:22。.
【變式1-2](24-25八年級?全國?期末)如圖,在口43。。中,4E1BC于E,4F1CD于尸,若
^EAF=60°,CF=2cm,CE=3cm,求UMBCD的周長和面積.
AD
/7F
BEC
【答案】周長是2Ocm,面積是吟cm2
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),直角三角形的特征,勾股定理等;由平行四邊形的性質(zhì)得ABW
CD,ADWBC,AB=CD,由平行線的性質(zhì)得NB=ND=60。,ABAE=ADAF=30°,設(shè)DF=x,由直角三
角形的特征得4D=2x,由勾股定理得4F=7AD2—DF2=后,由4。=BE+EC可求x=*即可求解;
掌握平行四邊形的性質(zhì),直角三角形的特征,勾股定理是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解:AE1BC,AF1CD,
/-AEB=/-AEC=90°,A.AFD=^AFC=90°,
vAEAF=60°,
AZC=120°,
???四邊形48CD是平行四邊形,
???4B||CD,AD\\BC,AB=CD,
??.ZB+zC=180°,zf+ZD=180°,
???Z-B—Z-D—60°,
???Z.BAE=ADAF=30°,
設(shè)OF=x,貝IJ4D=2%,
.??AF='AD2-DF2=7(2X)2-X2=在,
???CF=2,CE=3,
AB=CD=%+2,
x+2
BDEI7=F
vAD=BE+EC,
???2x—+3,
解得:%=*
AD=BC=2x=印AB=CD=£+2=持
?1.AF=|V3,
.,.口4BCQ的周長是:2(y+y)=20(cm),
面積是:CD,AF=Xp/3=\/3(cm2).
【變式1-3](24-25八年級?全國?期末)如圖,UMBCD的對角線相交于點。,且ADKCD,過點。作。M12C,
交4。于點如果△CDM的周長為18,那么UMBCD的周長是.
【答案】36
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行四邊形與
線段垂直平分線的性質(zhì).
由四邊形4BCD是平行四邊形,可得。4=。。,又由。ML4C,可得AM=CM,然后由△CDM的周長為18,
求得平行四邊形4BCD的周長.
【詳解】解:???四邊形ABCD是平行四邊形,
:.OA=OC,
???0M14C,
,OM垂直平分線段/C,
.-.AM=CM,
???△CDM的周長為18,
.-.CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=18,
???平行四邊形/BCD的周長是:2x18=36.
故答案為:36.
【題型2由平行四邊形的性質(zhì)證明結(jié)論】
【例2】(24-25八年級?重慶沙坪壩?期末)如圖,在平行四邊形ABCD中,4E平分NB4D交BD于點E,交BC
于點M,CF平分乙BCD交BD于點F.
AD
R
A^\Z
BMC
(1)若418C=70°,求的度數(shù);
(2)求證:AE=CF.
【答案】(1)55。
(2)見解析
【分析】⑴根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得4艮4。=180°-/.ABC=110。,根據(jù)4M平分MAD可得4。AM=55°,
根據(jù)40||BC可得乙4MB=55。;
(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得NB4D=乙BCD,根據(jù)角平分線的定義可知NOCF=^BCD,ABAE=1
ABAD,得到NB4E=乙DCF,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得乙4BE=乙CDF,利用4S4可證△ABE=△CDF,
根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可證4E=CF.
【詳解】(1)解:???四邊形ABC。是平行四邊形,乙48c=70。,
???/.BAD=180°-70°=110。,
又TaE平分/BAD,
1
???/.DAM=4BAM=產(chǎn)BAD=55°
又四邊形ABC。是平行四邊形,
-■AD||BC,
???AAMB=/.DAM=55°;
(2)證明:,??四邊形ABC。是平行四邊形,
:.Z.BAD=Z-BCD,
又???C尸平分立BCD,4E平分
???ADCF=江BCD,ABAE=l2-BAD,
:.乙BAE=Z-DCF,
又???四邊形ZBCO是平行四邊形,
-.AB\\DC,
???Z.ABE=Z.CDF,
在△ABE和△CD尸中
(Z.ABE=乙DCF
]AB=CD,
IzBXE=乙DCF
△ABE三△CDF,
AE=CF.
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì).平行四邊形的性質(zhì):平行四邊形
的兩組對邊分別平行且相等、對角相等、鄰角互補、對角線互相平分;全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊
相等.
【變式2-1](24-25八年級?陜西西安?期中)如圖,在。48CD中,點、E,尸分別在8C上,且
AE=CF,連接EF,AC交于點O.求證:0E=OF.
【答案】見解析
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì),利用AAS證得△ZE。三△CF。(AAS)
后即可證得結(jié)論.
【詳解】證明:???四邊形48co是平行四邊形,
.-.AD\\BCf
:.Z-AE0=乙CFO,
在△4E。和△CFO中,
(Z-AOE=Z.COF
\z-AEO=乙CFO
IAE=CF
AEO^△CFO(AAS),
???OE=OF.
【變式2-2](24-25八年級?陜西漢中?期末)如圖,在CJaBCD中,連接力C,延長AC至點£,延長C4至點
F,使2E=CF,連接BE.求證:ZF=Z.E.
【答案】證明見解析
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),由四邊形/BCD是平行四邊形,得到
AD=BC,AD||BC,進一步得至!U1X4F=由ZE=CF,得至!MF=CE,證明△OAF三△BCE,即可
得到NF=(E,掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解:???四邊形488是平行四邊形,
:.AD=BC,AD||BC,
:.Z-DAC=乙BCA,
:.Z-DAF=Z-BCE,
-AE=CF,
:.AF=CE,
(AD=BC
???{^DAF=乙BCE,
IAF=CE
△DAF=△BCE(SAS),
.,.zF=Z-E.
【變式2-3](24-25八年級?海南省直轄縣級單位?期末)如圖1,在平行四邊形力BCD中,BE=DF,AEA.BC
,AFLCD,垂足分別為E,F.
圖1圖2
(1)求證:△ABE三△4DF
(2)連接BD,BD與4C交于點。,求證:ACLBD.
(3)若AB=5,AC=6,求平行四邊形2BCD的面積.
【答案】⑴見解析
(2)見解析
⑶24
【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知
識,熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
(1)由四邊形4BCD是平行四邊形,可得NB=N。,再由4E18C,AFLCD,可得乙4EB=々1FD=90。,
再證明△ABEw△力DF即可;
(2)由全等的性質(zhì)可得力B=4。,從而得出平行四邊形4BCD是菱形,最后由菱形的性質(zhì)可得結(jié)論;
(3)由菱形的性質(zhì)得力。=1。=3,BD=2BO,BDLAC,再由勾股定理得B。=4,最后利用菱形的性
質(zhì)求出面積即可.
【詳解】(1)證明:???四邊形48CD是平行四邊形,
Z-B—Z-D,
vAEIBC,AFLCD,
???^AEB=/-AFD=90°,
在和△4。尸中,
(Z.B=Z.D
]BE=DF,
k^AEB=^AFD
???△4BEwZk/0F(ASA);
(2)證明:由(1)^AABE=AADF,
AB=AD,
平行四邊形4BCD是菱形,
■■■ACLBD;
(3)解:???平行四邊形4BCD是菱形,
.?.4。=/。=3,BD=2BO,BD1AC,
在Rt△力。8中,由勾股定理得:BO=NAB2—4。2=逐2—32=4,
BD=2BO=2x4=8,
11
???S四邊形=-x6x8=24.
【題型3平行四邊形的判定】
【例3】(24-25八年級?貴州畢節(jié)?期末)四邊形4BCD中4BIICD,/.ABC=/-ADC.
ADAD
(1)求證:四邊形4BCD是平行四邊形;
(2)£是BC上一點,連接DE,尸在DE上,連接4尸、CF,AF=CF,乙DAF=KDFC,求證:CE=FD;
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性質(zhì).
(1)依據(jù)題意,由4BIICD,從而NABC+4BCD=180。,又有NABC=N/WC,進而NADC+NBCD=180。,
故有40I8C,從而可以得出結(jié)論;
(2)依據(jù)題意,分別作FG14D于點G,CH1DE于點、H,由題意先證明△AFG^△FCH,再證△ECH三△DFG,
進而可以得出結(jié)論.
【詳解】(1)證明:MBIICO,
.-.ZXSC+/.BCD=180°,
又?.?乙4BC=/.ADC,
...乙ADC+乙BCD=180°,
.-.ADWBC,
又MB||CD,
???四邊形4BCD是平行四邊形;
(2)證明:分別作FG14D于點G,CHIDE于點“,則乙4GF=4FHC=90。,
■■ADAF=^DFC,^AGF=AFHC=90°,AF=FC,
AXFGsAFCH(AAS),
.-.FG=CH,
又???四邊形ZBCD是平行四邊形,
.-.AD\\BC,
“GDF=AHEC,
又“DGF=Z.EHC=90°,
△ECH=△DFG(AAS).
:.CE=FD.
【變式3-1](24-25八年級?貴州畢節(jié)?期末)在四邊形力BCD中,對角線AC,交于點O.
(1)如圖1,若AB=CD,ABAC=^DCA,求證:四邊形4BCD是平行四邊形;
⑵在(1)的條件下,將對角線4C繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一個角度a(0<aW90。),分別交AD,BC于點E,F
(如圖2),求證:四邊形BEDF是平行四邊形;
(3)如圖3,若4C1BD,AC=5,BD=12,求4D+BC的最小值.
【答案】(1)詳見解析
(2)詳見解析
(3)40+BC的最小值是13
【分析】(1)利用內(nèi)錯角相等證得4BIICD,即可根據(jù)一組對邊平行且相等得到結(jié)論;
(2)證明△E。。三△FOB(AAS),推出。E=。/,由此證得結(jié)論;
(3)過點D作DEIIBGDE=BC,連接力E,CE,得到四邊形BCED是平行四邊形,由此得到乙4CE=乙4?!?=90°
,CE=12,利用勾股定理求出力E,即可得到力。+8。=力。+。后24£1=13.
【詳解】(1)證明:=
■■ABWCD.
又■:AB=CD,
四邊形4BCD是平行四邊形.
(2)證明:由(1)可得四邊形4BCD是平行四邊形,
.-.AD\\BC,OB=0D,
■■Z.OED=Z.OFB.
又,:乙EOD=乙FOB,
EOD=△FOB(AAS),
???OE=OF,
???四邊形BEDF是平行四邊形.
(3)解:如圖,過點。作DE||BC,DE=BC,連接力E,CE,
E四邊形BCED是平行四邊形,
■■.BDWCE.BD=CE.
X???AC1BD,BD=12,
Z.AOD=90°,
???ZXCF=AAOD=90°,CE=12,
???AE=VXC2+CE2=13.
???AD+BC=AD+DE>AE=13,
???4D+BC的最小值是13.
【點睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,熟練掌握各定理并
應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵.
【變式3-2](24-25八年級?云南紅河?期末)如圖,△ABC是等邊三角形,4D是BC邊上的高.點E在力B延
長線上,連接ED,且過/作4F1AB交EO的延長線于點F,連接
⑴求證:四邊形8ECF為平行四邊形;
(2)若4B=4,求四邊形BECF的周長.
【答案】(1)證明過程見詳解
(2)4V7+4
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,解決本題的關(guān)鍵是
掌握平行四邊形的判定與性質(zhì).
(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BD=DC,^BAD=ACAD=30°,然后證明△ADF為等邊三角形,可得
ED=DF,進而可以證明四邊形BECF為平行四邊形;
(2)根據(jù)4B=4和勾股定理可得BF的長,然后證明BE=BD,進而可得四邊形BECF的周長,
【詳解】(1)證明:???AD是等邊△ABC的BC邊上的高,
BD=DC,^BAD=Z.CAD=30°,
v^AED=30°,
???ED=AD.^ADF=/.AED+Z.EAD=60°,
vAF1AB,
???Z.DAF=90°-^EAD=90°-30°=60°,
??.△ZDF為等邊三角形三角形,
???AD=DF,
???ED=AD,
???ED—DF,
???BD=DC,
四邊形BECF為平行四邊形;
(2)解:-AB=4,
BD=2,AD=2V3,
???△/WF為等邊三角形,
???AF=AD=2V3,
...BF=7AB2+”2=J42+(2V3)2=2V7,
???/.ABC=60°f^AED=30°,
Z5DE=30°,
BE=BD=2,
?1.四邊形BECF的周長為:2(BF+BE)=2(277+2)=4V7+4.
【變式3-3](24-25八年級?全國?期末)如圖,在△4BC中,點。是邊BC的中點,點E在△4BC內(nèi),AE
平分N8AC,CE1AE,點尸在邊48上,EF||BC.
A
(2)若AB=10,AC=4,求BF的長.
【答案】(1)詳見解析
(2)3
【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì),三角形中位線定理的應(yīng)用,熟
練掌握性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵.
(1)利用平行四邊形的定義,證明四邊形BDEF是平行四邊形;
(2)利用三角形中位線定理,解答即可.
【詳解】(1)
證明:延長CE交于點G,
■,■CE1AE,AE平分ZBAC,
.-.AAEG=^AEC=90°,AGAE=ACAE,
在△AEG和△AEC中,
/.GAE=/.CAE
AE=AE
^AEG=N力EC
△AGE=△ACE(ASA).
.?.GE=EC.
,;BD=CD,
.?.DE為aCGB的中位線,
:.DE\\AB.
-:EF||BC,
???四邊形BDEF是平行四邊形.
(2)解:?.?四邊形BDE尸是平行四邊形,
:.BF=DE.
?:D、E分別是8分GC的中點,
:.BF=DE=?BG,
△AGE三△ACE(ASA),
:.AG=AC,
■■BF=*力B-AG)=|(4B-AQ=1(10-4)=3.
【題型4平行四邊形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】
[例4](24-25八年級?云南昭通?期末)如圖在平面直角坐標系中,M,N點的坐標分N(n,O).且
滿足|m+2|+g』=。,現(xiàn)將線段MN向上平移3個單位,再向右平移2個單位得到RS,連接MR,NS.
⑴求的值.
(2)點尸是線段NS上的一個動點(不與N,S重合),請找出NNOP,NSRP/OPR之間的關(guān)系,并證明.
(3)點0是線段MR上的動點,是否存在Q使四邊形。QSN面積最大,如果存在,求出點。的坐標;如果不存
在,請說明理由.
【答案】(1)巾=—2,n=4;
(2/NOP+乙SRP=乙OPR,證明見解析
⑶存在,(0,3)
【分析】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、平移的性質(zhì)、坐標與圖形等知識.
(1)根據(jù)絕對值的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)進行計算即可得;
(2)過點P作PE||RS,利用平行線的性質(zhì)得到4NOP=乙EPO,乙SRP=LEPR,貝I」
乙NOP+乙SRP=AEPO+乙EPR=4OPR,即可得至U答案;
(3)求出MN點的坐標分M(—2,0)、N(4,0),則MN=6,ON=4,得到點尺的坐標為(0,3),點S的坐標
為(6,3),MN||RS,MN=RS=6,四邊形MNSR是平行四邊形,則SASQN==|M/V-Z?O=|X6X3=9,
作QH1MN于點H,貝USMN。=:0N?QH=2QH,當點Q運動到點R時,QH取得最大值,即最大值為R。的
長度,即QH=3,進一步即可求出答案.
【詳解】(1)解:???|m+21+Vn—4=0,
:.m+2=0,幾一4=0,
.?.Tn=-2,n=4;
(2)乙NOP+乙SRP=cOPR,理由如下:
如圖所示,過點P作PEIIRS,
???MN||RS
則MN||PE,
??.(NOP=LEPO,乙SRP=^EPR,
"NOP+乙SRP=乙EPO+(EPR=乙OPR,
"NOP+乙SRP=乙OPR;
(3)存在,點0的坐標為(0,3),理由如下:
由(1)可知,MN點的坐標分M(—2,0)、N(4,0).
.-.MN=6,ON=4
???線段MN向上平移3個單位,再向右平移2個單位得到RS,
???點氏的坐標為(0,3),點S的坐標為(6,3),MN||RSfMN=RS=6,
???四邊形MNSR是平行四邊形,
:.S^SQN—5s口MNSR=1M/V-/?O=|X6X3=9,
作QH1MN于點H則SMNQ=g0N?QH=2QH
「點Q是線段MR上的動點,
???當點Q運動到點R時,QH取得最大值,即最大值為R。的長度,即Q”=3,
此時SMWQ=2QH=6,即SAOW。的最大值為6,
???四邊形。QSN的面積6+9=15,
???四邊形OQSN的面積最大值為6+9=15,
此時點Q的坐標為(0,3).
【變式4-1](24-25八年級?江蘇無錫?階段練習)如圖,在平行四邊形ABCD中,E、尸分別是AB,DC邊上的
中點,連接DE、BF、AF.
⑴求證:四邊形DEBF是平行四邊形.
(2)若力F平分N£MB,BC=3,求EB的長.
【答案】(1)見解析
(2)3
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)和判定:
(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得4B=CD/8||CD,根據(jù)小尸分別是AB,DC的中點,可得DF=BE,即可
得結(jié)論;
(2)利用角平分線的定義、平行線的性質(zhì)可得到ZD4F=NDR4,進而利用平行四邊形的性質(zhì)即可求解.
【詳解】(1)證明:???四邊形4BCD是平行四邊形,
.-.AB=CD,AB||CD,
???£、尸分別是48,DC邊上的中點,
.-.AE=BE=\AB,CF=DF=^CD,
:.DF=BE,
?:DF||BE,
???四邊形0E8F是平行四邊形;
(2)解:???四邊形力BCD是平行四邊形,
?,AD=BC=3,AB||CD,
:.Z-DFA=Z.FAB,
???4尸平分乙。48,
:.Z.DAF=Z.BAF,
:.Z-DAF=Z.DFA,
:.DF=AD=3,
???四邊形DEBF是平行四邊形,
.-.BE=DF=3.
【變式4-2](24-25八年級?陜西咸陽?期末)【問題背景】如圖,在等邊△ABC中,D、E兩點分別在邊
BC、2C上,連接BE/D,BD=CE,以4。為邊向右作等邊△4DF,連接
【初步發(fā)現(xiàn)】(I)求證:acEF為等邊三角形;
【深入探究】(2)求證:四邊形BDFE為平行四邊形;
【拓展延伸】(3)若力E=2,EF=4,求四邊形BDFE的面積.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)8V3
【分析】(1)根據(jù)等邊三角形得ZB=4C和NR4C=乙4cB=41BC,以及=4F和
Z.BAC=^DAF=/.ACB,貝IJNBAO=/.CAF,可證△BAD=△CAF,有NACF=/.ABD=60°,BD=CF,
再證CF=CE,即可得出結(jié)論;
(2)由等邊三角形得NCEF=60。和EF=CE,貝”8乙4=NCEF=60。,可得EF||BD,進一步得EF=8D,
即可得出結(jié)論;
(3)過E作EG1BC于G,則NEGC=90°,由(2)可知,CE=EF,求得4C=AE+EF,結(jié)合等邊三角形
求得“EG和CG=利用勾股定理得EG="茶―52,然后用面積公式即可求解.
【詳解】證明:⑴???△ZBC是等邊三角形,
:.AB=AC,LBAC=4ACB=/.ABC=60°,
???△/DF是等邊三角形,
.-.AD=AF,ADAF=60°,
.-.ABAC=Z.DAF=乙ACB=60°,
Z-BAC—Z-DAC=Z..DAF—Z-DAC,
即NB/W=Z.CAF,
在△B/O和尸中,
(BA=AC
\^BAD=A.CAF,
IAD=AF
.??△84。三△C/F(SAS),
:,/.ACF=乙ABD=60°,BD=CF,
???BD=CE,
:.CF=CE,
.?.△CEF是等邊三角形;
(2)由(1)可知,aCEF是等邊三角形,
:/CEF=60°,EF=CE,
:./.BCA=乙CEF=60°,
.-.EFWBD,
■:BD=CE,
:.EF=BD,
.?.四邊形BDFE是平行四邊形;
(3)如圖,過E作EG,8c于G,
GDC
貝!UEGC=90°,
由(2)可知,CE=EF,
':AE=2,EF=4,
:.AC=ZE+EF=2+4=6,
???△ABC是等邊三角形,
.-.Z.ACB=60°,AC=AB=6,
:/CEG=90°-/.ACB=30°,
:.CG=|CF=2,
■■.EG=VC£2-CG2=V42-22=2V3,
???四邊形BDFE為平行四邊形,
:.BD=EF—4,
;.S平行四邊形BDFE=BD-EG=4X2y/3=8V3.
【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定定理、平行四邊形的判
定定理、勾股定理、含30。角的直角三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理.
【變式4-3](24-25八年級?河北廊坊?期末)如圖,在口力BCD中,G,H分別是"的三等分點,GEWBC^AB
于點E,HFII4D交CD于點?
AD
B------yc
(1)求證:△AEG三△£1?”;
(2)若EG=2,乙4cB=60。,Z.BAC=45°,求4c的長.
【答案】(1)證明見解析
(2)3+3V3
【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),含30度角直角三角形的性質(zhì)等.
(1)根據(jù)三等分點可得4G=HC,依據(jù)平行線的性質(zhì)可得EGIIHF,乙EGH=LFHG,即可證明全等;
(2)證明四邊形EHFG為平行四邊形,得至!UEG4=N4CB=60°,過點E作EM14C于點”,根據(jù)含30度
角直角三角形的性質(zhì)即可求解.
【詳解】(1)證明:?.GH分別是/C的三等分點,
:,AG=HC,
???四邊形是平行四邊形,
.-.ABWCD,AD\\BCf
:./LEAG=乙FCH,
-GEWBC,HF||AD,且皿8C,
???EG||HF,
"EGH=乙FHG,
:./,AGE=4CHF,
△AEG=△CFH(ASA)
(2)由(1)知,EGWFH5.EG=FHf
???四邊形EHFG為平行四邊形,
???GEWBC,
???/.EGA=乙ACB=60°,
過點£作后“1/。于點
v^LBAC=45°,ZLEGM=60°,EG=2,
???乙GEM=30°,乙4EM=45°,
???GM=1,EM=AM=V3,
AG—GM+AM=1+V^,
又???G,〃分別是4C的三等分點,
AC=3AG=3+3V3
【考點2三角形的中位線】
【題型5與三角形中位線有關(guān)的求解問題】
【例5】(24-25八年級?黑龍江牡丹江?期末)如圖,在等腰△ZBC中,AB=AC,D,E分別是ZB,AC的中
點,連接DE,DC,BE,DC與BE相交于點0.若DE=a,BELCD,則四邊形BCED的周長為
【答案】3V2+2V5
【分析】本題考查勾股定理,全等三角形的判定和性質(zhì),三角形中位線定理,等腰三角形的性質(zhì),關(guān)鍵是
由三角形中位線定理得到BC=2DE,判定△0BC和△0DE是等腰直角三角形.由三角形中位線定理得到
BC=2DE=2XV2=2<2,判定△DBC三△ECB(SAS),推出NOBC=NOCB,得到△OBC是等腰直角三
角形,同理:△ODE是等腰直角三角形,求出。。=孝。后=1,0B=^BC=2,由勾股定理求出BD=
7OD2+0B2=5得到CE=V^,即可求出四邊形DBCE的周長.
【詳解】解:E分別是2B,4C的中點,
??.DE是aaBC的中位線,
BC=2DE=2XV2=2V2>
■:AB=AC,
???Z-ABC=Z.ACB,
???。,E分別是48,4C的中點,
:.DB=^AB,CE=|XC,
BD=CE,
???BC=CB,
???△DBCzAECB(SAS),
???Z.OBC=Z-OCB,
CD上BE,
??.△OBC是等腰直角三角形,
同理:△ODE是等腰直角三角形,
0D=爭E=1,0B=當BC=2,
?-?/.BOD=90°,
BD=yJOD2+OB2=V5,
CE=V5,
四邊形DBCE的周長=BC+DE+BD+CE=2立+或+遙+述=3四+2遍.
故答案為:3V2+2V5.
【變式5-1](24-25八年級?廣東深圳?期末)如圖,在矩形4BCZ)中,P,Q分別是B&DC上的點,E、F分別是
AP、PQ的中點,BC=12,DQ=5,則線段EF的長為.
AD
BP
【答案】6.5
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線等知識,正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.連
接力Q,利用勾股定理解得2Q的值,然后根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求解即可.
【詳解】解:連接AQ,如下圖,
BP
???四邊形4BCD是矩形,BC=12,DQ=5,
:.AD=BC=12,Z£>=90°,
.?.在Rt△ADQdp,AQ=AD2+DQ2=V122+52=13,
?;E、F分別是4P、PQ的中點,
;.EF=%Q=6.5.
故答案為:6.5.
【變式5-2](24-25八年級?廣東汕頭?期末)如圖,△力BC中,AB=6cm,AC=4cm,點E是BC的中點,
若AD平分的C,CD1AD,求線段DE的值.
BEC
【答案】lcm
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理,延長CD交48于F,證明
AADF=AADC(ASA),得出4尸=4C=4cm,CD=DF,計算出8產(chǎn)=2cm,再由三角形中位線定理即可
得出答案.
【詳解】解:如圖,延長C。交于F,
平分
:.Z-EAD=4CAD,
'.'CD1AD,
:.Z.ADC=Z.ADF=90°,
'.'AD=AD,
??.△ADF=△ADC(ASA),
:.AF=AC=4cm,CD=DF,
:.BF=AB—AF=6—4=2cm,
?點E是BC的中點,
.??。5是43。尸的中位線,
.-.DE=|BF=1cm.
【變式5-3](24-25八年級?河南鄭州?期中)如圖,在正方形4BCD中,AB=4,E,b分別為邊4B,BC的中
點,連接點G,〃分別為DE/F的中點,連接GH,貝憶”的長為
【答案】V2
【分析】連接4G并延長4G交CD于點P,連接PF,由正方形的性質(zhì),即可證得△E4G三△DPG(ASA),可得
AG=PG,DP=AE=2,再由勾股定可理可求得PF的長,根據(jù)三角形中位線定理即可求解.
【詳解】解:連接4G并延長4G交CD于點P,連接PF,如圖所示,
???乙AEG=Z.GDP,
,:E、尸分別為邊4B,BC的中點,
4E=—8=2,CF=新=2.
?;G為DE的中點,
???EG=DG,
在△瓦4G和△DPG中,
(/.AEG=乙GDP
{EG=DG,
VZ-AGE=乙PGD
???△EZG三△OPG(ASA).
???AG=PG,DP=AE=2.
?1?G為2P的中點,
???”為2F的中點,
GH是aAPF的中位線.
GH=|PF.
在RtzXFCP中,
CP=DC—DP=4—2=2,
■-PF=7PC2+FC2=2V2.
GH=^PF=V2.
故答案為:V2.
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定及性質(zhì),勾股定理,三角形中位線定理,正確作出
輔助線是解決本題的關(guān)鍵.
【題型6與三角形中位線有關(guān)的證明問題】
【例6】(24-25八年級?陜西渭南?期末)【問題背景】
如圖,在△4BC中,AD1BC,垂足為點D,點E是4B邊的中點,點F是4D邊的中點,連接EF并延長到點G,
EF=FG,連接DG.
圖1圖2
【初步探究】
(1)如圖1,求證:四邊形BEGD是平行四邊形;
【拓展延伸】
(2)如圖2,連接DE、BF、CG,若AC=BF、CD=DF,在不添加任何輔助線的情況下,探究BD、EG、AD
、CG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)8。=EG=4。=2CG,理由見解析
【分析】本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì),熟練掌握
以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵.
(1)由三角形中位線定理得出EF||BD,BD=2EF,結(jié)合題意求出BD=EG,即可得證;
(2)證明RtZkBDFmRtZk2DC(HL),得出=4。,由CD=D尸=/。,BD=EG=2FG,得出
CD=FG,證明四邊形CDFG是平行四邊形,得出CG=DF=%。,即可得證.
【詳解】(1)證明::點E是4B邊的中點,點尸是2D邊的中點,
為△48。的中位線,
.-.EF||BD,BD=2EF,
■:EF=FG,EG=EF+FG,
;.BD=EG,
.??四邊形BEGD是平行四邊形;
(2)解:BD=EG=AD=2CG,理由如下:
?:ADLBD,
:.Z-BDF=Z.ADC=90°,
在Rt△BDE和Rt△/DC中,
[BG=AC
\DF=CD'
/.Rt△BDF=Rt△4DC(HL),
??.BD=AD,
-,-CD=OF=|XD,BD=EG=2FG,
.-.CD=FG,
■■FG||CD,
.??四邊形CDFG是平行四邊形,
:.CG=DF=^AD,
:.BD=EG=HD=2CG.
【變式6-1](24-25八年級?陜西漢中?期末)如圖,△4BC的中線B。、CE交于點O,F、G分別是。8、OC
的中點,連接DE、EF、FG、DG.求證:EG與DF互相平分
【答案】證明見解析
【分析】利用三角形中線的性質(zhì)、中位線的定義和性質(zhì)證得四邊形EFGD的對邊DEIIGF,且DE=GF,得到
四邊形EFGD是平行四邊形,證得結(jié)論.
本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì),掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.
【詳解】證明:?.?BD、CE是△4BC的兩條中線,
:點D、E分別是邊4C、48的中點,
1
DE||CB.DE=-CB;
又「尸、G分別是。B、0C的中點,
GF||CB,GF=^CB,
:.DE||GF.SiDE=GF,
二.四邊形DEFG是平行四邊形,
.?.EG與FD互相平分.
【變式6-2](24-25八年級?福建廈門?期末)已知:如圖,在平行四邊形4BCD中,G,,分別是4。,8c的
中點,E,0,尸分別是對角線BD上的四等分點,順次連接G,E,H,F.
(1)求證:四邊形GEHF是平行四邊形;
(2)求證:當平行四邊形4BCD滿足48,8。時,四邊形GEHF是菱形.
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
【分析】本題考查了菱形的判定,平行四邊形的性質(zhì),三角形中位線定理等知識,
(1)連接AC,由三角形中位線定理可得GF||。4GF=^OA,EH||OC,EH=|0C,可得EH||GF,
EH=GF,可得結(jié)論;
(2)先證四邊形4BHG是平行四邊形,可得28||GH,可得可得結(jié)論
【詳解】(1)證明:如圖1,連接4C,
四邊形48CD是平行四邊形,
???0A—OC,OB=0D.
■■-E,0,F分別是對角線BD上的四等分點,
■-E,F分別為0B,。。的中點,
???G是2。的中點,
GF為△40。的中位線,
GF||OA,GF^^0A,
同理EH||OC,EH=^OC,
EH||GF,EH=GF,
■■四邊形GEHF是平行四邊形;
(2)證明:如圖2,連接4C,GH,
圖2???四邊形4BCD是平行四邊形,G,H分別是40,8c的中點,
:.AG=BH,AG||BH,
???四邊形力BHG是平行四邊形,
:.AB||GH,
■.■AB1BD,
???GH1BD,即GH_LEF,
又四邊形GEHF是平行四邊形,
???四邊形GE”F是菱形.
【變式6-3](24-25八年級?河北保定?期末)如圖,在四邊形48CD中,對角線4C和相交于點O,
AC=BD,點“、P、N分別是邊4B、BC、CD的中點,連接MN,交BD于點、E,交力C于點尸,0是MN的中
(1)求證:PQ1MN;
(2)判斷aOEF的形狀,并說明理由.
【答案】(1)見解析
(2)4。石尸是等腰三角形.理由見解析
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定,三角形中位線定理:
(1)根據(jù)三角形中位線定理得到PM=PN,則由三線合一定理可得PQ1MN;
(2)根據(jù)三角形中位線定理得到||AC,PNWBD,貝IJNPMN=NOFE,乙OEF=4PNM.再由PM=PN,
得至IjNPMN=ZPNM,則NOFE=NOEF.即可得到。E=OF,即aOEF是等腰三角形.
【詳解】(1)證明:連接PM,PN.
??,點”,P分
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 唐鋼技校電工考試試題及答案
- 水利工勤人員技師考試試題及答案
- 社會團體考試試題及答案
- 精油小白測試題及答案
- 外地返鄉(xiāng)面試題及答案
- 中國建筑史考試試題及答案
- 2025年erp的證件考試題庫
- 2025年專業(yè)高級電工考試題庫
- 2025年旅館考試題庫
- 2025年助理編制考試題庫
- 中級消防員考試試題及答案
- 教學設(shè)計課件比賽封面設(shè)計
- 2025年游泳池設(shè)施設(shè)備器材安全檢查制度(二篇)
- 2025考研408計算機基礎(chǔ)綜合真題及答案
- 職業(yè)病危害因素檢測與評價-工作場所空氣中粉塵濃度的測定
- 展臺搭建施工管理辦法
- 兒科穴位貼敷治療講課件
- 2025年湖北省中考英語試題(附答案)
- 三一研發(fā)項目管理制度
- 輪胎公司中長期發(fā)展戰(zhàn)略規(guī)劃綱要(2025-2030年)
- 浙江省衢州市2023-2024學年高二下學期6月教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題(含答案)
評論
0/150
提交評論