第十一章立體幾何初步

11.3空間中的平行關(guān)系

11.3.3平面與平面平行

知識(shí)梳理

1.兩個(gè)平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖示表示法公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

兩平面平行Z7all50個(gè)

卜/

兩平面相交不aC0=l無數(shù)個(gè)點(diǎn)（共線）

2.平面與平面平行的判定定理與推論

語言敘述符號(hào)表示圖形表示

如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平muaI

行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平

行.

3.平面與平面平行的性質(zhì)定理

文字語言如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行

符號(hào)語言a///3,aC\y=l,/3C\y=m^l//m

圖形語言

推論：兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例.

常見考點(diǎn)

考點(diǎn)一判斷面面平行

典例1.平面a與平面力平行的條件可以是（）

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線都與夕平行

B.直線a||a,a\\J3,且直線a不在a內(nèi)，也不在尸內(nèi)

C.a內(nèi)的任何直線都與夕平行

D.直線a在a內(nèi)，直線〃在A內(nèi)，且all夕，b\\a

變式11.下列命題正確的是（）

A.一個(gè)平面內(nèi)兩條直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

B.如果一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

C.平行于同一直線的兩個(gè)平面一定相互平行

D.如果一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

變式12.給出以下四個(gè)命題，能判斷平面a和平面用平行的條件是

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線都與夕平行

B.a內(nèi)的任一條直線都與萬平行

C.直線aua,直線Z?u〃，且a〃/7,b//a

D.直線aua,且a//￡

變式13.六棱柱A8C。所一的底面是正六邊形，此六棱柱的面中互相平行的有（）

A.1對B.2對

C.3對D.4對

考點(diǎn)二證明面面平行

典例2.如圖，在四棱錐P—ABCD中，E,F,G分別是PC,PD,的中點(diǎn)，DC//AB,求證:

平面平面EFG.

變式21.兩個(gè)全等的正方形A8C。和所在平面相交于AB,MeAC,N&FB^,AM=FN,

過點(diǎn)M作MH_LAB于點(diǎn)此求證：平面MNH〃平面BCE.

變式22.如圖，在正方體48。-A百CQ中，E,F,H,G分別是棱48,AD,CD,8C的中

點(diǎn),求證：平面AEF平面HGBD.

變式23.如圖，在正方體ABCO-ABCQ中，S是用2的中點(diǎn)，E,F,G分別是3C,DC,SC的

中點(diǎn)，求證:

(1)直線EGH平面BDD&I；

(2)平面EFGH平面BDD.B,.

考點(diǎn)三根據(jù)面面平行證明線線平行

典例3.如圖，已知平面&//平面夕，點(diǎn)P是平面a,P外一點(diǎn)，且直線PB,PD分別與夕相

交于點(diǎn)A,B和點(diǎn)C,D.如果Rl=4cm,AB=5cm,PC=3cm,求P￡）的長.

變式31.如圖，在棱錐中，AE-.AB=1:3,截面EFG〃底面BDC.已知3DC的周長是18,求..EFG

的周長.

變式32.如圖，已知平面all平面且P跖，過點(diǎn)P的直線m與a、H分別交于4C,過點(diǎn)

P的直線n與a、夕分別交于8、D,且布=6,AC=9,PD=8,求BD的長.

變式33.如圖，a//(3//y,直線AC分別交平面B,7于點(diǎn)A,B,C,直線O/分別交平面

。，/于點(diǎn)D,E,F.求證：金|=竺.

考點(diǎn)四根據(jù)面面平行證明線面平行

典例4.如圖，AD//BC^.AD^2BC,ADLCD,EG//AD^EG=AD,CDUFG豆CD=2FG,DGL

平面ABC。，DA=DC=DG,若M為C尸的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：MN//平面CDE.

IB

A

變式41.在如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓。的直徑，E尸是上底面圓。'的直徑，尸3是圓臺(tái)

的一條母線.已知G,H分別為EC,EB的中點(diǎn).求證：G”||平面ABC.

變式42.如圖，在四棱錐尸一例8中，，AB±AD,BC//AD,AD=2BC=2PA=2AB=2,E、尸、

G分別為線段的）、DC、PB的中點(diǎn)，

證明：直線PF//平面ACG.

變式43.在如圖所示的幾何體中，D、H、G分別是AC、BF、CE的中點(diǎn)，EF//DB.求證：GH/1

平面ABC.

鞏固練習(xí)

練習(xí)一判斷面面平行

1.已知平面a,P,則的一個(gè)充分條件是（）

A.平面a內(nèi)有無數(shù)條直線與口平行

B.平面a內(nèi)有兩條相交的直線與月平行

C.平面尸平行于同一條直線

D.平面a,口垂直于同一平面

2.已知名〃是兩個(gè)不重合的平面，下列選項(xiàng)中，一定能得出平面&與平面/平行的是（）

A.。內(nèi)有無窮多條直線與月平行

B.直線?！ㄊ稀！ㄏ?/p>

C.直線滿足

D.異面直線滿足aua,6u/，JLfl//13,b//a

3.給出下列四個(gè)說法，其中正確說法的序號(hào)為（）

①平行于同一直線的兩平面平行；

②平行于同一平面的兩平面平行；

③垂直于同一直線的兩平面平行；

④垂直于同一平面的兩平面平行

A.①②B.②③C.①②③D.②③④

4.下列條件中，能判斷兩個(gè)平面平行的是

A.一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另一個(gè)平面；

B.一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面

C.一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面

D.一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面

練習(xí)二證明面面平行

5.如圖，在正方體4BCD-A4GR中，求證：平面42?！ㄆ矫鍯D4.

6.如圖所示，ABC為正三角形，EC_L平面ABC,DBL平面ABC,CE=CA=2BD,M是EA的中點(diǎn),

N是EC的中點(diǎn)，求證：平面DMNII平面ABC.

7.如圖所示，四棱錐P一力BCD的底面4BCD為矩形，E、F、”分別為4B、CD、P。的中點(diǎn).求

證：平面AFHII平面PCE

8.如圖，在多面體中，ABCD是正方形，AB=2,DE=BF=4,BF//DE,M為棱AE的中

點(diǎn).求證：平面BMD//平面屏C

練習(xí)三根據(jù)面面平行證明線線平行

9.如圖，已知平面a〃平面萬，若點(diǎn)尸在平面a,萬之間（如圖所示），PCa且尸胡，過點(diǎn)P的直線

冽與a4分別交于A、C,過點(diǎn)P的直線〃與a、口分別交于3、。，且B4=6,AC=9,PD=8,求BD

的長

10.如圖所示，平面?！ㄆ矫嫦Γ本€AS,CD夾在％尸之間，且兩直線相交于點(diǎn)0,求證：槳=%

D（JCC7

區(qū)

11.如圖所示，四棱柱ABCO-ABCQ中，四邊形ABCD為梯形，AD//BC,且AD=2BC.過AC。

三點(diǎn)的平面記為。，8片與a的交點(diǎn)為。.證明：。為8月的中點(diǎn).

12.如圖所示，已知夕，P,7都是平面，且a〃6〃7,兩條直線/,m分別與平面夕，P,7相

交于點(diǎn)4,B,C和點(diǎn)。，E,F.求證：=

練習(xí)四根據(jù)面面平行證明線面平行

13.如圖，在長方體ABCD-AECD中，E,M,N分別是BC,AE,CZX的中點(diǎn)，求證：〃平

面ADDA.

14.如圖，空間幾何體ABCDPE中，四邊形ABCD是菱形，直角梯形ADFE所在平面與平面ABCD

垂直，且AE_LA。，EFWAD,其中P,。分別為棱8E,。尸的中點(diǎn).

求證：尸。||平面ABCD

15.如圖，已知點(diǎn)P在平面四邊形A8CD外，且