第24練平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用

一、課本變式練

1.（人A必修二P22習(xí)題6.2T18變式）已知同=1,可=2,2.石=0,則向量入石的夾角為（）

,71-71一兀

A.—B.—C.—7iD.一

6443

【答案】B

【解析】設(shè)Z與5的夾角為夕，因?yàn)橥?1,W=2且=所以2名第乍際夕=0,即

1x2xcos6=A/2＞解得cos。=又。目。,乃］,所以。=彳.故選B

2.（人A必修二P22習(xí)題6.2T11變式）已知平面向量￡,B滿足同=2,忖=1,且々與后的夾角為（，則口+耳=

（）

A.73B.y/5C.SD.3

【答案】C

【解析】因?yàn)殁?2,忖=1,且%與石的夾角為（，所以卜+B卜J（a+=Vfl2+2a-b+b,

=^22+2x2x1xcos^+1=A/7,故選C

3.（人A必修二P59復(fù)習(xí)參考題6T8變式）已知）=（1,2）,,=（2,-1）,"=（1,幾），且工，倒+可，貝UX=

【答案】-3

［解析】由題意僅+可=（3,1）,又Z,R+B）,則1（；+力）=（1㈤.（3,1）=3+2=0,故彳=_3.

4.（人A必修二P59復(fù)習(xí)參考題6T19變式）已知向量工行的夾角為60。，忖=2,忖=1,貝1］忖+2囚=,

【答案】26

【解析】因?yàn)榈膴A角為60。，同=2，W=I,所以Z4=2xlx：=l,

+4b+4<?-b=44+4+4=2V3.

二、考點(diǎn)分類練

（一）求向量的數(shù)量積

5.（2023屆廣西柳州市新高三摸底考試）已知向量混，的夾角為（，且同=2,M=3,則7,%）=（

)

A.-1B.3A/3-4C.-2D.1

【答案】A

rrrrr工在i

【解析】Q?（z辦一〃）x=。力一忖=2x3x--22=-l,故選A

6.（2022屆江蘇省蘇州市八校高三下學(xué)期三模）在△ABC中，A=,點(diǎn)。在線段A5上，點(diǎn)E在線段AC上,

且滿足24。=。5=2,4￡=￡。=2,CD交BE于F,設(shè)麗=￡,衣=石，則”.南=（）

A6R*2932

5555

【答案】B

【解析】設(shè)^覺(jué)，EF=nEB,因?yàn)?/p>

AF=AD+DF=^AB+XDC=^AB+^(j5A+AC)=^AB+^-^AB+AC)=]—^AB+ZAC,

1

AF=AE+EF=-AC+/2EB=-AC+JU(EA+AB)=-AC+/2(--AC+AB)=—^AC+JUAB,

2

UlUUULILRU1---?2----*---*,----*1---*22----*2]------?------?

因止匕AF.BCMCMM+MACX-AB+AOU-WAB+-AC--ACAB,

7T

因?yàn)锳=§,AB=3,AC=4,

~,UUUlULUL--------?121117,,,

所以AF.BC=A尸?8C=-yx9+Mxl6—MX3X4X]=M，故選kB

7.（多選）正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,E是BC中點(diǎn)，如圖，點(diǎn)尸是以為直徑的半圓上任意點(diǎn)，AP=2

AD+juAE<則()

A.2最大值為:B.〃最大值為1

C.而.亞最大值是2D.荏.女最大值是6+2

【答案】BCD

【解析】以AB中點(diǎn)。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A（-l,0）,0（-1,2）,E（l,l）,設(shè)4OP=a,

uum

AD=(O,2),

由AP=；IAD+〃AE，得2〃=cosa+l且2X+4=sina，aG[0,7i\

；(1.A/5-1

2=2sina-cosa-1)=sin(a-g)——W，故A錯(cuò);

44

a=o時(shí)4max=l，故B正確;

麗.麗=2sinaW2，故C正確;

AP-AE=sin?+2cosa+2-y/5sm^a+^+2^>/5+2,故D正確.故選BCD.

（二）求向量的模

8.（2022屆青海省海東市第一中學(xué)高考模擬（二））已知兩非零向量Z,B滿足力（防-Z）,且|陷=4,則

卜-2目=（）

A.8B.3C.2D.&

【答案】A

【解析】?jī)煞橇阆蛄縕，B滿足2“昉-￡）,且W=4,可得42%=7,4ZZ+4片

工+4片=8.故選A

9.（2022屆上海市虹口區(qū)高三二模）已知向量￡,B滿足忖=2,慟=1,卜+0=6，貝!|卜-q=.

【答案】出

【解析】由以+4=6可得，@+2￡3+麻=3,即4+2%出+1=3,解得：ab=-l，所以

\a-b\='@一2.%+麻==幣.

（三）求向量的夾角

10.已知平面向量￡+2與互相垂直，模長(zhǎng)之比為2：1,若|￡|=行，則3與Z+B的夾角的余弦值為（）

A2小口3石「75n￡

?-----D.------L.----k.）?

5552

【答案】A

【解析】平面向量Z+B與3-石互相垂直，模長(zhǎng)之比為2：1,則+-分）=0且|；+笳=2|二-力|,得藍(lán)=片,

X.|a|=A/5,則|a|=|B|=&\將|°+6|=2|4-6|平方得/+2￡%+片=4￡2-8鼠石+4片,解得H=3，

|Z+司2=7+273+片=16,貝小2+4=4,設(shè)/與2+）的夾角為6,則

a'{a+^)_a+a-b_5+3_245

co故選A.

—-?->—>（->—>

11.（2022屆甘肅省高臺(tái)縣第一中學(xué)高三下學(xué)期檢測(cè)）已知非零向量：，辦滿足a1\a-b

則；與了夾角為

【答案】v

4

—I-d2222I（——、

【解析】因?yàn)閍-b=H，所以；+r一2：工=1,;工-=2：工?因?yàn)椤？凇?，，所以

~~~~^2———^2――22

a.\a-b\^a-a.b=Q,:.a=a.b,所以芽=21，.?.山=0而.設(shè)；與]夾角為。，所以

->->->->_

cos6>=:?匕=叱=].因?yàn)?lt;9e[0,萬(wàn)|,所以0=2.

\a\\b\四24

（四）數(shù)量積中的最值與范圍問(wèn)題

12.在AABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.P為AABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且尸C=l,則麗.麗的取值范圍

是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則。（。,0）,4（3,0）,8（0,4）,

設(shè)P（cos仇sin。）,8￡［0,2句,

所以PA=（3-cos。,一sin。）,PB=（-cos0,4-sin6^,

所以P4P5=（-cos^）x（3-cos^）+（4-sin^）x（-sin^）

=cos23—3cos—4sin+sin20

=1—3cos9—4sine

=1-5sin（9+9）,其中sin0=1,cos0=1，

因?yàn)橐籌<sin（〃+0）<1,所以~4W1—5sin（9+0）W6,即PAPBe［-4,6］；

故選D

13.（2022屆浙江省長(zhǎng)興、余杭、縉云三校高三下學(xué)期5月聯(lián)考）已知平面向量%5忑滿足|B|?修|=1,若

|35-（^+c）\=\a-b\^\c\,貝?。荨?2+2斤+^的最小值是.

［答案］叵口

2

【解析】設(shè)<25>=%<瓦">=尸，由|3M-色+3|=|小5|?修根據(jù)三角不等式，有

（方+c）|<\3a-（b+。）|=|。㈤?|。|=|。1151cosa|dc|=|acosa|K|a|,

得12M\<\b+c\,

i^-a2+2b2+^>--\b+c\1+2|^|2+|C|2=-|^|2+-|C|2--&-C

4442

7―3—1-17—3、1^1-1

=曰"2+：|c|2_；|b||c|cos,22白牙,2|cp_l=l￡^_L.

442V4422

三、最新模擬練

14.（2022屆江蘇省蘇州大學(xué)高三下學(xué)期5月高考前指導(dǎo)）如圖，在平面四邊形ABCD中，E,尸分別為AD,

8C的中點(diǎn)，荏=(4,1),皮=(2,3),AC=(-2,m),^AC-EF=Q,則實(shí)數(shù)加的值是()

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】D

【解析】根據(jù)題意得：AD=CD-CA=AC-DC=（-4,m-3）,BC=AC-AB=,

因?yàn)镋,尸分別為AD,3c的中點(diǎn)，所以通=g正=（-2,*）,而=g團(tuán)=（一3,一）,

所以訪=函+荏+麗=（3,2）,又衣.前=0，BP（-2）X3+/MX2=0,解得加=3.

故選D.

15.（2023屆河南省安陽(yáng)市高三上學(xué)期名校調(diào)研摸底考試）已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，AB

為圓。1的直徑，P為圓。2上的點(diǎn)，貝|（西+麗）?羽=（）

A.4B.4逝C.8D.8夜

【答案】C

【解析】設(shè)圓柱的高為〃，底面半徑為r

若圓柱002的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，

貝！J：/i=2r=2,

因?yàn)锳5為圓&的直徑，尸為圓。2上的點(diǎn)，所以在△PAB中，。1為A8中點(diǎn)

二例+明.=2耳>.=2西，例］-cos<西W>

又在APO02中，。02=/7=2,尸。2=『=1，且貝l」pq=6

如圖：為圓柱的一個(gè)軸截面

O\

00222加

所以cos<PO,。2°1>=cosZPOO

X}2~PO^~45~~T

.?.例+網(wǎng).函t=2|陽(yáng)|.[M].COS（西^^">=2x百x2x竽^二8

故選C.

16.(2022屆江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期高考前熱)已知￡與B為單位向量，且

向量"滿足I』一1一力|=2,則量的可能取值有()

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，設(shè)面=。，面=B，oc=c,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，宓的方向?yàn)閤軸正方向，礪的方向?yàn)閥軸的正方向建立坐標(biāo)系，

則A(l,0),3(0,1),設(shè)。(羽y),則萬(wàn)-6=(x-l,y-1),

若|H|=2,則有(x-l)2+(y-l)2=4,

則C在以(U)為圓心，半徑為2的圓上，

設(shè)(1,1)為點(diǎn)M,貝！J|OM|=JL則有r-|OM|剜。C］r+\OM\,

即2-歷|OC|2+V2,

則?的取值范圍為［2-0,2+0］；

故選D.

17.(多選)(2022屆湖北省荊州中學(xué)等四校高三下學(xué)期四模)已知向量Z=(有,1),辦=(cosOsineXO<0<7r),

則下列命題正確的是()

A.若Z_L萬(wàn)，貝!Jtan6=-G

B.存在e,使得K+'=」-可

c與。共線的單位向量只有一個(gè)為用力

D.向量.與B夾角的余弦值范圍是［-日,孝］

【答案】AB

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：若日,石，則aZ=o,

???百cose+sin9=0,tan0=—\/3?故A正確；

，則“+M=\a-b

對(duì)于B=a-2a-b+b9

所以Z%=0，即0_L5，由A可知，tang二-百，因?yàn)椤?<94萬(wàn)，所以。=可，故B正確；

,a（指1）（61）

對(duì)于C選項(xiàng)：與Z共線的單位向量為土口，故為或-+，-不'故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

\a\I22Jk22J

對(duì)于D選項(xiàng)：設(shè)向量Z與B夾角為a,貝""瓜。$；+sin6>=sM［+,

因?yàn)?<6（萬(wàn)，所以fwd+fw”，所以—且4sin［e+&141,故一且VcosaWl,故D錯(cuò)誤；

3332I3）2

故選AB.

18.（2022屆上海市金山區(qū)高三一模）已知向量Z與石的夾角為120。，且）/=_2，向量2滿足

c=Aa+（l-A）b（O<A<l）,且=B?入記向量"在向量Z與B方向上的投影分別為無(wú)、又現(xiàn)有兩個(gè)結(jié)論:

①若彳=（則問(wèn)=綱；②尤2+y2+沖的最大值為；則正確的判斷是（）

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

【答案】C

【解析】由7后=|那cosl2（F=-2,解得：帥=4,當(dāng)2=（時(shí)，c=^a+jb,由“得：

7［：公+|^］=加［；3+：5］,Bp|a2+^a-b=}-a-b+^b,由>B=_2得：||a|2=|+||&|2,因?yàn)橥ú?,

假設(shè)同=2跖則可求出忖=及，同=20,代入羽:|+|印中，等號(hào)不成立，故①錯(cuò)誤；

設(shè)方=￡，OB=a>OC=c，因?yàn)椋刍?（1-九）“0<2<1）,由向量共線定理可知，點(diǎn)C在線段A8上,

如圖，設(shè)（常=々，則。,3=120。-1,因?yàn)?gt;"=“，所以耳卜即口=|斗口3（120。-&）,即

|a|-cos?=|5|-cos（120°-?）,故￡在"方向的投影等于石在"方向的投影相等，故點(diǎn)。滿足OCLAB,又

x=|c|cosa,^=|c|cos（120°-<z）,所以

x2+y2+xy=|c|cos2cir+|c|cos2（120°-6Z）+|c|cosacos（120。一a）=［同,其中

\AS0=1|?|-Hsin120°=x4=73，而要想保證。最大,只需|鉆|最小,由余弦定理可得:

|陰~=忖+忖-2,帆85120。="+欠+422卜帆+4=12,當(dāng)且僅當(dāng)卜|=1|時(shí)，等號(hào)成立，所以|A目最

小值為26，所以最大值為卡第=1,故工2+〉2+.=：,的最大值為1,②正確.

故選C

19.（多選）（2022屆河北省滄州市滄縣中學(xué)高三上學(xué)期11月月考）關(guān)于平面向量有下列四個(gè)命題，其中正

確的命題為（）

A.d'b=d'C則B=E

B.已知。=（2,4）,5=（2,2）,且5與方+“的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是［-j+j

/_、r一、

0一ri五5ab八

C.對(duì)于非零向重b，則nr+pi-TTJ-pr=0

［同W川4W

D.單位向量。和5,滿足B/=l,則力與5的夾角為60。

【答案】CD

【解析】當(dāng)萬(wàn)，B,且不，1時(shí)，5與C可以不相等，故A錯(cuò)誤;

因?yàn)?=（2,2）,5+〃日=（2+2〃,2+4〃），B與1的夾角為銳角,

由5<5+>0,得2（2+24）+2（2+4〃）>0,即〃〉一：,

當(dāng)方與5+的同向時(shí)，存在正數(shù),,使得5=/（5+而），因?yàn)槎?不共線，所以r=l,〃=O,所以當(dāng)5與5+〃江

不同向時(shí)，〃*0,所以〃的取值范圍為，■|,o]u（O,+s）,故B錯(cuò)誤；

（丁、/、2（丫

又對(duì)于非零向量口b，V4萬(wàn)+義bab_ab_

同bM

7

當(dāng)同=W=,一且=1時(shí)，有|肝+出|2一2M.5=1,得1+1-2x1x1xcos<a,b>=1f

-1——71

得COS</,6>=5，因?yàn)?<<6,6><兀，所以<萬(wàn),6>=§,即汗與石的夾角為60、故D正確;

故選CD.

20.（2022屆安徽省合肥市第八中學(xué)高三下學(xué)期最后一卷）已知向量Z,標(biāo)滿足￡+否+"=6,|￡|=1,|扇=3,向=4,

貝！Ia.B=_______

【答案】3

【解析】^a+b+c=6,得2+方=4,兩邊平方,得片+27方+片=片,

因?yàn)殁?1'W=3，H=4,所以i+2a,B+9=16，得。石=3.

JT

21.（2022屆上海市普陀區(qū)高考二模）如圖，動(dòng)點(diǎn)C在以為直徑的半圓。上（異于A,B）,ZDCB=~,

且DC=CB,若|鉆|=2,則歷.詬的取值范圍為.

D

【答案】（1,2]

【解析】

D

設(shè)ZBOC=2/則。e(0，D作。E，OE交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

由余弦定理3c2=l+l-2cos26>=2-2cos26>=4sin2g

所以3c=2sin,即0c=2sin(9

/OCB=與吆=。一0,因?yàn)閆DCB=辛所以/DCE=夕

所以CE=DC-cos0=2sin，cos0=sin2.0

所以無(wú)?礪=OC-OE=lx(l+sin2。)=1+sin2。e(1,2]

四、高考真題練

22.(2022新高考全國(guó)卷2)已知向量a=(3,4)全=(l,0),c=a+必，若＜a,c＞=＜瓦c＞,則/=

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【解析】因?yàn)椤?(3,4)/=(1,0),所以。=。+必=(3+，,4),所以由＜/。＞=＜瓦。＞得

9+37+163+1

cos<a,c>=cos<b.c>,BP7n，解得/=5,故選C

51clH

23.(2020高考全國(guó)卷丙)已知向量a,b滿足|a|=5,\b\=6,a-b=-6,貝!|cos(a,a+8)=()

?31c19「17、19

A.-----B.-----C.—D.—

35353535

【答案】D

【解析】?.,忖=5,1可=6,￡.B=—6，.?.￡?(2+石)=忖+￡4=52—6=19.

,+q+27B+/2=,25-2x6+36=7，

一一一a-(a+b\1919

因此，C0S<Q,4+Z7>=匚1匚一4=-——=—.故選D.

〃卜〃+55x735

24.（2019高考全國(guó)卷甲）已知初=（2,3）,AC=（3,?）-\BC\=1，則而?布=（）

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】C

【解析廠.?通=（2,3）,衣=（3/）,...反=/一瓶=（1/一3）:|就|={12+?—3）2=1,解得/=3,

即就=（1,0）,則通.沅=（2,3）?（l,0）=2xl+3x0=2.

25.（2022高考全國(guó)卷甲）設(shè)向量的夾角的余弦值為g,且同=1,網(wǎng)=3,則（2“+吐6=.

【答案】11

【解析】設(shè)向量4I的夾角為。，則COS9=L又同=1，網(wǎng)=3，所以eb=|aa|cose=lx3x；=l,所以

33

（2a+》）.b=2al+/=2+9=11.

26.（2020高考全國(guó)卷乙年）設(shè)a,b為單位向量，且|萬(wàn)+B|=1,則|萬(wàn)一3|=.

【答案】V3

rr

【解析】因?yàn)閆,方為單位向量，所以a=b=1

所以,+4=質(zhì)+沖2=雨2+2￡.5+,=也+2￡石=1

解得：2a-B=—1，所以卜―="a—B）=Ja|—273+利=6

五、綜合提升練

27.設(shè)正數(shù)4，4，4滿足4+4+4=3,片,P2,G是以。為圓心的單位圓上的3個(gè)點(diǎn)，且

4函+4圾+4嗎=0.若M是圓o所在平面上任意一點(diǎn)，則41阿|+4|W|+41而同的最小值是

A.2B.3C.2A/2D.3亞

【答案】B

【解析】：斗8,6是以。為圓心的單位圓上的3個(gè)點(diǎn)，

而|=|而|=|詼|=1，

T->->f->->

>4期?O4+4MP2OP2+AiMPiOP3

22

而麗?詼=癡?麗+曲，MP2OP2=MOOP2+OP2，

—>、、—>—>、—>—>、42

MP3OP3=MOOP3+OP3，

T

故4MPy+4MP,+4M32MO-I4。6+4Og+4。招|+4+4+4=3,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)。重合時(shí)等號(hào)成立,

一->一

即4〃[+4咋+4年的最小值是3,故選B

28.（多選）已知點(diǎn)尸在△ABC所在的平面內(nèi)，則下列命題正確的是（）

A.若尸為AABC的垂心，ABAC=2,則通=2

B.若△ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則西?（而+定）的最小值為1

C.若AABC為銳角三角形且外心為P,AP=xAB+yACS.x+2y=l,則AB=3C

/\/、

1111

D.若4尸=1——;-------------+—AB+----+—AC,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡經(jīng)過(guò)AABC的外心

cosB2cosC2

7\7

【答案】ACD

【解析】A：如下圖，BELAC,ADLBC,則尸為垂心，易知：RtAAEP~RtAADC,

所以一=—,貝！]AExAC=APxAD,

ADAC

根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義知：ABAC=AExAC=2,同理Q.旃=APxAD，

所以Q?都=2，正確；

B：構(gòu)建以中點(diǎn)。為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，則A（0,括），若P（尤,y）,

所以尸A=(―x,JJ—y),PO=(―x,—y),

由方+無(wú)=2PO=(-2尤,一2y),貝1|西?(而+無(wú))=2/+2丁一2百y=2x2+2(y-3

2

當(dāng)x=0,y=岑時(shí)麗?（而+定）的最小值為,錯(cuò)誤;

y

C:由題設(shè)Q=（l-2y）瓶+、正，貝!J衣-通=y（蔗-2確，

所以而=y（就+麗），若。為AC中點(diǎn)，則直+麗=2麗,

故麗=2'麗，故民尸,少共線，又PDLAC,即8。垂直平分AC,

所以AB=3C,正確;

D：由題設(shè)，而=，J/+g(通+