第01講集合的概念

期內(nèi)容導航一預習三步曲

第一步：學

析教材學知識教材精講精析、全方位預習

井：教材習題學解題、快速掌握解題方法

6大核心考點精準練

第二步：記

串知識識框也思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內(nèi)容掌握

第三步：測

士關(guān)測穩(wěn)提升小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升

8析教材學知識

⑤知識點1集合的概念

1）元素：把研究對象統(tǒng)稱為元素，用小寫拉丁字母a、b、c表示.

2）集合：把一些元素組成的總體叫做集合，或簡稱集，用大寫字母A、B、C表示.

3）集合中元素的特征：

一個集合中的元素必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素要么是該集合中的

確定性

元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合

集合中的元素必須是互異的.對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的.這

互異性

個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素

集合與其中元素的排列順序無關(guān)，如a,b,c組成的集合與b,c,a組成的集合是相同

無序性

的集合.這個特性通常被用來判斷兩個集合的關(guān)系

4）只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的.

注意：集合的判斷從元素的三要素入手，考察確定性的問題一般出現(xiàn)在自然語言表示的集合，要注意題目

中不明確的詞語，例如：“很大”、“著名”等。考察互異性的問題一般是針對數(shù)字類的題目，注意同一個數(shù)字

不同的表示方法。

?知識點2元素與集合的關(guān)系

如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A,記做a￡4；

如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A,記做aeA.

熟記數(shù)學中一些常用的數(shù)集及其記法

符號名稱含義

N非負數(shù)集或自然數(shù)集全體非負整數(shù)組成的集合

N*或N+正整數(shù)集所有正整數(shù)組成的集合

Z整數(shù)集全體整數(shù)組成的集合

Q有理數(shù)集全體有理數(shù)組成的集合

R實數(shù)集全體實數(shù)組成的集合

注意：當元素屬于集合時，應(yīng)該進行分類討論求出參數(shù)，參數(shù)代入驗證集合中的元素是否滿足元素的三個

特征。

⑸知識點3集合的分類與表示

集合的分類：

(1)按元素的數(shù)量分為有限集、無限集；

(2)按元素的屬性分為數(shù)集、點集以及其他集合.

表示方法：

(1)自然語言描述法.

(2)列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法。

(3)描述法：設(shè)A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x

GAIP(x)},這種表示集合的方法稱為描述法.

練習題講典例

解題方法

0是自然數(shù)，貝UOeN；-3不是自然

教材習題01

用符號“e”或“任”填空:數(shù)，則-3eN；0.5,夜不是整數(shù)，

則0.5eZ,后eZ；

0N：-3_____N；0.5_____Z；72—z.1

，3

；是有理數(shù)，則;?。；乃是無理數(shù)，

乃_____R.

貝?￡R

【答案】G任GG

教材習題02解題方法

判斷下列各組對象能否構(gòu)成集合.若能構(gòu)成集合，指(1)因為北京各區(qū)縣的名稱是確定

出是有限集還是無限集；若不能構(gòu)成集合，試說明理的，故北京各區(qū)縣的名稱能構(gòu)成集

由.合；因為北京各區(qū)縣是有限的，故該

(1)北京各區(qū)縣的名稱；集合為有限集；

⑵尾數(shù)是5的自然數(shù)；(2)因為尾數(shù)是5的自然數(shù)是確定

(3)我們班身高大于1.7m的同學.的，故尾數(shù)是5的自然數(shù)能構(gòu)成集

合；因為尾數(shù)是5的自然數(shù)是無限

的，故該集合為無限集；

（3）因為我們班身高大于1.7m的同

學是確定的，故我們班身高大于

1.7m的同學能構(gòu)成集合；因為我們

班身高大于1.7m的同學是有限的，

故該集合為有限集.

【答案】（1）能；有限集；（2）能;無限集；（3）能；有限集.

解題方法

(1)2X4-7X2+3=0,

(X2-3)(2X2-1)=0,

解得x?=3或犬=5，故工=石、

/7V2V2

7'TA--

教材習題03

求下列方程的解集：方程2--7,+3=0的解集為

憐岑后臼

(1)2X4-7X2+3=0;

(2)4+--1=0

XX(2)之+1-1=0,

2+x-%2=0(xH0),

(x-2)(x+1)=0,

解得x=2或-1,

71

方程/+：-1=0的解集為{T,2}.

?冬-冬鳳君

；(2){T?}.

【答案】（1）

8練考點強知識

考點一判斷元素能否構(gòu)成集合

1.若-3￡{Q-3,2I-1,Q2—,貝！JQ的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【詳解】因為-3€卜-3,2a-1,/_1｝,

所以a-3=-3,或2a-1=-3,或/―]=—3,

當"3=-3時，得。=0,此時集合為不合題意，舍去，

當2a-1=-3時，得a=-l,此時集合為｛-4,-3,0｝,

當。2-1=-3時,得/=一2無解，

綜上，a=-\.

故選：A

2.下列說法正確的是（）

A.我校很喜歡足球的同學能組成一個集合

B.聯(lián)合國安理會常任理事國能組成一個集合

C.數(shù)1,0,5,g，g組成的集合中有7個元素

D.由不大于4的自然數(shù)組成的集合的所有元素為1,2,3,4

【答案】B

【詳解】對于A,因為很喜歡足球的同學沒有明確的標準，不符合集合的確定性，所以不能組成一個集合,

故A錯誤；

對于B,因為聯(lián)合國安理會常任理事國有明確的標準，符合集合的確定性，所以能組成一個集合，故B正

確；

對于C,因為存在：所以組成的集合中不可能有7個元素，故C錯誤；

36

對于D,由不大于4的自然數(shù)組成的集合的所有元素為0,1,2,3,4,故D錯誤；

故選：B.

3.下列給出的對象中能構(gòu)成集合的是（）

A.著名物理家B.很大的數(shù)C.聰明的人D.小于3的實數(shù)

【答案】D

【詳解】只有選項D有明確的標準，能構(gòu)成一個集合.

故選：D.

考點二判斷是否為同一集合

1.有下列說法：其中正確的說法是（）

（1）0與｛0｝表示同一個集合

（2）由1,2,3組成的集合可表示為｛1,2,3｝或｛3,2,1｝；

(3)方程(x-1)2(x-2)=0的所有解的集合可表示為｛1,1,2｝；

(4)集合｛x|4<x<5｝是有限集.

A.(1)、(4)B.(1)、(3)、(4)C.(2)D.(3)

【答案】C

【詳解】對于(1),0是元素，不表示集合，｛0｝為集合，二者不一樣，(1)錯誤；

對于(2),由集合元素的無序性知，(2)正確；

對于(3),方程(x-iy(x-2)=0的所有解的集合可表示為｛1,2｝,(3)錯誤；

對于(4),集合｛x|4<x<5｝是無限集.

故選：C

2.下列四組中表示同一集合的為()

A.”=｛(-1,3)｝,N=｛(3,T)｝B.A/=｛-1,3｝,TV=｛3,-1)

C.Af=｛(x,y)|丁=/+3x｝,N=\x\y=x1+3xjD.M=｛0｝,N=0

【答案】B

【詳解】選項A：兩個集合中元素對應(yīng)的坐標不同，A錯誤；

選項B：集合中的元素具有無序性，兩個集合是同一集合，B正確；

選項C：兩個集合研究的對象不同，一個是點集，一個是數(shù)集，C錯誤；

選項D：M是以0為元素的集合，N是數(shù)字0,D錯誤.

故選：B

3.集合｛小>3｝與集合｛小>3｝表示同一個集合嗎？

【答案】答案見解析

【詳解】是同一個集合.雖然兩個集合的代表元素的符號(字母)不同，但實質(zhì)上它們均表示大于3的所

有實數(shù)，故表示同一個集合.

考點三判斷元素與集合之間的關(guān)系

(多選題)1.下列說法錯誤的是()

A.集合｛xWN|x3=x｝用列舉法表示為｛0,1｝

B.實數(shù)集可以表示為｛x|x為所有實數(shù)｝或｛R｝

C.能被4整除余3的所有自然數(shù)組成的集合用描述法可表示為｛x[x=4〃+3,〃eN｝

D.集合｛了|了=工2｝與｛(x,y)|y=x2｝是同一個集合

【答案】BD

【詳解】對于A,集合｛xeN|/=x｝中只含有兩個元素o和1,

所以用列舉法表示為{0,1},故A正確；

對于B,因為花括號本身就具有所有的意義，

所以在描述內(nèi)容中不能再出現(xiàn)“所有”這樣的字眼，

另外R表示實數(shù)集，實數(shù)集{R}為錯誤表示，故B錯誤；

對于C,根據(jù)描述法表示集合可得集合為{x|x=4〃+3,〃eN},故C正確；

對于D,集合為了的取值集合，為數(shù)集，

集合{（x,y）\y^x2}表示拋物線了=/上點的集合，為點集，

所以兩個集合不是同一個集合，故D錯誤.

故選：BD

2.若a+2w{l,3,a2},。的值為.

【答案】2

【詳解】因為a+2e{l,3,/},

所以。+2=1或3或力，

當“+2=1時，a=-l,此時集合中元素有1,3,1,不滿足集合中元素的互異性，舍去；

當。+2=3時，。=1,此時集合中元素為1,3,1,不滿足集合中元素的互異性，舍去；

當a+2=/時，解得。=2或a=-l（舍去），此時集合中元素為1,3,4,符合題意.

故答案為：2

X

（多選題）3.已知非空數(shù)集M具有如下性質(zhì)：①若則一②若XJEN,則X+下列

y

說法中正確的有（）.

A.-IGM.B.2025GM.

C.若xjcA/,則盯EM.D.若XJGM,則X-蚱M.

【答案】BC

【詳解】對于A,若一1￡加，令％=歹=一1,則一=1￡〃;%+歹=一2￡加，令工二一1,歹=1,貝|J

y

YX

-=-lEM,x+y=0EM,令x=lj=。，不存在一，即ywO,矛盾，所以一1任“，故A錯誤，

yy

對于B,由于集合M非空，取任意元素xeM,根據(jù)性質(zhì)①，得E=leM,再根據(jù)性質(zhì)②，得

X

1+1=2GMy進而1+2=3￡Af,…,2024￡Af,2025￡Af,故B正確，

對于C,因為所以工eM,因為所以+=*匕故c正確，

XX—

X

對于D,若X=1J=2,則X—丁=—1右加，故D錯誤,

故選：BC.

考點四集合中元素互異性的應(yīng)用

1.下列所給對象不能組成集合的是.

（1）高一數(shù)學課本中所有的難題；

（2）某班16歲以下的學生；

（3）某中學的大個子；

（4）某學校身高超過1.80米的學生.

【答案】（1）（3）

【詳解】“難題”沒有判斷標準，無法判斷一道題是否屬于難題，不滿足集合中元素的“確定性”，故（1）不

能組成集合；

某班16歲以下的學生可以組成一個集合，16及16歲以上的學生則不在集合內(nèi)，滿足集合中元素的“確定

性”，且每個學生都不一樣，滿足集合中元素的“互異性”，故（2）可以組成集合；

“大個子”沒有判斷標準，不知身高多少才能稱為大個子，不滿足集合中元素的“確定性”，故（3）不能組成

集合；

某學校身高超過1.80米的學生可以組成一個集合，身高等于或低于1.80米的學生則不再集合內(nèi)，滿足集合

中元素的“確定性”，且每個學生都不一樣，滿足集合中元素的“互異性”，故（4）可以組成集合；

故答案為：⑴（3）

（多選題）2.若集合/={/+2d30+2,8},則實數(shù)。的取值可以是（）

A.2B.3C.-4D.5

【答案】BD

/+2。w8

【詳解】集合力={/+2a,3a+2,8},貝I卜3a+2。8,解得aw—4,qw2,。w-1,知BD符合.

/+2aw3a+2

故選：BD.

3.設(shè)集合/={x|2x-l）機}.若2eN,則加的取值范圍是（）

A.m<3B.m>3C.m<3D.加>3

【答案】c

【詳解】因為2eN,所以2x2-l>〃z,所以加<3.

故選：C

考點五集合的表示方法

1.用符號e或e填空：3.1_N,3.1—Z,3.1—N*,3.1—Q,3.1—R.

【答案】任任￡ee

【詳解】因為3.1不是自然數(shù)，也不是整數(shù)，也不是正整數(shù)，是有理數(shù)，也是實數(shù)，

所以有：3.1eN；3.UZ；3.UN*;3.1eQ;3.1eR.

故答案為：龜，史，龜，e，G.

2.用列舉法表示集合,eZ卜|+x=0,x>-5｝為.

【答案】｛T-3,-2,-1,0｝

【詳解】由|x|+x=0,則同=-x,即xWO,

又x〉—5,所以—5<x?0,

則（X6z||x|+x=0,x>-5）=｛xeZ|-5<x<o）=｛-4,-3,-2,-1,0｝.

故答案為：｛-4,-3,-2,TO｝.

3.把下列集合用另一種方法表示出來：

（1）｛2,4,6,8,10）；

（2）由1,2,3這三個數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字（沒有重復）所組成的一切自然數(shù)；

（3）｛xeN|3<x<7）；

【答案】（l）｛xeN|x=2左，左eZ且

（2）｛1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321｝

⑶｛4,5,6｝

【詳解】（1）｛2,洋6,8,10｝可以表示成｛》€(wěn)用尤=2左,左€2且1<"<11｝；

（2）根據(jù)題意可列舉得｛1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321｝；

（3）易知｛xeN[3<x<7｝=｛4,5,6｝.

考點六集合的分類

（判斷題）1.判斷下列命題是否正確.

（1）集合｛2,4,6｝與集合｛4,2,6｝表示同一集合；（）

（2）集合｛（2,3）｝與集合｛（3,2）｝表示同一集合；（）

（3）集合｛中>3｝與集合｛小>3｝不表示同一集合；（）

（4）集合3丁=2讓〃€4與集合｛（%,力b=2川彳€陰表示同一集合.（）

【答案】正確錯誤錯誤錯誤

【詳解】（1）集合元素具有無序性，集合｛2,4,6｝與集合｛4,2,6｝元素相同，故表示同一集合，正確；

（2）兩集合為點集，（2,3）和（3,2）表示的點不同，所以集合｛（2,3）｝與集合｛（3,2）｝表示兩個不同的集合，錯

誤；

（3）集合）卜>3｝與集合｛加>3｝均表示大于3的所有實數(shù)的集合,所以集合｛小>3｝與集合｛巾>3｝表示

同一集合，錯誤；

（4）集合｛引了=2羽》€(wěn)用為數(shù)集，集合｛@/）|>=2》6€1<｝為點集，不是同一集合，錯誤；

故答案為：（1）正確；（2）錯誤；（3）錯誤；（4）錯誤.

2.下列命題中正確的有（）.

①很小的實數(shù)可以構(gòu)成集合；

②R表示一切實數(shù)組成的集合；

③給定的一條長度為0.3的線段上的所有點組成的集合是有限集；

?2023年聯(lián)合國所有常任理事國組成一個集合.

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】C

【詳解】對于①，很小的實數(shù)是個不確定的概念，不可以構(gòu)成集合，故錯誤；

對于②，R表示一切實數(shù)組成的集合，故正確；

對于③，給定的一條長度為0.3的線段上的所有點組成的集合是無限集，故錯誤；

對于④，2023年聯(lián)合國常任理事國有中國、俄羅斯、英國、法國、美國，能組成一個集合，故正確.

故選：C.

3.（多選）下列集合是有限集的是（）

A.不超過無的正整數(shù)構(gòu)成的集合

B.平方后等于自身的數(shù)構(gòu)成的集合

C.高一（2）班中體重在55kg以上的同學構(gòu)成的集合

D.所有小于2的整數(shù)構(gòu)成的集合

【答案】ABC

【詳解】對于A,不超過兀的正整數(shù)有1,2,3,構(gòu)成的集合是有限集，A對；

對于B,平方后等于自身的數(shù)有0和1,構(gòu)成的集集合是有限集，B對；

對于C,高一（2）班中體重在55炫以上的同學人數(shù)一定，構(gòu)成的集合是有限集，C對；

對于D,所有小于2的整數(shù)有無數(shù)個，因此構(gòu)成的集合屬于無限集.

故選：ABC.

串知識識框架

知識導圖記憶

元素

集合的含義T地，把研究對彖統(tǒng)稱為元素，用4W的拉丁字母表示

常用數(shù)集及表示方法N、或N.、Z、Q、R

自然語言法

列舉法一列舉

集合的表示方法與分類集合的表示方法

描述法{x€4叭x）}

圖示法封閉曲線

集合分類按元素個數(shù)分為有限集與無限集

M知識目標復核

1.集合的概念。

2.集合中元素的三大特征。

3.元素與集合的關(guān)系。

4.集合相等。

5.集合的表示方法與分類。

cs過關(guān)測穩(wěn)提升

1.已知集合/={1,2},8={2,4},則。={刈Ixe4ye團的元素個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【難度】0.94

【知識點】列舉法求集合中元素的個數(shù)

【分析】根據(jù)給定條件，求出集合C即可.

【詳解】集合/={1,2},8={2,4},則。={初|xe4yeB}={2,4,8},

所以集合C的元素個數(shù)為3個.

故選：C

2.以下對象的全體不能構(gòu)成集合的個數(shù)是（）

（1）高一（1）班的高個子同學；（2）所有的數(shù)學難題；

（3）北京市中考分數(shù)580以上的同學；（4）中國古代四大發(fā)明；

（5）我國的大河流；（6）大于3的偶數(shù).

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【難度】0.94

【知識點】判斷元素能否構(gòu)成集合

【分析】由集合元素三要素逐個判斷即可.

【詳解】（1）（2）（5）的元素不確定，不能構(gòu)成集合.

（3）（4）（6）符合集合概念，

故選：B

3.現(xiàn)有1、3、7、9四個數(shù)，從這四個數(shù)中任取兩個相加，可以得到多少個不同的數(shù)（）

A.5B.6C.7D.12

【答案】A

【難度】0.94

【知識點】列舉法表示集合

【分析】將所得結(jié)果列舉出來即可.

【詳解】現(xiàn)有1、3、7、9四個數(shù)，從這四個數(shù)中任取兩個相加，所得結(jié)果構(gòu)成的集合為{4,8,10,12,16}.

故選：A.

4.已知集合/={xeZ|/一2》40},則A的元素個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.0

【答案】B

【難度】0.94

【知識點】列舉法求集合中元素的個數(shù)

【分析】根據(jù)題意求集合A,即可判斷元素個數(shù).

【詳解】由題意可得：^={xeZ|x2-2x<0|={0,1,2）,

可知A有3個元素.

故選：B

5.集合尸={x[x=2左，左￡Z},0={x|x=2左+1,左￡Z},R={x|x=4左+1,左GZ},且QeRbwQ,則有（）

A.a-\-bePB.〃+C.a+beRD.Q+b不屬于R。,火中的任意一個

【答案】B

【難度】0.85

【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系

【詳解】由題知尸表示偶數(shù)集，0表示奇數(shù)集，尺表示所有被4除余1的整數(shù)，新以當?！?6c0時，則0

為偶數(shù)，6為奇數(shù)，則6一定為奇數(shù).

6.已知x2e{l,0,x},則實數(shù)x的值為（）

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】C

【難度】0.85

【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)

【分析】討論V對應(yīng)元素，結(jié)合集合中元素的互異性確定參數(shù)值即可.

【詳解】若x2=lnx=±l,顯然x=l時不符合集合元素的互異性；

若x2=0nx=0,不符合集合元素的互異性；

若/=xnx=0或x=l,不符合集合元素的互異性；

綜上，x=-l.

故選：C

7.下列說法正確的是（）

A.萬RRB.V26ZC.D.OeN*

【答案】C

【難度】0.94

【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系

【分析】根據(jù)R,Z,Q,N*的意義進行判斷.

【詳解】根據(jù)R,Z,Q,N*的意義,兀eR,V2eZ,；eQ,0eN*,

故選：C.

8.設(shè)集合/={x|x?-5x+加=0},若le/,則/=（）

A.{1}B.{1,-4）

C.{1,2}D.{154}

【答案】D

【難度】0.94

【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

【分析】由元素與集合的關(guān)系求出參數(shù)加=4,求解方程從而得到集合A.

2

【詳角軍】leAJ所以12一5+機=0=＞加=4,加=4時，x-5x+4=0,

解得x=l或X=4,即4={1,4}.

故選：D.

9.集合卜。*隆-3<2}的另一種表示法是（）

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{123,4,5}

【答案】B

【難度】0.94

【知識點】描述法表示集合、列舉法表示集合

【分析】根據(jù)集合中的限制條件，得到x<5,xeN*,利用列舉法表示集合即可做出判定.

【詳解】因為x-3<2,所以x<5.

又因為xeN*,所以x=l,2,3,4,

所以{xeN*|x-3<2}={ls2,3,4）.

故選：B.

10.已知集合/={x|2必-3>0},若1隹/且3M,則實數(shù)機的取值范圍是（）

[131[13]f31[

A.—ym—<m<—>C.<mm>—>D.ymn

【答案】A

【難度】0.94

【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

【分析】根據(jù)元素與集合的從屬關(guān)系列式，可求實數(shù)”的取值范圍.

f2m-3<013

【詳解】由1任/且3^4,得/,八，解得彳〈加〈彳.

[6加一3>022

故選：A

11.已知集合4=卜|（/-1卜2+（a+i）x+i=o）中只有一個元素，則實數(shù)。的所有可能值的乘積為（）

55

A.—B.-1C.1D.—

33

【答案】D

【難度】0.94

【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)

【分析】分。=1、?=-K/-1片0三種情況討論，若為一次方程則符合題意，若為二次方程只需A=0即

可.

【詳解】若°=1,貝U={x|2x+l=0}=.；1,符合題意；

若。二一1,貝lj（/一1卜2+（〃+]）x+i=0變?yōu)?=0,顯然不成立