第03講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

目錄

01考情解碼?命題預(yù)警..........................................................2

02體系構(gòu)建?思維可視............................................................3

03核心突破?靶向攻堅............................................................4

知能解碼...................................................................4

知識點1平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念.......................................4

知識點2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示...............................4

知識點3平面向量數(shù)量積的運算律.........................................5

知識點4平面幾何中的向量方法...........................................6

題型破譯.......................................................................7

題型1平面向量數(shù)量積的定義.............................................7

9

題型3數(shù)量積的坐標表示................................................11

題型4投影向量........................................................12

題型5向量在幾何中的應(yīng)用..............................................15

題型6向量在物理中的應(yīng)用..............................................20

難

04真題溯源?考向感知...........................................................27

05課本典例?高考素材...........................................................27

01

考情解碼-命題預(yù)警

考點要求考察形式2025年2024年2023年

1.理解平面向量數(shù)量

積的含義及其物理意

義.

2.了解平面向量的數(shù)

量積與投影向量的長

度的關(guān)系.

新課標I卷，第3題，5

3.掌握數(shù)量積的坐標全國二卷，第12新課標I卷，第3題，5分

表達式，會進行平面分

題，5分新課標n卷，第13題，5

向量數(shù)量積的運算.

回單選題新課標II卷，第3題，5

4.能運用數(shù)量積表示上海卷，第12題，分

□多選題分

兩個向量的夾角，會團填空題5分全國甲卷，第4題，5分

用數(shù)量積判斷兩個平□解答題全國甲卷，第9題，5分

天津卷，第14題，全國乙卷，第12題，5分

面向量的垂直關(guān)系.天津卷，第14題，5分

分天津卷，14題，5分

5.會用向量的方法解5

北京卷，第5題，4分

決某些簡單的平面幾

何問題.

6.會用向量方法解決

簡單的力學(xué)問題與其

他一些實際問題.

考情分析：平面向量數(shù)量積的運算、化簡、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問題，如證明垂直、距離等是每年必考的內(nèi)容，單

獨命題時，一般以選擇、填空形式出現(xiàn).交匯命題時，向量一般與解析幾何、三角函數(shù)、平面幾何等相結(jié)合考查，

而此時向量作為工具出現(xiàn).向量的應(yīng)用是跨學(xué)科知識的一個交匯點，務(wù)必引起重視.

預(yù)測命題時考查平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標運算，同時與三角函數(shù)及解析幾何相結(jié)合的解答題也是熱點.

復(fù)習(xí)目標：

1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.

2.掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.

3.了解平面向量基本定理及其意義

4.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算

02

體系構(gòu)建-思維可視

平

面

向

量

基

本

定

理

及

坐

標

表

示

用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題

平面幾何中的向量方法通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系

把運算結(jié)果"翻譯"成幾何關(guān)系

■03

核心突破-靶向攻堅

PU

知識點1平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念

⑴向量的夾角：已知兩個非零向量a和瓦。是平面上的任意一點，作?=a,Ob=b,則N

AOB=e（OKqi）叫做向量a與b的夾角.

（2）數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量。與上它們的夾角為仇我們把數(shù)量1aMicos。叫做向

量a與方的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a0，即a?/>=|a||Z?|cos，.規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積

為0,即0以=0.

⑶投影向量

M

如圖，在平面內(nèi)任取一點。，作。面=a,Ok=b,過點〃作直線ON的垂線,

06MN

垂足為Mi,則函就是向量a在向量8上的投影向量.

設(shè)與b方向相同的單位向量為e,a與8的夾角為0,則曲1與e,a,。之間的關(guān)系為加^iTalcos

0e.

自主檢測|（多選）關(guān)于平面向量入石，人下列說法不正確的是（）

A.（a-b）\a+b）=a-bB.^+b）-c=a-c+b-c

c.若a-b=a-c，且則后="D.\a-byc=a-\b-c^

【答案】CD

【分析】利用數(shù)量積的運算律判斷AB；利用數(shù)量積推理判斷C；由共線向量的意義判斷D.

【詳解】對于A,由向量的運算法則，得A正確；

對于B,向量數(shù)量積滿足分配律，B正確；

對于C,由a為=°.°,得a?（/?-（?）=（）,當(dāng)a_!_（/?—c）時，滿足題設(shè)，C錯誤；

對于D,（7B）?"是與"共線的向量，是與￡共線的向量，而Z與"無任何關(guān)系，D錯誤.

故選：CD

知識點2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示

設(shè)向量a=（xi,yi）,b=（xi,券），。為向量a,〃的夾角.

(1)數(shù)量積:a-b=\a\\b\cos0=x\xi+y\y2.

⑵模：\a\=y[aJa=y[^+yi.

iabxix2-\~yiy2

⑶夾角：cos°=麗=(.+K々讓+歷

(4)兩非零向量a_LZ>的充要條件：a?/>=0Qxix2+yiy2=0.

(5)|a仍因a||Z)|(當(dāng)且僅當(dāng)a//b時等號成立)Q|xiX2+yiy2區(qū)7r+七、/固+貨.

自主檢測|(多選)若2=(2,—1),3=(3,1),則()

A.a-b=5B.(Z+B)J_(￡-方)

C.Z與后的夾角為D.5在Z方向上的投影向量為正

4

【答案】AC

【分析】選項A：根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示進行計算即可；選項B：根據(jù)向量加減法的坐標表示計算出2+5

和15,再結(jié)合兩向量垂直，數(shù)量積為0判斷即可；選項C：根據(jù)向量夾角的公式進行計算即可；選項D：

根據(jù)向量的投影向量公式計算即可.

【詳解】對于選項A,a-g=(2,-l).(3,l)=2x3+(-l)xl=6-l=5,故選項A正確；

對于選項B,￡+3=(2,-1)+(3,1)=(5,0),a-&=(2,-1)-(3,1)=(-1,-2),

(Z+辦(￡-&=(5,0)-(-1,-2)=5x(-1)+Ox(-2)=-5w0,故選項B錯誤;

-ra-b(2,-1).(3,1)55立

對于選項C,c-=麗=萬+(_1)732+1「^>====，結(jié)合〃與Z；的夾角范圍為

[0,71],故￡與石的夾角為與，選項C正確；

4

對于選項D,8在￡方向上的投影向量為|2<￡1>百=員*扁=1,故選項D錯誤.

故答案為：AC.

知識點3平面向量數(shù)量積的運算律

⑴°。=紅(交換律).

(2)2a?b=23仍)=a?(勸)(結(jié)合律).

(3)(a+〃)?c=a,c+辦,c(分配律).

自主檢測|(多選)已知口B、乙是三個向量，則下列結(jié)論中正確的是()

A.a-b=b-aB.d-(b+c)-ab+d'C

C.(a,B)?c=a,(6,c)D.若cr5=crc，則B=c

【答案】AB

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式，以及向量的數(shù)量積的運算律，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義，逐項

判定，即可求解.

【詳解】對于A中，由數(shù)量積的運算公式，可得Z%=耶|cosR,可，=|胴cos,@,

所以所以A正確;

對于B中，由向量數(shù)量積的運算律，可得7(萬+工)=￡0+一乙所以B正確;

對于C中,(叫."=[郴os(a,b)]-c,a-(b-c)=[|?|忖cos(b,明

所以(aZ>c與a-(Mc)不一定相等，所以C錯誤;

對于D中，由a.B=a-c，若向量a=0，此時0.3=°.°=0，而B與c不一■定相等，所以D錯誤.

故選：AB.

知識點4平面幾何中的向量方法

⑴用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；

(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

自主檢測|已知非零平面向量口、5、前滿足同=4,忸-目=2,若。與方的夾角為W，則忸-石的最小值為

()

A.25/3-2B.73C.2A/3+2D.叵

2

【答案】A

【分析】明確區(qū)-石的幾何意義，根據(jù)圓外的點到圓上的點的距離的取值范圍求解.

【詳解】如圖：

令蘇=：，OB=b，5c=c.

貝—才=屈，a-c=CA-

又|5-目=2,所以點C在以8為圓心，2為半徑的圓上.

所以網(wǎng)的最小值為：網(wǎng)-2.

又網(wǎng)=4,ZAOB=^,所以當(dāng)OBLBA時，網(wǎng)取得最小值為4xsin：=2"

所以|瓦|的最小值為：2后-2.

即區(qū)-石的最小值為2指-2.

故選：A.

題型1平面向量數(shù)量積的定義

例1-1一蜂巢的精密結(jié)構(gòu)由7個邊長均為2的正六邊形組成，擺放位置如圖所示，其中A,B,P為三個固

C.160D.16出

【答案】B

【分析】利用數(shù)量積的定義運算即可求解.

【詳解】由題可知，|不|=4,|而|=8,=

兀

所以而?前二4x8xcos—=16.

3

故選：B.

例1-2|已知向量扇B滿足伍-2辦（萬+5）=3,且I訃2,向=1,則&與5的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150。

【答案】C

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算律將卜-展開，再結(jié)合向量數(shù)量積公式展B=|R|51cos夕求出

cos。的值，最后根據(jù)夾角的取值范圍確定夾角仇

【詳解】由他一2q.R+5）=3,可得求+商出一2灑5—2后=東一萬Z—2"=3

又1=2,1b1=1

所以22-無3一2x『=3解得：ab=-i

所以儂值用=贏=」

又0?；?<180。所以他方）=120°

所以苕與方的夾角為120。.

故選：C.

方法技巧

（1）平面向量數(shù)量積的定義

己知兩個非零向量々與否，我們把數(shù)量121151cos。叫做々與5的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作BPa-Z?

=|R|B|COS。，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義

①向量的投影：|a|cos6叫做向量。在6方向上的投影數(shù)量，當(dāng)。為銳角時，它是正數(shù)；當(dāng)。為鈍角時，

它是負數(shù)；當(dāng)。為直角時，它是0.

②a?辦的幾何意義：數(shù)量積a?辦等于。的長度|a|與力在。方向上射影|方|cos。的乘積.

【變式訓(xùn)練1-1】已知向量同=2忖=2,且向量1與向量B的夾角為三，則（2①.（3力=.

【答案】6

【分析】由題意，根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義計算即可求解.

【詳解】?.?向量同=2忖=2,且a與B的夾角為:，

則同=2,同=1,

2a-3b=6同/cos萬,5=6x2xlxcosy=6x2x-^=6.

故答案為：6

7T

【變式訓(xùn)練1-2】已知邊長為4的菱形ABC。的一個內(nèi)角為鼠則屈.赤=—.

【答案】8或-8

【分析】由平面向量數(shù)量積的定義即可求解.

【詳解】由題可知，NBA￡>=］IT或9與jr，

若N2AD=],則荏?而=|通八而|COS/BAD=4X4X3=8,

若/胡。=才則相通=|研砌cosZR4￡>=4x4x

故答案為：8或-8.

題型2平面向量數(shù)量積的運算重

例2-11已知向量a與5的夾角為%同=6,*2,則k+B卜（）

A.1B.2fC.2+代D.V13

【答案】D

【分析】先求鼠人再根據(jù)模長的平方關(guān)系結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解.

【詳解】因為向量方與5的夾角為，同=5網(wǎng)=2,則荽=向,回.3,

可得也+司=a+2a-b+b=3+6+4=13,所以,+W=^/^^.

故選：D.

例2-21已知平面向量商,b,1均為單位向量，若1與B的夾角為60。，則伍-萬）卡-2町的最大值為（）

A.2+73B.4C.2+77D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)（［可?伍-2石）=2-3口+2凡把問題轉(zhuǎn)化為求yZ+2B）的最小值，進一步轉(zhuǎn)化為求忖+2H

的值，利用向量的數(shù)量積的運算法則求解即可.

【詳解】由題意:忖=忖=,=1,?-S=1x1xcos60°=.

因為=c+2a.B-c.(a+2Z?)—2—c,(q+2b).

當(dāng)COS(C,Q+2石)=兀時取“=”.

又|￡+2石『=(￡+242=7+471+4片=1+4*1+4=7,所以忖+24=?.

所以僅圖22+77.

故選：C

底目已知商=(2,0)石=(,1),若a,(萬+彳5),則彳=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的加法、數(shù)乘向量垂直的坐標表示即可求解.

【詳解】3+2&=(2,0)+2(1,1)=(2+2,2).

因為者_!_(,+4),

所以2x(2+2)=0,解得X=_2.

故選：D.

方法技巧

平面向量數(shù)量積的兩種運算方法

(1)基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角6時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量

積的有關(guān)計算問題；

(2)坐標法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點坐標時，可利用坐標法求解.

【變式訓(xùn)練2-1】已知耳，馬是兩個垂直的單位向量.若2=昌-&石=24+卷,設(shè)向量扇5的夾角為。，則

cos8=()

A.—B.也C.@D.叵

102510

【答案】D

【分析】首先求出向量的數(shù)量積，然后求出向量萬萬的模，最后根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出答案.

【詳解】因為4,最是兩個垂直的單位向量，所以&w=o.

因為a=ex—e”b—2q+e2,

所以23=(1_可?2冢+引=2_qg_l=l.

川同=—e?)=J1+1-2el,e?=，卜=J(2q+62)=/4+1+46]-e?=小-

a-b1Vio

所以。

cos而一尺五一而，

故選：D.

【變式訓(xùn)練2-2?變考法】己知同=忖=|萬+9=2,則歸-方卜.

【答案】2石

【分析】利用數(shù)量積的運算律求得2無3=-4,然后利用數(shù)量積的運算律求解模即可.

【詳解】因為同=忖=卜+.=2,所以215=|萬+W-笳一序=_4,

所以,_'=\)a2-2a-b+b2=J4+4+4=2c.

故答案為：2K

題型3數(shù)量積的坐標表示

例3-1已知向量。=(4,3)出=(-3,1),則無5=.

【答案】-9

【分析】利用向量數(shù)量積的坐標運算求解即可.

【詳解】a-&=4x(-3)+3xl=-9.

故答案為：-9

酶可已知向量2=(1,2)石=(2,0),則向量￡在向量辦方向上的投影向量為.

【答案】(1,0)

【分析】根據(jù)向量坐標求得數(shù)量積以及模長，利用投影向量的計算，可得答案.

【詳解】由2=(1,2),3=(2,0),則20=1x2+2x0=2，問=a+()2=2,

所以向量少在向量5方向上的投影向量為芾=

故答案為：(1,0).

例3-3|已知向量2=(3,-1),U(22,-3),若B的夾角為銳角，則2的取值范圍是.

【答案】KCHIT

【分析】￡,B的夾角為銳角的充要條件是Z,B的數(shù)量積大于o且不共線，由此列不等式求解即可.

【詳解】因為2=(3,T，力=(2九—3),a，B的夾角為銳角，

19

所以6丸+3〉。且一2Xw—9,解得力＞—Q且4。,，

即A的取值范圍是,：，3嗚,+，|.

故答案為：「'卯(|'+8).

方法技巧坐標法求平面向量的數(shù)量積

(1)方法依據(jù)：當(dāng)已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，

I111

即若〃=(玉，X)，Z?=(%2，，2)，則〃/=%%2+乂，2；

(2)適用范圍：①已知或可求兩個向量的坐標；②已知條件中有(或隱含)正交基底，優(yōu)先考慮建立平面

直角坐標系，使用坐標法求數(shù)量積。

【變式訓(xùn)練3-1】已知向量Z=(l,3),向量B=則向量￡在向量Z+B上的投影向量的模為()

AV5口H#7r1175「后

A.D.-----------C.--------U.--------

517517

【答案】B

【分析】利用投影向量的定義，結(jié)合向量的坐標運算即可求解.

【詳解】因為向量2=(1,3),向量石=(-2,1),所以Z+1=(l,3)+(—2,l)=(—L4)

a-\a+b

向量￡在向量Z+B上的投影向量的模為十^rMM*）-1+12llyfn

\a+b\|(T，4)|V1717

故選：B.

【變式訓(xùn)練3-2】平面向量Z，9滿足Z=(2,逐)，可=8,%與石的夾角為g,則各在￡方向上的投影向量

為()

D-

【答案】A

|i|rr

【分析】只需求出，,〃力，再結(jié)合投影向量的定義即可求解.

【詳解】由題意向=〃^=3,忖=8,￡與石的夾角為g,

以a,b=3x8x1—5)=—12,

/X

n-h—12f4一

B在Z方向上的投影向量為MKJ?=9=3

故選：A.

題型4投影向量

例4-11已知VABC的外接圓圓心為0,S.2AO=AB+AC，|O^|=|AC|,則向量而在向量交上的投影向量

為（）

1__3uun1__3_

A.-BCB.-BCC.——BCD.——BC

4444

【答案】D

【分析】根據(jù)條件作圖，可得△ACO為等邊三角形，VA08為等腰三角形，VASC為直角三角形，即

廊卜事園，

ZOBA=30°再根據(jù)投影向量的概念求解即可.

【詳解】如圖，由215=南+正，可得。為的中點，

又因為。為VABC的外接圓圓心，所以。4=O3=OC,

又因為|西|=|相，所以AC=Q4=OB=OC,

所以△ACO為等邊三角形，即NACO=60。，

VAOB為等腰三角形，即NQ4B=NO54=30。，

VABC為直角三角形，|通卜方|西，

所以向量麗在向量配上的投影向量為

|AB|-cosl50°-r^r=—iBCl-coslSO^ifSi=—xf-^BC=--BC

11\BC\2??國212J4-

故選：D.

例4-2|設(shè)向量總滿足同=6柯=4且無5=_12,則向量m在向量萬方向上的投影是

【答案】-3

【分析】利用向量投影的計算公式，即可求解.

【詳解】向量入B滿足同=6,問=4,且2/=-12,

a-b-12_

向量苕在向量方方向上的投影=血=丁=-3,

故答案為：-3.

方法技巧

r

7IIIII

^

uuuuiAuuunrrrr

千,.a-bba-b

設(shè)向量A4是向量〃在向量Z7上的投影向量，則有A4=1。1cos＜凡。＞=|tz|-r-----f-=^—b

\a\\b\\b\\b\2

uuun

網(wǎng)

jr___

【變式訓(xùn)練4-1】如圖，在VABC中,C=“3BC于D,也=2,BC=6,則旗在京上的投影向

量為（）

一次1—?

A.—ACB.C.-ACD.-AC

252

【答案】A

【分析】根據(jù)己知及余弦定理得cos/CA3=-?,再由投影向量的求法求通在上的投影向量.

10

【詳解】由題設(shè)，AD=CD=2,則AC=20,BD=4,

故AB=VAD2+BD1=2占，

所以上您一吃8+20-36回

2ACAB2X2^X2A/510

一__2^X2A/2

所以而在式上的投影向量為A*ACAC_—>1—.

AC=——AC

KIKI82

故選：A.

【變式訓(xùn)練4-2?變載體】已知萬=（加-1,2）,5=（1,加）.

（1）若求加的值;

（2）若卜+畫=2且加＜o,求a在5方向上的投影數(shù)量.

【答案】（1）機=?；颉?

⑵—苧

【分析】（1）根據(jù)向量垂直得到方程，求出m=0或m=-3

（2）益+5=（北加+2）,根據(jù)向量模長得到方程，求出m=-2,利用投影向量的公式得到答案.

【詳解】(1)因為M+5=(mm+2),b=(l,m),

由于所以(1十萬)?5=機2+3m=0,

所以根=0或一3.

(2)因為打=(加一1,2),b=(l,m),貝=(m+2),

荷+何+2)2=2,解得加=_2,

若卜+可=2且帆＜0,則,

m<0

則1=(-3,2),&=(1,-2),可得無石=_7，忖=占

a-b7775

所以后在石方向上的投影數(shù)量慟=一U=一百一.

題型5向量在幾何中的應(yīng)用

例5-1|已知/054=今,|屈|=4,且則卜歷一畫|+卜礪一;可(xeR)的最小值為()

3

A.275B.2A/3C.3D.-

【答案】C

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，并利用位置關(guān)系求得|呵=2力，設(shè)歷一礪，配=g兩，結(jié)合平面向量線

性運算以及余弦定理可求得當(dāng)A、￡(、F三點共線時取得最小值.

【詳解】由已知網(wǎng)=|礪卜嗚=4乂乎=2石，

―-1―-

設(shè)。。=xO夙=，

貝小礪_珂+xOB-^OA=西一研+西一西=|砌+回,

作E關(guān)于直線08的對稱點F，連接Of\AF.AD.FD,

貝川西=|西=2若，ZFOA=2ZBOA=^,

所以|碼+即=|碼+廊上網(wǎng)，

在AAOF中，由余弦定理可得府卜J西,+而『一2|西.阿cosg=小3+12-2*若*2右*；=3,

所以|碼+即=|碼+回歸四=3,

當(dāng)且僅當(dāng)A、D、尸三點共線時等號成立，

所以卜而-麗|+苫礪一網(wǎng)口⑻的最小值為3.

故選：c.

例5-2已知〃，瓦e是平面向量,1是單位向量，若非零向量Z與"的夾角為I*,向量坂滿足62_6石."+8=0,

貝中一目的最小值是（）.

aa

A.1V3-1B.V3+1C.-V3+1D.2-73

【答案】A

【分析】由加2_6石.）+8=0,可得（5-4辦（5-2W=0,貝盛一4"與萬一2"垂直，設(shè)共起點，數(shù)形結(jié)合畫

出相應(yīng)圖象，結(jié)合向量減法的幾何意義計算即可得解.

【詳解】設(shè)?共起點，由片_61%+8=0,可得值-甸0-24=0,

所以3-4工與B-2"垂直，如圖，

由向量減法的幾何意義可知，向量B的終點落在圖中的圓上，

由題意可知Z的終點在圖中所示的射線上，

所以訝-5是從圓上的點到射線上的點形成的向量，

要求卜一方|的最小值，只需求圓心到射線的距離減去圓的半徑,

故1人.的最小值為3s嗚-1=1有-1.

故選：A.

方法技巧用向量方法解決實際問題的步驟

【變式訓(xùn)練5-1】已知平面向量而、衣、而，網(wǎng)=|西=1,廊+園=1,△皮力的面積為2技則|碼

的最小值為（）

37

A.—B.2C.—D.4

22

【答案】c

【分析】通過I荏+正1=1平方，求得ZBAC,結(jié)合余弦定理求得BC=6,再結(jié)合面積公式求得點。到BC

的距離，進而可求解.

【詳解】已知網(wǎng)=國=1,國+阿=1,

對府+園平方得府+研=(而+硝,=啟+2麗上

因為市2=|通『=1,AC2=|AC|2=I,

設(shè)NBAC=6,O<0<n,則AB-AC=1AB，J^cos〃=cos6,

所以|麗+=l+2cos(9+l=1,即2+2cos0=l,解得cos6=-；,有。=等.

在VABC中，由余弦定理有cos。=匕*~可得BC=6,

2bc2

設(shè)點A到BC的距離為4,有用=《.

已知5通8=26，設(shè)點。到BC的距離為〃，

由^^=；忸。/=26,解得〃=4,

則|而|的最小值為九一九=4_g=g.

故選：C

ijlKirrifr,.rr.rurt

【變式訓(xùn)練5-2】已知忖=6,忖=1,〃心=0,1+4+卜一〃卜44—48M+3=0,貝旭H―d|的最大值為

【答案】也+1

3

【分析】由題意首先得出卜-4為兩外切的圓和橢圓上的兩點間的距離，再由三角形三邊關(guān)系將問題轉(zhuǎn)換為

橢圓上點到另一個圓的圓心的最大值即可.

【詳解】如圖所示：

不妨設(shè)4=函=(a,0)石=礪=(0,1),反=(八〃),礪=(P國)，4卜0,0),

滿足同=百，W=l,無方=0,

2

又歸+司+歸一同=4,即,(m+6)+n之十j(m一6)+n=4=2a>2c=2A/3=A|,

由橢圓的定義可知點。在以A，A為焦點，長軸長為4的橢圓上運動，

a=2,c=A/3,b=da2-c?=,4-3=1，

所以該橢圓方程為工+丁=1,

4

而孑一4B/+3=0，即+q2—4q+3=。，即。一+(q—2)~=1,

這表明了點。在圓f+(y—2)2=1上面運動，其中點E(0,2)為圓心，廠=1為半徑，

又卜-2卜|雙-礪卜|。區(qū)仁目+|ED|=|CE|+1,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)C2E三點共線,

故只需求|C￡|的最大值即可，

2

因為點(？?+丁=1在橢圓上面運動，所以不妨設(shè)C(2cos6,sin。)，

所以|CE|=〃COS26+(sin6_2)2=J。一sin?"+sin2g-4sin9+4=V_3sin20-4sin6^+8,

-42

所以當(dāng)sine=-^而=-§且CO,石三點共線時，

卜-4有最大值|"—+1=J7x.l)-4x^-|^|+8=^y^+l.

故答案為：巫+1

3

【變式訓(xùn)練5-3】在邊長為1的正方形A8CD中，點E為線段C。上靠近C的三等分點，BE=ABA+JLIBC,

則2+〃=,尸為線段BE上的動點，G為AF中點，則衣.詼的最小值為.

45

【答案】

318

【分析】由向量對應(yīng)線段的位置及數(shù)量關(guān)系用麗,竟表示出赤，即可得參數(shù)值，令麗=m屁,0<m<l,

根據(jù)已知得而?礪=1-yAB+mAD]-[并應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律求最值.

【詳解】由題設(shè)麗=配+屈=反+,函=前+,麗=彳麗+〃前，貝1|%=4,〃=1,

333

4

所以；1+〃=§,

AFDG=AF(DA+AG)=AF(DA+-AF),

2

令^P=m/,0<m<l,貝!]Ab=AB+BF=AB+MBE=AB+〃7(3C+CE)

4_9

故答案為:

3'"18

題型6向量在物理中的應(yīng)用

例亙共點力耳=(1g2,1g2),E=(lg5,lg2)作用在物體M上，產(chǎn)生位移缶=(21g5,l),則共點力對物體做

的功為()

A.1g2B.1g5C.1D.2

【答案】D

【分析】求出合力聲的坐標，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標運算可得出共點力對物體做的功.

【詳解】根據(jù)題意得：共點力的合力是b=￡+瑪=0g2+lg5,lg2+lg2)=(l,21g2),

11IU

對物體做的功為W=P-S=21g5+21g2=2.

故選：D.

例62帆圖所示,支座A受%F?兩個力的作用，已知闿=18N,與水平線成。角，閭=8N,沿水平方

向，兩個力的合力尸的大小團=20N,貝Ucos6=()

【答案】D

【分析】利用平行四邊形法則及向量夾角公式求解.

【詳解】依題意，聲=耳+可，貝UR?=嚴+丁+2月.方=尸+丁+2|瓦llElcos。,

即202=182+82+2X18X8COS6?,所以COS^3.

故選：D

【變式訓(xùn)練6-1】如圖，一條河某一段的寬度為8km,一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對岸航行.已知船

的速度大小為5km/h,水流速度的大小為3km/h,當(dāng)航程最短時，預(yù)計這艘船行駛到河對岸需要時間為一

h.

A

【答案】2

【分析】當(dāng)實際速度垂直于河岸航程最短，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則求解即可.

【詳解】當(dāng)實際速度垂直于河岸，船的航程最短,

設(shè)實際速度、船速、水流速度分別為K加、E，

如圖，工=彳+或，已知W=5,同=3,

則同-|V2|=4(km/h),河寬d=8km,

1吃

所以’船的航行時間'詰=2=),

所以，當(dāng)航程最短時，這艘船行駛完全程需要2h.

故答案為：2.

【變式訓(xùn)練6-2】如圖所示，支座A受耳，耳兩個力的作用，已知同=18N,與水平線成。角，|同=8N,

沿水平方向，兩個力的合力弄的大小閏=20N,貝Ijcos6=.

【答案】上

24

【分析】根據(jù)向量的加法法則、向量數(shù)量積的運算律，結(jié)合題中條件即可求解.

【詳解】依題意，T=E+E，則苗=耳。■+2耳.國=K+M+2|耳II月|cos。,

BP202=182+82+2X18X8COS6?,解得COS*，；.

故答案為：—7?

題型7向量新定義難

例7-11已知a=(&y),b=(工2，%)，定義新運算a十5=(x1+兀2-l),(yl+y2-l)，記肩=卜抽1?一仁

ra=^l,sin^?+^,滿足五十.=言，貝IJsin[2a-1]=()

A.@B.一些C.巫D.一巫

551010

【答案】A

【分析】根據(jù)題中定義、誘導(dǎo)公式以及二倍角的正弦公式化簡可得出sin(2a-1)的取值范圍.

【詳解】因為正=[sin]<z.[,l],4=[,sin[a+"|[j,

根據(jù)題中定義可得機十”=sin(asin(a=sin[<z-胃sin+

=sin^a-^cos^(z-^=^-sin^2a-^=^-,故sin[2a-1]=^^.

故選：A.

例7-2)我們可以把平面向量坐標的概念推廣為“復(fù)向量”，即可將有序復(fù)數(shù)對(Z],Z2)(Z],Z2wC)視為一個向

量，記作&=(4*2).類比平面向量的線性運算可以定義復(fù)向量的線性運算；兩個復(fù)向量比=包/2),

。二仁烏)的數(shù)量積記作a/,定義為"/=Z[Z3+Z2Z4；復(fù)向量"的模定義為同=痘方.

(1)設(shè)法=(6,8),/=(i-2,i),求復(fù)向量a與6的模；

(2)已知對任意的實向量也與否都有次加工團憫，當(dāng)且僅當(dāng)"與月平行時取等號；

①求證：對任意實數(shù)“，b,c,d,不等式|ac+劃4J數(shù)+/./+相成立,并寫出此不等式的取等條件；

②求證：對任意兩個復(fù)向量也與再不等式./閆同憫仍然成立；

⑶當(dāng),/卜同網(wǎng)時，稱復(fù)向量m與方平行.設(shè)a=(l+i,2-i),￡=(i,z),zeC,若復(fù)向量在與方平行,

求復(fù)數(shù)z的值.

【答案】(1)1。；76；

(2)①證明見解析，當(dāng)且僅當(dāng)成-歷=0等號成立；②證明見解析；

(3)z=-+-i

22

【分析】(1)代入“復(fù)向量”々和方模的新定義，即可求解兩個向量的模；

(2)①首先設(shè)實向量&=(a,b),，=(c,d),再分別計算艮可和同網(wǎng)，再結(jié)合公式艮小同同即可證

明；

②首先設(shè)復(fù)向量應(yīng)=(4*2),￡=S；/；),根據(jù)復(fù)數(shù)的三角不等式，以及實系數(shù)向量不等式

|占多+%%Iw舊+y；-收+式,即可證明；

(3)根據(jù)等號成立的條件，再結(jié)合復(fù)數(shù)的三角不等式，即可求解.

【詳解】(1)因為法=(6,8),所以訝?a=6x6+8x8=100,

所以左的模為10；

因為6=(i-2,i),所以//=(，―2)(—22)+"_，)=6,

可得，的模為逐；

(2)①設(shè)實向量法=(。,6),B=(c,d),

貝!]a.￡=ac+bd,\a\=\la2+b2,\p\=^c2+d2,而卜.0=|改+〃|,

根據(jù)己知網(wǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)"與￡平行時取等號，即〃-從=0,

所以|ac+M<Jo?+/?2?+儲，當(dāng)且僅當(dāng)ad-6c=0時等號成立；

②因為a=(Z，Z2),方=h；,z；),所以卜?同=，/；+Z2Z』，

由復(fù)數(shù)的三角不等式+1Z；+Z2Z,<Z]Z；]"Z2|=IZ』Z]]+|Z2Mz4,

商=@,%),5=5,%)由"同《同間,

(3)②中考慮①中等號成立的條件知，結(jié)合復(fù)數(shù)的三角不等式,

復(fù)向量各分量均不為零時，其等號成立的條件是存在非負實數(shù)上,使得】=幺二,

Z2

根據(jù)題意，若復(fù)向量。=(l+i,2-i)與￡=(i,z)平行，

則2=

2-i

根據(jù)㈤同+閭同w在不+廿.中等號成立的條件,

應(yīng)有㈤同=上同，則同="1：=乎，

|1+1|2

解得人=g,

所以*31.31-ma31.

----------1我，所以Z=5+/

55

【變式訓(xùn)練7-1】定義：若不相等的兩個向量￡=(冷%),石=(心%)滿足條件：同=W且玉，%，尤2,X均

為整數(shù)，