橢圓講義

橢圓講義.............................................................................1

1樸素定義...............................................................................1

2第一定義...............................................................................1

3第二定義...............................................................................2

4第三定義...............................................................................2

5標(biāo)準(zhǔn)方程...............................................................................3

6離心率.................................................................................3

7焦半徑.................................................................................3

8通徑...................................................................................4

9焦點(diǎn)弦.................................................................................4

10焦分點(diǎn)弦.............................................................................4

11中點(diǎn)弦................................................................................4

12焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng).......................................................................5

13焦點(diǎn)三角形面積.......................................................................5

14蒙日?qǐng)A................................................................................6

15光學(xué)性質(zhì).............................................................................6

16定點(diǎn)問(wèn)題.............................................................................6

17定值問(wèn)題.............................................................................6

18定直線問(wèn)題...........................................................................7

19切線問(wèn)題..............................................................................7

20切點(diǎn)弦問(wèn)題...........................................................................7

21最值問(wèn)題..............................................................................7

22硬解定理.............................................................................8

23面積問(wèn)題.............................................................................8

24中心三角形問(wèn)題.......................................................................9

25蝴蝶定理.............................................................................9

26焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓....................................................................10

27焦點(diǎn)三角形與重心....................................................................11

28焦點(diǎn)三角形與內(nèi)心和重心..............................................................11

29焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓與外接圓............................................................12

30調(diào)和點(diǎn)列.............................................................................12

31軌跡問(wèn)題.............................................................................12

?1?

6樸素定義

而h已知E(—3,0),片(3,0)動(dòng)點(diǎn)加滿足|MF]|+也網(wǎng)=10,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程

?2?

的3已知圓G：3+1）2+婿=1和圓C2：（%—iy+g2=25,則與G外切而又與。2內(nèi)切的動(dòng)圓圓心

P的軌跡方程是.

施工已知?jiǎng)訄A。與圓3+1尸+/=1及圓心-1）2+d=25都內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心。的軌跡方程為

G第二定義

011動(dòng)點(diǎn)M（x,y）與定點(diǎn)尸（3,0）的距離和M到定直線l:x=尊的距離的比是常數(shù)1■，則動(dòng)點(diǎn)”的

OO

軌跡方程是.

G第三定義

而]1如圖，設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（—5,0）,（5,0）.直線A儀，相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之

積是一票,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是.

k________________________________________________________________________________________________________________J

跟蹤訓(xùn)練工1已知橢圓C：餐+￥=1的左、右頂點(diǎn)分別為4B,點(diǎn)P為橢圓。上不同于4B兩

86

點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn),若直線P4斜率的取值范圍是[1,2],則直線PB斜率的取值范圍是（）

A.B.[-親—今]C,[-1,-y]D,—1]

?3?

喉甕頌112]已知橢圓C：i+冬=l（a>b>0）,直線g=/與橢圓相交于4,B兩點(diǎn)，若橢圓上

存在異于A,B兩點(diǎn)的點(diǎn)P使得如4?kpBC（一弓，0），則離心率e的取值范圍為（）

A.（0,普）B.（乎,1）C.（0,y）D.

標(biāo)準(zhǔn)方程

畫(huà)工已知橢圓&￡+，=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（3,0）,過(guò)點(diǎn)尸的直線交橢圓E于A、B兩

點(diǎn).若4B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-1）,則E的方程為（）

A6?—=]H21g=[「①?P=]D—I-=1

A.45+36—1b.36+27—1。27+18一118+9-1

跟蹤訓(xùn)練1.1如圖，已知橢圓。的中心為原點(diǎn)O,F（—2遍，0）為。的左焦點(diǎn)，P為。上一點(diǎn)，滿足

\OP\=|OF|,且|PF|=4,則橢圓。的方程為（）

2

A.21g=]p2?.y_ox.y_「x.y_

A，25+5I艮30+10-1036+16ID，45+25-1

G離心率

的]1過(guò)橢圓，■+，=l（a>b>0）的左焦點(diǎn)E做c軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，E為其右焦點(diǎn)，若

NR￡P(guān)=30°,則橢圓的離心率為（）

題2（2018-全國(guó)）已知橢圓￡+g=1過(guò)點(diǎn)（一4,春）和（3,—等）,則橢圓離心率e=

）

A.B.C.4-D.4

宅0咯O00

G焦半徑

廁1設(shè)橢圓噌+￥=1的左、右焦點(diǎn)為后、段點(diǎn)P（3，V。）在橢圓上，且|PR=2|P￡|,則多=

ioy

?4?

A.2B.3C.2V3D.3方

廁2過(guò)橢圓￡+點(diǎn)=l(a>b>0)的焦點(diǎn)尸作弦AB,若|AF|=%,|FB|=d?,那么才+專的值

為.

跟蹤訓(xùn)練2.1已知定點(diǎn)以(一l,0),N(l,0),P是橢圓彳+,=1上動(dòng)點(diǎn)，則看打+贏的最

小值為()

QL

A.2B.=C.3D.3+2V2

G通徑

(11過(guò)橢圓荒■+蕓=1的焦點(diǎn)尸的弦中最短弦長(zhǎng)是()

A9_R_9_09

A.4B.16C.2D.2

?

一、

網(wǎng)］1已知AB是過(guò)橢圓4+4=1的一個(gè)焦點(diǎn)F的弦，若AB的傾斜角為卷，則弦AB的長(zhǎng)為

-54o

跟蹤訓(xùn)練“過(guò)橢圓q+d=1右焦點(diǎn)且斜率為1的直線被橢圓截得的弦MN的長(zhǎng)為()

AA口8V2「8V3八16

A,5B.-5-C?-5-D.-y

網(wǎng)12以過(guò)橢圓/■+(=：!(&>b>0)的右焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與其右準(zhǔn)線的位置關(guān)系是()

A.相交B.相切C.相離D.不能確定

Q

/---------------------、

廁1已知橢圓C：A卻l(a>b>°)的離心率為魯，短軸長(zhǎng)為2,過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為>

0)的直線與橢圓。相交于A、B兩點(diǎn).若荏=3屈，則()

A.1B.V2C.V3D.2

跟蹤訓(xùn)練1.1(2010?全國(guó)大綱版I)已知尸是橢圓。的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段B尸

的延長(zhǎng)線交。于點(diǎn)。，且訪=2立方，則。的離心率為.

?5?

G中點(diǎn)弦

Hi設(shè)AB是橢圓￡+/=l（a>b>0）的任意一條不垂直于對(duì)稱軸的弦，。是橢圓的中心，e為

橢圓的離心率，河為AB的中點(diǎn)，則人.小OM的值為（）

A.e—1B.1—eC.e2—1D.1—e2

廁工設(shè)AB是橢圓彳+手=1的不垂直于對(duì)稱軸的弦，兇為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),則

“AB,k（）M=?

跟蹤訓(xùn)練21設(shè)A、B是直線“=2/—3與橢圓彳+才=1的兩個(gè)交點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn).。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，則直線的斜率為（）

A.一告Bic--iD-f

跟蹤訓(xùn)練二22（2015?全國(guó)）直線Z與橢圓親+g=1相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為（2,1）,

則I的斜率為（）

A.V2B.-V2C.1D.-1

跟蹤訓(xùn)練23（2020-迎澤區(qū)校級(jí)模擬）若過(guò)橢圓（+[=1內(nèi)一點(diǎn)P（2,l）的弦被該點(diǎn)平分，則該

弦所在的直線方程為（）

A.8%+9g—25=0B.3力-4g—5=0C.42+3g—15=0D.4①一3g—9=0

焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)

題1）已知E,E分別是橢圓。蓋+'=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓。上，則APEE的周長(zhǎng)是

（）

A.20B.18C.16D.14

吼2已知后，月是橢圓冬+冬=1的左、右焦點(diǎn)，直線，過(guò)點(diǎn)后與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，則△ARB

的周長(zhǎng)為（）

A.10B.20C.30D.40

焦點(diǎn)三角形面積

011已知橢圓^+^=l（a>6>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為E,￡,P是橢圓上一點(diǎn)，且NKPE=60°,

則△EPE的面積等于（）

_

,6?

A.6V3B.3V3C.6D.3

G蒙日?qǐng)A

Hl已知橢圓C：$+，=l(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,0),離心率為孚,若動(dòng)點(diǎn)P為橢圓外

一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，則點(diǎn)P的軌跡方程為.

G光學(xué)性質(zhì)

011已知橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)42,3),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn)&月在立軸上，離心率e=■，則N昂4月的

平分線所在直線I的方程為

憫］2如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線,經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)

過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下題：已知曲線。的方程為/+4娟=4,其左、

右焦點(diǎn)分別是后，E,直線2與橢圓。切于點(diǎn)P,且|P囿=1,過(guò)點(diǎn)P且與直線I垂直的直線V與

橢圓長(zhǎng)軸交于點(diǎn)M,則因M|：舊M|=()

定點(diǎn)問(wèn)題

題1已知橢圓C：”看=1,若直線l：y^kx+m與橢圓。相交于AB求兩點(diǎn)(AB不是左右頂

點(diǎn))，且以4B為直徑的圓過(guò)橢圓。的右頂點(diǎn).求證:直線2過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

定值問(wèn)題

題1如圖，橢圓E：。+1=l(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,-1),且離心率為彳.

(1)求橢圓E的方程；

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),且斜率為k的直線與橢圓E交于不同兩點(diǎn)P,Q(均異于點(diǎn)A),證明:直線AP與

AQ的斜率之和為2.

?7?

G定直線問(wèn)題

廁1已知橢圓+p-=l(a>6>0)的離心率為方,分別是它的左、右頂點(diǎn),F是它的右焦

點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作直線與。交于P,Q(異于A,B)兩點(diǎn)，當(dāng)PQ，c軸時(shí)，AAPQ的面積為基

(1)求。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線4P與直線BQ交于點(diǎn)求證:點(diǎn)M在定直線上.

G切線問(wèn)題

&經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。，限)且與橢圓亨+/=1相切的直線方程是()

A.X+2A/3T/—4=0B.x—2A/3Z/-4=0

C.%+2瓜g—2=0D.%—2V3y+2=0

、一

跟蹤訓(xùn)練Li若圓。的方程為"則有過(guò)圓。上一點(diǎn)(血，％)作圓。的切線方程為2盧+

%“=/，類比這一結(jié)論，若橢圓E的方程為餐+4=1，則有過(guò)橢圓E上的一點(diǎn)P(2,l)作橢圓

O/

的切線方程為.

G切點(diǎn)弦問(wèn)題

(11過(guò)點(diǎn)P(5,3)作曲線C：4+手=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則AB所在直線的方程為

O/

G最值問(wèn)題

題1已知橢圓吝+多=1的右焦點(diǎn)為尸，A是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)M(0,4),則AAMF的周長(zhǎng)最大值為

()

A.14B.16C.18D.20

幽2已知F是橢圓彳+,=1的左焦點(diǎn)，點(diǎn)Q(4,3),若P是橢圓上任意一點(diǎn)，則|PQ|+|PF|的最

?8?

r

大值為()

A.4+3V2B.4+4V2C.3V2D.4A/2

跟蹤訓(xùn)練2.1已知尸是橢圓。：4+萼=1的右焦點(diǎn)，P為橢圓。上一點(diǎn)，人（1,22），則|已4|

62

+\PF\的最大值為（）

A.4+V2B.4V2C.4+V3D.4V3

跟蹤訓(xùn)練2：2：已知F是橢圓C：^-+y2=l的左焦點(diǎn)，P為。上一點(diǎn)，A（—l,白,則\PA\+|PF|

的最大值為（）

A.3V2B.+2V2C.5+2717D.10

刷3在橢圓卷+彳=1上求一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到直線x+2y-10=0的距離最大時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為

（）

A.（—3,0）B.（——C.（―2,—2"^）D.（—2,0）

朝4已知F為橢圓C：■+￥=1的左焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線。，直線。與。交于

兩點(diǎn)，直線為與。交于O，E兩點(diǎn)，則四邊形ADBE的面積最小值為（）

A.4B.*C.器D.?

7o

G硬解定理

幽1設(shè)橢圓方程用手~+E=l①表示，與直線Ar+期+。=0②相交于E、F兩點(diǎn)。

證明：

(1)判別式△工=4a2b2以+B2b2_02)4=4a2b2砍242a2+B2b2_02)

(2)韋達(dá)定理：

,_2ABa262

1十2A2a2+B2ft2%+紡—4a2+B2b2電改+電仇一行”廬

22222222;

_(C-B-b)a；_(C-A-a)6,電紡-72yl=一爸（電-x）

XtX2/12/2-222

2A2a2+B2b2Aa+BV

2abV(A2+B2)[A2a2+B2b2-C2]

（3）弦長(zhǎng)：\EF\42a2+B2b2

I原鐮加繚j1.1點(diǎn)P⑵1）在橢圓4"+卷=1上，直線y=看+?71交橢圓于4/1,明）、_8（0：2,的）兩

O2/

點(diǎn)，求三角形ABP面積的最大值。

G面積問(wèn)題

,9?

網(wǎng)h已知點(diǎn)4(0,3)，4(0,-3),動(dòng)點(diǎn)P滿足kpAj52=-4■，點(diǎn)Q滿足H41，QA2±PA2.

則等也=

()

A.2B.3C.4D—

2

刷2已知橢圓C：￡+，=1(。>6>0)過(guò)點(diǎn)反(2,3),點(diǎn)力為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為方.

⑴求。的方程；

(2)點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.

G

廁1已知橢圓。：￡+m=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為E、E，點(diǎn)P(L3)在橢圓上，且有

|P園+爐鳥(niǎo)|=2”.

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)￡的直線，與橢圓交于力、B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最大值.

y2

跟蹤訓(xùn)練-1：11已知P⑵0)為橢圓。:號(hào)+=l(a>b>0)的右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓。的長(zhǎng)軸上,

ab2

過(guò)點(diǎn)M且不與x軸重合的直線交橢圓。于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合時(shí)，直線PA,

PB的斜率之積為一］.

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若與1=2該，求面積的最大值.

蝴蝶定理

題1已知橢圓。：￡+%=l(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,離心率為■，點(diǎn)為橢

圓上一?點(diǎn).

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵如圖，過(guò)點(diǎn)C(0,1)且斜率大于1的直線I與橢圓交于M,N兩點(diǎn),記直線AM的斜率為自，直

線BN的斜率為無(wú)，若阮=2角，求直線，斜率的值.

?10?

吼2如圖，B,4是橢圓。:彳+才=1的左、右頂點(diǎn)，p,Q是橢圓。上都不與A,B重合的兩點(diǎn)，記

直線BQ,AQ,AP的斜率分別是kBQ,kAQ,kAP.

⑴求證：城心Q=T；

(2)若直線PQ過(guò)定點(diǎn)(9,0),求證：七產(chǎn)4%

焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓

皿已知P是橢圓彳+g=l上的一點(diǎn)，E、E是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若△鶴用的內(nèi)切圓的半徑

為春，則tan/烈冬=()

A.1B.|c.^1D.苧

了=

而］2如圖，已知橢圓，■+當(dāng)=l(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為后，E，出局=河，。是y軸正半

軸上一點(diǎn)，PE交橢圓于A,若AR_LPE，且A4P鳥(niǎo)的內(nèi)切圓半徑為■，則橢圓的離心率為

?11?

跟蹤訓(xùn)練31已知橢圓C名+(=L(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為后，為橢圓上異于

ab

長(zhǎng)軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，△MEE的內(nèi)心為/，直線M交c軸于點(diǎn)E,若J^=2,則橢圓。的離心率是

皿

A.今B1°FD1

跟蹤訓(xùn)練3.2已知月，月為橢圓。：彳+￡=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓。上移動(dòng)時(shí)，/為

△/當(dāng)用的內(nèi)心，則\IO\的取值范圍(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為.

跟蹤訓(xùn)練—3：3點(diǎn)M為橢圓黑+葺=1上一點(diǎn)，&￡為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則△RME的內(nèi)心的軌跡

方程為.

G焦點(diǎn)三角形與