第08講兩條直線平行與垂直的判定

T模塊導(dǎo)航—T素養(yǎng)目標(biāo)A

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.理解并掌握兩條直線平行的條件及兩條直線垂

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）直的條件；

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三2.會(huì)運(yùn)用條件判定兩直線是否平行或垂直；

模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)3.運(yùn)用兩直線平行和垂直時(shí)的斜率關(guān)系解決相應(yīng)

的幾何問題.

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理

知識(shí)點(diǎn)1兩條直線平行

1、直線平行的判定

2、對(duì)直線平行判定的理解

（1）/"/乙=上2成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②,與乙不重合?

(2)匕=e=>〃〃2或4與72重合.

（3）ljll2nki或兩條直線的斜率都不存在.

（4）在判斷兩條不重合的直線是否平行時(shí)，先判斷兩條直線的斜率是否存在，若斜率存在且相等，則兩者

平行；若斜率都不存在，兩者仍然平行.

知識(shí)點(diǎn)2兩條直線垂直

1、直線垂直的判定

1］與12的斜率都存在,分別為左他，/1與中的一條夕斜率不存在，另一條斜

對(duì)應(yīng)關(guān)系

貝!J'_1_4o左1,e二一1率為零，貝〃與/的位置關(guān)系是＜1/2

yh

L7,

圖示

0X

2、對(duì)直線垂直判定的理解

（1），，OK?2=T成立的前提條件是兩條直線的斜率都存在；

（2）當(dāng)兩條直線的斜率都存在，且勺?左2=T時(shí)，兩條直線垂直；

（3）若兩條直線中，一條垂直直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0,則兩條直線也垂直.

0＞模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

考點(diǎn)一：兩條直線平行的判定

例1.（23-24高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）過(guò)點(diǎn)4（1,2）和點(diǎn)8（-1,2）的直線與直線y=3的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行C.重合D.以上都不對(duì)

【答案】B

【解析】過(guò)點(diǎn)/（1,2）和點(diǎn)8（-1,2）的直線方程為y=2,斜率為0,

又因?yàn)橹本€'=3斜率為0,所以兩直線平行.故選：B

【變式1-1](23-24高二上?福建泉州?期末)記平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線4、(與x軸正半軸方向所成的角

的正切值分別為左、k2,則“W是％=顯”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

【答案】A

【解析】由題意可知：左水2已經(jīng)存在，

若4〃4,則占=質(zhì)，即充分性成立；

若尤=內(nèi)，則44可能重合，即必要性均不成立；

綜上所述：“〃/4”是“％=質(zhì)”的充分不必要條件.故選：A.

【變式1-2](23-24高二上?山西臨汾?月考)下列各對(duì)直線互相平行的是()

A.直線:經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(0,1),2(1,0),直線4經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(T3),N(2,0)

B.直線4經(jīng)過(guò)點(diǎn)Z(T-2),5(1,2),直線4經(jīng)過(guò)點(diǎn)#(0,-2)

C.直線:經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(1,2),8(1,3),直線4經(jīng)過(guò)點(diǎn)C0,T)，￡>(1,4)

D.直線《經(jīng)過(guò)點(diǎn)”(3,2),5(3,-1),直線4經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(LT)，何3,2)

【答案】A

0-13-0

【解析】對(duì)于A,因?yàn)樯?y=TK,=上m=-1,所以〃〃2；

1—0—1—2,

-2-2-1-(-2)1

對(duì)于因?yàn)椤端灾本€《，不平行;

B,Z2人

1-1-1-2-02

對(duì)于C,由直線4經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(1,2),5(1,3),直線<經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(l,-1),￡>(1,4),

得直線4,4的斜率都不存在，且兩直線重合；

對(duì)于D,因?yàn)橹本€4經(jīng)過(guò)點(diǎn)1(3,2),3(3,-1),所以直線直線4的斜率不存在,

_i_o4

而收=丁二=7,所以直線4,4不平行.故選：A.

1-32

【變式1-3](23-24高二?全國(guó)?專題練習(xí))根據(jù)下列給定的條件，判斷直線4與直線4是否平行.

(1乂經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(2,3),8(-4,0),4經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(T1),N(-2,2)；

(2乂的斜率為-g,4經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(42),8(2,3)；

（3乂平行于V軸，，2經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（0,-2）,2（0,5）；

（4乂經(jīng)過(guò)點(diǎn)磯0,1）,尸（-2,-1）,4經(jīng)過(guò)點(diǎn)G（3,4）,“（2,3）.

【答案】（1）不平行；（2）平行或重合；（3）平行；（4）重合

3-012-1

【解析】⑴%=1=5,右w=K=i，2kM口所以4與4不平行.

］2-31

（2）/］的斜率左=-彳，人的斜率左2===-彳，匕=右，所以"與，2平行或重合.

（3）由題意，知4的斜率不存在，且不與歹軸重合，4的斜率也不存在，且與歹軸重合，所以〃〃2.

-1-14-3

（4）由題意，知底==1，kGH=――=1,

—z—UJ—2

kEF=kGH,所以4與4平行或重合.

需進(jìn)一步研究E,F,G,H四點(diǎn)是否共線，⑥6=二1_=L

所以E,F,G,H四點(diǎn)共線，所以4與4重合.

考點(diǎn)二：兩條直線平行關(guān)系的應(yīng)用

（23-24高二上?貴州黔西?月考）己知直線4過(guò)/（T4）,5（2,0）,且/J4,則直線。的斜率為

【答案】C

【解析】由題意直線4的斜率為勺=三4—-0=-94,

—1—23

4

又因?yàn)椤ā?,所以直線4的斜率為e=匕=-§.故選：C.

【變式2-1］（23-24高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)“（3⑼乃（5,⑼的直線4與經(jīng)過(guò)點(diǎn)

尸（一加,0）,0（0,叫（加”片0）的直線/2平行，則:的值為（）

A.-1B.-2C.-1或2D.-2或1

【答案】C

【解析】由題意得&=%口后=片，

1'24m

因?yàn)椤ā?,所以勺="，即竺二2=

2m

化簡(jiǎn)得/_加〃—2〃2=0,所以加=-〃或加=2〃，

Jfl

又由加〃R0得一=—1或2,故選:C.

n

【變式2-2］（22-23高二上?福建漳州?期中）過(guò)，（見3）,鞏-1,相）兩點(diǎn)的直線與直線/平行，直線/的傾斜角

為45°,則加=（）

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】A

【解析】過(guò)/（機(jī),3）,2（-1,機(jī)）兩點(diǎn)的直線與直線/平行，直線/的傾斜角為45。，所以加R-1,

因此過(guò)/（私3）,8（-1,相）兩點(diǎn)的直線的斜率為牛之，

—1-m

因?yàn)檫^(guò)/（私3）,5（-1,相）兩點(diǎn)的直線與直線/平行，直線/的傾斜角為45。，

m—3

所以有-----=tan45°=l^m=l,故選：A

-1-m

【變式2-3］（23-24高二上?湖北武漢?期末）張老師不僅喜歡打羽毛球，還喜歡玩折紙游戲，他將一張畫了

直角坐標(biāo)系（兩坐標(biāo)軸單位長(zhǎng)度相同）的紙折疊一次，使點(diǎn)（2,0）與點(diǎn)（-2,4）重合，點(diǎn)（2023,2024）與點(diǎn)（見為

重合，貝！Ia+6=（）

A.4046B.4047C.4048D.4049

【答案】B

【解析】設(shè)N（2,0）,5（-2,4）,則點(diǎn)A,8所在直線的斜率為勉=肯三=T，

由題意知，過(guò)點(diǎn)（2023,2024）,（見“的直線與直線平行，

b-2024

所以-------=-1,整理得：a+6=2023+2024=4047.故選：B

a-2023

考點(diǎn)三：兩條直線垂直的判定

|例3.（23-24高二上?山東濰坊?期末）已知兩直線4,4的斜率分別為匕出，且左也是方程f+尤-1=0

的兩根，貝也與人的位置關(guān)系為（）

A.平行B.相交且垂直C.重合D.相交且不垂直

【答案】B

【解析】由題意左向=-1，因此兩直線垂直.平面上的兩直線垂直時(shí)當(dāng)然相交.故選：B.

【變式3-1］（23-24高二上?河北邯鄲?月考）（多選）滿足下列條件的直線4與4,其中4,4的是（）

A.4的傾斜角為45。，A的斜率為1

B.4的斜率為-1?，6經(jīng)過(guò)點(diǎn)/僅。），3（3,百）

C.4經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（2,1）,。（-4,-5）,4經(jīng)過(guò)點(diǎn)MT2）,2V（l,0）

D.4的方向向量為（1,加）,2的方向向量為

【答案】BCD

【解析】對(duì)A,klt=tan45°=l,勺=1,與?勺產(chǎn)-1,所以A不正確；

對(duì)B,k,=——=拒，k,-k,――-^-xV3=-1,故B正確；

43-2'23

-5-12-0

對(duì)C,k=——-=1,=――-=-1,勺?”=-「故C正確;

lt—4—2—1—1

因?yàn)椋?,加）（I,-、

對(duì)D,1-1=0,

所以兩直線的方向向量互相垂直，故故D正確.故選：BCD

【變式3-2］（22-23高二?江蘇?假期作業(yè)）判斷下列各組直線是否垂直，并說(shuō)明理由.

（1乂經(jīng)過(guò)點(diǎn)4-3,-4）,5（1,3）,/2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-4,-3）,N（3,1）；

（2乂經(jīng)過(guò)點(diǎn)43,4）,3（3,10）,4經(jīng)過(guò)點(diǎn)W（-10,40）,N（10,40）.

【答案】（1）不垂直，理由見解析；（2）垂直，理由見解析

【解析】（1）由題知直線小4的斜率存在，分別設(shè)為《，魚，

3-（-4）=7=1-（-3）=4

|-1-（-3）"4'&-3-（-4）一7'

，左?左2=1，?"與‘2不垂直.

（2）由題意知乙的傾斜角為90。，則軸；

由題知直線4的斜率存在，設(shè)為%3,

40-40

七=1八/.=°，則4〃x軸，.??4.

1U—(—1U)

【變式3-3］（23-24高二上?全國(guó)?課堂例題）判斷直線4與4是否垂直.

（1乂的斜率為TO,4經(jīng)過(guò)點(diǎn)/?！悖?），5（20,3）；

（2乂經(jīng)過(guò)點(diǎn)/（3,4）,8（3,10）,4經(jīng)過(guò)點(diǎn)加（-10,40）,N（10,40）；

（3乂經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（-1,2）,5（5,-1）,與經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1,O）,。（4,6）.

【答案】⑴…;⑵…；（3）4乜

3-21

【解析】⑴設(shè)直線4，的斜率分別為勺，h，則勺=-10,笈2=為^=白，

20—1010

因?yàn)楹笃?一1，所以

（2）由點(diǎn)48的橫坐標(biāo)相等，得4的傾斜角為90。，則

,40-40八

設(shè)直線4的斜率為a，則.=io_（_io）=°，所以4〃x軸.故4，個(gè)

（3）方法一：直線4的斜率匕=訐弓=-3,直線4的斜率質(zhì)=汨=2,

因?yàn)楹?z=T,所以/1，4；

方法二：直線4的方向向量方=（6,-3）,直線4的方向向量麗=（3,6）,

因?yàn)槿f(wàn)?而=0，所以益_L而，所以/［，/

考點(diǎn)四：兩條直線垂直關(guān)系的應(yīng)用

（23-24高二上?河南鄭州?月考）已知人的傾斜角為45。，4經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-2,-1）,。（3,打）.若/一4，

則實(shí)數(shù)機(jī)為（）

A.6B.16C.5D.—5

【答案】B

171—(—1)777+1

【解析】因?yàn)獒t(yī)=tan45o=l,&產(chǎn)小^二丁，且

3-1-2)3

m+l

所以勺4=1x(—=-1,解得根=_6,故選：B.

【變式4-1］（23-24高二上?江西宜春?期中）已知點(diǎn)工（-加-3,2）,3（-2加-4,4）,。（-機(jī),加）,。（3,3加+2）,若直

線4BLCD,則加的值為（）

A.1或一1B.一3或一1C.-1或3D.3或一3

【答案】A

【解析】A,8兩點(diǎn)縱坐標(biāo)不相等，與x軸不平行.

---ABLCD,則CD與x軸不垂直，-m^3,即加w-3.

當(dāng)48與x軸垂直時(shí)，-加-3=-2加-4,解得以=T,

此時(shí)，點(diǎn)C,。的縱坐標(biāo)均為-1,則CD〃x軸，止匕時(shí)/3LCD,滿足題意；

,,山,4-22.3m+2-m2(m+1)

當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，k=—~--=——,k=~~~-=—,

AB-2m-4-(-m—3)-(m+1)CD3-(-m)m+3

22(m+l)

x

VABLCD,???如上CD=-1，即1—^——J=T，解得加=1.

+m+3

綜上，機(jī)的值為1或-1,故選：A.

【變式4-2］（23-24高二上?浙江紹興?期中）已知過(guò)4（3,1）、8（1,-3）的直線與過(guò)C（-3,加）、￡＞（〃,2）的直線

互相垂直，則點(diǎn)（加7）有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

【答案】D

【解析】由1（3,1）與8（1,-3）,則直線居的斜率右5=巖=2,

3—1

-11

由4BLCD,則直線C。的斜率存在，即力r-3,且左0=「=-彳，

kAB2

由C（-3,%）與。（〃,2）,則"生=」，整理化簡(jiǎn)可得〃=2〃?-7,

〃+32

顯然該方程有無(wú)數(shù)個(gè)解.故選：D.

【變式4-3］（23-24高二上?廣東茂名?期中）已知點(diǎn)/（0,-2）,8（6,0）,C（0,a）,且點(diǎn)C在線段N3的垂直

平分線上，則。=（）

A.2V10-2B.2C.8D.-8

【答案】C

【解析】由點(diǎn)/（0,-2）,5（6,0）,可得線段的中點(diǎn)0（3,-1）,

所以得：線段的斜率為七B=g|=g，

所以得：線段48垂直平分線的斜率為左=-3=色，解之得：a=8.故選：C.

考點(diǎn)五：直線平行、垂直的綜合應(yīng)用

在［］例5.（23-24高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）（多選）已知點(diǎn)尸（-4,2）,0（6,-4）,R（12,6）,S（2,12）,則下列

結(jié)論正確的是（）

A.PQUSRB.PQ1PSC.PSHQRD.PR-LQS

【答案】ABCD

-4-2312-6312-253

【解析】由斜率公式知2后7=一十七=汴-------------二—w—，

2+435

kp°=ksR,且P,凡S四點(diǎn)不共線，則尸0//SR,A選項(xiàng)正確；

35

左尸。,無(wú)尸s=-=-1,PQ-LPS,B選項(xiàng)正確；

kQR=12^~=l=kpsfPS//QR1C選項(xiàng)正確；

左os=12+4=—4,kPR=———=—,k°s,kpR=-4義==-1,PRLQS,D選項(xiàng)正確.故選：ABCD.

s2-612+44y4

【變式5-1］（22-23高二上?河北石家莊?月考）（多選）直線4，的斜率左出是關(guān)于左的方程2/一4人+加=0

的兩個(gè)根，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若L工，2，貝！J，w=-2B.若貝!］加=2

C.若/J//2則"?=-2D.若/］/〃2，貝!J加=2

【答案】AD

【解析】直線4，4的斜率占，總是關(guān)于左的方程2/-4%+機(jī)=0的兩根，...//=］,

若4,則快=3=-1,得機(jī)=-2；

若/，〃2，則上1=笈2，,A=16-8%=0,得機(jī)=2,故選：AD

【變式5-2］（23-24高二上?貴州?開學(xué)考試）已知直線4經(jīng)過(guò)/（一見1）,8（-4,-切+3）,直線4經(jīng)過(guò)點(diǎn)

“一1,2）,。（一4,加+2）.

（1）若/"/4，求加的值；

（2）若/1，4，求用的值.

【答案】⑴1或6；（2）3或-4

【解析】（1）由題可知直線.的斜率存在且左2=2［二：2）=一］,

若則直線4的斜率也存在，

—

,,,1—（一加+3）—2+m/口2+THTH<.

由左2=左=---------=------，何-------——?AN即冽02一7冽+6=0斛A73Z付I=I冽=1或6,

-m+4-m+4一加+43

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)加=1或6時(shí)，lxHl2;

-21

⑵若4~1~，2,當(dāng)上2=0時(shí)，此時(shí)冽=0/斜率左1===彳存在，不符合題意，

—42

當(dāng)發(fā)230時(shí)，直線6的斜率存在且不為0,則直線4的斜率也存在，且勺泡=T,

W7—2+TH

即一々上二二7,即病+加—12=0,解得加=3或一4,

3-m+4

所以當(dāng)加=3或-4時(shí)，4上和

【變式5-3］（23-24高二上?廣東深圳?期中）已知直線4經(jīng)過(guò)，（私3卜3（1,⑴兩點(diǎn)，4經(jīng)過(guò)尸（2,1）,0（4,2）兩

點(diǎn).

（1）若〃〃2,求加的值；

（2）若4,的傾斜角互余，求冽的值.

75

【答案】（1）加=§;（2）m=-

2-11

【解析】（1）原

4—幺Z

—317

因?yàn)椤ā?,所以左科=JYYI=怎2=得"?=:，

23

7

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以皿=g;

（2）因?yàn)?,4的傾斜角互余，

設(shè)4的傾斜角為a,則直線的傾斜角為l-a，

.m-315

所以自"匚7=口=2,得加=鏟

考點(diǎn)六：幾何圖形的特征的應(yīng)用

例6.（23-24高二上?江蘇鹽城?期中）以/（5,-1）,30,1）,C（2,3）為頂點(diǎn)的三角形是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形D.以8為直角頂點(diǎn)的直角三角形

【答案】D

【解析】直線的斜率=直線BC的斜率怎c=H=2,

由3屋人"=一1，所以4B13C，

故』8C是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形.故選：D

【變式6-1](23-24高二上?河南南陽(yáng)?月考)已知過(guò)5,-1),5(1,1),C(2,3)三點(diǎn)，試判斷“3C的形狀.

【答案】直角三角形.

-1-11

【解析】如圖所示，邊43所在直線的斜率3B=U=-：，

邊3C所在直線的斜率凝c==1=2,

由匕IB,后BC=T，得4BJ.BC,即N/BC=90°，

【變式6-21(23-24高二上?全國(guó)?課后作業(yè))已知四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為0(0,0),4。,3),3(-3,2),

C(T,-1).試判斷四邊形Q42。的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】平行四邊形，理由見解析

【解析】如下圖示：

OA邊所在直線的斜率七/=3,邊所在直線的斜率=：,

8C邊所在直線的斜率幻°=3，CO邊所在直線的斜率心。=；?

由凝cR^c。知：點(diǎn)。不在上，則。/與8。不重合，又磯=稅，得CM//BC.

同理，由38=%co且與C。不重合，得"http://CO.

因此四邊形OABC是平行四邊形.

【變式6-3］（23-24高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OP0尺的頂點(diǎn)坐標(biāo)

按逆時(shí)針順序依次為0（0,0）,P0J）,0（1-2f,2+。，砍-21,2）,其中"0.試判斷四邊形OP0R是否為矩形.

【答案】四邊形OPQR為矩形，理由見解析.

2-(2+/)—t

【解析】由斜率公式得上“=二4t,^RQ

1-0_2/(]_2。_=一

72-0172+t-t21

0R--2?-0--7,P0~

所以左OP=^RQ，koR=kpQ,

從而OP//RQ,OR//PQ.

所以四邊形OPQR為平行四邊形.

又kop?koR=-l,所以O(shè)P工OR,

故四邊形OPQR為矩形.

6模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)-------------------------------

一、單選題

1.（23-24高二上?湖南張家界?月考）已知直線4過(guò)/（2,3）,8（0,4）,且/j/”則直線4的斜率為（）

A.2B.--C.-2D.v

22

【答案】A

【解析】由題設(shè)勺=心=4三-3=-，1又…，則直線72的斜率為2.故選：A

。一22

2.（23-24高二上?河南焦作?月考）已知過(guò)4（-2,加）和8（加,4）的直線與斜率為一2的直線平行，則冽的值是

(）

A.-8B.0C.2D.10

【答案】A

4—JT1

【解析】由題意可知，k=--=-2,解得加=-8.故選：A

ABm+2

3.（23-24高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）若直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)和3（-"2,1）,且與斜率為的直線垂直,

則實(shí)數(shù)。的值是（）

23.23

A.——B.-C.±-D.±-

3232

【答案】A

—1—11

【解析】由題意得，直線/的斜率必存在，且七8=-^——-=—（a^O）.

〃一2一（—Q—2）a

2

因?yàn)橹本€/與斜率為-2的直線垂直

所以-9（一4]=-1,解得。=-當(dāng)故選：A.

4.（22-23高二下?甘肅蘭州?開學(xué)考試）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)/（-2,0）和點(diǎn)8（1,3。）的直線4與經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸和點(diǎn)

。（0,-2a）的直線乙互相垂直，則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.0B.1C.0或1D.-1或1

【答案】C

j3a—0

【解析】直線4的斜率尤=匚有=。.

①當(dāng)a#0時(shí)，直線4的斜率總=2a（7）=T.

a-0a

。

因?yàn)樗宰笊?，即。1—2^二一1，解得。=1.

a

②當(dāng)a=o時(shí)，尸（0,-1）、2（0,0）,此時(shí)直線4為y軸，

又/（一2,0）、5（1,0）,則直線4為X軸，顯然/口兒

綜上可知，a=0或1.故選：C.

5.（22-23高二上?浙江杭州?期末）已知點(diǎn)/（口）和3（2,4）,點(diǎn)尸在夕軸上，且/為直角，則點(diǎn)尸坐標(biāo)

為（）

A.（0,2）B.（0,2）或（0,3）C.（0,2）或（0,4）D.（0,3）

【答案】B

【解析】由題意,設(shè)點(diǎn)尸（0/）,

???NAP8為直角，AP1BP,

由上"==二^，二3戶心BP=（i=T，解得y=3或2,

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,2）或（0,3）故選：B

6.（23-24高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）以/（-2,-1）,8（4,2）,。（2,6）,。（-3,1）為頂點(diǎn)的四邊形是（）

A.平行四邊形，但不是矩形B.矩形C.梯形，但不是直角梯形D.直角梯

形

【答案】D

其中的==.°=-2/。=,.初=k,AD//BC,

—J+ZZ—4BC

2+11

kAB=^^=-^kAB'kBC=-^AB^BC，

\AE\=J（-2+3）2+（一1—1）2=y/5,\BC\=J（4_2）2+（2-6『二而#⑷,

所以四邊形/BCD是直角梯形；故選：D.

二、多選題

7.（23-24高二上?青海西寧?月考）下列各組直線中人與4一定平行的是（）

A.I經(jīng)過(guò)點(diǎn)上（2,1）,8（-3,5）,［經(jīng)過(guò)點(diǎn)“3,-3）,。（8,-7）

B.4經(jīng)過(guò)點(diǎn)以0,1）,尸（-2,-1）,4經(jīng)過(guò)點(diǎn)G（3,4）,7/（2,3）

C.4的傾斜角為60。，4經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（l,百）,N（-2,-26）

D.）平行于。軸，與經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（°，-2）,。（0,5）

【答案】AD

5-14-7+34

【解析】對(duì)于A.由題意知尢所以直線4與直線平行或重合,

—3—250—35

（）

又做。=5+--"3=一4］*一4:故〃〃2,A選項(xiàng)正確；

-1-13-4

對(duì)于B.由題意知占~-=1,k=~一~=1?

-2-022-3

4-(-1)

所以直線4與直線，2平行或重合，即G=TY=I，故直線4與直線A重合，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于C.由題意知左］=tan60°=V3,k2=^———--=yp3,kx=k2,

—2—1

所以直線4與直線4可能平行可能重合，c選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D.由題意知4的斜率不存在，且不是y軸，4的斜率也不存在，恰好是y軸，

所以〃〃2,D選項(xiàng)確.故選：AD

8.(23-24高二上?全國(guó)?單元測(cè)試)(2023秋?河北石家莊?高二石家莊市第四中學(xué)?？荚驴?以

為頂點(diǎn)的三角形，卜列結(jié)論正確的有()

,2

A.kAB=--

,1

B-kBC=~~

C.以A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形

D.以8點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形

【答案】AC

i_(_n2

【解析】對(duì)于A,因?yàn)?(-1,1),8(2,-1),所以幻B=—=-丁，所以A正確，

—1—23

-1-41

對(duì)于B,因?yàn)?(2,T),C(1,4),所以原C=W^=-5H-：,所以B錯(cuò)誤，

2—14

21-4322

對(duì)于C,因?yàn)榈腂=_￡，kAC=-T=-＞所以3B,3C=_￡X￡=T,

J—1—1，JJ

所以481/C,所以“3C以A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以C正確，

2

對(duì)于D,因?yàn)獒?-屋kBC=-5,所以勉?磯wT，所以D錯(cuò)誤，故選：AC

三、填空題

9.(23-24高二上?浙江嘉興?期中)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)(加,3)和(2,%)的直線/與斜率為一4的直線互相平行，則加的值

是.

【答案】j5/lj2

【解析】由題意勺=Y3—YYI，

m-2

又因?yàn)橹本€/與斜率為-4的直線互相平行，

所以Y3—冽=-4,解得機(jī)=5；

m-23

10.(23-24高二上?全國(guó)?課后作業(yè))已知/(1,3),8(5,1),C(3,7),A,B,C,。四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行

四邊形，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

【答案】(7,5)或(-1,9)或(3,-3).

【解析】由題，/(1,3),8(5,1),C(3,7),

一7-31-317-1

所以心c=H=2，=531=-2'jC=§T)=_3，

設(shè)。的坐標(biāo)為(xj)(xwl且xw5且xw3),分以下三種情況:

①當(dāng)8C為對(duì)角線時(shí)，有kcD=k,B，kBD=kAC,

=

所以'2公v—1=2,5v3—7?1，解得]\X尸15'即"，5)；

②當(dāng)/C為對(duì)角線時(shí)，有勺》=kAB,kAD=kBC,