集合與簡易邏輯、不等式（測試）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第一部分（選擇題共58分）

一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符號題目要求的）

1.（2025?陜西咸陽?模擬預(yù)測）已知集合河=卜卜-2K2},Af={-2,-1,0,1,2,3},則河口"=

（）

A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}C.{0,1,2,3}D.{1,2,3}

【答案】C

【知識點】交集的概念及運算、利用不等式求值或取值范圍

【詳解】因為M=區(qū)2}={x|0WxW4},TV={-2,-1,0,1,2,3）,

所以McN={0,l,2,3}.

故選：C.

2.（2025?天津?二模）已知△6e（0,+oo）,則"°>b"是的（）

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【知識點】充要條件的證明、比較函數(shù)值的大小關(guān)系

【詳解】令〃x）=x-g（x>0）,,?,y=x,y=-在（0,+8）上都為增函數(shù)，.=x-在

（0,+8）單調(diào)遞增，

又a,6e（0,+oo）,所以a>b,

即"a>b"是""!>61”的充要條件，

ab

故選：C

3.（2025?福建泉州?模擬預(yù)測）設(shè)力=卜睜2,44},5={x|x2<ax},若xe/是的充

分條件，則（）

A.0<a<2B.\<a<2C.a-2D.a>2

【答案】D

【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)、一元二次不等式在某

區(qū)間上的恒成立問題、由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【詳解】由題意，得/=[0,2],因為xe/是的充分條件，

所以N勺8即Vxe[0,2]廣2-oxWO,

已知二次函數(shù)y=x?-辦=x(x-a),開口向上，與x軸交于(0,0),(a,0),

僅當(dāng)。22滿足Txe[0,2],xZ-axWO.

故選：D.

4.(2025,湖北黃岡,模擬預(yù)測)若“VxeR,/一加x+2>0"是真命題，則實數(shù)機的取值范圍為

()

A.(-272,272)B.12板,2回C.(-2,2)D.[-2,2]

【答案】A

【知識點】根據(jù)全稱命題的真假求參數(shù)、一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題

【詳解】由題意可得：A=m2-8<0,

解得：-2A/2<m<2A/2，

所以實數(shù)冽的取值范圍為卜2后,2血)，

故選：A

5..(24-25高三下廣東深圳?階段練習(xí))若關(guān)于x的不等式爾+(2。-1八-2>0的解集是

則a的取值范圍是()

A.1一°°，一B.C.D.(一；,0)U(0,+<?

【答案】A

【知識點】由一元二次不等式的解確定參數(shù)

【詳解】因為關(guān)于x的不等式小+(2。-1b-2>0的解集是所以可知。<0,

所以原不等式可化為辦?+(2a-l)x—2=a(x+2)(x)>0

顯然-2」是方程辦2+(2a-1)X_2=0的兩根，

a

所以只須-2<工，解得。<一《，

a2

所以°的取值范圍是-g]

故選：A

6.（24-25高一上?浙江?期中）關(guān)于x的方程/+（a-2）x+5-。=0有兩根，其中一根小于2,

另一根大于3,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.{a[a<-5或a>-4}B.1a|-5<a<-4}

C.[a\a<-5jD.{a|a>-4}

【答案】C

【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、一元二次方程根的分布問題

【詳解】設(shè)/（x）=/+（a-2）x+5-a,

/（2）<04+2（a-2）+5-a<0

則由題意可知，/⑶<0,即9+3（“-2）+5-。<0,解得a<-5,

A=（。-2）2-4（5-a）>0|A=（a-2）2-4（5—a）>0

故實數(shù)a的取值范圍是{a\a<-5}.

故選：C.

7.（24-25高一下?浙江杭州?期中）已知關(guān)于x的不等式/-4ax+3a2<0（a<0）的解集為

/、2。

（項，%2），貝!]須+%2+的最大值是（）

x{x2

A476R476r473n473

3333

【答案】B

【知識點】由一元二次不等式的解確定參數(shù)、基本不等式求和的最小值

【詳解】因為關(guān)于x的不等式V-4辦+3/<0（a<0）的解集為（再,/）,

玉+工2=4〃

所以2

xxx2=3a

2a.2a.2

所以*+%+藐=4。+彳=4.+高

=-(-4(7)+-^—

'7-3a“』（"）?￡=一半，當(dāng)且僅當(dāng)-4"高，即時取等號.

故選：B

4x1

8.（2025高三?全國?專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式一+—^24對任意x>2恒成立，則正實

數(shù)a的可能值為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【知識點】基本不等式的恒成立問題

【分析】將竺+一4轉(zhuǎn)化為小二義+」—24-§,然后根據(jù)基本不等式得到

ax-2ax-2a

4（x-2）+14最后列不等式求q的范圍即可.

ax-2yja

【詳解】???絲+」N4,則4-2）+」“上

ax-2ax-2a

原題意等價于4（x-2）+_L24一j.對任意j>2恒成立,

ax-2a

由a>0,x>2,貝—―>0,^—>0,

ax-2

可得4-2）+，4（x2）,=g

ax-2Vax-2Ja

當(dāng)且僅當(dāng)40-2）=，,即》=2+正時取得等號,

ax-22

84

44——<

a4a,解得0<tz<4.

a>0

故正實數(shù)。的取值集合為{〃[0<。<4}.

故選：A.

二、多選題（共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項中，由多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，由選錯的得。分）

9.（24-25高三下?河北?開學(xué)考試）已知。>1>6>0,則下列不等式中一定正確的是（）

aba-1b-\aa+cab

【答案】BD

【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、作差法比較代數(shù)式的大小

【詳解】當(dāng)c<0時,￡，=c伍一"）>0,一￡>￡,故A錯誤;

ababab

當(dāng)時，<2—1>0,—1<0,--->----,故B正確；

a-\b-\

bb+cc(b-a\c(b-a\八bb+c

=—7----當(dāng)c<0,a+c>0時，-7-----(>0,?,-—>-----，故C錯誤；

aa+c-磯Q+C)aya+c)aa+c

Lc.cb、baba.\ba_,,_七環(huán)

..0<—<1,..—w—，——I—>2J—x—=2,故^D正確.

aabab\ab

故選：BD.

10.(2025?河北?三模)已知集合/=卜|"+6>0},8=卜卜1<》<3},則下列結(jié)論正確的是

()

A.3a=AB.3a=B

C.VQ￡R,/C5W0D.GR,^4^M=R

【答案】BCD

【知識點】交并補混合運算

【詳解】已知集合/=k卬+6>0},8=卜卜1°<3},

當(dāng)a>0時，N=[-"|,+oo]；當(dāng)a=0時，/=R；當(dāng)a<0時，

對于A,由對集合A分析知/ClBw/,故A不正確，

對于C,由對集合A分析知VaeR,/cB/0,故C正確；

對于B,當(dāng)。=-1時，^=(-oo,6),止匕時=故B正確；

對于D,當(dāng)。=2時，^U(CR5)=R,故D正確.

故選：BCD.

11.(24-25高三下?重慶?階段練習(xí))已知。，仇ceR,滿足/+/+,2=4,且

(a-2)優(yōu)-2)(c-2)=曲c,則下列結(jié)論正確的有()

A.a+b+c=2B.ab+bc+ac=1

2

c.a的最大值為2D.。的最小值為-]

【答案】ACD

【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系

【分析】根據(jù)完全平方公式即可判斷AB；構(gòu)造以6,c為兩根的一元二次方程

f_(2—a)x+〃2—2Q=0,結(jié)合△20即可判斷CD.

【詳解】(〃一2)(6—2)(c—2)=abcn4(〃+b+c)-8=2(〃c+bc+ab),

所以/+02+2(ac+A+ab)=(〃+b+c)2=4+4(tz+Z)+c)-8,

解得Q+6+C=2,故A正確；

所以4(〃+b+c)-8=0=2(ac+bc+〃b),gpac+bc+ab=0,故B錯誤；

由。+6+。=2得，b+c=2-a,

2

be=-ac-ab=-a(<b+c^=-a(2-a^=a-2a,

構(gòu)造以上。為兩根的一元二次方程--(2-〃)x+〃2—2a=0,

則A=(2—Q)—4(q2—2Q)N0=>a￡—y,2,故CD正確；

故選：ACD.

三、填空題(共3小題，每小題5分，共15分.)

12.(2025?湖南長沙?模擬預(yù)測)命題〃士〉1,/—辦+2<0〃的否定是.

【答案JVx>1,%2—ux+220

【知識點】特稱命題的否定及其真假判斷

【詳角軍】命題'勺工〉1,%2—辦+2<0〃的否定是〃7%〉1,工2一辦+220〃.

故答案為：VX>1,X2-6ZX+2>0.

13.(2025高一上?河北保定?專題練習(xí))當(dāng)xe(-l,l)時，不等式2船？-履-石<0恒成立，貝必

8

的取值范圍是.

【答案】-3〈人4

O

【知識點】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題

3

【詳解】當(dāng)左=0時，有-?<0恒成立，滿足題意；

O

031

當(dāng)左w0時，令f(x)=2kx—kx—,對稱軸為XQ=—,

84

后>0時，/(X)在［-1()單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

3

"-1)=2左+"產(chǎn)0

O

則有《解得0〈左4,

3O

fm=2k-k--<0

O

左<0時，/（X）在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減,

則有〃3=當(dāng)-￡一：<0,解得-3〈后〈0,

41648

綜上可知，左的取值范圍是-3〈左

O

故答案為：

O

14-（2’25高三上,河南周口?期末）若關(guān)于x的不等式組120Vx<；2。（x"，加>0）恰有

50個不等的實數(shù)解，則加的取值范圍為.（結(jié)果用區(qū)間表示）

【答案】（?,18

【知識點】由一元二次不等式的解確定參數(shù)、解含有參數(shù)的一元二次不等式

m>0

【分析】先求出不等式工2-3加加2,加>0的解，再分-加工-20,4m>120,<-m>-20H

4m<120

種情況討論，再根據(jù)區(qū)間（-〃?,4加）內(nèi)有89個整數(shù)，得到區(qū)間（-九4〃?）的長度5加應(yīng)滿足的條

件，進而可得出答案.

【詳解】由X?—3mx>4m2,m>0,解得x<-m或x2,

當(dāng)一機<-20,即機>20時，4m>80,

此時原不等式組不可能有50個不等的實數(shù)解,

當(dāng)4加2120,即加上30時，-m<-30,

此時原不等式組無解，

m>0

當(dāng)<—m>—20,即0<加<20時，

4m<120

原不等式組的解集為（-20,-旬。［4優(yōu),120）,

因為原不等式組恰有50個不等的實數(shù)解，且區(qū)間（-20/20）內(nèi)有139個整數(shù),

所以在區(qū)間（-加,4m）內(nèi)有89個整數(shù),

OO

則區(qū)間（-私4加）的長度5加應(yīng)滿足88<5加W90,解得《〈加V18,

QQ

所以-184-俄<一彳，

則在區(qū)間（-20,-加]內(nèi)只有-19,-18兩個整數(shù)，

所以區(qū)間[4m,120）內(nèi)有48個整數(shù),

一71

所以71<4加W72,解得一<m<18,

4

綜上，機.

故答案為：[.』8.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）（22-23高一上?廣東湛江?期中）設(shè)全集為R,集合/=何3<x<6},B={x\2<x<9}.

（1）分別求/CB,（GB）U/；

⑵已知C={x[a<x<a+1},若CUB=8,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】（l）Nn8={x|34x<6},（Q5）U/={x|x42或3Wx<6或x29}；（2）2<a<8,

【詳解】（1）由題設(shè)/n8={x[3Wx<6},且qB={x|xV2或xN9},

所以Q2）U/={X|X42或3Wx<6或xN9}.

（2）由題意Cu2,顯然集合C非空，

\a>2

所以一c，可得2Va48.

[a+l<9

4

16.（15分）（24-25高三上?黑龍江哈爾濱?開學(xué)考試）（1）已知尤>3,求y=2x+------的最

2x—6

小值；

（2）若0<x<4,求y=x（8-2x）的最大值.

【答案】（1）10；（2）8

【詳解】（1）因為x>3,所以2x-6>0,

44/4

所以了=2x+--------=(2x-6)+--------+6>2(2x-6)----------+6=2x2+6=10,

2x—62x—6V2x—6

4

當(dāng)且僅當(dāng)2x-6=^-即x=4時取等號.

2x-6

4

所以ynZx+7j_7的最小值是10-

2x-6

(2)因為0<x<4,所以8-2%〉0,

所以>=x(8—2x)=g?2x(8—2x)W—=8,

當(dāng)且僅當(dāng)2x=8-2x,即x=2時取等號.

所以V=x(8-2x)的最大值為8.

17.(15分)(24-25高一上?重慶?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=/+(2—Q)X+5—〃

⑴求關(guān)于%的不等式/(力>〃+5的解集；

⑵若函數(shù)“X)在2時存在零點，求實數(shù)。的取值范圍.

-13"

【答案】⑴答案見解析；⑵4,5.

【詳解】(1)由/(x)>〃+5得％2+(2—。)工一2。>0,即(X+2)(X—Q)>0,

①當(dāng)。=-2時，不等式的解集為任|工￥-2｝；

②當(dāng)〃>-2時，不等式的解集為(-叫-2)U(〃,+8)；

③當(dāng)Q<-2時，不等式的解集為(-8,〃)U(-2,+8).

(2)因為/(X)=3?+(2-〃卜+5-。在x￡—,2時存在零點，

二.％?+(2-+5-a=0在x￡~,2時存在實根，

即方程a=x2：j；+5］xe1,21有實根，

令g3』2x+3=(x+l)士4,

X+1X+1

-314

令%=x+l,te—,3,//(/)=t+~f

「31

由對對勾函數(shù)性質(zhì)知，在-,2上單調(diào)遞減，在［2,3］單調(diào)遞增.

i7325

h

咐1nLM2)=4,〃(3)=1，

7/、13

MOmax=~

13

所以Q=g(%)￡4A，§-

18.（17分）（24-25高三上?陜西咸陽?階段練習(xí)）已知"：存在XER,使得不等式

vyiX—7/、

一—2辦+。2+。一2<0成立，q：不等式-----<0（m0）.

mx+1

⑴若命題?是假命題，求實數(shù)。的取值范圍;

⑵若4=1,且P是9的充分不必要條件，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】⑴（2,+動；⑵,;,o]u（（M]

【知識點】一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題、解含有參數(shù)的一元二次不等式、根據(jù)充

分不必要條件求參數(shù)、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

【詳解】（1）若命題?是假命題，則力是真命題，

所以任意xeR，使得不等式尤2_2辦+02+0_2>0成立,

所以△=(—2a)—4^a2+a—2)<0,解得：a>2,

故實數(shù)。的取值范圍為：（2,+s）.

（2）若。=1,P：存在xeR,使得不等式-—2x40成立,

則x（x-2）W0,解得：0WxW2,設(shè)集合/=[0,2],

(mx-2)(mx+l)<0

若拉>0,不等式——Vo可得:

mx+\7加x+1w0

解得：設(shè)設(shè)集合5=（

mmym

若夕是9的充分不必要條件，則A房3,

--<0

m

則,則0<加K1,

葭2

mx-2八[(mx-2)(mx+1)<0

若加<o,不等式一可得：r?一),

mx+1\mx+1w0

解得：設(shè)設(shè)集合。=