試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)東南大學(xué)

2025強(qiáng)基計(jì)劃招生數(shù)試題1．將長(zhǎng)度為的線段分成3段，則分成的段恰好能拼成三角形的概率為．2．在1到2025中，恰好是3，5，7中兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？3．若，且，求k的最大值，使得恒成立．4．已知，設(shè)，若，求．5．若，則判斷的形狀．6．求值：7．方程在上的解的個(gè)數(shù)有多少個(gè)？8．已知六位數(shù)，若，求9．在任意平面凸四邊形中，求點(diǎn)個(gè)數(shù)的最大值，使得．10．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和，滿足，若，求的值，使得取最小值．11．已知首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，滿足成等比數(shù)列，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．12．設(shè)是R上的單調(diào)函數(shù)，滿足，求的值．13．已知直線和的交點(diǎn)都是整點(diǎn)．則滿足的直線有幾條．14．四面體滿足，求四面體的體積的最大值．15．若存在連續(xù)3個(gè)自然數(shù)恰好分別是5，8，11的倍數(shù)，求這三個(gè)自然數(shù)中最大數(shù)的最小值．16．設(shè)，(1)證明：只有一個(gè)根．(2)證明：有2個(gè)零點(diǎn)．(3)證明：．17．（1）證明：；（2）證明：．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．##【分析】設(shè)段的長(zhǎng)度分別為，段構(gòu)成三角形的約束條件，利用面積測(cè)度即可求出構(gòu)成三角形的概率．．【詳解】設(shè)三段長(zhǎng)分別為，則總樣本空間為，化簡(jiǎn)可得，若段恰好拼成三角形，則，所以，作圖如下：其中滿足不等式組的點(diǎn)在內(nèi)，不含邊界，滿足不等式組的點(diǎn)在內(nèi)，不含邊界，則，.則分成的段恰好能拼成三角形的概率為.故答案為：.2．231【分析】在1到2025中分別找出是15，21，35，105倍數(shù)的個(gè)數(shù)，再由集合基本關(guān)系計(jì)算即可求解.【詳解】在1到2025中，15的倍數(shù)有個(gè)，其中2025是15的倍數(shù)；21的倍數(shù)有個(gè)；35的倍數(shù)有個(gè)；105的倍數(shù)有個(gè)；所以在1到2025中，恰好是3，5，7中兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)的數(shù)有個(gè).3．【分析】法一：采用特殊值探路，再證明結(jié)論即可；法二：利用三角換元，設(shè),，再設(shè)，求出的范圍，再將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求出最值.【詳解】法一：由題意知，由，對(duì)稱，不妨設(shè)代入可得，下證：．事實(shí)上因?yàn)棰伲?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，②，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，①②得，即，故的最大值為．法二：因?yàn)?，則設(shè),，，因?yàn)?，則，則，則，則，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，則，則的最大值為.4．【分析】設(shè)，利用雙曲代換法構(gòu)造新系數(shù)即可得到答案.【詳解】不妨設(shè)，設(shè)，考慮雙曲代換，其中，則需要改系數(shù)，設(shè)，需滿足，取，，再令，進(jìn)而，設(shè),則，故.則.5．鈍角三角形【分析】根據(jù)正弦定理邊換角，再聯(lián)立方程組解出內(nèi)角的正弦值和余弦值，最后利用兩角和余弦公式求出即可判斷.【詳解】由正弦定理得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則均為銳角，②式平方得，即，將其代入①得，，則，，則，則，則為鈍角三角形.6．【分析】由題可得通項(xiàng)為，然后利用反正切和、差角公式計(jì)算即可.【詳解】，所以通項(xiàng)為，故原式.7．4【分析】為了使方程有解，必須有，只需要在的區(qū)間內(nèi)尋找解.設(shè)，在內(nèi)分析的零點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)周期性得到內(nèi)的零點(diǎn)總數(shù).【詳解】∵，∴，在內(nèi)解得的范圍是.設(shè)，,在內(nèi)，即嚴(yán)格遞增，又因?yàn)?，所以在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).在上，恒成立，所以單調(diào)遞增，又，，所以存在,使得,且上,上,所以上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，函數(shù)在內(nèi)共有2個(gè)零點(diǎn).由于的周期為，所以在內(nèi)，也有2個(gè)零點(diǎn).因此，在內(nèi)共有4個(gè)零點(diǎn)，方程在上的解的個(gè)數(shù)有4個(gè).8．【分析】設(shè)，再根據(jù)已知列式計(jì)算求解三位數(shù)質(zhì)數(shù)即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槎际侨粩?shù)，且互質(zhì)，所以，所以.9．詳見(jiàn)解析【分析】在任意平面凸四邊形ABCD中，考慮滿足題設(shè)條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù).通過(guò)分析面積條件對(duì)應(yīng)的軌跡，每個(gè)面積相等條件對(duì)應(yīng)一條直線，這些直線的交點(diǎn)即為可能的P點(diǎn).【詳解】設(shè)四個(gè)三角形的面積均等于.點(diǎn)的位置決定了這些面積.條件定義了一條直線（稱為等面積線），類(lèi)似地，定義了另一條直線.點(diǎn)必須同時(shí)位于這兩條直線上，因此是這兩條直線的交點(diǎn).兩條直線在平面中最多相交于一個(gè)點(diǎn)，但在某些四邊形中，這兩條直線可能重合或特殊情況，導(dǎo)致多個(gè)點(diǎn).對(duì)于大多數(shù)凸四邊形（如平行四邊形、矩形、菱形），點(diǎn)的個(gè)數(shù)通常為1（例如，在平行四邊形中，是對(duì)角線交點(diǎn)）.然而，存在一些非對(duì)稱或特殊凸四邊形，使得兩條等面積線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且在這兩點(diǎn)處，所有四個(gè)三角形的面積都相等.例如：考慮四邊形,,,.通過(guò)計(jì)算，點(diǎn)可以是和，且在這兩點(diǎn)處，成立.因此，點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以達(dá)到2，且這是可能的最大值.最大值證明：在一般凸四邊形中，點(diǎn)的個(gè)數(shù)不超過(guò)2，因?yàn)閮蓷l直線最多相交于兩個(gè)點(diǎn).對(duì)于某些四邊形（如梯形或不規(guī)則四邊形），點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能為0或1，但存在具體四邊形（如上述例子）使得個(gè)數(shù)為2.由于問(wèn)題要求“在任意平面凸四邊形中”的點(diǎn)個(gè)數(shù)的最大值，這表示在所有可能凸四邊形中，滿足條件的點(diǎn)數(shù)的上確界是2.結(jié)論：滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)最大值是2，出現(xiàn)在特定凸四邊形中.10．4【分析】由遞推關(guān)系求，求通項(xiàng)，進(jìn)而計(jì)算的前面幾個(gè)值，猜測(cè)分析證明結(jié)論.【詳解】給定的遞推關(guān)系是：，可以改寫(xiě)為：，兩邊同時(shí)除以：，令，則遞推關(guān)系變?yōu)椋?，，，因此?于是：，根據(jù)：，驗(yàn)證：，但題目給定，所以：，所以.計(jì)算幾個(gè)的值：，，，，，,觀察數(shù)值，在時(shí)取得最小值.對(duì)于，的值增大（從負(fù)到正），因此時(shí)取得最小值.11．當(dāng)時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和;當(dāng)時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和.【分析】先求得等差數(shù)列的公差或,然后利用作差法得到得,其中為數(shù)列的前項(xiàng)和，即，再次作差并檢驗(yàn)初始值得到,在兩種情況下分別求得的表達(dá)式，進(jìn)而代回得到.【詳解】設(shè)公差為,由已知得,解得或,，得，相減得,其中為數(shù)列的前項(xiàng)和.∵,∴①∴

當(dāng)時(shí)②,①②兩式相減得③,,,,,,∴③式對(duì)于都成立.當(dāng)時(shí)，,代入①得.當(dāng)時(shí),代入③得,,為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，,代入①得.12．【分析】設(shè)，構(gòu)造函數(shù)賦值法計(jì)算得出或，結(jié)合函數(shù)值排除求解即可.【詳解】設(shè)，所以，所以，所以，所以或，當(dāng)時(shí)，，是單調(diào)函數(shù)增函數(shù)，所以，，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，是R上的單調(diào)函數(shù)，所以，，，不符合題意；所以.13．【分析】先求出圓上的整數(shù)點(diǎn)，再用表示這些整數(shù)點(diǎn)中的不同兩點(diǎn)，求出直線方程，進(jìn)而得出，再逐一代入檢驗(yàn).【詳解】圓上的整數(shù)點(diǎn)有，，，，用表示這些整數(shù)點(diǎn)中的不同兩點(diǎn)，則直線與為同一直線，因，則與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，故由形成的直線的斜率必然存在且不為，且不過(guò)原點(diǎn)，因，令，得；令，得，則，，則條符合符合符合由于對(duì)稱性可知，同上共條由對(duì)稱性可知，同上共條共條符合符合符合符合由對(duì)稱性可知，同上共條綜上可知，符合題意的直線共條.14．【分析】由題可設(shè)中點(diǎn)為，，可得，，也可證平面，所以四面體的體積，又，四面體的體積要取最大，所以首先要最大值，即當(dāng)時(shí)，則此時(shí)，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可.【詳解】在四面體中，設(shè)中點(diǎn)為，，，，，又平面，所以平面，則四面體的體積，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，令，，，解得或，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以四面體的體積的最大值為.15．297【分析】設(shè)這三數(shù)為，由題可得不定方程組，解得，，然后由為自然數(shù)結(jié)合題意可得答案.【詳解】設(shè)這三數(shù)為，不妨假設(shè)，由題有.對(duì)于不定方程，易得其一組特解為，則其通解為：；對(duì)于不定方程，易得其一組特解為，則其通解為：；注意到，設(shè)，因，則，此時(shí).從而，由題可得為自然數(shù)，則，此時(shí).則三個(gè)自然數(shù)中最大數(shù)的最小值為.此時(shí)，這三個(gè)自然數(shù)從小到大為，，，滿足題意.16．(1)證明見(jiàn)詳解(2)證明見(jiàn)詳解(3)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由初等函數(shù)單調(diào)性可知，在單調(diào)遞減，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可證明；（2）由（1）可知函數(shù)先單調(diào)遞增，再單調(diào)遞減，再利用零點(diǎn)存在定理可證；（3）由利用導(dǎo)數(shù)可證明，從而可證題設(shè)中的不等式.【詳解】（1）證明：函數(shù)的定義域?yàn)?，，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以在單調(diào)遞減，又