第01講集合與常用邏輯用語(yǔ)

01易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)】

一、集合的概念

1.集合的概念

1）元素：把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素，用小寫(xiě)拉丁字母a、b、c表示.

2）集合：把一些元素組成的總體叫做集合，或簡(jiǎn)稱(chēng)集，用大寫(xiě)字母A、B、C表示.

3）集合中元素的特征：

一個(gè)集合中的元素必須是確定的，即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素要么是該集合中的

確定性

元素，要么不是，二者必居其一，這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合

集合中的元素必須是互異的.對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同的.這

互異性

個(gè)特性通常被用來(lái)判斷集合的表示是否正確，或用來(lái)求集合中的未知元素

集合與其中元素的排列順序無(wú)關(guān)，如a,b,c組成的集合與b,c,a組成的集合是相同

無(wú)序性

的集合.這個(gè)特性通常被用來(lái)判斷兩個(gè)集合的關(guān)系

4）只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱(chēng)這兩個(gè)集合是相等的.

注意:集合的判斷從元素的三要素入手，考察確定性的問(wèn)題一般出現(xiàn)在自然語(yǔ)言表示的集合,

要注意題目中不明確的詞語(yǔ)，例如：“很大”、“著名”等?？疾旎ギ愋缘膯?wèn)題一般是針對(duì)

數(shù)字類(lèi)的題目，注意同一個(gè)數(shù)字不同的表示方法。

2.元素與集合的關(guān)系

如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A,記做aeA；

如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于集合A,記做aeA.

熟記數(shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及其記法

符號(hào)名稱(chēng)含義

N非負(fù)數(shù)集或自然數(shù)集全體非負(fù)整數(shù)組成的集合

N*或N+正整數(shù)集所有正整數(shù)組成的集合

Z整數(shù)集全體整數(shù)組成的集合

Q有理數(shù)集全體有理數(shù)組成的集合

R實(shí)數(shù)集全體實(shí)數(shù)組成的集合

注意：當(dāng)元素屬于集合時(shí)，應(yīng)該進(jìn)行分類(lèi)討論求出參數(shù)，參數(shù)代入驗(yàn)證集合中的元素是否滿

足元素的三個(gè)特征。

3.集合的分類(lèi)與表示

集合的分類(lèi)：

(1)按元素的數(shù)量分為有限集、無(wú)限集、空集；

(2)按元素的屬性分為數(shù)集、點(diǎn)集以及其他集合.

表示方法：

(1)自然語(yǔ)言描述法.

(2)列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)”{}”括起來(lái)表示集合的

方法叫做列舉法。

(3)描述法：設(shè)A是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的

集合表示為{x￡AIP(x)},這種表示集合的方法稱(chēng)為描述法.

二、集合間的基本關(guān)系

1.子集和真子集

子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B,如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，我

們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱(chēng)集合A為集合B的子集.

記作：A^B(或BqA)

讀作：“A包含于B"(或“B包含A”)

符號(hào)語(yǔ)言：任意xeA,有xe瓦則AcB

Venn圖：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱(chēng)為Venn圖.

AUB可以用圖表示為：

真子集：如果集合AUB,但存在元素x6B,且x￡A,就稱(chēng)集合A是集合B的真子集.

記作：AuB(或BuA).

2.空集

空集：一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為0.

空集是任何集合的子集，即對(duì)于任意一個(gè)集合A,有0UA

集合相等：對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合

B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說(shuō)集合A等于集合B,記作A=B.

3.子集的個(gè)數(shù)

若一個(gè)集合含有R個(gè)元素，則其子集有20個(gè)，真子集有(2%)個(gè)，非空真子集有⑵2)個(gè)；

三、集合的基本運(yùn)算

1.并集

一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱(chēng)為集合A與B的并集，記

作：AUB讀作：“A并B”，即：AUB={X|XGA,或xEB};

Venn圖表示：

AUB

2.交集

一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作:

AAB,讀作：“A交B"，即AAB=3xeA,且xwB}；

全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素，那么就稱(chēng)這個(gè)集合

為全集，通常記作U.

補(bǔ)集：對(duì)于全集U的一個(gè)子集A,由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱(chēng)為

集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集(plementaryset),簡(jiǎn)稱(chēng)為集合A的補(bǔ)集，記作：,。“即

CVA={x|xe。且x仁A}

補(bǔ)集的Venn圖表示：

四、充分條件與必要條件

1.充分條件與必要條件

命題真假“若P，則q”是真命題“若P，則q”是假命題

推出關(guān)系p=>qp#q

P是q的充分條件P不是q的充分條件

條件關(guān)系

q是p的必要條件q不是P的必要條件

2.充要條件

(1)一般地，如果既有片><?,又有就記作p=g.此時(shí)，我們說(shuō)，。是g的充分必要條

件，簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件.

概括地說(shuō)，如果kg,那么o與g互為充要條件.

(2)若q,但°A0,則稱(chēng)p是。的充分不必要條件.

(3)若［np,但0Aq,則稱(chēng)。是g的必要不充分條件.

(4)若0A°,且gAR則稱(chēng)0是g的既不充分也不必要條件.

3.從集合角度看充分、必要條件

若ACB,則p是q的充分條件，若AuB,則p是q的充

分不必要條件

若BUA,則p是q的必要條件，若BuA,則p是q的必

要不充分條件2

若八=8,則p,q互為充要條件

若AcB=0或AcBW0,但/AJlAcB23

則P既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

(A)CD

五、全稱(chēng)量詞與存在量詞

1.全稱(chēng)量詞與全稱(chēng)量詞命題

(1)短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱(chēng)量詞，并用符號(hào)“V”表示.

(2)含有全稱(chēng)量詞的命題叫做全稱(chēng)量詞命題，通常將含有變量x的語(yǔ)句用p(x),g(x),r(x),…

表示，變量x的取值范圍用〃表示，那么全稱(chēng)量詞命題”對(duì)〃中任意一個(gè)x,0(x)成立"可

用符號(hào)簡(jiǎn)記為p(x).

2.存在量詞與存在量詞命題

⑴短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“三”表示.

(2)含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題，存在量詞命題“存在〃中的元素x,使0(x)

成立"，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為T(mén)xGM,Hx)”.

3.含有一個(gè)量詞的命題的否定「

一般地，對(duì)于含有一個(gè)量詞的命題的否定，有下面的結(jié)論：

全稱(chēng)量詞命題0：Vx^M,p(.x),它的否定一3xGM,—T?(X)；

存在量詞命題夕：3x￡M,4(x),它的否定一10：PxRM,—＞夕(入).

全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題.

c.＞【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：集合的概念

[\]1.現(xiàn)有以下說(shuō)法，其中正確的是

①接近于0的數(shù)的全體構(gòu)成一個(gè)集合；

②正方體的全體構(gòu)成一個(gè)集合；

③未來(lái)世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個(gè)集合；

④不大于3的所有自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合.

A.①②B.②③C.③④D.②④

【答案】D

【詳解】在①中，接近于0的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿足集合中元素的確定性，不能構(gòu)成一個(gè)集合，

故①錯(cuò)誤；在②中，正方體的全體能構(gòu)成一個(gè)集合，故②正確；在③中，未來(lái)世界的高科技

產(chǎn)品不能構(gòu)成一個(gè)集合，高科技的標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿足集合中元素的確定性，故③錯(cuò)誤；在

④中，不大于3的所有自然數(shù)能構(gòu)成一個(gè)集合，故④正確.故選D.

2.下列四個(gè)命題：①{0}是空集；②若aGN,則一述N；③集合{xdR|x2—2尤+1=0}含有

兩個(gè)元素；④集合*eQlgeN1是有限集.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2

C.3D.0

【答案】D

【詳解】①{0}是含有一個(gè)元素0的集合，不是空集，所以①不正確；

②當(dāng)〃=0時(shí)，0￡N,所以②不正確；

③因?yàn)橛桑?2%+1=0,得制=&=1,所以{不￡國(guó)/—2%+1=0}={1},所以③不正確；

④當(dāng)x為正整數(shù)的倒數(shù)時(shí)，|eN,所以[xeofeN}是無(wú)限集，所以④不正確.

故選：D

考點(diǎn)二：集合的基本關(guān)系

\3.已知集合"={》|/-3苫+2=0},N={0,l,2},則下列關(guān)系正確的是()

A.M=NB.M=N

C.NQMD.NsM

【答案】B

【詳解】由集合M={小2一3》+2=。}={1,2},N={0,l,2},

可知M是N的真子集，故A、C錯(cuò)誤，B正確；

集合M、N之間不是元素與集合的關(guān)系，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

4.給出以下5組集合：

①//㈠，3)},N={-5,3}；

②g口，一3},N={3,-1}；

③N={0}；

④M={萬(wàn)},N={3.1415}；

⑤/={班/—3x+2=0},N={y\y2~3y+2=Q}.

其中是相等集合的有()

A.1組B.2組

C.3組D.4組

【答案】A

【詳解】對(duì)于①，M={(-5,3)}中只有一個(gè)元素(一5,3),N=[—5,3}中有兩個(gè)元素一5,

3,故N不是相等集合；對(duì)于②，M={1,-3},N={3,-1},集合M和集合N中的

元素不同，故N不是相等集合；對(duì)于③，M=(t＞，N={0},M是空集,N中有一個(gè)元素

0,故N不是相等集合；對(duì)于④，M={萬(wàn)},N={3.1415},M和N中各有一個(gè)元素，但

元素不相同，故M,N不是相等集合；對(duì)于⑤，M和N都只有兩個(gè)元素1,2,所以M和N

是相等集合.

故選：A.

考點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算

[\]5.設(shè)全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={-2,1},B=卜2一尤=0},則A|(CuB)=()

A.{-2,-1,0}B.{-2,-1,1}

C.{-2,-1,2}D.{-2,-1,1,2}

【答案】D

【詳解】因?yàn)锽=kM-x=o}={o」},所以CuB={-2,—l,2},

所以A5CuB)={-2,-l,L2},故選：D.

6.已知集合4=何-1<尤〈3},集合8=舊國(guó)42},則下列關(guān)系式正確的是()

A.AnB=0B.AuS={x|-2<x<3)

C.=尤<-1或x>2}D.An^B=1x|2<x<3}

【答案】D

【詳解】解:A={x|-1<%,3},B={x[]娜}={x|-2卜2},

.-.AnB={x|-l<^}n{x|-2磁心={尤|—l<x2},故A不正確；

AuB={x|-l<^$}u{x|-2遙叫={x|-2*3},故B不正確;

={x|x<-2或x>2},

Ao^B={x|-l<%,,3}。{尤|了<一2或》>2}={尤|彳<-2或》>-1},故C不正確；

4門(mén)28={.*|-1<%,3}門(mén){犬|工<一2或》>2}={彳|2<蒼,3},故D正確.

???正確的是D.

故選：D.

考點(diǎn)四：充分條件與必要條件

[\]7.若a,b為實(shí)數(shù)，則"＞0是。＞。力＞。的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】由題意，若。6＞0,則。＞0,。＞0或。＜0,6＜0,故充分性不成立；

若。＞0,6＞0,則必＞0,故必要性成立.

因此，例＞0是。＞0,6＞。的必要不充分條件.

故選：B

8.“x=3”是“x2-2x-3=0”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不必要也不充分

【答案】A

【詳解】由/一2X一3=0可得（尤―3）（尤+1）=0,即x=3或尸一1

則“%=3”是“彳2一2；（：-3=0”的充分不必要條件

故選：A

考點(diǎn)五：全稱(chēng)量詞與存在量詞

命題“Vx>0,/+%>0”的否定是（）

A.3x>0,%2+%>0B.3x>0,x2+x<0

C.Vx>0,x2+x<0D.Vx<0,x2+x>0

【答案】B

【詳角軍】命題“Vx>0,f+%>o”的否定是"三%>0,x2+x<0

故選：B.

10.已知命題P：HX￡R,%2+QX+I<0,若〃為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.(—2,2)B.(H50,-2)(2,+co)C.[—2,2]D.(~°0,—2]?[2,+oo)

【答案】B

【詳解】命題P：HX￡H,%2+QX+I<0為真命題，貝IJA=Q2—4>0,解得a>2或av—2

故選：B

曜【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】

一、單選題

1.一次函數(shù)y=x+i與y=2x-i的圖像交點(diǎn)組成的集合是（）

A.{2,3}B.{x=2,y=3}C.{（2,3）}D.{(3,2)}

【答案】C

[y=x+l（x=2

【詳解】聯(lián)立方程組.『解得。，

所以兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)組成的集合是{（2,3）}.

故選：C.

2.已知集合A={x|2-x>0},8={x|x+l>0},則473=（）

A.{x|x<2}B.{x|x>-l}

C.{x|-l<x<2}D.R

【答案】D

【詳解】由題意可得&={尤1x<2},B={^|x>-l},則AB=R.

故選：D.

3.《三字經(jīng)》中有一句“玉不琢，不成器”，其中“打磨玉石”是“成為器物”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】“打磨玉石”不一定“成為器物”，故充分性不成立，

但“成為器物”一定要“打磨玉石”，故必要性成立，

所以“打磨玉石''是"成為器物”的必要不充分條件.

故選:B.

4.若命題p："Vx>0,無(wú)2一公+420”是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<4B.a>2C.a<4D.a<2

【答案】C

【詳解】由題可知，X2-ax+4>0,貝！J有/+426，

4

因?yàn)閂龍>0,所以無(wú)+—2。，

x

因?yàn)橛?口=4,當(dāng)且僅當(dāng)尤=±即x=2時(shí)等號(hào)成立，

X\XX

所以

故選:C.

5.已知集合4=1,2_140,無(wú)"},B={-2,-1,0,1,2},則AcB子集的個(gè)數(shù)為（）.

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【詳解】解：集合3={—2,-1,0,1,2},A={x|x2-l<0,xeZ}={-l,0,l},

則集合Ac5中含有3個(gè)元素，

故集合AcB的子集個(gè)數(shù)為23=8.

故選：D.

6.設(shè)p:2<x<3,q：x>a,若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.[2,+oo）B.（-co,2]C.（-oo,3]D.[3,+?）

【答案】B

【詳解】因?yàn)镻是4的充分不必要條件，所以{x|2<x<3}[x\x>a],所以a<2,即實(shí)數(shù)

。的取值范圍是（f,2].

故選：B.

7.某小學(xué)對(duì)小學(xué)生的課外活動(dòng)進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示：參加舞蹈課外活動(dòng)的有63人,

參加唱歌課外活動(dòng)的有89人，參加體育課外活動(dòng)的有47人，三種課外活動(dòng)都參加的有24

人，只選擇兩種課外活動(dòng)參加的有22人，不參加其中任何一種課外活動(dòng)的有15人，則接受

調(diào)查的小學(xué)生共有多少人？（）

A.120B.144C.177D.192

【答案】B

【詳解】如圖所示，用韋恩圖表示題設(shè)中的集合關(guān)系，不妨將參加舞蹈、唱歌、體育課外活

動(dòng)的小學(xué)生分別用集合AB，C表示，

貝ijcard(A)=63,card(5)=89,cwd(C)=47,card(Ac5cC)=24,,

不妨設(shè)總?cè)藬?shù)為幾,韋恩圖中三塊區(qū)域的人數(shù)分別為X，yz,

即CG“(Ac5)=24+x,card(AryC)=y+24,card(BnC)=z+24,

x+y+z=22,

由容斥原理：

n-15=card(A)+card(B)+card。)—card{AcyB)—card(AcC)-card(BcC)+card{Ar\BnC)

=63+89+47-(24+x)-(24+j)-(24+z)+24,

解得：〃=144,

8.已知集合A={dY+無(wú)-6=0},B=[x\W2X+1=O},且3=則實(shí)數(shù)刃的取值構(gòu)成的

集合為（）

a-b-H4}cLT

【答案】D

【詳解】A=[x\X2+X-6=0}={-3,2}.

因?yàn)?1所以8=0,B={-3},B={2}.

當(dāng)6=0時(shí)，關(guān)于%的方程如+1=0無(wú)解，所以機(jī)=0；

當(dāng)5={-3}時(shí)，1=-3是關(guān)于x的方程如+1=0的根，所以加=；；

當(dāng)3={2}時(shí)，1=2是關(guān)于x的方程如+1=0的根，所以根=-g.

故實(shí)數(shù)加的取值構(gòu)成的集合為1o,-

故選：D

二、多選題

9.已知全集。=11,集合A、8滿足A星8,則下列選項(xiàng)正確的有()

A.AB=BB.ADB=BC.(^A)?B?D.An(^B)=0

【答案】BD

【詳解】因?yàn)锳星B,所以AB=A,AuB=B,因此選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；

因?yàn)锳呈B,所以存在走A,

因此有xi@A),所以@A)B^0,因此選項(xiàng)C不正確；

因?yàn)锳星B,所以VxeA都有而B(niǎo)&B)=0,

所以Ac(O3)=0,因此選項(xiàng)D正確，

故選：BD

10.下列說(shuō)法正確的是()

A.命題“現(xiàn)eR,片《2”的否定是“VxeR,%2>2"

B.存在％eQ,使得2M+%+1=0是真命題；

C.若命題Fx°eR,4x：+2x°+〃=0”為假命題，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是[j+m]

D.已知集合A={0,1,3,4},則滿足條件Au3=3的集合B的個(gè)數(shù)為15

【答案】AC

【詳解】對(duì)于A：命題君42”的否定是“VxeR,犬>2”,

即選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B：因?yàn)锳=l-8=-7v0,即方程2f+%+「()無(wú)實(shí)數(shù)解，也無(wú)有理數(shù)解，

即存在不￡Q,使得2%+/+1=0是假命題，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若命題“辦)￡R,4%；+2/+〃=0”為假命題，

則若命題“VXER,4爐+2%+〃w0”為真命題，

即4%2+2%+〃=0無(wú)實(shí)數(shù)角軋貝!JA=4—16〃<0,

解得w>9，即選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D：因?yàn)?所以AgB,又因?yàn)锳={0,1,3,4},

所以滿足條件的集合5有無(wú)數(shù)個(gè)，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AC.

三、填空題

11.已知全集。={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3},8={2,3,5,6},則圖中陰影部分表示的集合

【答案】{4}

【詳解】由題意得，AuB={l,2,3,5,6},全集U={1,2,3,4,5,6},

所以B)={4},

所以圖中陰影部分表示的集合為{4}.

故答案為：{4}

12.已知命題p：6[-1,1],V一3x+a>0.若命題F為真命題，則實(shí)數(shù)。的最大值是

【答案】-4

【詳解】因?yàn)槊}p：3xe[—1,1],三-3x+a>0,

所以命題-1P：Vxe,[—1,1],x2—3x+a<0,

因?yàn)槊}力為真命題，

所以+3x在[-1,1]上恒成立，

令f(x)=-x2+3x,xe[-1,1],

33

對(duì)稱(chēng)軸為》=---=->

-22

所以/(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增，

所以1nm=/(T)=-l—3=T，

所以aWT,

所以實(shí)數(shù)。的最大值為Y,

故答案為：—4.

四、解答題

13.已知集合”={%|1<%<2},集合N={尤[3<%<4}.

⑴求疫N,MeRN.

(2)設(shè)4="|。<彳<。+2},若A<AN=R,求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】⑴》N{x|x43,或x"},MMN={x[l?x<2}

⑵[2,3]

【詳解】(1)由題得，集合M={x|l<尤<2},集合N={x|3<x<4}

所以a/中<3或途4},

所以McaN={x[l<x<2}.

(2)由(1)得々N={尤卜43或*24}

由題得，A={無(wú)|a<x<a+2},

因?yàn)锳u4N=R,

fa<3

所以c、一解得2VaV3.

[a+2>4

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是[2,3].

14.命題P：(lVxe[l,2],f-aNO”，命題命“現(xiàn)eR,后+2眸+2-.=0”,若P,q都

為真命題時(shí)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(f,一2],{1}

【詳解】由V―心00℃2,當(dāng)x4l,2]時(shí)，二次函數(shù)單調(diào)遞增，所以有1V”4,

因?yàn)镻為真命題，所以有aVy*naVl;

因?yàn)?為真命題，所以方程/+2依+2-a=0有實(shí)數(shù)根，

因止匕有A=(2a)2—4(2-a)20naNl,或2,

[a<\[a<l

因此要想P,4都為真命題，只有、，，或,-解得。=1,或。<-2,

[a>l[a<-2

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(f,-2]{1}.

15.已知全集。=R，集合A={x|l<尤<3},集合3={也m<%<1-m}.條件①A08=0；

②xeA是xeB的充分條件：③e4白々eB,使得占=%.

(1)若機(jī)=T,求AcB；

(2)若集合4,2滿足條件.(三個(gè)條件任選一個(gè)作答)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】⑴{知，<2}⑵(一8,-2]

【詳解】(1)若機(jī)=-1,貝I]3={-42〃2<無(wú)<1-加}={川一2<》<2},

A={x|lW尤<3}

/.AnB={x|l<x<2}

(2)(2)若選①因?yàn)锳<8=0,

所以AqB,

1

m<—

2m<12

貝卜1一23n<m<-2,

2m<l—m1

m<—

I3

所以加W-2,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

若選②xeA是xe3的充分條件，則AgB,

1

m<—

2m<12

則v1-加23=>?m<-2,

2m<l-m1

m<—

L3

所以加W-2,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（f,-2].

若選③VX]eAH%eB,使得玉=%,則AqB,

1

m<—

2m<12

貝ijv1-加23=>?m<-2,

2m<l—m1

m<—

I3

所以mW-2,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（f,-2].

o【能力提升】

一、單選題

1.已知集合A={x|lWxW3},B={x12<x<4},U=R,則A&B)=()

A.{x|2<x<3}B.{尤|lWx<2}C.{x|x43或x"}D.{x|2<x<4}

【答案】C

【詳解】因?yàn)?={x|2<尤<4},U=R,

所以a3={x|xW2或x24},

所以4363={劃彳43或％24}.

故選：C.

2.若命題“HXoeR,x；+2〃/+〃?+2<0”為假命題，則加的取值范圍是（）

A.—1<m<2B.—1<wi<2C.1或D.1或〃z>2

【答案】A

【詳解】命題“mx（）eR,龍；+2，g）+機(jī)+2<?！钡姆穸?X/xeR,尤？+2?u+7〃+2WO”,該

命題為真命題，即△=4M—4（m+2）W。，解得唐e[-l,2].

故選：A

3.己知x、y都是實(shí)數(shù)，那么“%>尸’的充分必要條件是（）.

,,1122

A.lgx>lgyB.2">2>C.—>—D.x>y

一—尤y

【答案】B

【詳解】對(duì)于A,Qlgx>lgy=x>y>O,故“1g龍>lgy”是“x>y”的充分不必要條件，不

符合題意；

對(duì)于B,Q2*>2,ox>y,即“2工>2產(chǎn)是“為>廣’的充要條件，符合題意；

對(duì)于C,由得，。<尤<y或無(wú)>0>y,x<y<0,不能推出%>y，由%>丁也不能推出

尤y

所以是“%>尸’的既不充分也不必要條件，不符合題意；

xyxy

對(duì)于D,由不能推出x>y,由x>y也不能推出尤2>y2,故是

“x>y”的既不充分也不必要條件，不符合題意；

故選：B.

4.若不等式成立的充分條件為0<x<4,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.{ala>3}B.{a|a>l}C.{ala<3}D.{da41}

【答案】A

【詳解】解：「不等式成立的充分條件是0<x<4,

設(shè)不等式的解集為4則{x|0<x<4}aA,

當(dāng)時(shí)，A=0,不滿足要求；

當(dāng)a>0時(shí)，A={x\l-a<x<l+a],

若{x[0<x<4}aA,貝解得423.

11）[l+a.4

故選：A.

5.已知集合&={尤|2x—9<0},8=<中=坐”>,則AB=（）

A.。，3）心,|]B,[l,3）u（3,|}C,[4D.[1,|）

【答案】A

【詳解】A={x|2x-9<0}=1x|x<|j

對(duì)于集合B,有];I：;解得x>l，且左中3,所以用力1且X.3}

所以AcB=(l,3)upq]

故選：A

二、填空題

6.行知中學(xué)高一某班學(xué)生參加物理和數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)班的選拔，已知該班學(xué)生參加物理競(jìng)賽

輔導(dǎo)選拔的人數(shù)是該班全體人數(shù)的八分之三;參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)選拔的人數(shù)比參加物理競(jìng)賽

輔導(dǎo)選拔的人數(shù)多3人；兩個(gè)科目都參加選拔的人數(shù)比兩個(gè)科目都不參加的學(xué)生人數(shù)少7

人；則該班參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)選拔的人數(shù)是.

【答案】18

【詳解】記該班全體學(xué)生形成集合。，該班學(xué)生人數(shù)為小參加物理競(jìng)賽輔導(dǎo)選拔的人形成

3

集合A,則card(A)=g〃，

8

3

參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)選拔的人形成集合2,則card(B)=g〃+3,兩個(gè)科目都參加選拔的人數(shù)為

O

card(AB),

3

于是得card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)=—zz+3-card(AB),

4

兩個(gè)科目都不參加的學(xué)生人數(shù)為card(A8)+7,依題意，card(AB)+7+card(AB)=n,

33

即有一〃+3+7;〃，解得