專題二《集合》講義

知識梳理.集合

1.集合的有關(guān)概念

(1)集合元素的三個特性：

確定性、無序性、互異性

(2)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

(3)元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為e；不屬于，記為生

(4)五個特定的集合及其關(guān)系圖：

N*或N+表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實

數(shù)集.

2.集合間的基本關(guān)系

(1)子集：一般地，對于兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素都是集合8中的元

素，則稱A是8的子集，記作AGB(或B3A).

(2)真子集：如果集合A是集合2的子集，但集合8中至少有一個元素不屬于A,則稱

A是3的真子集.

(3)集合相等：如果A三2,并且21A,則A=A

(4)空集：不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集，是任何非空集合8的真子

集.記作Q

3.集合間的基本運算

(1)交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與8的

交集，記作即且xdg}.

(2)并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素組成的集合，稱為A與2的

并集，記作AUB,BPAUB={x|xeA,或xGB}.

(3)補集：對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合

A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作(必，即[必={x[xdU,且遇4}.

題型一?集合的基本概念

1.設(shè)集合A={2,1-a,a1-a+2],若4GA,貝！J〃=（）

A.-3或-1或2B.一3或一1C.一3或2D.-1或2

【解答】解：若1-。=4,則。=-3,

Aa2-〃+2=14,

：.A={2,4,14}；

若〃2一〃+2=4,則〃=2或〃=-1,

〃=2時，1-。-1,

???A={2,-1,4）；

a=-1時，1-a=2（舍）,

故選：C.

2.設(shè)〃，Z?GR,集合{1,a+b,〃}={0,―,b],貝！J匕-〃=（）

a

A.1B.-1C.2D.-2

h

【解答】解：根據(jù)題意，集合{1,a+b,a]={0,b)f

又

.??Q+Z?=0,BPa=-b,

b

=—1,

a

b=l；

故a=-1,b=l,

則b-a=2,

故選：C.

3.已知集合A={（x,y）*+/W3,xGZ,yGZ},則A中元素的個數(shù)為（）

A.9B.8C.5D.4

【解答】解：當(dāng)x=-1時，/W2,得y=-1,0,1,

當(dāng)x=0時，/W3,得y=-l,0,1,

當(dāng)x=l時，y2^2,得>=-1,0,1,

即集合A中元素有9個，

故選：A.

4.設(shè)集合A={1,2,3),5={4,5},加={小=。+4〃巳4,bCB},則M中元素的個數(shù)為

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：因為集合人={1,2,3},3={4,5},M={x\x=a+b,。巳4,bEB},

所以〃+匕的值可能為:1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8,

所以M中元素只有：5,6,7,8.共4個.

故選：B.

5.已知集合4={1,2,3),3={1,m},若3-機E4,則非零實數(shù)加的數(shù)值是2

【解答】解：?.,集合A={1,2,3},B={1,m},3-mGA,

3—m=1p—m=2p—m=3

m0或zn。0或zn。0

mW1THW1\m1

解得機=2.

???非零實數(shù)機的數(shù)值是2.

故答案為：2.

6.若集合A={XER|QX2+QX+I=O}其中只有一個元素，則〃=()

A.4B.2C.0D.?；?

【解答】解：當(dāng)。=0時，方程為1=0不成立，不滿足條件

當(dāng)〃W0時，△=/-4。=0,解得〃=4

故選：A.

題型二.集合的基本關(guān)系——子集個數(shù)

1.已知集合4={0,1,/},B={1,0,3a-2},若A=3,則a等于()

A.1或2B.-1或-2C.2D.1

【解答】解：??工=8,

3a-2=/,

解得：Q=1或2,

當(dāng)〃=1時，集合A={0,1,1}不滿足元素的互異性，故舍去，

當(dāng)〃=2時，集合A={0,1,4},集合3={1,0,4},符合題意，

所以a=2,

故選：C.

2.設(shè)集合A={x|lVxW2},B={x\x<a},若AU8,則。的取值范圍是()

A.{a\a^l}B.{o|aWl}C.{Q|〃22}D.{a\a>2}

【解答】解：由題意作圖則?！?即可,

故選：D.

B

3.已知集合知={4?=1},N=[x\ax=\},若NUM,則實數(shù)。的取值集合為()

A.{1}B.{-1,1}C.{1,0)D.{1,-1,0)

【解答】解：：集合M={x*=l}={-1,1),N={x|ax=l},NQM,

???當(dāng)a=0時，N=0,成立；

1

當(dāng)時，N={-},

a

1-1

■:NUM,???一=-1或一=1.

aa

解得a=-1或a=l,

綜上，實數(shù)。的取值集合為{1,-1,0}.

故選：D.

4.已知集合4={%枕2-3"-4/>0,(a>0)},2={x|x>2},若則實數(shù)a的取值范

圍是(0,手.

【解答】解：集合A={xp-3ar-4/>0,(a>0)}

={x[(x-4a)(x+a)>0,〃>0}

={x|x<-〃或x>4〃，a>0]f

B={x\x>2],BQA,

???0V4〃W2,解得

1

???實數(shù)〃的取值范圍是(0,-].

_1

故答案為：(0,-].

5.已知集合4={止2|%2+3%<0},則滿足條件的集合2的個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.8

【解答】解：:?集合A={xeZ|/+3x<0}={xeZ|-3cx<0}={-2,-1),

...滿足條件BQA的集合B的個數(shù)為22=4.

故選：c.

6.設(shè)集合A={1,0},集合B={2,3),集合M={x|x=b(a+b),aEA,bEB},則集合M

的真子集的個數(shù)為()

A.7個B.12個C.16個D.15個

【解答］解：a=\,b=2時，x=6,

a=l,b=3時，尤=12,

ci—b=2時，x=4,

<7=0,b=3時，x=9,

故知={4,6,9,12},

故M的真子集的個數(shù)是：24-1=15個，

故選：D.

題型三.集合的基本運算

1.設(shè)集合A={1,2,4},3={4?-41+機-1=0},若ACI3={1},則5=()

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

【解答】解：?.,集合A={1,2,4},3={x*-4x+機-1=0},ACI3={1},

.\x=l是x2-4x+m-1=0的解，.二1-4+m-1=0,

解得m=4,

.?.5={小2-4x+m-1=0}={%\^-4X+3=0}={1,3}.

故選：C.

2.已知集合A={(九,y)|/+y=1},B={(x,y)\y=-x},則AGB中元素的個數(shù)為()

A.3B.2C.1D.0

【解答】解：在同一個坐標(biāo)下，畫出圓W+F=l和直線y=的圖象如下所示：

圓/+y=1和直線y=-X有兩個交點,

AB中元素的個數(shù)為：2.

故選：B.

3.已知集合4={邢)<108平<1},B={x|e「2wi},則AUB=()

A.(-8,4)B.(1,4)C.(1,2)D.(1,2]

【解答]解：A={x\l<x<4},8={xbW2},

：.AUB=(-8,4).

故選：A.

4.滿足M={ai，a2,a3},且MA{m，a2,g}={。3}的集合M的子集個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：,..加={勾，a2,03}，且MC{ai，ai,43}={g}，

說明集合M中只含有一個元素“3，即知={。3}，

M的子集為0,{的}，

.??集合M的子集個數(shù)是2.

故選：B.

5.設(shè)集合A={x€Z||x|W2},B={x\^<1},則ACB=()

A.{1,2}B.{-1,-2}C.{-2,-1,2}D.{-2,-1,0,2)

【解答】解：A=[-2,-1,0,1,2),

B={^x>2或x<0},

故AAB={-2,-1,2},

故選：C.

6.已知集合4={1,2,3},B=W?-3x+a=0,aEA],若AABW0,則a的值為()

A.1B.2C.3D.1或2

【解答】解：a=l時，2中方程為x2-3x+l=0,其解為無理數(shù)，AAB=0；

a=2時，8中方程為7-3尤+2=0,其解為1和2,AnB={l,2}W0；

a=3時，2中方程為f-3x+3=O,無解，AC3=0；

綜上，a的值為2.

故選：B.

7.設(shè)集合4={尤*-2尤忘0,犬€1i},8={切>=-工2,-1WXW2},則CR(ACB)等于()

A.RB.{x|xGR,xWO}C.{0}D.(p

【解答】解：?..集合A={x|/-2xW0,xCR}={x|0WxW2},

B={My=-f，-1WXW2}={X|-4WxW0}，

/.AnB={0},

CR(AC5)—{x|xGR,XWO},

故選：B.

8.設(shè)集合A={Rx(4-x)>3},B={x|x|2〃},若AGB=A,則〃的取值范圍是()

A.B.a<.1C.〃W3D.〃V3

【解答】解：A={x\l<x<3}；

9：AHB=A；

：.AQB；

①若〃WO,B=R,滿足AU&

②若〃>0,則或xW-〃}；

???OV〃W1；

綜上得，

故選：A.

題型四.用韋恩圖解決集合問題一新定義問題

1.已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B=[xER\y=lg(x-3)},則圖中陰影部

分表示的集合為()

A.{1,2,3,4,5}B.{1,2,3}C.{1,2}D.{3,4,5}

【解答】解：???全集U=R,集合A={1,2,3,4,5),

B={xER\y=lg(x-3)}={尤|x>3},

/.Cu2={x|xW3}.

.??圖中陰影部分表示的集合為：

AA(CuB)={1,2,3).

故選：B.

2.設(shè)全集U={x[0<x<10,xCN*},若AC2={3},AACuB={b5,7},CuAnCuB={9},

則4=[1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}

【解答]解：U={1,2,3,4,5,6,7,8,9),

由題意如圖所示

由韋恩圖可知A={1，3,5,7},2={2,3,4,6,8)

故答案為：{1,3,5,7}；{2,3,4,6,8)

3.已知N均為R的子集，且CRMUN,則MU(CRN)=(

A.0B.MC.ND.R

【解答】解：如圖所示易知MU(CRN)=M.

故選：B.

4.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡

足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)

帆匕例是()

A.62%B.56%C.46%D.42%

【解答】解：設(shè)只喜歡足球的百分比為x,只喜歡游泳的百分比為y,兩個項目都喜歡的

百分比為Z,

由題意，可得x+z=60,x+y+z=96,y+z=82,解得z=46.

該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是46%.

故選：C.

5.已知集合加={1,2,3,4),集合A、8為集合M的非空子集，若VxCA、yEB,恒

成立，則稱(A,B)為集合M的一個“子集對”，則集合M的“子集對”共有17個.