專項(xiàng)訓(xùn)練九利用“將軍飲馬”解決線段最值問題

基礎(chǔ)夯實(shí)

JJ

1.在一條沿直線跖V鋪設(shè)的電纜兩側(cè)有甲、乙兩個(gè)小區(qū)，現(xiàn)要求在"N上選取一點(diǎn)P,向兩個(gè)小區(qū)

鋪設(shè)電纜.下面四種鋪設(shè)方案中，使用電纜材料最少的是（）

2.如圖，在五邊形/8CDE中,/BAE=a（/BAE為鈍角）,N8=NE=90。,在BC,DE上分別找一點(diǎn)

MN,當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí),NMZN的度數(shù)為（）

1

A.2aB.cc-900C.2a-180°D.ct-45°

3.如圖，等邊三角形48c的邊長(zhǎng)為2,過點(diǎn)B的直線且△48C與△N5O關(guān)于直線/對(duì)稱Q

為線段8。上一動(dòng)點(diǎn)，則AD+CD的最小值是（）

A.4B.3A/2C.273D.2+V3

4.（2023?宜賓）如圖〃是正方形4BCQ邊CD的中點(diǎn)下是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接AP,線段AP以點(diǎn)8

為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段80,連接MQ.若48=4即=1,則MQ的最小值為.

5.如圖乃丁是正方形ABCD的邊AB的三等分點(diǎn)，尸是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE+PF取得最小值

AD

時(shí)，斤的值是.

]

6.（2023?達(dá)州）在425。中,28=4褥,NC=60。,在邊5c上有一點(diǎn)P,且8尸=利。,連接幺尸，則AP的

最小值為.

7.如圖，在Rt^ABC中,乙4。8=90?！?。=8。=2,以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的正方形CDEF（CQ,E,F四個(gè)頂點(diǎn)

按逆時(shí)針方向排列）可以繞點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且"，連接4F0D.

（1）求證:△/C4注ADCA

（2）在正方形CD斯旋轉(zhuǎn)過程中，求BD+^AD的最小值.

能力提升

1.如圖，網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)4點(diǎn)。均在格點(diǎn)上，點(diǎn)尸為x軸上任意一點(diǎn)，則△

尸ZC周長(zhǎng)的最小值為.

2.（2023?自貢）如圖1,一大一小兩個(gè)等腰直角三角形疊放在一起",N分別是斜邊。的中

點(diǎn)、,DE=24B=4.

(1)將△CDE繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)MN距離的最大值和最小值.

(2)將繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。(如圖2),求MN的長(zhǎng).

圖1圖2

3.(2023?宜賓)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰直角三角形48c的直角頂點(diǎn)C(3,0),頂點(diǎn)

k

48(6〃)恰好落在反比例函數(shù)y,第一象限的圖象上.

(1)分別求反比例函數(shù)的解析式和直線Z8所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的解析式.

(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P,使A4BP周長(zhǎng)的值最小?若存在，求出最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【詳解答案】

基礎(chǔ)夯實(shí)

1.A

2.C解析:如圖作點(diǎn)Z關(guān)于2c對(duì)稱的點(diǎn)作點(diǎn)/關(guān)于DE對(duì)稱的點(diǎn)/"，則連接NN”,分別

交線段BC和線段DE于點(diǎn)M和點(diǎn)N,連接這時(shí)候2V的周長(zhǎng)取最小值.

D

NB=/E=90。,

：.A,M=AM^N=A,,N,

：./AA，M=/A，AM,/AA〃N=/A〃AN,

：.ZAMN=2NAfAM,ZANM=2ZA”AN,

???ZMAN+ZMAB+ZNAE=a,ZMAN+ZAMN+ZANM=180°,

ZMAN+2ZBAM+2ZEAN=180°,

ZBAM+ZEAN=180°-a,

：.ZMAN=a-^00-a)=2a-180°.

故選C.

3.A解析:連接CO,如圖所示.

?；AABC、△45。均為等邊三角形，

???/ABC=/Af=60°4rB=BC=AC,:?AC〃BC,

???四邊形4BCU為菱形，

???點(diǎn)。關(guān)于5。對(duì)稱的點(diǎn)是,；

當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)2重合時(shí)4D+CD取最小值，最小值為44的長(zhǎng).

'：AA'=AB+A'B=2.+2=4,

J.AD+CD的最小值為4.故選A.

4.2迎-1解析:如圖，連接2M將BM以點(diǎn)B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E：：點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡

是以點(diǎn)M為圓心,1為半徑的半圓,.?.點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)￡為圓心,1為半徑的半圓.當(dāng)以三點(diǎn)共線

時(shí),的值最小.：四邊形48co是正方形,.,.CD=4B=2C=4,/C=90。.是CD的中點(diǎn),.?.CM=2.

7CM2+EC2=J22+42=2避.由旋轉(zhuǎn)，得BM=BE,/MBE=90°.：.MEMBM=2①.：.MQ=ME-EQ=2郃-1.：.

MQ的最小值為2回-1.

2

5.y解析:如圖，作點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)連接EF交AC于點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作AD的垂線段，交AC于點(diǎn)K.由題

意，得此時(shí)點(diǎn)尸落在AD上，且根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)P重合時(shí)/E+PF取得最小值.設(shè)正方形ABCD的邊

2

長(zhǎng)為則AF'=AF^a."：四邊形ABCD是正方形,ZF'AK=45°,ZP'AE=45°^C=^a."JF'KLAF',：.NF，AK=N

2MF'KKP11

r

FKA=45°.：./F'KP'=/EAP'=453.AK=3^a.C?/:i/F/'\Pr'K=/EP'A3,：.△F'KP's△EAP'.；?方=~^=2.；.AP，AK=

2r-7/—AP12AP2

3.a.：.CP'=AC-AP',巡a.：.而=亍，當(dāng)PE+PF取得最小值時(shí)，麗的值是7

6.2^13-2解析:如圖，作△/5C的外接圓，圓心為點(diǎn)M連接過點(diǎn)〃作MDLAB于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作

BN2AB,交BP的垂直平分線于點(diǎn)N,連接NN,3N,PN,以點(diǎn)N為圓心,8N(P7V)的長(zhǎng)為半徑作圓.：/NC8=60。,點(diǎn)

,一」一，，180°-Z,AMB1

M為4ABe的外接圓的圓心,，/AMB=2/ACB=120°HM=BM.；?ZMAB=ZMBA=——~——=30°.：.MD=^AM.

]

,JMDLAB,:.ADRB=2點(diǎn).在RtA^DM中,：/由=池2+/。2,，/%=

；./兒/=4,即/M=8M=CW=4.由作圖可知BNLAB點(diǎn)N在BP的垂直平分線上,，ZPBN=ZBPN=90°-ZABC.：.

NPNB=180H/PBN+/BPN)=2NABC.又?:點(diǎn)〃為△/BC的外接圓的圓心,；.ZAMC=2ZABC.：.ZAMC=Z

CMAMCMAC1CMAC1,.

PNB「：和=麗,，4AMCS/\PNB.：.麗=VBPfAC,；?麗=^=2,BPBN=^CM=2：.PN=BN=2.在RtAABN

中HN=1AB2+BN?=J(4A/3)2+22=2713,由AP^AN-PN=2*^2得AP的最小值為2迎-2.

7.解:(1)證明：：四邊形CO斯是正方形,

CF=CD,ZFCD=ZACB=90°,

：.ZACF=ZBCD,

"：AC=BC,：.△尸C4經(jīng)△DCB(SAS).

(2)如圖，取/C的中點(diǎn)M連接DM,BM.

,；CDM,CA=2,CM=l,

CD2=CMCA,

.CDCM

**G4=

ZDCM=ZACD,

：.LDCMs^ACD,

.DMCDy/2

??而二萬=彳'

：.DM=^AD,

/.BD+^AD=BD+DM>BM,

：.BD+^AD的最小值為BM的長(zhǎng),

"?BM=^)CB2+CM2=^22+l2=A/5,

：.BD+^AD的最小值為依

能力提升

1.272+2^10解析:如圖，點(diǎn)P即為所求.

???Z(2,4),C(4,2),C(4,-2),

2,22

：.AC=^+2=2A/2/lC=j2+6=2710,

△尸/C的周長(zhǎng)的最〃、值=/。+/尸+尸。=/。+/9+尸。'=/。+/。'=2"+2刎.

2.解:(1)點(diǎn)MN距離的最大值為3,最小值為1.

(2)如圖，連接MC,過點(diǎn)N作NP1MC,交MC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

「△CDE繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,

ZBCE=12Q°.

ZBCN=ZECM=45°,

???NMCN=(NBCE+NECM)-

ZBCN=ZBCE=120°.

：.ZNCP=180°-ZMCN=60°.

：.ZCNP=900-ZNCP=30°.

1

：.CP=^CN=\.

在RtACTVP中,NP=1NC2.CP2：V3.

在RtAMVP,MP=MC+CP=1+1=2,

，MN=』Np2+MP?=J3+4=j.

3.解:⑴如圖1,過點(diǎn)A作AELx軸于點(diǎn)瓦過點(diǎn)B作BD±x軸于點(diǎn)。，則NZ￡C=NCZ)B=90。.

圖1

??,點(diǎn)C(3,0),3(6,加),

OC=3QD=6,BD=m.

：.CD=OD-OC=3,

???AABC是等腰直角三角形，

???ZACB=90°^4C=BC.

9：ZACE+ZBCD=ZCBD+ZBCD=90°,：.ZACE=ZCBD.

：.△4CE之△C5O(AAS).

AE=CD=3,CE=BD=m.

：.OE=OC-EC=3-m.

點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3-冽,3).

k

???點(diǎn)4乃(6,⑼恰好落在反比例函數(shù)—第一象限的圖象上,

:?3(3-加)=6機(jī)解得m=\.

點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(6,1)..?.QG加=6.

反比例函數(shù)的解析式