集合精講精練（七大題型十五年真題）

目錄：

01復習目標

02考情分析（五年真題（2025年—2021年）考點分布）

03網(wǎng)絡構建

04必備基礎知識梳理

考點1：集合與元素

考點2：集合的基本關系

考點3：集合的基本運算

考點4：集合的運算性質

05必考題型精講精練

題型一：集合的表示：列舉法、描述法、Venn圖

題型二：集合元素的三大特征

題型三：元素與集合的關系

題型四：集合與集合之間的關系

命題點1：判斷集合間的關系

命題點2：由集合間的關系求參數(shù)

題型五：集合的交、并、補運算

命題點1：集合的運算

命題點2：利用集合的運算求參數(shù)的值（范圍）

題型六：容斥原理

題型七：集合的新定義

06真題呈現(xiàn)（2025年—2021年真題）

07易錯分析

⑴對集合中元素的屬性認識不明致誤；

⑵忽視集合元素的互異性致誤；

⑶忽視討論空集致錯

⑷集合運算結果書寫錯誤

復習目標I

1.了解集合的定義，了解全集、空集的含義；

2.理解元素于集合的屬于關系，理解集合間的包含和相等關系；

3.會求兩個集合的并集、交集與補集；

4.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Verm圖表示集合間的

基本關系和基本運算.

I考情分析（五年真題（2025年—2021年）考點分布）

考題示例考點分析考情分析

2025年全國I卷集合的補集運算高考對集合的考查相對穩(wěn)定，考

2025年全國年卷集合的交集運算查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變

2024年全國I卷集合的交集運算化不大.重點是集合間的基本

2023年全國I卷交集運算運算，主要考查集合的交、并、

2023年全國II卷集合的包含關系補運算，常與一元二次不等式解

2022年全國I卷交集運算法、一兀一次不等式解法、分式

2022年全國II卷交集運算不等式解法、指數(shù)、對數(shù)不等式

2021年全國I卷交集運算解法結合.

2021年全國II卷交集、補集運算

網(wǎng)絡構建

集合中元素的三個特性：確定性、互異性'無序性

集合

必備基礎知識梳理

1、元素與集合

（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.

（2）元素與集合的關系：屬于或不屬于，數(shù)學符號分別記為：e和e.

O集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖〃圖）.

（4）常見數(shù)集和數(shù)學符號

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*或N.ZQR

2、集合間的基本關系

（1）子集：一般地，對于兩個集合/、B,如果集合/中任意一個元素都是集合8中的元

素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合/為集合8的王集，記作/=臺（或

B2A）,讀作“4包含于8"（或"8包含4"）.

（2）真子集：如果集合但存在元素xeB,且xe/,我們稱集合/是集合8的直

子集,記作4$3（或蚱4）.讀作"/真包含于8"或"8真包含/

（3）相等：如果集合/是集合8的子集J=B,且集合8是集合2的子集（2[/）,

此時，集合力與集合8中的元素是一樣的，因此，集合/與集合8相笠，記作4=瓦

（4）空集的性質：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；。是任何集合的子集,

是任何非空集合的真子集.

3、集合的基本運算

（1）交集：一般地，由屬于集合/旦屬于集合2的所有元素組成的集合，稱為4與3的交

集，記作4口8,即/n3={x|xe4且xeB}.

（2）并集：一般地，由所有屬于集合4強屬于集合8的元素組成的集合，稱為/與8的并

集,記作4U3,即/U3={x|xe4垢€團.

（3）補集：對于一個集合力,由全集。中不屬于集合青的所有元素組成的集合稱為集合/

相對于全集U的補集，簡稱為集合/的補集，記作的么，即Q/={x|xeU,且關任/}.

4、集合的運算性質

⑴Ar>A-A>Ar\0-0>AcB=BcA?

⑵AuA-A>Au0=A>ADB=BuA?

（3）/門?/）=0,Nu（Q/）=U,&（"）=/.

【常用結論】

（1）若有限集/中有〃個元素，則/的子集有2"個，真子集有2"-1個，非空子集有2"-1

個，非空真子集有2"-2個.

（2）空集是任何集合4的子集，是任何非空集合8的真子集.

（3）AcB^>Ar\B=A^>A]jB=B^CuBcCuA.

（4）G（/n0=。）uS）,q（/u?=（Q⑷nS）.

卜必考題型精講精編I

題型一：集合的表示：列舉法、描述法、Venn圖

例1.⑴（2025?寧夏銀川?一模）已知集合力={0,1,2},貝U集合3={（x,y）|xWgxe/je/}

中元素的個數(shù)是（）

A.1B.3C.6D.9

【答案】C

【知識點】列舉法求集合中元素的個數(shù)

【詳解】由題，可得2={（0,0）,（0,1）,（0,2）,（1,1）,（1,2）,（2,2）},所以集合B含有6個元素.

故選：C.

⑵（24-25高三上?四川南充?階段練習）已知集合/=｛（x,y）|y=/+l｝,

3=｛（x,y）|y=x+l｝,則NcB中的元素個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【知識點】描述法表示集合、列舉法求集合中元素的個數(shù)

[y=X2+1

【詳解】由”,,消V整理得到1=0,解得x=o或X=1,

[y=x+l

當x=0時，>=1,當尤=1時，y=2,所以Nc8=｛（O,l）,（l,2）｝,

故選：C.

【解題總結】解決集合表示法問題的關鍵點：

⑴一是確定構成集合的元素；

⑵確定元素的限制條件；

⑶依據(jù)元素的特征（滿足的條件）構成關系式解決相應問題.

練習：1.（2025?遼寧?三模）已知集合〃=（（x,y）y=-24，貝l]McN

的子集個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】C

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)

1

【詳解】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組’2，可得尤2一2工+1=0,

/=-2了

所以（1>=0,解得x=Ly=],即集合=

所以集合"cN的子集個數(shù)為2個.

故選：C.

2.（2025?甘肅平?jīng)?模擬預測）已知集合/={0,2},5={-1,1,2},C={ab\aA,bB],

則集合C的子集有（）個

A.64個B.63個C.16個D.15個

【答案】C

【知識點】列舉法表示集合、判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)

【詳解】由集合N={0,2},S={-1,1,2},^C={ab\a&A,b&B},

因為ae/,bcB,可得集合。={0,-2,2,4},所以集合C的子集有24=16個.

故選：C.

3.（2025?山西呂梁?一模）已知集合P=[xeNy=￡,yeN1,Q={x|-1WXW6},則PnQ=

（）

A.{1,2,3,6}B.{0,1,2,5}C.{x|0<x<5}D.{x|-l<x<6）

【答案】B

【知識點】描述法表示集合、交集的概念及運算

【詳解】尸=1xeNy=Ep"N，={0,l,2,5},又。=卜|一1Wx46},所以

尸皿={0,1,2,5}.

故選：B

4.（2024?貴州遵義?模擬預測）已知集合/={0」,2},5={1,2,3）,若集合

C={zeN*|z=肛,xe/且ye8},則C的子集的個數(shù)為（）

A.8B.16C.32D.64

【答案】C

【知識點】描述法表示集合、列舉法表示集合、判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)

【詳解】由條件可知，中=0xl=0x2=0x3=0,孫=1x1=1,lx2=2xl=2,1x3=3,

2x2=4,2x3=6,

所以集合。={1，2,3,4,6},集合C的子集的個數(shù)為2$=32個.

故選：C

題型二：集合元素的三大特征

例2.（2025?甘肅慶陽?二模）已知集合/=且2e/,則實數(shù)。的值

為.

【答案】3

【知識點】根據(jù)元素與集合的關系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)

【詳解】因為2eN,所以分為以下兩種情況：

①1-1|=2=。=3或一1,當°=3時,集合/={125}滿足題意；

當。=T時，集合4={1,2,1},違反了集合的互異性，故舍去；

②a+2=2na=0,此時集合/={1,1,2},違反了集合的互異性，故舍去；

綜上所述，a=3.

故答案為：3.

【解題方法總結】

1、研究集合問題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無序性。

2、研究兩個或者多個集合的關系時，最重要的技巧是將兩集合的關系轉化為元素間的關系。

練習：1.（2025?河北衡水?模擬預測）設集合/={。,處，8={2凡2叫，若，則仍=.

【答案】|

【知識點】根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)

【詳解】在5={20,2/}中，2"2a2,則。片0且"1,而/={a,6},A=B,顯然

,\a=2a211

a^2a,因此，解得。=不力=1,所以

[b=2a22

故答案為：y

2.（2025?山東威海?三模）已知集合/={1,2，而},3=若=則加=（）

A.0B.0或2C.1或2D.0或1

【答案】B

【知識點】利用集合元素的互異性求參數(shù)、根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)

【詳解】由/口3=2,得B=因為8={1,根},所以加工1,

因為集合/=0,2,后},

所以加=2或加=而'，解得加=2或機=0（加=1不合題意舍去），

所以機=0或2.

故選：B.

2W262026

3.（2025高三?全國?專題練習）已知a*eR,若={a,a+Z）,0},則a+b=

【答案】1

【知識點】根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)

【詳解】由已知得。片0,則2=0,所以6=0,

a

于是a2=\,即a=1或〃=一1,

又由集合中元素的互異性知。=1應舍去，故。=-1,

所以/026+/。26=（_1）2026+02026

=1.

故答案為：1.

題型三：元素與集合的關系

例3.⑴（2025?遼寧?二模）設集合N={x|2x-1〉加}.若26則加的取值范圍是（

A.m<3B.m>3C.m<3D.m>3

【答案】C

【知識點】根據(jù)元素與集合的關系求參數(shù)

【詳解】因為2w/,所以2X2-1>7",所以機<3.

故選：C

【解題方法總結】

1>一定要牢記五個大寫字母所表示的數(shù)集，尤其是N與N*的區(qū)別.

2、當集合用描述法給出時，一定要注意描述的是點還是數(shù).

練習：1.（2025?陜西漢中?二模）已知集合/={2加+技|meZ,〃eN},則（）

A.由正AB.-2+543AC.4&AD.-1+2退eZ

【答案】C

【知識點】判斷元素與集合的關系

【詳解】因為/={2加+省”|加€2,"€1'}},

設退=2加+也〃，貝U：有理數(shù)部分：0=2加=>〃7=0,無理數(shù)部分：6=百〃n"=1,

m=0eZ,〃=leN,符合條件，所以ge/,故A錯誤；

設-2+56=2加+也",貝!!有理數(shù)部分：-2=2加=>加=-1,無理數(shù)部分：5g=V3?=>n=5,

:“=-leZ,〃=5eN,符合條件，故一2+5A/^C/，故B錯誤；

設4=2加+0〃，貝U：有理數(shù)部分：4=2加=>加=2,無理數(shù)部分：0=A/3W=>?=0GN，故

4w/,故C正確；

設-1+2石=2加+百〃，則有理數(shù)部分:T=2機=>%=-0.5（非整數(shù),矛盾），故

-1+2限/,故D錯誤.

故選：C.

2.（2025高三?全國?專題練習）已知集合/={xeR|x2+ax+2=0}有且僅有1個真子集，

則實數(shù)。的取值集合為（）

A.[a\-2y/2<a<2y/2}B.12板,2碼

C.（272}D.卜|0b2亞或0〉2碼

【答案】B

【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)

【詳解】由集合/=&€尺|，+辦+2=0}有且僅有1個真子集，可得集合A中有且只有一

個元素，所以方程x2+ax+2=0有2個相等的實數(shù)解，

BPA=a2—8=0,角星得a=±2^/2>

所以實數(shù)。的取值集合為，2也,2亞},

故選：B.

x2v2

3.（2025?廣東揭陽?二模）已知集合/=（X/）彳+,41,xeZ/eZ,則N中元素的個數(shù)

為（）

A.7B.9C.11D.13

【答案】C

【知識點】描述法表示集合、列舉法求集合中元素的個數(shù)

【詳解】因為xeZ/eZ,所以尤220/20,

222

又土+匕41,所以土41,可得工2?4,所以x可能取值為-2,-1,0,1,2,

434

當x=-2時：代入得/go,又產(chǎn)“，

所以＞=0,此時得到元素(-2,0)；

當x=-l時：代入得=一:7?%,.?.y=-l,0,l,

此時得到元素(-1,-1),(-1,0),(-L1);

當x=0時：代入?+得/W3,，y=-l,0,l,

此時得到元素(0,-1),(0,0),(0,1);

當x=l時：代入［+得/=.?)eZ,.?.7=-1,0,1,

此時得到元素(L-1),(1,0),(1,1);

當x=2時：代入二+匕41得1+二41,所以歹=0,

433

此時得到元素(2,0)；

滿足條件的元素分別為：

(-2,0),(-1,-1),(-1⑼,(-1,1),(0,-1),(0⑼,(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,0)共11個，

故選：C

4.(多選)(2025?河南新鄉(xiāng),三模)已知非空數(shù)集M具有如下性質：①若x/e”,則

JQ

一￡〃；②若則%+下列說法中正確的有().

y

A.-IGM.B.2025eM.

C.若尤,yeAf,則孫eAf.D.若x/eM,貝

【答案】BC

【知識點】判斷元素與集合的關系

x

【詳解】對于A,若—lw〃，令x=y=T,則一二1￡〃;%+歹=一2￡V,令X=一1/=1,

y

JQX

則一=-leM,x+〉=0eAf,令x=l,y=0,不存在一,即了70,矛盾，所以一1任川，故A

yy

錯誤，

對于B,由于集合加非空，取任意元素xe",根據(jù)性質①，得±=leM,再根據(jù)性質

②，得l+l=2eM,進而1+2=35…,2024eM2025eM,故B正確，

y

對于C,因為所以工eM,因為所以〒二孫^加，故C正確,

XX~

X

對于D,若x=l,y=2,則x-y=-leM,故D錯誤，

故選：BC.

5.(多選)(2025?四川綿陽?三模)已知集合P=N*,對于產(chǎn)中的任意兩個元素。,6都有

仍-16,-6歸0,則集合戶的元素個數(shù)可以為()

A.4個B.7個C.9個D.10個

【答案】AB

【知識點】判斷元素與集合的關系、用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性

【詳解】當。片6時，不滿足集合元素的互異性，排除.

不妨設a>b效果一樣)，已知。6-161。一6區(qū)0,則。6-16a+l66Vo.

將其變形為。關于6的表達式：

aZ?-16a+16Z><0,移項可得V-166,進一■步得到。(6-16)W-16b.

因為a,6eN+且a>b,所以6-16<0,那么

16-0

由此可知6<16,所以集合戶至多有［16,+◎中的一個整數(shù)，若有兩個，取較小者為6,會與

不等式矛盾.

令/'(X)=J2T(0<X<16),對/(x)求導，可得/f(x)=16(；\x"16x=>0,所以

16-x(16-X)(16-X)

/(X)在(0,16)上是遞增函數(shù).

假設存在西,々e尸且左4玉</</(左)，令b=X\,a=x2,

由/(x)的單調(diào)性可知f(b)=〃再)>f(k)>x2=a,這與。2/(6)矛盾，

所以P中至多只有長,//))中的一個整數(shù).

因為48)=16,所以集合戶至多只有［8,16)中的一個整數(shù).

因為/⑹=9.6,所以集合P至多有［6,8)中的一個整數(shù).

因為〃4)若>5,所以集合戶至多有［4,6)中的一個整數(shù).

又因為〃l)=j|<2,〃2)=/<3,/(3)=^|<4,所以集合戶中可以同時存在1,2,

3.

綜上，集合P至多有3+1+1+1+1=7個元素.

（1,2,3,4},{1,2,3,4,6,10,27}符合條件，說明集合戶的元素個數(shù)可以是4個或7個.

故選：AB.

題型四：集合與集合之間的關系

命題點1：判斷集合間的關系

例4：（1）（24-25高三下?云南昆明?階段練習）設集合/=卜卜=：+；,左ez1,

A.A=BB.A^B

C.B￡AD.AC\B=0

【答案】B

【知識點】判斷兩個集合的包含關系

【詳解[3==：+左ez1=1xx=■，aez1,

因4=?|y=24+l#eZ}為奇數(shù)集，耳=卜,=左+2,左€2}為整數(shù)集，

則4C8],故/08.

故選：B：

⑵（2025?山東棗莊,二模）已知全集為U,集合48是U的兩個子集，若則下

列運算結果為A的子集的是（）

A.A\JBB.{CvA）r\B

C.4c（QB）D.（5）3。山）

【答案】C

【知識點】判斷兩個集合的包含關系、交并補混合運算、利用Venn圖求集合

【詳解】作出Venn圖，如圖，

對于A,A^AUB,故A錯誤;

對于B,(QZ)c8與集合A交集是空集，所以(CuN)cB不是A的子集，故B錯誤；

對于C,An(CVB)cA,故c正確；

對于D,(CUZ)D(C0B)=CU(/CB)不是A的子集，故D錯誤；

故選：c.

練習：1.(2025?湖南?三模)已知集合/={0,1,2},B={XGN|X2-3X<0},C={1,2},則

()

A.A=BB.A三BC./口8=。D.A\JB=C

【答案】C

【難度】0.94

【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、交并補混合運算、判斷兩個集合的包含關系

【分析】解一元二次不等式化簡集合8,由集合的關系、運算即可判斷.

【詳解】集合/={0,1,2},B={xeN|x2-3x<0}={xeN|0<x<3}={l,2},C={1,2},

則3=C,8,C都是A的真子集，故Nc8=C,故C正確，ABD均錯誤.

故選：C.

2.(2025?山東?二模)已知集合/={x|X-/>0},集合8={x|x>0},則()

A.AHB=AB.AV\B=AC.D.AP\B=0

【答案】A

【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、并集的概念及運算、交集的概念及運算、判斷兩

個集合的包含關系

【詳解】解不等式x-f>0,可得0<x<l；所以集合/={尤[0<尤<1}.

對于選項A,己知集合/={刈0<》<1},集合8={x|x>0},所以/c3={x|0<x<l}=/,

故選項A正確.

對于選項B,已知集合/="|0<》<1},集合8={x|x>0},所以

A<JB={X\X>0]=B^A,故選項B錯誤.

對于選項C,已知集合/={x[0<x<l},所以[；/={x|xV0或x21}.

顯然4/中的元素不都屬于集合B,比如xVO的部分，所以1NgB,故選項C錯誤.

對于選項D,由前面分析可知/c8={x[O<x<l}w0,故選項D錯誤.

故選：A.

命題點2：由集合間的關系求參數(shù)

例5.⑴（24-25高三下?山東德州?階段練習）已知集合么=卜|04工4。},8={乂f-xvO},

若2c4=8,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（0,1）B.[1,+?＞）C.[0,1]D.（L+s）

【答案】B

【知識點】根據(jù)交集結果求集合或參數(shù)、根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)

【詳解】因為2=,Br\A=B,所以所以.21,

故選：B

⑵（2025?遼寧本溪,模擬預測）已知集合4={xeN|（x-2）（x-3）40},8=閔依-2=0},若

=N，則。的取值構成的集合為（）

A.{0}B.{0,1}C.D.

【答案】D

【知識點】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)、根據(jù)并集結果求集合或參數(shù)

【詳解】由題得/={2,3},因為/U8=N,所以814.

當a=0時，5=0,滿足

f2}222

當"0時，8=—,因為8=4,所以—=2或一=3,解得。=1或。=:

[aJaa3

綜上a的取值構成的集合為

故選：D.

【解題方法總結】

⑴空集是任何集合的子集，在設計集合關系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解；

⑵已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將條件轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉

化為參數(shù)所滿足的關系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.

練習：1.（2025?河南?模擬預測）已知集合/={01},B^{O,a+l,a-]},若/勺3,貝丑=

（）

A.2B.0C.0或2D.-2或2

【答案】C

【知識點】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)

【詳解】①當0+1=1時，解得。=0,此時3={0,1,-1},滿足題意，

②當a—1=1時，解得a=2,此時2={0,3,1},滿足題意，

故選：C.

2.（2025?四川成都?三模）已知集合/={x[l<x<3},B={x\x<m],若4=B,則實數(shù)加

的取值范圍是（）

A.\rn\m<1}B.ym\m>1）C.\m\m<3|D.^m\m>3j

【答案】D

【知識點】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)

【詳解】由于所以優(yōu)23,

故選：D

3.（2025?河南?二模）已知集合N=[xX-*!wg]，B=[x\a<x<a+2],若貝l]a的

取值范圍為（）

A.（1,2]B.（0,1）C.[1,2]D.[0,1]

【答案】B

【知識點】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)

【詳解】由題意可得/={x|lVxV2},又8={x[a<x<a+2},A^B,

fl>6Z

所以「,,解得0<a<l.

[2<a+2

故選：B.

題型五：集合的交、并、補運算

命題點1：集合的運算

例6.⑴（2025?安徽合肥?三模）已知集合4=卜|?<2},B=[X\X2-X>0\,則/口5=

()

A.。,4]B.(0,4]C.(0,1)D.(0,2]

【答案】A

【知識點】交集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【詳解】由題得，^={x|0<x<4},8={刈》<0或x>l},則4cB=(l,4],

故選：A.

⑵(2025高三?全國?專題練習)已知全集。=1<,集合M={xeZX-2x-3<0},

N=(O,+s),則圖中陰影部分表示的集合為()

A.{0}B.(—1,0]C.{-1,0}D.(—1,0)

【答案】A

【知識點】交并補混合運算、利用Venn圖求集合、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【詳解】由廠—2x—3=(x—3)(x+1)<0,解得—l<x<3,

所以V={xeZ|x2-2x-3<0}={xeZ|-l<x<3}={0,l,2},

又因為N=(O,+e),所以G，N=(-8,0],圖中陰影部分表示的集合為MC&N={0},

故選：A

【解題方法總結】

對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示，如果集合中

的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況.

練習：1.(2025?湖南長沙?一模)已知集合/={T0,2,/},8={xeZ|-V3},若

^05={-1,0,1},則加=()

A.1B.-1C.±1D.0

【答案】C

【知識點】列舉法表示集合、根據(jù)交集結果求集合或參數(shù)

【詳解】集合3={-1,0,1},因此/=1,加=±1.

故選：c.

2.(2025?黑龍江遼寧?模擬預測)已知集合/={xeZ卜-1區(qū)2},B={x|x2-3x+2<0),則

AcO=()

A.{0}B.{-1,0,3}C.{1,2}D.{-1,0,1,2,3}

【答案】B

【知識點】交并補混合運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式、幾何意義解絕對值不等式

【詳解】由卜-1區(qū)2,即一2VX—1W2,解得-1WXV3,

所以力=卜€(wěn)2卜-1|42}="€2|-1643}={-1,0,1,2,3},

由x*-3x+2V0,BP(x—2)(x-l)<0,解得1W2,

所以8=卜,-3x+24()}={x114x42},

所以Q5=(-8,1)32,+S),則/C(［；8)={T0,3}.

故選：B

3.(2025?廣東?模擬預測)已知集合/={-1,0,1,2,4},B={xeN|x2<3x},則如圖所示的陰

A.{-1,3,4}B.{0,1,2}C.{-1,4}D.{1,2,3}

【答案】C

【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、利用Venn圖求集合、交并補混合運算

【詳解】由即x(x-3)V0,解得0W3,

所以8={xeNX43x}={xeN|04x43}={0,l,2,3},

又/={一1,0,1,2,4},所以2口3={0,1,2},

所以如圖所示的陰影部分表示的集合為。(/口2)={-1,4}.

故選：c

4.（24-25高三下?云南,階段練習）已知集合”={2,4,6},B={x\l<x<6\,若CcBH①，

C^A,則集合C的個數(shù)為（）

A.2B.4C.7D.8

【答案】B

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、根據(jù)交集結果求集合或參數(shù)

【詳解】由題意知=則集合C為{4},{2,4},{4,6},{2,4,6}共4個.

故選：B.

5.（多選）（2025?貴州黔東南.一模）已知集合/={xeN|（尤-2）（無一12）<0},8={尤13Vx<14},

C={x|x>4},則（）

A.2uC={x|x>3}

B.中元素的個數(shù)為8

C.BcC是/的一個真子集

D.從NUB中取3個不同的元素，這3個元素都是奇數(shù)的不同取法有20種

【答案】ABD

【知識點】列舉法表示集合、交集的概念及運算、并集的概念及運算

【詳解】N={xeN|（x-2）（x-⑵<0}={3,4,5,6,7,8,9,10,11},

由條件可得8uC={x|x>3},正確；

/c8={4,5,6,7,8,9,10,ll},有8個元素，正確；

8cC={x[4<x<14},/={3,4,5,6,7,8,9,10,11},顯然C錯誤；

由條件可知4U5中有3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13個整數(shù),其中有6個奇數(shù),

所以取3個不同的元素，這3個元素都是奇數(shù)的不同取法有C：=20,正確；

故選：ABD

命題點2：利用集合的運算求參數(shù)的值（范圍）

例7.（2025?陜西咸陽?模擬預測）已知集合/={X，-8X+7<0},B={x\m<x<m+l],

若么口8=0,則實數(shù)用的取值范圍為（）

A.(-co,0)U(7,+co)B.(1,6)

C.(-oo,l]U[6,+oo)D.(-co,0]U[7,+oo)

【答案】D

【知識點】根據(jù)交集結果求集合或參數(shù)、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【詳解】因為/={x|x2-8x+7<0}={x|l<x<7},B={x\m<x<m+l],AC\B=0,

所以僅+lVl,或加N7,解得m<0,或加W7.

故選：D.

【解題方法總結】利用集合的運算求參數(shù)的值（范圍）：

⑴將集合中的運算關系轉化為兩個集合之間的關系；

⑵利用數(shù)軸進行直觀表示，注意端點的取舍；

特別注意對空集的討論.

練習：1.（24-25高三下?甘肅張掖,階段練習）已知集合

/={一2,1,3,4},8={到工一2]<機4€11},若4c（QB）=0,則實數(shù)加取值范圍為（）

A.（4,+co）B.[4,+co）C.（-℃,2]D.（2,+oo）

【答案】A

【知識點】根據(jù)交集結果求集合或參數(shù)、補集的概念及運算

【詳解】由Zc（CuB）=0得，B^0,m>O.

由5={x\\x-2|<wR}得，B-{x|2-m<x<2+m],

CUB={x|x<2-加或%>2+m},

f2-m<-2

.??1/，解得加>4.

[2+m>4

故選：A.

2.（2025?河南?模擬預測）已知集合/={x|0Wl},非空集合8={印。<1-6},若

A^B=B,則方的取值范圍是.

【答案】陷

【知識點】根據(jù)交集結果求集合或參數(shù)

【詳解】由題意得8W0,又因為=

所以046<1-641,解得

故答案為：0,^.

題型六：容斥原理

例8.（2025?江蘇?一模）我市某校共有1500名學生在學校用午餐，每次午餐只能選擇在樓

上或樓下的一個食堂用餐，經(jīng)統(tǒng)計，當天在樓上食堂用午餐的學生中，有1。％的學生第二

天會到樓下食堂用午餐：而當天在樓下食堂用午餐的學生中，有15%的學生第二天會到樓

上食堂用樓午餐，則一學期后，在樓上食堂用午餐的學生數(shù)大約為（）

A.700B.800C.900D.1000

【答案】C

【知識點】容斥原理的應用

【詳解】設一學期后，在樓上食堂用午餐的學生數(shù)大約為X,

則樓下食堂用午餐的學生數(shù)大約為1500-x,

原本在樓上食堂且留下的學生：占比1-10%=90%,即0.9x,

從樓下食堂轉來的學生：樓下食堂人數(shù)的15%,即O.1505OO-X）,

所以x=0.9x+0.15（1500-x）,解得尤=900.

所以一學期后，在樓上食堂用午餐的學生數(shù)大約為900.

故選：C

【解題方法總結】

容斥定理是數(shù)學中用于計算多個集合并集元素數(shù)量的基本原理.其核心思想是通過加減交集

的元素數(shù)來避免重復計數(shù)，它適用于兩個或多個集合的并集計算.容斥定理的核心在于解決

多個集合元素重復計數(shù)的問題.當直接相加各集合元素數(shù)時，交集部分會被多次計算，導

致結果偏大.通過逐步減去交集元素的數(shù)量（并根據(jù)集合數(shù)量調(diào)整加減次數(shù)），可得到精確

的并集元素總數(shù).

練習.1.（23-24高三下糊南長沙?階段練習）已知全集。=/28="€沖04工410},

Nc（C*）={1,3,5,7},則集合2的元素個數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.不確定

【答案】B

【知識點】容斥原理的應用、根據(jù)并集結果求集合元素個數(shù)、根據(jù)交集結果求集合元素個數(shù)

【詳解】因為全集U=2u8={xeN|0WxW10}={0,l,2,3,4,5,6,7,8,9,10},

4c(。05)={1,3,5,7},所以A中肯定有1,3,5,7,8中肯定沒有1,3,5,7,A和8

中都有可能有0,2,4,6,8,9,10,且除了1,3,5,7,A中有的其他數(shù)字，8中也一

定會有，A中沒有的數(shù)字，8中也一定會有，所以8={0,2,4,6,8,9,10},

故選：B

2.(多選)(2024?河北石家莊?三模)某校"五一田徑運動會”上，共有12名同學參加100米、

400米、1500米三個項目，其中有8人參加“100米比賽”，有7人參加“400米比賽”，有5

人參加“1500米比賽"，"100米和400米”都參加的有4人，“100米和1500米"都參加的有3

人，"400米和1500米”都參加的有3人，則下列說法正確的是()

A.三項比賽都參加的有2人B.只參加100米比賽的有3人

C.只參加400米比賽的有3人D.只參加1500米比賽的有1人

【答案】ABD

【知識點】根據(jù)交集結果求集合元素個數(shù)、容斥原理的應用

【詳解】根據(jù)題意，設/={目尤是參加100米的同學},

3={x|x是參加400米的同學},

C={x|x是參加1500米的同學},

則card(/)=8,card(5)=7,card(C)=5,

且card(/n8)=4,card(/nC)=3,card(5C|C)=3,

貝i]card(/ri8nC)=12-[(8+7+5)-(4+3+3)]=2,

所以三項比賽都參加的有2人，只參加100米比賽的有3人，

只參加400米比賽的有2人，只參加1500米比賽的有1人.

故選：ABD

題型八：集合的新定義

例9.(24-25高三下?山東青島?開學考試)設集合S={1,2,…,10},/是S的一個子集.若

對任意q,%總有,則/中元素個數(shù)的最大值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、集合新定義

【詳解】因為/是s的一個子集，記/={%,與「??，%}，

而奇數(shù)一奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)一偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)的差為奇數(shù)，

若對任意見，。/e/（%*%）總有舊一0，eA,

要使/中元素的個數(shù)最多，則集合N中應可以取所有的奇數(shù)即可，

即/={1,3,5,7,9},得集合/中元素個數(shù)的最大值為：5.

故選：A

【解題方法總結】

集合新定義問題的“三定”

⑴定元素：確定已知集合中所包含的元素，利用列舉法寫出所有元素；

⑵定運算：根據(jù)要求及新定義運算，將所求解集合的運算問題轉化為集合的交集、并集或補

集的基本運算問題，或轉化為數(shù)的有關運算問題；

⑶定結果：根據(jù)定義的運算進行求解，利用列舉法或描述法寫出所求集合中的所有元素.

練習：1.（24-25高三下?江蘇鹽城,階段練習）設尸、。為兩個實數(shù)集，定義集合

P+Q={a+b\aeP,beQ},若尸={0,1,2},。={1,2},則尸+。的子集個數(shù)為（）

A.15B.16C.31D.32

【答案】B

【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、集合新定義

【詳解】由題意尸+。={1,2,3,4},所以尸+。的子集個數(shù)為2,=16,

故選：B

2.（2025?湖南?三模）已知集合NqN*且A中至少含有2個元素，若對于A中的任意兩個不

同元素%兒都有卜-夕上左，則稱A具有性質尸㈤，若4={1,2,…,2025},且同時具有性

質P（4）和尸⑺，則A中至多有個元素.

【答案】921

【知識點】判斷兩個集合的包含關系、集合新定義

【詳解】先說明連續(xù)11項中集合A中最多選取5項，

以1,2,3…,11為例.

構造抽屜{1,8},{2,9},{3,10},{4,11},{5},{6},{7}.

①5,6,7同時選，因為具有性質尸(4)和尸(7),

所以選5則不選1,9；選6則不選2,10；選7則不選3,11；

則只剩4,8,故1,2,3…,11中屬于集合A的元素個數(shù)不超過5個.

②5,6,7選2個，

若只選5,6,則1,2,9,10,7不可選，又{4,11}只能選一個元素，

3,8可以選，故1中屬于集合A的元素個數(shù)不超過5個.

若選5,7,則只能從2,4,8,10中選,但4,8不能同時選，

故1,2,3…,11中屬于集合A的元素個數(shù)不超過5個.

若選6,7,則2,3,10,11,5不可選,又{1,8}只能選一個元素，

4,9可以選，故1,2,3—11中屬于集合A的元素個數(shù)不超過5個.

③5,6,7中只選1個，

又四個集合{1,8},{2,9},{3,10},{4,11}每個集合至多選1個元素,

故1,2,3…,11中屬于集合A的元素個數(shù)不超過5個.

由上述①②③可知，連續(xù)11項自然數(shù)中屬于集合A的元素至多只有5個，

如取1,4,6,7,9.

因為2025=184x11+1,則把每H個連續(xù)自然數(shù)分組，前184組每組至多選取5項，余一

個數(shù)2025.

給出如下選取方法：從1,2,3…,11中選取1,4,6,7,9；

然后在這5個數(shù)的基礎上每次累加11,構造184次.

此時集合A的元素為：1,4,6,7,9；12,15,17,18,20；23,26,28,29,31；……；

2014,2017,2019,2020,2022,共920個元素，而取2025也滿足題意,

經(jīng)檢驗可得該集合符合要求，故集合A的元素最多有921個.

故答案為：921.

真題呈現(xiàn)(2025年一202言真軻|

1.(2025年全國I卷高考真題)設全集。=卜上是小于9的正整數(shù)},集合/={1,3,5},則

中元素個數(shù)為()

A.0B.3C.5D.8

【答案】C

【知識點】補集的概念及運算

【詳解】因為U={L2,3,4,5,6,7,8},所以&/={2,4,6,7,8},1/中的元素個數(shù)為5,

故選：C.

2.(2025年全國H卷高考真題)已知集合力={-4,0,1,2,8},8=卜|/=苫},則/口3=()

A.{0,1,2}B.028}

C.{2,8}D.{051}

【答案】D

【知識點】交集的概念及運算

【詳解】5={X|X3=X}={0,-1,1),故/口8={0,1},

故選：D.

3.(2024年新高考全國I卷高考真題)已知集合/=卜1-5＜/＜5},3={-3,-1,0,2,3},則

A[\B=()

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

【答案】A

【知識點】交集的概念及運算、由累函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【詳解】因為/={x|-括＜%＜指},8={-3,-1,0,2,3},且注意到1＜痣＜2,

從而/口8={-1,0}.

故選：A.

5.(2023年新課標I卷高考真題)已知集合河={-2,-1,0,1,2},2V={x|x2-x-6＞0),則

MAN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【知識點】交集的概念及運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【詳解】方法一：因為N=卜卜2一%一620}=(-8,-2]33,+8),而河={-2,-1,0,1,2},

所以MnN={-2}.

故選：c.

方法二：因