限時(shí)練習(xí)：30min完成時(shí)間：—月—日天氣:

寒假作業(yè)13線段中的動點(diǎn)問題

一、解題常用的數(shù)學(xué)思想

分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，方程思想.

二、解題方法：

1.通過審題了解動點(diǎn)的運(yùn)動起止位置、運(yùn)動路徑、速度、以及與其它點(diǎn)的相對位置關(guān)系，利用已知條件表

示運(yùn)動路徑長.注意：動點(diǎn)與圖形中的臨界點(diǎn)的相對位置變化，可能引起表達(dá)式的變化.

2.根據(jù)已知條件列方程、關(guān)系式即可.

*3鞏固提升練

1.如圖，直線/上有A,B,C,。四點(diǎn)，點(diǎn)尸從點(diǎn)A的左側(cè)沿直線/從左向右運(yùn)動，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)尸與A,B,

C,D四點(diǎn)中的至少兩個點(diǎn)距離相等時(shí)，點(diǎn)P就稱為這兩個點(diǎn)的黃金伴侶點(diǎn)，例：若則點(diǎn)P為點(diǎn)A

和8的黃金伴侶點(diǎn)，在點(diǎn)P從左向右運(yùn)動的過程中，點(diǎn)尸成為黃金伴侶點(diǎn)的機(jī)會有（）

—?>1_____??,7

PABCD

A.4次B.5次C.6次D.7次

【答案】C

【解析】由題意知，點(diǎn)尸與4B,C,。四點(diǎn)中的至少兩個點(diǎn)距離相等時(shí)，恰好點(diǎn)P是其中一條線段的中

點(diǎn)，圖中共有六條線段：A3、BC、CD、AC.AD.3D,.?.點(diǎn)尸成為黃金伴侶點(diǎn)的機(jī)會有六次，故選C.

2.如圖，線段的長為加，點(diǎn)C為上一動點(diǎn)（不與A,8重合），。為AC的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn),

隨著點(diǎn)C的運(yùn)動，線段DE的長度（）

ADCEB

2

A.隨之變化B.不改變，且為§加

31

C.不改變，且為二根D.不改變，且為2機(jī)

【答案】D

【解析】為AC的中點(diǎn)，￡為5c的中點(diǎn)，ADC=|AC,CE=|BC,.\DE=DC+CE=1AC+|BC

=故選D.

3.如圖所示，數(shù)軸上。，A兩點(diǎn)的距離為8,一動點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動：第1次跳動到A。

的中點(diǎn)4處，第2次從4點(diǎn)跳動到4。的中點(diǎn)4處，第3次從4點(diǎn)跳動到4。的中點(diǎn)4處，按照這樣的

規(guī)律繼續(xù)跳動到點(diǎn)4,4,4,…，An（?>3,〃是整數(shù)）處，問經(jīng)過這樣2023次跳動后的點(diǎn)與A/A的中點(diǎn)

的距離是（）

A4___--

C.丁,2020

【答案】D

【解析】由題意可得，

點(diǎn)4表示的數(shù)為8x；=4,

點(diǎn)4表示的數(shù)為8x：x：=2,

點(diǎn)4表示的數(shù)為8x7x7x7=1,

/22

點(diǎn)An表示的數(shù)為8x（,）“，

???A/A的中點(diǎn)表示的數(shù)為（8+4）+2=6,

.?.2023次跳動后的點(diǎn)與A/A的中點(diǎn)的距離是：6-8x（1）^=6_（1）2020=6-擊，

故選D

4.已知點(diǎn)M是線段A3上一點(diǎn)，若點(diǎn)N是直線上的一動點(diǎn)，S.AN-BN=MN,則

4

MN_

~AB~-------*

【答案】3或1

【解析】分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)N在線段A3上，如圖：

11Ii

AMNB

AN—BN=MN,AN-AM=MN,:.BN=AM,

AM=-AB,\BN=-AB,\MN=AB-AM-BN^-AB,\—=-；

442AB1

②當(dāng)點(diǎn)N在線段A3的延長線上，如圖:

I____I________________I_____I

AMBN

MN

AN-BN=MN,AN-BN=AB,:.AB=MN,——=1.

AB

綜上所述，絲乜的值為J或L故答案為：J或1.

AB22

5.如圖，有一種電子游戲，電子屏幕上有一條直線/,在直線/上有A,B,C,。四點(diǎn)，且AB=8C=CD點(diǎn)

產(chǎn)沿直線/從右向左移動，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與A,B,C,。四點(diǎn)中的至少兩個點(diǎn)距離相等時(shí)，就會發(fā)出警報(bào)，則

直線/上會發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P最多有個.

ABCD

【答案】5

【解析】根據(jù)題意可知：當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過任意一條線段中點(diǎn)時(shí)會發(fā)出報(bào)警，

?..圖中共有線段OC,DB,DA,CB,CA,BA,且BC和的中點(diǎn)是同一個，.?.發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P最多有5

個.故答案為：5.

6.如圖，AB=W,點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段2C的中點(diǎn)，點(diǎn)C是線段A3上一動點(diǎn)，則

MN=.

AMCNB

【答案】5

【解析】是AC的中點(diǎn)，N是CB的中點(diǎn)，，MC=；AC,CN=|CB,

MN=MC+CN=1AC+1CB=1（AC+CB）=|xlO=5.故答案為：5.

7.如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一個動點(diǎn)（不與A,B重合），點(diǎn)、D,E,尸分別是線段AC,BC,DE的中點(diǎn),

下列結(jié)論：

①圖中的點(diǎn)。，P,C,￡都是動點(diǎn)；

②AD>BE；

③4B=2OE；

④當(dāng)AC=BC時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合.

其中正確的是.（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）

ADPCEB

【答案】①③④

【解析】①：點(diǎn)C是線段AB上的一個動點(diǎn)（不與A,B重合），點(diǎn)D,E,P分別是線段AC,BC,DE

的中點(diǎn)，，D,E隨著C的運(yùn)動而運(yùn)動，點(diǎn)P隨著D,E的運(yùn)動而運(yùn)動，因此，隨著C的運(yùn)動，D,P,E

都在動，，本選項(xiàng)正確；

@-：AD=-AC,BE=-BC,

22

...當(dāng)C點(diǎn)在AB中點(diǎn)左邊（不含中點(diǎn)）運(yùn)動時(shí)，由于AC<BC,.*.AD<BE,本選項(xiàng)錯誤；

③由題意可知：DC=^AC,EC=；BC,:.DE=DC+EC=g（AC+BC）,

：.DE=-AB,即AB=2DE,本選項(xiàng)正確；

2

④由③可知，當(dāng)AC=BC時(shí)，DC=EC,所以C為DE的中點(diǎn)，

又P也為DE的中點(diǎn)，，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，，本選項(xiàng)正確.

故答案為①③④.

8.如圖，動點(diǎn)2在線段AD上，沿AfOfA以2cm/s的速度往返運(yùn)動1次,C是線段的中點(diǎn)，AD=10cm,

設(shè)點(diǎn)8的運(yùn)動時(shí)間為/秒（04di。）.

ABCD

I____________I_____________________I________________________I

⑴當(dāng)7=2時(shí)，

?AB=cm；

②求線段CD的長度.

（2）用含f的代數(shù)式表示運(yùn)動過程中線段AB的長度.

【解析】（1）①當(dāng)"2時(shí)，AB=2r=2x2=4（cm）；故答案為：4；

②AD=10cm,AB=4cm,

/.BD=10-4=6（cm）.

???C是線段的中點(diǎn)，

C￡>=；BD=gx6=3（cm）.

ABCD

I_______________I____________________I________________________I

（2）：3是線段4。上一動點(diǎn)，沿AfOfA以2m/s的速度往返運(yùn)動1次，

當(dāng)點(diǎn)8沿點(diǎn)AfD運(yùn)動時(shí)，AB=2rcm,點(diǎn)2沿點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，AB=（20-2/）cm.

綜上所述，AB=2fcm（0</<5）或A8=（20-2f）cm（5<r<10）.

9.線段AB=16,C,。是線段AB上的兩個動點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)。的左側(cè)），且CO=2,E為BC的中點(diǎn).

IlliI

ACDEB

圖1

IIIIII

AFCDEB

圖2

（1）如圖1,當(dāng)AC=4時(shí)，求。E的長.

(2)如圖2,尸為的中點(diǎn).點(diǎn)C,D在線段A2上移動的過程中，線段取的長度是否會發(fā)生變化，若會,

請說明理由；若不會，請求出所的長.

【解析】(1)\'AB=16,CD=2,AC=4,

：.BC=AS-AC=16-4=12,AD=AC+CD=6,

為BC的中點(diǎn)，

BE=-BC=6,

2

：.DE=AB-AD-BE=16-6-6=4-,

(2)線段EF的長度不會發(fā)生變化，EF=1,

"：AB=16,CD=2,

：.AD+BC=AB+CD=16+2=18,

?.,尸為AO的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，

FZ)+C￡=1(AD+BC)=1xl8=9,

EF=FD+CE-CD=9-2=1.

10.如圖1,點(diǎn)C在線段AB上，BC=2AC.P,。兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)C,8出發(fā)，分別以Icm/s,2cm/s的速

度沿直線AB向左運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，兩點(diǎn)立即停止運(yùn)動.

備用圖

(1)7石的值是;

MN

(2)取尸。的中點(diǎn)M,CQ的中點(diǎn)M求^的值.

【解析】(1)VP,。兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)C,B出發(fā)，分別以lcm/s,2cm/s的速度沿直線AB向左運(yùn)動,

設(shè)運(yùn)動時(shí)間為f,/.CP=t,BQ=2t,：.PC=^QB,

VBC^2AC,.?.設(shè)BC=2a,AC=a,：.AP=AC-CP=a-t,CQ=BC-BQ=2a-2t=2(a-f),

故答案為：—

(2)如圖，是P。的中點(diǎn)，N是CQ的中點(diǎn),

：.MQ=-PQ,NQ=-CQ,

；.MN=MQ-NQ=-PQ--CQ=-(PQ-CQ)=-PC,

?；PC=^QB,

：.MN=^x^QB=^QB,

.MN

,,eF-4-

PCMN0B

能力培優(yōu)練

11.電子跳蚤游戲盤（如圖）為AABC,AB=6,AC=7,BC=8.如果跳蚤開始時(shí)在BC邊的Po處，BP0

=2.跳蚤第一步從Po跳到AC邊的Pi（第1次落點(diǎn)）處，且CPi=CPo；第二步從Pi跳到AB邊的P?（第

2次落點(diǎn)）處，且AP?=APi；第三步從Pz跳到BC邊的P3（第3次落點(diǎn)）處，且BP3=BP2；……；跳蚤按

上述規(guī)則一直跳下去，第n次落點(diǎn)為Pn（n為正整數(shù)），則點(diǎn)P2013與P2016之間的距離為（）

【答案】c

【解析】根據(jù)規(guī)律：CPi=CP0=8-2=6,API=AP2=7-6=1,

BP2=BP3=6-1=5,CP3=CP4=8-5=3,AP4=AP5=7-3=4,..

由此可得

POP3=CPO-CP3=6-3=3,

PIP4=AP4-API=4-1=3,

P2P5=AP5-AP2=4-1=3,

P2013P2016=3.

故選C.

12.已知，B是線段AO上一動點(diǎn)，沿A至。的方向以2cm/s的速度運(yùn)動，C是線段8。的中點(diǎn)，AD=10cm.在

運(yùn)動過程中，若線段的中點(diǎn)為E,則EC的長是（）

A.2cmB.5cmC.2cm或5cmD.不能確定

【答案】B

【解析】設(shè)運(yùn)動時(shí)間為3

AEBCD

則AB=2t,BD=10-2t,

：C是線段BD的中點(diǎn)，E為線段AB的中點(diǎn)，

.*.EB=J^=t,BC=^^=5-t,EC=EB+BC=t+5-t=5cm,故選B.

22

13.已知多項(xiàng)式MT一8〃/一2中，多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)為a,四次項(xiàng)的系數(shù)為6,常數(shù)項(xiàng)為c,且a,b,c的值分

別是點(diǎn)A,B,C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向右以1單位/s的速度勻速運(yùn)動，點(diǎn)。從點(diǎn)

A出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā).

(1)a=,b=,c=；

(2)若點(diǎn)。的運(yùn)動速度為3單位/s,經(jīng)過多長時(shí)間尸，。兩點(diǎn)相距9；

(3)。是數(shù)軸上的原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動在原點(diǎn)左側(cè)上時(shí)，分別取。尸和AC的中點(diǎn)E,F,試問筆為的值

EF

是否變化，若變化，求出其范圍；若不變，求出其值.

【解析】(1)?..多項(xiàng)式3//_8%3_2中，多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)為。，四次項(xiàng)的系數(shù)為b,常數(shù)項(xiàng)為c,

/.a-3,b=—8,c=—2；

(2)設(shè)經(jīng)過f秒尸，。兩點(diǎn)相距9,

根據(jù)題意得：BP^t,AQ=3t,

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)。的左側(cè)時(shí)，BP+PQ+AQ=AB,

即f+9+3r=3—(—8),解得/=(.

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)。的右側(cè)時(shí)，BP+AQ-PQ^AB,

即r+3f-9=3—(―8),解得"5.

綜上所述，經(jīng)過|■秒或5秒P,。兩點(diǎn)相距9；

(3)設(shè)=,

/.AP=3+m,

?.?點(diǎn)E為。P的中點(diǎn)，

/.<?￡,=—,

2

對應(yīng)的數(shù)為3,C對應(yīng)的數(shù)為-2,AC的中點(diǎn)為品

.?.點(diǎn)尸對應(yīng)的數(shù)為-2+2=1,0C=2,

22

：.0F=-,

2

777I1

AEF=OE+OF=-+-=-(m+l],

222V7

.-A-P-O-C--3-+-m---2=-m--+\--=2

"EF;（機(jī)+1）l（OT+1）,

；?當(dāng)券的值不變，為2.

EF

14.已知：如下圖，點(diǎn)M是線段A3上一定點(diǎn)，AB=12cm,C,。兩點(diǎn)分別從A/,3出發(fā)以lcm/s,2cm/s

的速度沿直線向左同時(shí)運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示（。在線段AM上，。在線段創(chuàng)1上）.

ACMDB

(1)若AM=4cm,當(dāng)點(diǎn)C,。運(yùn)動了2s,此時(shí)AC=,DM=；(直接填空)

(2)若點(diǎn)C,。運(yùn)動時(shí)，總有MD=2AC,求AM的值.

(3)在(2)的條件下，N是直線A5上一點(diǎn)，^AN-BN=MN,求絲儀的值.

AB

【解析】(1)根據(jù)題意知，CM=2cm,BD=4cm,

*/AB=12cm,AM=4cm,

/.BM=8cm,

AAC=AM-CM=2cmfDM=BM-BD=4cm,

故答案為：2cm,4cm；

(2)根據(jù)C,。的運(yùn)動速度知：BD=2MC,

?：MD=2AC,

：.BD-^-MD=2(MCAC),MB=2AMf

■:AM+BM=AB,

：.AM^2AM=AB,

/.AM=—AB=4cm；

3

(3)①當(dāng)點(diǎn)N在線段A5上時(shí)，如圖，

ACM__N_DB

VAN-BN=MN,AN-AM^MN,

：.BN=AM=4cmf

：.MN=AB-AM-BN=12-4-4=4(cm),

.MN1

.?——：

AB3

②當(dāng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上時(shí)，如圖，

11______________?_____________11I

ACMDBN

VAN-BN=MN,AN-BN=AB,

MN=AB=12cm,

?MN

,?------=1.

AB

綜上所述，」MN的值為1一或1.

AB3

15.如圖，點(diǎn)A8都在數(shù)軸上，。為原點(diǎn).

5

力

。x

方

?-—???n

5-3-22345

-4

(1)線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)是;

(2)若點(diǎn)8以每秒3個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動了f秒，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)。左邊時(shí)，0B=,

當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)。右邊時(shí)，0B=；

(3)若點(diǎn)A,8分別以每秒1個單位長度、3個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動，而點(diǎn)。不動，/秒后，A,B,O

三個點(diǎn)中有一個點(diǎn)是以另外兩個點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，求t的值.

【解析】(1)「-4廣+2二」，故答案為J；

(2)點(diǎn)3在點(diǎn)。左邊時(shí)，OB=4-3t,

點(diǎn)8在點(diǎn)。右邊時(shí)，OB=3t—4,

故答案為4-3八3/-4；

(3)①當(dāng)點(diǎn)0是線段的中點(diǎn)時(shí)，OB=OA,

4—3%=2+1,

t=0.5；

②當(dāng)點(diǎn)5是線段Q4的中點(diǎn)時(shí)，OA=2OB,

2+/=2(3-4),

t=2；

③當(dāng)點(diǎn)A是線段05的中點(diǎn)時(shí)，OB=2OAf

3^-4=2(2+0,

1=8.

綜上所述，符合條件的，的值是052或8.

16.在直角三角形ABC中，AB=8cm,AC=6cm,5C=10cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以2cm/s的速度沿AfC

的方向移動，點(diǎn)。從點(diǎn)。開始以lcm/s的速度沿CfAfB的方向移動.如果點(diǎn)尸，。同時(shí)出發(fā)，用心)表

示移動時(shí)間，解答下列問題.

(1)如圖1,請用含f的代數(shù)式表示(不用帶單位)：

①當(dāng)點(diǎn)。在AC上時(shí)，CQ=；

②當(dāng)點(diǎn)。在A3上時(shí)，AQ=；

③當(dāng)點(diǎn)P在A3上時(shí)，BP=；

④當(dāng)點(diǎn)尸在BC上時(shí)，BP=；

(2)如圖2,若點(diǎn)尸在線段A3上運(yùn)動，點(diǎn)。在線段C4上運(yùn)動，當(dāng)。A=AP時(shí)，試求出f的值;

(3)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P,。兩點(diǎn)都停止運(yùn)動.請直接寫出當(dāng)8尸時(shí)的r值.

【解析】(1)①當(dāng)點(diǎn)。在AC上時(shí)，CQ=t.

②當(dāng)點(diǎn)。在A3上時(shí)，AQ=t-6;

③當(dāng)點(diǎn)尸在A3上時(shí)，BP=8-2t；

④當(dāng)點(diǎn)尸在BC上時(shí)，BP=2t-8；

(2)由題意得，6—t=2t,解得/=2；

(3)?:AQ=BP,

二當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動，點(diǎn)。在線段C4上運(yùn)動時(shí)，

6—/=8—2/,解得/=2；

當(dāng)點(diǎn)P在線段8C上運(yùn)動，點(diǎn)。在線段C4上運(yùn)動時(shí)，

14

6T=2/-8,解得/=不；

當(dāng)點(diǎn)P在線段8C上運(yùn)動，點(diǎn)。在線段上運(yùn)動時(shí)，

t—6=2t—8,解得t=2(不合題意).

14

綜上，/=2或f時(shí)4。=3尸.

wa拓展突破練

17.操作與探究：

(1)如圖，已知線段A3長為5cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A以2cm/s的速度向點(diǎn)3運(yùn)動，P點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為fs,則

AP=,BP=；

1------A--------------J

APB

(2)如圖，已知在長方形ABC。中，Afi=12cm,BC=16cm,動點(diǎn)尸以2cm/s的速度從A點(diǎn)沿著A-B-C

運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為？s,用含f的式子表示；

拓展與延伸：

（3）如圖，在（2）的基礎(chǔ)上，動點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)，沿著線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動，速度為lcm/s,P,。同時(shí)

出發(fā)，運(yùn)動時(shí)間為fs.其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)C,另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)尸在BC上運(yùn)動，f為何值時(shí)，=1?

【解析】（1）,線段長為5cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)A以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，

:.AP=2tcm,BP=（5-2r）cm,故答案為：2tcm,（5-2t）cm；

（2）AB=12cm,BC=16cm,動點(diǎn)P以2cm/s的速度從A點(diǎn)沿著A-8-C運(yùn)動，

，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，尸3=（12—2f）cm,

當(dāng)點(diǎn)尸在BC上時(shí),PB=（2r-12）cm.

故答案為：（12-21）cm或（2-12）cm；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)。的左邊時(shí)，BQ-BP=\,

即r-（2r-12）=l,

f—2/+12=1,

—Z=—11,

解得/=1L

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)。的右側(cè)時(shí)，BP-BQ=1,

2，—12-/=1,

解得r=13.

故t為11或13時(shí)，尸。=1.

18.如圖，/AO3的邊。4上有一動點(diǎn)P,從距離。點(diǎn)18cm的點(diǎn)“處出發(fā)，沿線段A7O,射線。3運(yùn)動，速

度為3cm/s.動點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，沿射線運(yùn)動，速度為2cm/s,點(diǎn)P,Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時(shí)間是"s）.

A

(1)當(dāng)點(diǎn)尸在MO上運(yùn)動時(shí),t為何值時(shí)能使OP=OQ?

(2)若點(diǎn)。運(yùn)動到距離。點(diǎn)16cm的點(diǎn)N處停止，在點(diǎn)。停止運(yùn)動前，點(diǎn)P能否追上點(diǎn)Q?如果能，求出/

的值；如果不能，請說出理由；

(3)若P,。兩點(diǎn)不停止運(yùn)動，當(dāng)P、。均在射線。3上一為何值時(shí)，它們相距1cm.

【解析】(1)運(yùn)動時(shí)間是t(s)時(shí)，。尸=18-3/,。。=2/,

若OP=OQ,則18-3r=27,

解得r=3.6；

(2)點(diǎn)。停止運(yùn)動時(shí)，用的時(shí)間為16+2=8(秒),

此時(shí)點(diǎn)尸運(yùn)動的路程為3x8=24,24-18=6<16,

二點(diǎn)P不能追上點(diǎn)。；

(3)當(dāng)P,。均在射線OB上，它們相距1cm時(shí)，

根據(jù)題意得：PQ=\OP-O(^=1,

即|3r-18-2r|-l,

解得f=17或f=19.

19.已知有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)從左到右順次為A,B,C,其中b是最小的正整數(shù)，a在最大的

負(fù)整數(shù)左側(cè)1個單位長度，BC=2AB.

(1)填空：a=,b=,c=；

(2)點(diǎn)。從點(diǎn)A開始，點(diǎn)E從點(diǎn)B開始，點(diǎn)/從點(diǎn)C開始，分別以每秒1個單位長度、1個單位長度、

4個單位長度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向左運(yùn)動，點(diǎn)P追上點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒.試問：

①當(dāng)三點(diǎn)開始運(yùn)動以后，t為何值時(shí)，這三個點(diǎn)中恰好有一點(diǎn)為另外兩點(diǎn)的中點(diǎn)？

②F在追上E點(diǎn)前，是否存在常數(shù)k,使得DF+6EF的值與它們的運(yùn)動時(shí)間無關(guān)，為定值.若存在，請求

出k和這個定值；若不存在，請說明理由.

【解析】(1)???最小正整數(shù)為1,最大的負(fù)整數(shù)為-1,a在最大的負(fù)整數(shù)左側(cè)1個單位長度，

/.點(diǎn)A表示的數(shù)a為-1-1=2,點(diǎn)B表示的數(shù)b為1,

Z.AB=1-(-2)=3.

---3c=2AF=2x3=6,

...點(diǎn)C表示的數(shù)為c=l+6=7,

故答案為：-2,1,7；

(2)①依題意，點(diǎn)F的運(yùn)動距離為4t,點(diǎn)D、E運(yùn)動的距離為t,

.?.點(diǎn)D,E,F表示的數(shù)分別為-2-t,1-37-4t,

當(dāng)點(diǎn)F追上點(diǎn)D時(shí)，必將超過點(diǎn)B,

.,.存在兩種情況，即DE=EF和DF=EF.

如圖，當(dāng)DE=EF,即E為DF的中點(diǎn)時(shí)，

2(l-/)=-2-r+7-4r,

解得t=l.

AB

D-2E\F7

如圖，當(dāng)EF=DF,即F為DE中點(diǎn)時(shí)，

2(7-旬=-2-r+l-f,

解得匚I

AB

.__________ee___________________________________________j_________a

DF-2E17

綜上所述，當(dāng)t=l秒和t=|■秒時(shí)，滿足題意.

②存在.理由：

點(diǎn)D,E,F表示的數(shù)分別為-2-t,1-t,7-4t,

如圖，F(xiàn)在追上E點(diǎn)前，DF=7-4?-(-2-?)=9-3r,EF=7-4/-(lT)=6-37,

。尸+尸=9-3r+k(6-3r)=9+6/-(3+3后)r,

當(dāng)。尸+-EF與t無關(guān)時(shí)，需滿足3+3k=0,

即k=-l時(shí)，滿足條件，此時(shí)。尸+GEF的定值為3.

AB

D-2E\F7

20.如圖，點(diǎn)A,點(diǎn)8在數(shù)軸上分別表示數(shù)a,b,則A,8兩點(diǎn)之間的距離表示為-a|

AB

11?III

abACB

圖1

【探索新知】

如圖1,點(diǎn)C將線段AB分成AC和8C兩部分，若,則稱點(diǎn)C是線段的圓周率點(diǎn)，線段AC、BC

稱作互為圓周率伴侶線段.

(1)若AC=2,則AB=(用含"的代數(shù)式表示)；

(2)若點(diǎn)。也是圖1中線段的圓周率點(diǎn)(不同于C點(diǎn))，則ACDB(填.

【深入研究】

如圖2,現(xiàn)有一個直徑為1個單位長度的圓片，將圓片上的某點(diǎn)與數(shù)軸上表示1的點(diǎn)重合，并把圓片沿?cái)?shù)軸

向右無滑動地滾動1周，該點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)C的位置.

(3)若點(diǎn)M,N均為線段0C的圓周率點(diǎn)，求線段的長度.

【解析】(1)由題意得BC=〃AC,

AB=AC+BC^(1+^AC,

AC=2,

AB=2+；

(2)如圖，VBC=7rAC,

i?i?

ACDB

???當(dāng)50=AC時(shí)，BC=AD,

?.AD=7iBD,即點(diǎn)。也是圖1中線段Ag的圓周率點(diǎn)，

???AC與。5的數(shù)量關(guān)系是相等；

故答案為：—；

(3)由題意可知，點(diǎn)。表示的數(shù)是萬+1,

??,點(diǎn)M、N均為線段OC的圓周率點(diǎn)，

不妨設(shè)M點(diǎn)離。點(diǎn)近，且=

:.MC=TIOM=7ix,

/.OC=OM+MC=X+TIX=%+1,

解得了=1,

/.OM=CN=1,

：.MN=OC-OM-CN=7r-l.

21.定義：已知A,B,。為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)。到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)。到點(diǎn)5的距離的2倍，我們就稱點(diǎn)。

是［A,岡的美好點(diǎn).

例如；如圖1,點(diǎn)A表示的數(shù)為-1,點(diǎn)8表示的數(shù)為2,表示1的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是2,到點(diǎn)2的距離是

1,那么點(diǎn)C是［4間的美好點(diǎn)；又如，表示0的點(diǎn)。到點(diǎn)A的距離是1,到點(diǎn)8的距離是2,那么點(diǎn)。就

不是［4間的美好點(diǎn)，但點(diǎn)。是區(qū)A］的美好點(diǎn).

A