第二章基本初等函數(shù)

第7講函數(shù)的概念及其表示方法

鏈教材夯基固本

激活思維

2.(人A必一P72習(xí)題T2改)(多選)下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是(AD)

A.f^x)=x2-2x—1與g(s)=$2_2s-]

與8(%)=^1

x

C.以)=x2與g(X)=(MX)4

3

D.7(x)=x2與g(x)=G

3.(AA必一P72習(xí)題Tl(4))函數(shù)v=也三兩定義域?yàn)?-8,i)u(l,4].

X~1

?八』t|x(x+4),x20,

4.(人A必一P101復(fù)習(xí)參考題T7改)已知函數(shù)於)=?則次t1)+八一3)

忒%—4),x<0,

=26.

【解析】由題意得火1)=5,次-3)=21,所以人1)+八-3)=26.

5.(人A必一P69練習(xí)T3改)給定函數(shù)Xx)=—x+l,ga)=(x—l)2,x￡R,冽(x)=min{/(x),

,x+1,X￡(—8,O]U[1,+8),

g。)｝，則m(x)=_-

一(%—1)2,x￡(0,1)

【解析】由一X+1W(%—1)2,得N—X2O,解得xNl或xWO.又冽(x)=min{/(x),g(x)},

—x+1,x^(—°°,O]U[1,+°°),

所以m(x)=

(X—1)2,x￡(0,1).

聚焦知識(shí)

1.函數(shù)的概念及表示

設(shè)N,8是兩個(gè)是空一的實(shí)數(shù)集,如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系/,

使對(duì)于集合N中的每一個(gè)元素x,在集合2中都有_唯一一的元素

y和它對(duì)應(yīng)，那么稱/：8為從集合/到集合2的一個(gè)函數(shù)，

概念

記作y=Ax),xW4其中將所有的輸入值x組成的集合/叫做函

數(shù)產(chǎn)布)的_定義域」將所有的輸出值y組成的集合叫做函數(shù)的

_值域—

(1)函數(shù)的三要素：_定義域_、一對(duì)應(yīng)關(guān)系_、_值域:

三要素(2)如果兩個(gè)函數(shù)的一定義域一相同,并且一對(duì)應(yīng)關(guān)系一完全一致,

那么這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)

表示

(1)解析法(2)列表法(3)圖象法

方法

注意：

(1)直線x=a與函數(shù)y=/(x)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn).

(2)在函數(shù)的定義中，有兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集4,B,/即為函數(shù)的定義域，值域?yàn)?的子

集.

2.分段函數(shù)

若一個(gè)函數(shù)的定義域分成了若干個(gè)子區(qū)間，且每個(gè)子區(qū)間的解析式不同，則這種函數(shù)稱

為分段函數(shù).分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).分段函數(shù)的定義域等于

各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集.

3,定義域的求法

(1)分母不為0;偶次根式被開方數(shù)非負(fù)；零指數(shù)幕底數(shù)不為0；實(shí)際問題有意義；對(duì)

數(shù)的真數(shù)大于0,底數(shù)大于0且不等于I；

(2)復(fù)合函數(shù)的定義域：只要對(duì)應(yīng)法則相同，括號(hào)里整體的取值范圍就完全相同.

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說法

目幀U對(duì)函數(shù)概念的理解

例1(1)已知集合M={x|0WxW4},N={x|0WxW2},以下從M到N的對(duì)應(yīng)法則/是

函數(shù)的是(A)

A.f：x^y=\[xB.f：x~^y=x2

C.f：x^y=\x\D.fx^y=x-1

【解析】對(duì)于fX—>=4，對(duì)任意的％￡〃={x|0WXW4},在N={x|0WxW2}中都存

在唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，滿足函數(shù)定義，A正確；對(duì)于/：x^y=x2,當(dāng)％=4時(shí)，在N

={x|0WxW2}中無元素與之對(duì)應(yīng)，不滿足函數(shù)定義，B錯(cuò)誤；對(duì)于/：x^y=\x\,當(dāng)％=4時(shí)，

在N={x|0WxW2}中無元素與之對(duì)應(yīng)，不滿足函數(shù)定義，C錯(cuò)誤；對(duì)于/：x-^y=x—l,當(dāng)x

=4時(shí)，在N={x|0WxW2}中無元素與之對(duì)應(yīng)，不滿足函數(shù)定義，D錯(cuò)誤.

(2)已知集合4={x|0WxW4},集合5={x|0WxW2},下列圖象能建立從集合4到集合

5的函數(shù)關(guān)系的是(D)

41

【解析】對(duì)于A,存在點(diǎn)使一個(gè)％與兩個(gè)p對(duì)應(yīng)，不符合，排除；對(duì)于B,當(dāng)2VxW4

時(shí)，沒有與之對(duì)應(yīng)的外不符合，排除；對(duì)于C,》的范圍超出了集合5的范圍，不符合，

排除；對(duì)于D,滿足函數(shù)關(guān)系的條件，正確.

變式1(1)已知集合4={x|0WxW2},5={x|0〈xWl},下列能表示從4到5的函數(shù)

的是(A)

n=

A.f：x-y,)=13JB./ixfy,y2x

C.f：x-y,j=2xD./ix—y,y=x

【解析】由集合/={x|0WxW2},5={x|0<x<l},對(duì)于A,若/■:x-y,>=0",則

集合/中任意元素，在集合3中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，所以可構(gòu)成集合/到B的函數(shù),

符合題意；對(duì)于B,若/：xfy,y=2x,則集合/中的元素2,在集合2中沒有元素與之對(duì)

應(yīng)，所以不能構(gòu)成集合N到3的函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C,若/：x-y,y=2。則集合N

中的元素2,在集合2中沒有元素與之對(duì)應(yīng)，所以不能構(gòu)成集合/到2的函數(shù)，不符合題

意；對(duì)于D,若/:?>=x,則集合4中的元素2,在集合5中沒有元素與之對(duì)應(yīng)，所

以不能構(gòu)成集合4到5的函數(shù)，不符合題意.

(2)(2024?益陽檢測(cè))(多選)下列說法正確的有(BC)

1,x>0,

函數(shù)抬尸團(tuán)與〃)

3=0,x=0,表示同一個(gè)函數(shù)

—1,x〈0

B.函數(shù)i\x)=x2—2x+2與〃(￡)=盧一2/+2是同一個(gè)函數(shù)

C.函數(shù)》=加)的圖象與直線x=2025至多有一個(gè)交點(diǎn)

D.已知函數(shù)於尸歸一“一》,則

1,x>0,

【解析】對(duì)于A,?x)=區(qū)=因?yàn)閮珊瘮?shù)的定義域不相同，故不是同一

X—1,x<0,

個(gè)函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,函數(shù)依)=/—2x+2與“⑺=戶-2/+2定義域相同，解析式

一致，所以是同一個(gè)函數(shù)，故B正確；對(duì)于C,根據(jù)函數(shù)的定義可知，函數(shù)y=/(x)的圖象

與直線x=2025至多有一個(gè)交點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D,因?yàn)?1|一x,所以U=I2R

U=o,則優(yōu)1a=1。—1L。=1，故D錯(cuò)誤.

目幀回函數(shù)的定義域

例2(1)函數(shù)/U)=4L+(x—1)。的定義域?yàn)?8).

\3x—2

【解析】要使函數(shù)有意義，則?‘解得工〉？且xwi,

3x21/0,3

因此函數(shù)次x)的定義域?yàn)閘)u(l,+-).

(2)若函數(shù)y=/"+1的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(D)

4辦2—4辦+2

D.

【解析】由題意知，a/—4ax+2>0的解集為R.當(dāng)。=0時(shí)，2>0恒成立，滿足題意;

當(dāng)。力0時(shí)，?>0,解得0<。<1綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是］0'2

U=16a2-8a<0,2

(3)已知函數(shù)加+1)的定義域?yàn)?一5,0),則/(2x—1)的定義域?yàn)?B)

1，1〕

A.(-4,1)BI2J

C.(-9,1)D.I2J

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)次x+1)的定義域是(一5,0),設(shè)/=x+l,所以/e(—4,1),則人才)

的定義域?yàn)?-4,1),所以2x—ie(—4,1),解得2,I.

<總結(jié)提煉A

函數(shù)的定義域通常由問題的實(shí)際背景確定.如果只給出解析式>=外)，而沒有指明它

的定義域，那么函數(shù)的定義域就是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)X的取值集合.

變式2(1)若函數(shù)｛x)=正巨的定義域?yàn)閯tM=(D)

M-3

A.[2,+oo)B.(3,+8)

C.[2,3)D.[2,3)U(3,+^)

【解析】由已知得2*°'解得xN2且xW±3,即函數(shù)?0=正￡的定義域?yàn)?/p>

|x|—3^0,|x|—3

M=[2,3)U(3,+8).

(2)若函數(shù)人x)的定義域?yàn)閇—2,4],則夕=空?的定義域?yàn)?D)

X—1

A.(1,8]B.[-4,1)U(1,8]

C.(1,2]D.[-1,1)U(1,2]

—2W2xW4,

【解析】由題意得?解得一1WxW2且xWl.

X—1W0,

3_____

(3)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(B)

A.[0,2]B.[0,8)

C.(0,8]D.(0,8)

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽,所以辦2+QX+2Z0在上恒成立.當(dāng)。=0時(shí)，

4二2+"+2=2￡0滿足要求；當(dāng)“W0時(shí)，要滿足/=層一8QV0,解得0VQV8.綜上，OWQ

＜8.

目齪]函數(shù)的解析式

例3(1)已知上+l]=lgx,求加)；

【解答】(換元法)令4+1=傘＞1),則》=」，所以/(a=lg-,所以於)=lgq(x

XZ—1t—1X-l

>1).

(2)已知於)是一次函數(shù)，且滿足邪+1)—@-l)=2x+17,求/)；

【解答】(待定系數(shù)法)設(shè)兀v)=tix+6(aW0),則y(x+l)—2/(x—1)=3ax+3a+36—lax

+2。-26=ax+6+5a=2x+17,所以a=2,b=7,所以/(x)=2x+7.

(3)己知兀0+W—x)=3x2—x,求於).

【解答】由j(x}+2/(—x)=3x2—x,得/(—x)+2/(x)=3x2+x,所以

/(x)+2/(-x)—3x2—x,

解得兀V)=x2+x.

f{-x)+2f[x}^3x2+x,

＜總結(jié)提煉A

函數(shù)解析式的求法：(1)湊配法：由已知條件｛g(x))=F(x),可將網(wǎng)x)改寫成關(guān)于g(x)

的表達(dá)式，然后用x替代g(x),便得人x)的表達(dá)式.(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如

一次函數(shù)、二次函數(shù)等)，則可用待定系數(shù)法.(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)/(g(x))的解析式，

可用換元法，即令/=g(x),反解出x,代入原式可得人/),改寫即得｛x),此時(shí)要注意新元的

取值范圍.(4)方程思想：已知關(guān)于危)與/&1或八一工)等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造

出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出於).(5)賦值法：給變量賦予某些特殊值，

從而求出函數(shù)解析式.

變式3(1)已知二次函數(shù)小)滿足次2x)+加一1)=10/—7%+5,求煩1));

【解答】設(shè)/(x)=qx2+bx+c(QW0),因?yàn)?(2x)+y(x—1)=10x2—7x+5,所以4QX2+26X

+c+a(x—I)2+b(x—1)+c=Sax2+(36—2a)x+a—b2c=10x2—7x+5,所以

5。=10,。=2,

.36—2Q=—7,解得力=—1,所以")=2N—x+1,所以次1)=2—1+1=2,所以

a-6+2。=5,c=l,

A/(1))=A2)=2X4-2+1=7.

(2)已知於)+JJ=3x—2,求人x).

AX)+=3%—2①，

【解答】由題意得田&由①一2X②，得一力(x)=3x—2—§+

/U+如尸2②，"

x

4=3x--+2,所以於)=2_%_2,xe(-oo,o)U(O,+8).

xx3

目頓召分段函數(shù)

/+],xW0,

例4(1)設(shè)函數(shù)—)=<'''若次。)=1,則-=J)或

Inx,x>0,

【解析】當(dāng)aWO時(shí)，次〃)=層+1=1,解得。=0；當(dāng)。>0時(shí)，/(q)=lnq=l,解得。

=e.

(2)(2024?蘇州期中)給定函數(shù)/)=/—2,g(x)=-5+1,用M(x)表示函數(shù)4)，g(x)

中的較大者，即M(x)=max伏x),g(x)},則M(x)的最小值為(C)

C.-D.2

4

1a

【解析】令"g(x),即A2-x+l,解得』2或X『令於)<g(x),即N

1Q

—2V——x+1,解得一2<x<一.綜上可知，M(x)=

22

「—3十_L8]]

x2-2,(-oo,-2]UL2，J,

'i「一22作出M(x)的圖象如圖所示(圖中實(shí)線部分)，由

—x+1,，2J,

2

圖可知M(x)的最小值為:

(例4(2)答)

〈總結(jié)提煉A

(1)根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選定相應(yīng)

的解析式代入求解.

(2)已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或取值范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式

分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或取值范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.

x+2,xWO,

變式4(1)已知函數(shù)小)=1+工x>o,若加。))=2,則。=(D)

.x

A.0或1B.一1或1

C.0或一2D.一2或一1

【解析】令八0)=7,則人。=2,可得，=0或1=1.當(dāng)/=0時(shí)，即/(a)=0,顯然aWO,

因此a+2=0,解得。=一2；當(dāng)/=1時(shí)，即人a)=l,顯然aWO,因此a+2=l,解得。=

一1.綜上所述，a=—2或一1.

(2)(多選)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名字命名的函數(shù)外)=

1,xdQ,

?稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)人X)的敘述正確的有(BD)

,0,xGCRQ

A.函數(shù)y=/(x)的圖象是兩條直線

D.VxeR,都有火l—x)=/(2+x)

【解析】對(duì)于A,函數(shù)y=/(x)的圖象是斷續(xù)的點(diǎn)集，不是兩條直線，故A錯(cuò)誤.對(duì)于

B,當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，40=1,所以加x))=/(l)=l；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，於)=0,用a))=/(o)

=1,故B正確.對(duì)于C,/(73)=0,火1)=1,所以H1)＞人3),故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,由題意，

函數(shù)的定義域?yàn)镽,且八—x)=Ax),所以負(fù)x)為偶函數(shù).若x是有理數(shù)，則x+T也是有理

數(shù)；若x是無理數(shù)，則x+T也是無理數(shù).所以根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，任取一個(gè)不為零的有理

數(shù)T,火x+O=/(x)對(duì)WvGR恒成立，故/(x+2)=Ax)=A—x)=/(l—x),所以VxWR,都有加

-x)=fl2+x),故D正確.

隨堂內(nèi)化

函數(shù)人的二3二2的定義域?yàn)?

1.C)

x+1

A.[-2,2]

B.(—8,-1)U(-1,2]

C.[―2,—1)U(—1,2]

D.(-2,2)

【解析】要使得函數(shù)有意義，貝U4—N20且x+lWO,解得xd[—2,-1)U(-1,2].

,!/(/-(x+5)),x<10,j士，

2,設(shè)n加)=?則八9)的值為(B)

2x~15,x210,

A.9B.11

C.28D.14

【解析】X9)=X/(14))=X2X14-15)=X13)=2X13-15=11.

3.已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)閇—8,1],則函數(shù)g(x)=心土口的定義域是

x+2

【解析】由題意得一8W2x+1且x+2W0,解得一且xW—2,故函數(shù)g(x)

-_9_2〕

的定義域是12'Ju(-2,0].

4.設(shè)段)為一次函數(shù)，且加x))=4x—1.若次3)=—5,貝的?)=_—2x+l-

【解析】設(shè)八工)=而+6,其中左W0,則曲))=-fcv+b)+6=Fx+(祐+6)=4%一1,

無2=4,[k=~2卜2，

所以，解得，或入_1當(dāng)左=—2時(shí)，/(%)=—2x+l,此時(shí)

\kb+b=~li\b=lp-]

117

{3)=—5,符合題意；當(dāng)左=2時(shí)，{x)=2x—：,此時(shí)人3)=:不符合題意.綜上所述，火x)

=-2x+1.

x，0

5.已知八》)=N?—2x'1'若八〃)<3,則實(shí)數(shù)4的取值范圍是2,3)_.

.—2x—1,xVO,

【解析】當(dāng)時(shí)，a2~2a<3,解得0Wa<3；當(dāng)。<0時(shí)，一2°—1<3,解得一2

<a<0.綜上，°的取值范圍是(一2,3).

配套精練

A組夯基精練

一、單項(xiàng)選擇題

1.下列選項(xiàng)中表示同一個(gè)函數(shù)的是(D)

人.於)=/與g(x)=l

B../(x)=x與g(x)=H

X

C.y(x)=\(x—1)2與g(x)=x—1

工，xWO,

1,%20,

D.?=與g(x)=?網(wǎng)

.11,x<01,x=O

2x-\-1x〈l

2.已知函數(shù)40=?'’則人9)=(A)

fix—3),

A.2B.9

C.65D.513

【解析】X9)=/9—3)=犬6)=義3)=/(O)=2。+1=2.

3.若函數(shù)且<m)=4,則實(shí)數(shù)加的值為(B)

X2

A.?B.#或一比

C.-^6D.3

【解析】令x+L=/(/三2或—2),x2+；=1+J?—2=祥一2,所以人才)=5一2,7(加)

XX2

=加2—2=4,所以加=±#.

4.若函數(shù)/(x)=lg("2—2%+〃)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為(D)

A.(-1,0)B.[-1,1]

C.(0,1)D.(1,+8)

【解析】由函數(shù)/(x)=lg(辦2—2x+a)的定義域?yàn)镽,得ad—2X+Q>0恒成立，令〃(x)

=ax2—2X+Q.當(dāng)q=0時(shí)，h(x)=—2x,顯然一2x>0不恒成立，舍去；當(dāng)aWO時(shí)，若〃(%)

1>0,

=如2—2x+a>0恒成立，則需解得0>1.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,

U=4—4a2<0,

+00).

二、多項(xiàng)選擇題

5.某智能手機(jī)生產(chǎn)廠家對(duì)其旗下的某款手機(jī)的續(xù)航能力進(jìn)行了一輪測(cè)試(一輪測(cè)試時(shí)

長(zhǎng)為6h),得到了剩余電量y(單位：％)與測(cè)試時(shí)間/(單位：h)的函數(shù)圖象如圖所示，則下列

判斷正確的有(ACD)

A.測(cè)試結(jié)束時(shí)，該手機(jī)剩余電量為85%

B.該手機(jī)在前5h內(nèi)電量始終在勻速下降

C.該手機(jī)在Oh?3h內(nèi)電量下降的速度比3h?5h內(nèi)下降的速度更快

D.該手機(jī)在5h?6h進(jìn)行了充電操作

【解析】對(duì)于A,由圖象可得，當(dāng)f=6時(shí)，y=85,所以測(cè)試結(jié)束時(shí)，該手機(jī)剩余電

量為85%,故A正確；對(duì)于B,由圖象可得該手機(jī)在前5h內(nèi)電量下降不是一條直線，故不

是勻速下降，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,由圖象可得，在Oh?3h內(nèi)電量下降的速度為*義=

3

—,在3h?5h內(nèi)下降的速度為g^=10,—>10,故C正確；對(duì)于D,由圖象可得該

35-33

手機(jī)在5h?6h電量上升了55%,所以進(jìn)行了充電操作，故D正確.

6.已知函數(shù)的值域?yàn)閇0,36],則4)的定義域可能為(BCD)

A.[2,6]B.[-2,6]

C.[-6,6]D.[0,6]

【解析】令八%)=0,解得x=0；令人x)=36,解得x=±6.根據(jù)兀r)=丫2的圖象關(guān)于y

軸對(duì)稱的性質(zhì)，并結(jié)合選項(xiàng)可得加)的定義域可能為[—2,6],[-6,6]或[0,6].

1,x>0,

7.已知符號(hào)函數(shù)sgn(x)=.(),x=0,則下列說法正確的是(BCD)

.-1,x〈0,

A.函數(shù)y=sgn(x)的圖象關(guān)于〉軸對(duì)稱

B.對(duì)任意x￡R,sgne)=l

C.對(duì)任意的％￡R,慟=—xsgn(―x)

D.函數(shù)歹=xsgn(Tnx)的值域?yàn)?一8,-l)U[0,1)

【解析】對(duì)于A,若〉=5馱(%)的圖象關(guān)于》軸對(duì)稱，則y=sgn(X)為偶函數(shù)，應(yīng)該滿

足sgn(—l)=sgn⑴，但sgn(—l)=—l,sgn(1)=1,即sgn(—l)Wsgn(1),故A錯(cuò)誤；對(duì)

于B,因?yàn)槭?gt;0,所以對(duì)任意x￡R,sgn(ex)=l,故B正確；對(duì)于C,當(dāng)％<0時(shí)，sgn(―

x)=1,當(dāng)％=0時(shí)，sgn(—x)=0,當(dāng)x>0時(shí)，sgn(—x)=—1,貝U—xsgn(―x)=

—%,x<0,

-0,x=0,即一xsgn(—x)=|x|,故C正確；對(duì)于D,當(dāng)工￡(0,1)時(shí)，一lnx>0,y

x,x>0,

sgn(—lnx)=x^(0,1),當(dāng)x=l時(shí)，一lnx=0,y=xsgn(—Inx)=0,當(dāng)x￡(l,+0°)

時(shí)，一InxVO,y=xsgn(—lnx)=—%￡(—8,—1),即函數(shù)y=xsgn(—Inx)的值域?yàn)?一8,

-1)U[O,1),故D正確.

三、填空題

「」41

8,若函數(shù)/)=x—1的定義域?yàn)閇0,4],則函數(shù)y=AN)+[/(x)]2的值域?yàn)開廣2——?

【解析】由題意可知函數(shù)>=加2)+孫)]2要有意義，則需.'即0WxW2,

00W4,

故該函數(shù)的定義域?yàn)閇0,2].又｛x)=x-1,所以卜=/一l+(x—1)2=2X2—2x,對(duì)稱軸為x=g,

ii--4

所以當(dāng)X=-時(shí)，Jmin=一—，當(dāng)X=2時(shí)，Jmax=4,所以該函數(shù)的值域?yàn)?2'

22

9.已知函數(shù)五x)的定義域?yàn)?-4,-2),則函數(shù)g(x)=/(x—1)+而立的定義域?yàn)樯?

zilL.

【解析】因?yàn)榘藊)的定義域?yàn)?一4,-2),所以要使g(x)=/(x—1)+用工有意義，則

—4<%—1<—2

''解得一2Wx<—1,所以函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閇—2,—1).

x+220,

10.已知函數(shù);若函數(shù)g(x)滿足2g(x)則g(2)

7

-6T'

【解析】因?yàn)閉=必+[=+2,所以危)=]2+2,月=4+2=及由已知

fx21J99

2g(x)+g00=x,

可得’曾,解得g(x)=至二其中xWO,因此，g(2)=Z

2gU+g(x)=l,3x6

X

四、解答題

11.(1)已知於)是二次函數(shù)，且滿足大0)=1,於+1)—外)=2%，求段)的表達(dá)式；

【解答】設(shè)段)=QN+fcr+c(aWO).因?yàn)榱x0)=1,所以。=1.又因?yàn)殪?1)—/)=2羽

所以Q(X+l)2+/?(x+1)+1—(tzx2+Z?x+l)=2x,整理得2QX+(Q+6)=2X.由恒等式的性質(zhì)知

2d!2,a—],

上式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，所以?解得?所以所求函數(shù)的表達(dá)式為外)

a+b=Q,缶=一1,

=x2-x+1.

(2)已知/(2X+1)=4X2+4X,求於)的表達(dá)式;

【解答】令2X+1=M則X=],所以｛。=4義126+4義]=於一1,所以所求

函數(shù)的表達(dá)式為〃)=/—1.

(3)已知於)一D

=3x+2,求於)的表達(dá)式.

賀X)=3+2,

3,x

【解答】在原式中用1替換X,-2/(x)=-+2,聯(lián)立消

XX”)—2/CJ=3x+2,

70

得益)=-%----2(xW0).所以所求函數(shù)的表達(dá)式為/(%)=-%----2(xW0).

12.小明家院子中有塊不規(guī)則空地，如圖所示.小明測(cè)量并計(jì)算得出空地邊緣曲線擬合

心，0WxW4,

函數(shù)外4右VI八小明的爸爸打算改造空地，用家中現(xiàn)有的8米長(zhǎng)的柵

（x10）,4—10.

欄圍一面靠墻矩形空地45CO用來鋪設(shè)草皮，請(qǐng)問小明的爸爸需要購買多少平方米的草皮

才能鋪滿矩形草地？（柵欄全部用完，不考慮材料的損耗）

2

Q///////."77^7777777777.

(第12題)

\[x,0WxW4,

【解答】設(shè)4（巴0?4.因?yàn)殪叮?」9-10),4VxW10,則2(10-3/,t),

所以10—3/-F+2f=8,解得f=l,即/（I,1）,2（7,1）,此時(shí)矩形/BCD的面積為6X1

=6（m2）,故小明的爸爸需要購買6平方米的草皮才能鋪滿矩形草地.

B組能力提升練

13.對(duì)任意的xiV0〈X2,若函數(shù)於）=。,一刈十句不一刈的大致圖象如圖所示（兩側(cè)的射

線均平行于X軸），則滿足條件的。，6的值可以分別為」，一1（答案不唯一，滿足〃>0且〃

+6=0即可

（第13題）

【解析】當(dāng)時(shí)，/(x)=—a(x—xi)—b(x—%2)=—(a+b)x+(Q%i+bx2),由題圖可知

。+6=0①，

當(dāng)X1<X<%2時(shí)，/（%）=6（%—12）=（。一人）%一"1+6x2,由題圖可知

2Vo②.

6Z—6>0(§),

當(dāng)時(shí)，/(X)=Q(X—Xl)+b(X—X2)=(Q+b)X—(QXl+bX2),由題圖又可

—<7X1+bx2V0(4).

得出①②兩式.由①和③兩式可得。=—6>0,此時(shí)②和④均成立，故可取。=1,6=—1（答

案不唯一，滿足。〉0且。+6=0即可）.

14.如圖，邊長(zhǎng)為4的菱形45CO的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)。，且NQ48=60。.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)

4出發(fā)，沿著菱形四條邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)回到點(diǎn)4,記尸運(yùn)動(dòng)的路程為工,點(diǎn)尸到點(diǎn)。距離的平

方為於），則函數(shù)於）在x￡（0,3）上單調(diào)遞_減_（填“增”或“減”）；若關(guān)于x的方程外）

=冽恰有4個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是一{3}U（4,12）.

O'T

A

（第14題）

【解析】如圖（1）,由點(diǎn)。作垂足為由題意可知