重難點(diǎn)專題1-1函數(shù)對稱性周期性問題

近4年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2023年新高考2卷，第6題對稱性與函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題函數(shù)對稱性的識別

導(dǎo)函與原函數(shù)數(shù)對稱性問

2022年新高考1卷，第12題函數(shù)對稱性與周期性題的轉(zhuǎn)換，由平移關(guān)系得出

對稱性

函數(shù)軸對稱與中心對稱的

2022年全國乙卷，第12題函數(shù)對稱性與周期性抽象表示式，由對稱性得出

周期

由平移關(guān)系得出對稱性，再

2021年新高考2卷，第8題函數(shù)對稱性與周期性

由對稱性得出周期

由平移關(guān)系得出對稱性，由

2021年甲卷（理），第12題函數(shù)對稱性與周期性

對稱性得出周期

函數(shù)軸對稱與中心對稱的

2021年甲卷（文），第12題函數(shù)對稱性與周期性抽象表示式，由對稱性得出

周期

模塊一卜熱點(diǎn)題型解讀（目錄r

【題型1】識別對稱軸，對稱中心.................................................2

【題型2】由對稱求解析式........................................................3

【題型3】由平移前后關(guān)系得出原函數(shù)對稱性.......................................4

【題型4】與對稱性有關(guān)的材料題.................................................5

【題型5】通過周期性求值或解析式...............................................8

【題型6】由對稱性進(jìn)而得出周期.................................................11

【題型7】類周期函數(shù)與倍增函數(shù)................................................20

【題型8】由中心對稱求出函數(shù)中間值...........................................25

【題型9]由對稱性求交點(diǎn)坐標(biāo)的和..............................................28

【題型10]由解析式看出對稱性.................................................34

【題型11】由對稱性解函數(shù)不等式...............................................40

【題型12］由解析式看出對稱中心再解函數(shù)不等式................................42

【題型13］由解析式看出對稱軸再解函數(shù)不等式...................................44

【題型14］配湊后得出新函數(shù)的對稱性...........................................47

【題型15】已知一個(gè)對稱軸（中心）和周期.......................................48

【題型16】涉及導(dǎo)函數(shù)對稱性問題...............................................53

【題型17】兩個(gè)函數(shù)混合型......................................................65

【題型18】兩個(gè)函數(shù)混合且涉及導(dǎo)數(shù).............................................69

模塊二核心題型?舉一反三（講與練）

【題型1】識別對稱軸，對稱中心

核心?技巧

若/（加+X）=/（"-此，且竺之=〃/（X）關(guān)于x對稱

2

f（m+x）+f（n-x）=2b,且=a/（x）關(guān)于（a,對稱

1.設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且=若/I)

511

A.B.——C.

333

【答案】C

【詳解】由題意可得：

而情寸

【鞏固練習(xí)1】（多選題）已知函數(shù)“X）的定義域?yàn)镽,/+為奇函數(shù)，且對于任意XGR,都

有J(2-3x)=〃3x),則(

A.y(x+i)=/(x)

C."x+2)為偶函數(shù)

【答案】BCD

【解析】由/(2—3x)=〃3x),得〃2—x)寸(x).

由/(x+3是奇函數(shù)，得/1+，=一(一?！陓,即〃￡)=一〃1一x),

所以〃2-x)=—〃lr),即〃x+l)=-〃x),所以〃x+2)=〃x),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

由〃X)=一/(1T),得U=°,由/(x+l)=-〃x),得一J，所以/［一￡|=0,故

選項(xiàng)B正確；

由〃x+2)=〃x),f(2-x)=f(x),得〃2—x)=〃2+x),即"x+2)為偶函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；

由〃同=―/(1_力，〃x+2)=/(x),得=貝什［-；)=一/1/￡|,

即/(x-g)為奇函數(shù)，故選項(xiàng)D正確.

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)/(x)=￡匕的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,f。))對稱，則。=()

2

A.1B.2C.eD.e

【答案】C

【分析】利用函數(shù)中心對稱的性質(zhì)，代入化簡解方程即可求得a=e.

【詳解】由對稱中心性質(zhì)可知函數(shù)〃元)滿足〃無)+/(2-%)=2/⑴,

0112

即-----H—T：-----=-----,

ex+ae+ae+a

整理可得e3T+ex+1+2ae=2e2+aex+ae2T,即e(e2T+e'_2e)=a(e*+e2T-2e),

解得〃=e.

【題型2】由對稱求解析式

「法心?技巧7

一、把/(X)的圖像關(guān)于x=a對稱，對稱后的函數(shù)為g(x),貝ug(x)=/(2a—x)

證明：設(shè)對稱后的點(diǎn)為(x,y),則點(diǎn)(2a-x,y)在/(x)上，i^y=f(2a-x),即g(x)=/(2a—x)

二、把/(x)的圖像關(guān)于(a,6)對稱，對稱后的函數(shù)為g(x),貝4g(x)=26—/(2a—x)

證明：設(shè)對稱后的點(diǎn)為(元,y),則點(diǎn)(2a-x,2Z?-y)在/'(龍)上，代入可得2Z?-y=/(2a-x),則有,

y=2b-f(2a—x)即g(x)=2b-f(2a-x)

2.(2024?四川成都?三模)函數(shù)y=32,與y=3「2'的圖象()

A.關(guān)于x=2對稱B.關(guān)于x=l對稱

|1

C.關(guān)于尤=彳對稱D.關(guān)于x對稱

24

【答案】D

【分析】首先得到曲線y=3?”關(guān)于x=a的對稱曲線為y=32(2“r),再對比系數(shù)得到方程求出。，即

可得解.

【詳解】因?yàn)榍€＞=32,關(guān)于X=a的對稱曲線為y=3"2ar),即y=

4a2x

y=3-與y=3「2X對比系數(shù)可知4a=1,解得a=；,

所以函數(shù)y=與y=的圖象關(guān)于尤=；對稱.

故選：D

【鞏固練習(xí)1】若函數(shù)y=g(x)的圖象與y=lnx的圖象關(guān)于直線尤=2對稱，則g(x)=.

【答案】In(4一x)

【分析】利用對稱的定義求解即可.

【詳解】在函數(shù)y=g(x)的圖象上任取一點(diǎn)(%,y),則點(diǎn)Cx,y)關(guān)于直線x=2對稱的點(diǎn)為(4

—x,y),且點(diǎn)(4—x,y)在函數(shù)y=lnx的圖象上，所以y=ln(4—x),

即g(x)=ln(4-x),

故答案為：ln(4-x)

【題型3】由平移前后關(guān)系得出原函數(shù)對稱性

核心?技巧

若已知/(如+3+。是奇(偶)函數(shù)求了。)對稱性

/(〃u:+a)+b是偶函數(shù)/(%)關(guān)于％=a對稱，/(如+。)+6是奇函數(shù)/(%)關(guān)于(。乃)對稱

舉個(gè)例子：

若/(2%+1)+3是奇函數(shù)

證：設(shè)/(無)關(guān)于x=a對稱，通過函數(shù)圖像的平移和伸縮變換求出a,b的值

f(x+l)f(2x+l)/(2x+l)+3

對稱中心(a,。)(ci—l1ci=l

I2)[b=-3

2024?江蘇高郵?統(tǒng)考

3.定義在R上的函數(shù)v=/(x)和y=g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，且函數(shù)y=/(x-2)+l是奇函數(shù)，則

函數(shù)y=g(尤)圖象的對稱中心為()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(2,-1)

【答案】D

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的對稱性求解即可.

【詳解】由題意得函數(shù)y=/(x-2)+l是奇函數(shù)，則y=/(x)關(guān)于對稱，

另知函數(shù)y=/(X)和y=g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，故y=g(x)關(guān)于(2,-1)對稱

【鞏固練習(xí)】已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,/(l-2x)為偶函數(shù)，/(x-1)為奇函數(shù)，則()

A./(O)=OB./(-2)=0

C./(-3)=0D./(-5)=0

【答案】D

【詳解】函數(shù)Ax)的定義域?yàn)镽,由洋1-2為是偶函數(shù),得/(l+2x)=/(l—2x),即〃2—x)=/(x),

由/(x-1)為奇函數(shù)，得/(T-1)—,即〃-2-x)=-/(x),顯然〃-1)=0,

因此〃2—無)=一/(一2—幻，即/(4+x)=-/(x),有/?(€))=/(2)=—/(一2),

/(-3)=-/(1),/(-5)=-/(-1)=0,而〃0)"⑴的值都不確定，ABC錯(cuò)誤，D正確

【題型4】與對稱性有關(guān)的材料題

核心?技巧

結(jié)合材料得出結(jié)論，再解決問題

4.(多選)在學(xué)習(xí)了函數(shù)的奇偶性后,小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)：函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)的充要條件是y=/(x)

的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱，可以引申為：函數(shù)y=f(尤+。)-6為奇函數(shù)的充要條件是

>=/(力的圖象關(guān)于點(diǎn)尸(。，3成中心對稱.己知函數(shù)/(尤)=丁+小2+2依-4的圖象關(guān)于(2,0)

成中心對稱，則下列結(jié)論正確的是（）

A.f（2）=lB."4）=4

C.m+n=—1D./（2+無）+/（2—x）=0

【答案】BCD

【分析】函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于（2,0）成中心對稱，可得所以/（x+2）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，令x=0,

可求得加+〃=-1,故A錯(cuò)誤,C正確；又/（2+x）+/（2-x）=0,故D正確，令此式中x=2,可求得

”4）,判斷出選項(xiàng)B.

【詳解】函數(shù)“X）的圖象關(guān)于（2,0）成中心對稱，且由函數(shù)可得定義域?yàn)镽,

所以〃x+2）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

則/（0+2）=42）=8+4祖+4〃-4=0,

所以m+〃=—1,故A錯(cuò)誤,C正確；

所以對任意xeR,都有了（2+x）+/（2-x）=0,故D正確；

在/（2+x）+/（2—尤）=0中令尤=2得

/（4）+/（0）=0,且/'⑼一，

所以〃4）=4,故B正確

【鞏固練習(xí)1】（多選）已知函數(shù)y=/（x）的圖象關(guān)于p（a,6）成中心對稱圖形的充要條件是

y=/（尤+。）-人是奇函數(shù)，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=a成軸對稱圖形的充要條件是y=/（x+a）是

偶函數(shù).則下列說法正確的是（）

A./。）=尤3-3,的對稱中心為（1,-2）

B./（x）=尤4-4尤3+6x2-4x關(guān)于x=l對稱

C.〃%）=上?的對稱中心為（1,-2）

x-1

x—2

D./?=2、u的圖象關(guān)于（-2,0）對稱

x-4%+5

【答案】AB

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對稱性對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)，/（X）=X3-3X2,設(shè)g（%）=/（x+l）+2="+l）3—3（x+l）2+2

=d+3/+3%+1-3（爐+2x+1）+2=丁—3%,

g（-x）=（一%）3-3（-x）=-x3+3x=—g（x）為奇函數(shù)，

所以/（x）=x3-3必的對稱中心為（1,-2）,所以A選項(xiàng)正確.

B選項(xiàng)，/（%）=-4x3+6x2-4x,

設(shè)g（x）=/（x+l）=（x+l）4-4（x+l）3+6（x+l）2-4（x+l）

=x"++612+4x+1—4（%，+312+3x+1）+6（x?+2x+1）—4x—4=%4—],

g(T)=f_l=g(x)為偶函數(shù)，

所以f(x)=x4-4.x3+6尤2-4x關(guān)于X=1對稱，所以B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，〃上設(shè)g(x)"(x+l)+2=￥l-2%+3_4%+3

+2=-------+2=---------

XX

-4x+34x-3

g(-x)=x-g⑺，所以g(x)不是奇函數(shù)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

—xX

x-2—2x-4

x—2,設(shè)g(x)=〃x-2)=

D選項(xiàng),fM=2

x2-4x+5(x-2)-4(x-2)+5尤2-8x+17'

_Y_/I

g(-x)=—....-----1。-且⑺，所以g(x)不是奇函數(shù)，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤

x+8x+17

【鞏固練習(xí)2】(2023上?湖南長沙?高一長沙一中?？?我們知道，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原

點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù),有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/(x)

的圖象關(guān)于點(diǎn)尸(。,6)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)丁=，(*+4)-6為奇函數(shù).

(1)請你利用這個(gè)結(jié)論求得函數(shù)了(力=丁+39的對稱中心為

_丫?O

(2)已知函數(shù)8(犬)=”不-尤3_3彳2與一次函數(shù),=%0+1)-3有兩個(gè)交點(diǎn)

則占+%+%+%

【答案】(—1,2)-8

【分析】(1)將函數(shù)對稱中心設(shè)出來，利用條件列方程組，解方程組可以得到對稱中心坐標(biāo).

(2)利用結(jié)論進(jìn)行分析，得到g(x)的對稱中心為(-1,-3),再根據(jù)丁=左(九+1)-3恒過點(diǎn)(-1,-3),

得到點(diǎn)(T,-3)為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的中點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算推出%+%+%+%的值.

【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)(。⑷為函數(shù)=+3無2圖象的對稱中心，

4"^(x)=/(x+^)-Z?=(x+<2)3+3(x+?)2-b,貝"g(x)為奇函數(shù)，

戶斤以g(一九)——g(九)，艮口(一x++3(—x+a)_b——(x+a)_3(X+Q)+人，

可得，3(ti+l)x2+〃3+3儲(chǔ)-Z?=0,

tz+1=0a=-l

所以/+3i。,解得

b=2

所以函數(shù)/'(x)=v+3d的對稱中心為(-1,2).

故答案為：(-1,2)

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,6)成中心對稱圖形則函數(shù)，=〃彳+。)一6為奇函數(shù)，所以

f(-x+o)-Z?=-f^x+ci)+b,即/(t+a)+"x+a)=勸，

所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件可轉(zhuǎn)化為

/(-x+a)+/(x+<7)=2b,

因?yàn)楱D3土工

(-1+x)3-3(-l+x)2=----x3+3x-2,

g(_]一%)=(1~~+-(-1-x)3-3(-l-x)2=3+%+j_3%_2,

—1—x+1—x

所以g(T+x)+g(T-x)=-6,

_Io

即g(X)=上r*—d—3X2對稱中心為(-1,-3),

因?yàn)楹瘮?shù)y=%(x+l)—3的圖像是恒過點(diǎn)(-1,-3)的直線，

所以交點(diǎn)用(人,％),N?，力)的中點(diǎn)為(T-3),

所以土土=-1,讓&=_3,即％+M+/+%=_2_6=_8

22

【題型5】通過周期性求值或解析式

核心?技巧

(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)周期定義，從而求出函數(shù)的周期.

(2)利用函數(shù)的周期性，可以解決區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問題.

周期函數(shù)的常見條件

一、若/(無)+/(無+a)=C(c為常數(shù))，則/(x)周期為2a.

證明：令龍=x+a=>/(x+a)+/(x+2a)=c,兩式相減得了(無+2。)一/(%)=0

即/(x+2a)=/(%),故7=2同

二、若，(％+。)=7廠二，則7=2同(相對少見)

/(X)

]

證明：由y(x+a)=二7T得f(x+2a)==f(x)^T=2\a\

/(x)f(x+a)

三、其它周期條件

設(shè)函數(shù)y=/(x),xeR,a>0,a1b.

(1)若/(尤+a)=/(尤-<7),則函數(shù)的周期為2a;

(2)若/(x+a)=—/(x),則函數(shù)/(尤)的周期為2a；

若〃尤+

(3)右,4)=——〃-尤-)，則函數(shù)〃x)的周期為2a;

(4)若/(/+〃)=--(-r則函數(shù)/(%)的周期為2a;

(5)若/(%+〃)=/(九+6),則函數(shù)/(%)的周期為一小

(6)若函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線x=〃與x=b對稱，則函數(shù)/(%)的周期為2。一4；

(7)若函數(shù)f(x)的圖象既關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱,又關(guān)于點(diǎn)傳,0)對稱，則函數(shù)〃尤)的周期為2弧-4；

(8)若函數(shù)“X)的圖象既關(guān)于直線％=。對稱，又關(guān)于點(diǎn)。,0)對稱，則函數(shù)“無)的周期為4|6-4；

(9)若函數(shù)/(尤)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x對稱，則/(*)的周期為2a;

(10)若函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x對稱，則“X)的周期為4a.

三、周期與對稱性的區(qū)分

1.若+a)=+/(%+1),則f(,X)具有周期性；

2.若f(x+a)=+f(b-x),則f(x)具有對稱性：

口訣：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對稱性“

5.(2024?陜西西安?二模)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(X)滿足/(x+2)=-/(x),且當(dāng)0cx<2時(shí)，

f(x)=r-\nx,則/(2H)=.

【答案】-3

【解析】由已知可得〃x+2)+/(x)=0,所以〃x+4)+/(x+2)=0,

所以/(x+4)=/(x),即T=4是函數(shù)/(x)的一個(gè)周期，

所以"211)="3)=-"1)=-(3-nl)=-3.

【鞏固練習(xí)I】(多選)已知UJ)是定義在口上的函數(shù)，且對于任意實(shí)數(shù)口恒有口3+2)=-0(□).當(dāng)

□e[0,2]時(shí)，口(口)=一匚2+2口.貝!]()

A.口(口)為奇函數(shù)

B.□(口)在口G[2,4]上的解析式為口(口)=L2-6L+8

C.□(□)的值域?yàn)閇0,/]

D.口⑺+口(2)+口(3)+…+口(2022)=1

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題意，分析可得區(qū)間[-2,0)上，□(□)的解析式，再分析函數(shù)□(口)的周期性，可得口(口)

的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，由此分析選項(xiàng)是否正確，即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意,□€[-2⑼時(shí)，□+26[0,2],因?yàn)椤鮡[o,2]時(shí)，□(□)=一口2+2口，

所以□(口+2)=-(□+2>+2(口+2)=-口2—2口，

又由□(□+2)=-0(□),則□(□)=-□(□+2)=U2+20,

即口(口)=口2+2口，□e[-2,0],

若□e[—2,0],則一口6[。2],□(一口)=一口2-2口=一(口2+2口)=一□(□),

若口6[0,2],則一□6[—2,0],=D2-2n=-(-02+20)=-□(□),

故在區(qū)間[—2,2]上□(一口)=-□(□),所以□(口)關(guān)于原點(diǎn)對稱，

又由□(□+2)=—?jiǎng)t□(□+4)=—□(□+2)=□(□),即函數(shù)□(□)是周期為4的周期函數(shù)，

故□(□)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

由此分析選項(xiàng)：

對于A,□(口)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，口(□)為奇函數(shù)，故A正確；

對于B,當(dāng)口€[2,4]時(shí)，則則-4)=(□-4)2+2(□—4)=口？-6口+8,

函數(shù)□(□)是周期為4的周期函數(shù)，則□(□)=□(口-4)=口2-6口+8,故B正確；

對于C,在區(qū)間[—2,0]上，口(□)=口2+2口=(口+1)2—/,則B(—/)=一/,0(-2)=0(0)=0,

所以一/<□(□)<0,故□(口)的值域一定不是[0,1],故C錯(cuò)誤；

對于D,因?yàn)榭?[。2]時(shí)，□(□)=-口2+2口，所以□(/)=/,口(2)=0,

又□(□+2)=-□(□),則口(□+2)+□('□)=0,

貝”有□(1)+口(3)=0,口⑵+□(4)=0,故□(1)+口(2)+口(3)+□?)=0,

所以□(/)+□⑵+口G)+…+口(2022)

=[□(1)+□(2)+口(3)+口⑷]X505+0(2021)+0(2022)

=0(2021)+0(2022)

=□(/)+口(2)=1,故D正確

【鞏固練習(xí)2】設(shè)□(□)是定義在□上的周期為2的偶函數(shù)，已知口6[2,3]時(shí)，口(口)=_，則□6[-2,0]

時(shí)，口(口)的解析式為□(□)=()

A.□+4B.2-U

C.3—|匚+/|D.2—|U+71

【答案】C

【分析】根據(jù)已知函數(shù)的奇偶性和周期性，結(jié)合口e[2,3]時(shí)，口(口)=口,分別討論口e[-2,-4和

□e[-]⑼的兩種情況下對應(yīng)的解析式，綜合可得答案.

【詳解】?-?□(□)是定義在□上的周期為2的偶函數(shù)，口e[2,3]時(shí)，□(□)=□,

2,—/)時(shí)，(2+□)G[0,1),(4+□)€[2,3),

此時(shí)口(口)=口(4+口)=4+口,

當(dāng)口；€[一/,0]時(shí),(-□)e[0,1],(2-□)e[2,3],

此時(shí)=□(-□)=0(2-□)=2-□,

4+n=3-\D+1\,-2<D<-1

所以□(口)=

,2-□=3-!□+7|,-7<□<0'

綜上可得：口6[-2,0]時(shí)，口(□)=3-|口+1|

【題型6】由對稱性進(jìn)而得出周期

*心?SisJ

一、若/(九)關(guān)于x=。和(Z?,c)對稱，則7=小-4(類比三角函數(shù))

證明：由對稱軸可得/(x)=/(2a-x),

由對稱中心可得/(%)+f(2b-x)=2c=>/(%)=2c-f(2b-x)

則有f(2a-x)=2c-f(2b-x),

令x=2a-x,則有/(x)=2c-f(2b-2a+x)^>f(x)+f(2b-2a+x)=2c,

ikT=2\2a-2.b\=4\a-b\

三、若/(x)關(guān)于(a,c)和(b,c)對稱，則T=2|a-6](類比三角函數(shù))

)(一%)+/(九+2。)=2c

證明：由對稱性可得《，則/(x+2a)=/(x+2b),故丁=|2。-

[f(-x)+f(x+2b)=2c

四、若/(X)關(guān)于。和x=b對稱，則T=2|a-例

/(-X)=f(x-2d)

證明：由對稱性可得〈二>/(x-2a)=/(X-2Z?),故T=|2a-26|

/(-x)=f(x-2Z?)

2021全國甲卷（文）12題——由對稱性得出周期性求值

6.設(shè)〃x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且/'（l+xb/ex）.若/)

【答案】C

【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得了（g1的值.

故選：c.

2021新高考2卷第8題由對稱性得出周期性求值

7.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,/(x+2)為偶函數(shù)，〃2x+l)為奇函數(shù)，則()

A.=0B.〃-1)=0C."2)=0D.44)=0

【答案】B

【分析】推導(dǎo)出函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出/。)=0,結(jié)合已知條件可得

出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(X+2)為偶函數(shù)，則〃2+x)=/(2-x),可得/(x+3)=/(l-X),

因?yàn)楹瘮?shù)/(2x+l)為奇函數(shù)，則f(l—2x)=-y(2x+l),所以，/(l-x)=-/(^+l),

所以，/(x+3)=-f(x+l)=f(x-1),即〃x)=〃x+4),

故函數(shù)〃x)是以4為周期的周期函數(shù)，

因?yàn)楹瘮?shù)R(x)=f(2無+1)為奇函數(shù)，則/(0)=/(1)=0,

故/'(—1)=—/。)=0,其它三個(gè)選項(xiàng)未知.

2024?廣東省一模

8.(多選)已知偶函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/［gx+1］為奇函數(shù)，且Ax)在［0』上單調(diào)遞增，則下

列結(jié)論正確的是()

A.B.心>。C."3)<oD.從誓］>0

【答案】BD

【分析】根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)，首先推出函數(shù)為周期函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)

的符號，可得有關(guān)的結(jié)論.

【詳解】因?yàn)?(%)為偶函數(shù)，所以/(一4)=/(1)；

因?yàn)?是R上的奇函數(shù)，所以/(1)=0,

且于［9)的圖象是由/(3)的圖象向左平移2個(gè)單位得到的，所以的圖象關(guān)于(2,0)點(diǎn)對稱,

進(jìn)一步得了(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對稱，即/(1+力=一八1一%).

所以/(尤+2)=/(1+(1+尤))=一了(1一(1+x))=—〃一尤)=一〃耳，所以/(x+4)=—/(x+2)=/(力.

所以函數(shù)/(%)是周期函數(shù)，且周期為4;

又/■(%)在［0,1］上單調(diào)遞增，所以在［0,1］上，有〃x)<0.

所以函數(shù)的草圖如下：

黑)=/(674+\=/(4><168+2+||=《2+\>0,故D對.

2024?安徽蕪湖?二模

2024

9.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且/印+2)-2為奇函數(shù),/(3x+l)為偶函數(shù)，/⑴=0,則￡/四)

t=i

A.4036B.4040C.4044D.4048

【答案】D

【分析】根據(jù)題中/(x+2)-2為奇函數(shù)，/(3x+l)為偶函數(shù)，從而可得出了(無)為周期為4的函數(shù)，

從而可求解.

【詳解】由題意得/(x+2)—2為奇函數(shù)，所以〃龍+2)-2+/(—尤+2)—2=0,即

〃x+2)+〃-x+2)=4,所以函數(shù)〃尤)關(guān)于點(diǎn)(2,2)中心對稱，

由〃3x+l)為偶函數(shù)，所以可得〃x+l)為偶函數(shù)，則/(x+l)=/(-x+l),所以函數(shù)關(guān)于直

線x=l對稱，

所以/(x+2)=/(—x)=-/(—x+2),從而得〃x)=/(x+4),所以函數(shù)/(x)為周期為4的函數(shù)，

因?yàn)?1)=0,所以/。)+〃3)=4,則”3)=4,

因?yàn)殛P(guān)于直線x=l對稱，所以〃3)=〃-1)=4,

又因?yàn)椤▁)關(guān)于點(diǎn)(2,2)對稱，所以"2)=2,

又因?yàn)?(4)=/(-2)=-/(0)，又因?yàn)?(-2)=/(-2+4)=/(2)=2,所以

〃1)+〃2)+/(3)+〃4)=8,

20249074

所以=卜⑴+〃2)+/⑶+/(4)]=4048,故D正確.

k=\4

10.已知函數(shù)〃力的定義域?yàn)镽,4X-2)為偶函數(shù)，/(x-3)+/(-x+l)=0,當(dāng)尤e[T0]時(shí)，

19

/(x)=x+l,則￡/優(yōu))=()

k=l

A.19B.0C.1D.-1

【答案】D

【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，計(jì)算出“1)、〃2)、“3)、了(4)的值，結(jié)合

19

函數(shù)的周期性可求得2/伏)的值.

k=\

【詳解】因?yàn)椤▁-2)是偶函數(shù)，所以〃x—2)=/(—x—2),

將x換為x+2，得=①(即對稱軸x=-2),

又因?yàn)椤▁—3)+/(—x+l)=。,所以/(%-3)=-/(-x+1),

將x換為x+3得/(x)=-/(-X—2)②(即對稱中心(-1,0)).

由①②得/(Yr)=—“T—2),

令/=-工一2,則T—x=/—2,所以/(/-2)=-/?),

將f換x得/@-2)=-〃力③，

招^換為為x-2得/(x-4)=-/(x—2)④.

由③④得/(x-4)=/(x),將x換為x+4得〃x)=f(x+4)⑤

所以函數(shù)/'(x)是周期為4的周期函數(shù)(由對稱中心和對稱軸也可直接得到周期為4),

當(dāng)xe[-l叫時(shí)，/(x)=x+l,貝廳(。)=1,〃T)=0,

由③得/(-2)=-/(0)=-1,由④得/(-3)=-/(-1)=0,

根據(jù)周期性⑤得：

/(1)=/(-3)=0,/(2)=/(-2)=-1,/(3)=/(-1)=0,/(4)=/(0)=1,

所以/(1)+〃2)+〃3)+〃4)=0—1+0+1=0,

又因?yàn)?9=4*4+3,故

19

^/(/:)=4[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(l)+/(2)+/(3)=4x0+0-l+0=-l.

k=l

2024?山東濟(jì)寧?一模

11.設(shè)函數(shù)"X)定義域?yàn)镽,7(2X-1)為奇函數(shù),F(x-2)為偶函數(shù),當(dāng)xe[0,l]時(shí),/(x)=x2-l,

則了(2023)-”2024)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】由/(2元T)為奇函數(shù)得到函數(shù)的對稱中心，由/(x-2)為偶函數(shù)得到函數(shù)的對稱軸，進(jìn)一步

求得函數(shù)的周期，然后將了(2023)與/(2024)轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間求解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)Ax)定義域?yàn)镽,"2尤-1)為奇函數(shù)，所以『(2》-1)=一/(一2工一1),所以函數(shù)/(x)

關(guān)于點(diǎn)(—1,0)中心對稱，且/(-1)=0,

因?yàn)?'(x-2)為偶函數(shù)，所以/?(x-2)=/?(-無一2),所以函數(shù)/(X)關(guān)于直線*=_2軸對稱，

又因?yàn)?(x)=-/(-2-x)=-/(-2+x)=-[-/(-4+x)],所以函數(shù)/(X)的周期為4,

因?yàn)楫?dāng)xe[0,l]時(shí)，f(x)=x2-l,

所以/（2023）=/（4x506-l）=f（-l）=0,/（2024）=f（4x506）=/（0）=-1,

所以7（2023）-/（2024）=1.

12.（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,若〃2XT+"3-2X）=2,且〃x-2）為偶函數(shù)，/（2）=2,

則（）

A.〃x+4）=/（x）B./（2024）=0

25

c./（3）+/（9）=2D.￡/（/）=25

i=l

【答案】BCD

【分析】首先根據(jù)函數(shù)既是中心對稱又是軸對稱，求得函數(shù)的周期，判斷A,再根據(jù)函數(shù)周期和對

稱性求值，并求函數(shù)值，判斷BCD.

【詳解】：/（2X_1）+/（3_2X）=2,.../（%）關(guān)于（1,1）對稱

?.?/1（%-2）為偶函數(shù)，，〃%）關(guān)于工=-2對稱

???/（力的周期7=4[1-（-2）]=12,故A錯(cuò)；

f（2024）=/（-4）（?."（X）的周期為12）

/（T）=/（0）（.."⑺關(guān)于尤=一2對稱）

〃0）=2-42）=0（?."（%）關(guān)于（1,1）對稱）,故B正確；

/（9）=/（-3）（???〃尤）的周期為12）

）（—3）=/（—1）（?."（X）關(guān)于％=-2對稱）

/（—1）=2—"3）關(guān)于（1,1）對稱）

/（-1）+/（3）=2,即〃9）+〃3）=2,故C正確；

?.?/（X）的周期為12

.?./（2）+/（3）+-+/（13）=/（14）+/（15）+-+/（25）,

/（3）+/（-1）=2,又=所以/（3）+/。1）=2,

同理/（4）+〃10）=2,/（5）+/（9）=2,/（6）+/（8）=2,

/（7）+/（-5）=2,又。（一5）=〃7）,所以2〃7）=2,即/⑺=1,

由/（2xT）+/（3-2x）=2,令x=l,得2/（1）=2,"1）=1,

f（12）=/（O）=O,

所以7?⑴+52）+/（3）+…+/（12）=12,所以〃13）+〃14）+...+"24）=12,

/（25）=/（1）=1,

25

Z〃i）=24+1=25,故D正確.

i=l

故選：BCD

2024?浙江?Z20第二次聯(lián)考

13.函數(shù)〃力是定義在口上的奇函數(shù)，滿足〃1-力=〃1+月,〃1)=-1,以下結(jié)論正確的是()

A./(3)=0B.44)=0

20232023

c.￡m=oD.￡_i)=o

k=lk-1

【答案】BC

【分析】首先由抽象函數(shù)的形狀判斷函數(shù)的周期，并求/(2),/(3),/(4)的值，即可求解.

【詳解】由條件〃l-x)=/(l+x),可知〃2+x)=〃r)=—/(x),

所以〃x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以函數(shù)/(X)是周期為4的函數(shù)，

/(3)=/(-1)=-/(1)=1,故A錯(cuò)誤；/(4)=/(0)=0,故B正確；

由條件〃lr)=〃l+x),可知/⑵=〃0)=0,所以〃1)+〃2)+/(3)+/(4)=。

2023

^f(k)=505[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+f(2021)+f(2022)+“2023)=/⑴+/⑵+”3)=0,故

k=l

C正確；

由函數(shù)的周期為4,且〃1)=一1,/(3)=1,

2023

所以>(21)=/⑴+"3)+”5)+/⑺+…+”2021)+/(2023)=0+/(2023)=/(3)=1,故D

k=l

錯(cuò)誤.

2024?河北張家口?一模

14.己知定義在R上的函數(shù)“X)滿足：f(x)+/(2-x)=2,/(x)-/(4-x)=0,且/⑼=2.若

2024

ieN*,則Z/(i)=()

i=l

A.506B.1012C.2024D.4048

【答案】C

【分析】根據(jù)條件得到函數(shù)是周期為4的函數(shù)，再根據(jù)條件得出“1)，”2),“3),/(4),即

可求出結(jié)果.

【詳解】?.-/(x)+/(2-x)=2,①

.-./(l+x)+/(2-(l+x))=2,

即〃l+x)+〃l—x)=2,所以〃l+x)-1=一(/(1一x)-1),

所以函數(shù)“X)的圖象關(guān)于(1,1)對稱，

令x=l,則/(1)+/(1)=2,所以『(1)=1,

令x=2,/(2)+/(0)=2,又〃0)=2,所以"2)=0,

又,."(力―〃4一力=。，.../(2-x)=/(4-(2-x))=/(2+x),②

即函數(shù)“尤)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，/(3)=f(l)=l

且由①和②，得/(x)+/(2+x)=2=/(2+x)+/(4+x)=2,

所以/(尤)=)(4+x),則函數(shù)/(x)的一個(gè)周期為4,

2024

貝“/(4)=/(0)=2,所以￡/(/')=506[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]=506x(1+0+1+2)=2024.

4=1

【鞏固練習(xí)1】(2024?湖南長沙?二模)已知定義在R上的函數(shù)/(尤)是奇函數(shù)，對任意都有

/(%+1)=/(l-x),當(dāng)/(—3)=—2時(shí)，貝葉(2023)等于()

A.2B.-2C.0D.-4

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對稱性推得函數(shù)/(x)的周期為4,利用周期性和奇函數(shù)特征即可

求得/'(2023)的值.

【解答過程】定義在R上的函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，且對任意X6R都有/(X+1)

故函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，.,./(x)—/(2—x),故/(—x)=/(2+x)=—/(x),

.,./(%)=一/(2+x)=/(4+x),.?./■(%)是周期為4的周期函數(shù).

則/(2023)=/(505x4+3)=/(3)=-/(-3)=2.

【鞏固練習(xí)2】(2024?高三.遼寧營口?期末)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,〃x+l)-3為奇函數(shù)，f(x+2)

為偶函數(shù)，當(dāng)xe[l,2]時(shí)，/(X)=OX2+/7.若〃-1)+/(0)=1,則(第卜()

【答案】B

【解析】/(彳+1)-3為奇函數(shù)，/(—x+l)+/(x+l)=6,所以關(guān)于(1,3)對稱，所以

/(x)=6-/(2-x)?,且〃1)=3,

又〃x+2)為偶函數(shù)，〃一尤+2)=/(尤+2),貝"(x)關(guān)于x=2對稱，所以〃x)=〃4-x)②,

由①②可得〃4一力=6-〃2-力，即〃力=6-〃x+2),所以〃x+2)=6-十+4),

于是可得〃x)=/(x+4),所以/⑺的周期7=4,

則/(X)=6-〃2-X)=6-/(2+X)=/(-X),所以/(x)為偶函數(shù)

則〃T)+/(O)=/(l)+/(O)=l,所以/(0)=-2,所以〃2)=6_〃0)=8

_5

f(l]—a+b—33ri,.5,4

所以1〃2)=4?=8,解得。4,所以當(dāng)141，2]時(shí)，/(%)=§%+§

[~3

【鞏固練習(xí)3]2021全國甲卷(理)12題

設(shè)函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,/(X+1)為奇函數(shù)，“X+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xe[l,2]時(shí)，/(x)=4+b.若

9

〃0)+〃3)=6,則/()

2

AB.D

-42c7