第14練函數(shù)的單調(diào)性

羔課后培優(yōu)練

培優(yōu)第一階一一基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

一、單選題

1.函數(shù)/(x)=L的單調(diào)遞減區(qū)間是()

X

A.(-<?,0),(0,+00)B.(0,+oo)C.(-co,0)U(0,+co)D.(-8,0)

【答案】A

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得解；

【詳解】解：因?yàn)?(刈二:1■定義域?yàn)?-s，0)U(0,+?),函數(shù)在(-。0)和(0,+s)上單調(diào)遞減，

X

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0)和(0,+8)；

故選：A

2.若函數(shù)在目上是增函數(shù)，對(duì)于任意的毛，x2^［a,b］(尤產(chǎn)馬)，則下列結(jié)論不正確的是()

A.>。B.(為一%)［/(玉)一/(赴)］>0

-^1

c./(a)</(^)</(x2)</(Z7)D./(^)^/(x2)

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的等價(jià)條件進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：由函數(shù)的單調(diào)性定義知，若函數(shù)”X)在給定的區(qū)間上是增函數(shù)，則西-無(wú)2,與〃西)-/伍)同

號(hào)，由此可知，選項(xiàng)A,B,D都正確.

若不>尤2，則/(百)>/(*2)，故選項(xiàng)C不正確.

故選：C.

4

3.函數(shù)，在區(qū)間［3,6］上的最小值是()

x—2

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】判斷y在區(qū)間［3,6］的單調(diào)性求解最值即可

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=3在區(qū)間［3,6］上單調(diào)遞減，

X—2

4

所以當(dāng)％=6時(shí)，取得最小值7二=1,

6-2

故選：A

4.已知/(x)是定義在[-15上的減函數(shù)，且〃2q-3)</(a-2),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(1,2]B.(1,3]C.(1,4]D.(1,+co)

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)自變量的定義域以及函數(shù)單調(diào)遞減列式，求出。的取值范圍.

【詳解】：/(尤)是定義在[-M]上的減函數(shù)，且〃2a-3)<"°-2),

2〃—3>Q—2

則<—1W。一2W1,解得1<6/<2.

-I<2a-3<1

故選：A.

比2+尤+2%<力

'一且/(無(wú))在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)f的取值范圍為()

(X+1,X〉方

A.(^30,—1]B.(1,5)C.(—1,2)D.(-l,+oo)

【答案】A

【分析】先判斷的單調(diào)性，然后對(duì)『進(jìn)行分類討論，由此求得才的取值范圍.

【詳解】由于函數(shù)>=%+1在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)/(力在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù).

/、fx+2,x<0

當(dāng)，=0時(shí)，函數(shù)/(力=[八在定義域上不單調(diào)，不符合題意；

當(dāng)％w0時(shí)，函數(shù)y=比2+%+2圖象的對(duì)稱軸為兀=一(,

當(dāng)f>0時(shí)，函數(shù)>=4+元+2在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合題意，

當(dāng)/<0時(shí)，函數(shù)y=t?+x+2在區(qū)間上單調(diào)遞增，

t+l>t3+t+2

要使函數(shù)“X)在定義域上單調(diào)遞增，則需1，解得區(qū)-1.

-----Nt

I2t

故實(shí)數(shù)f的取值范圍為(f，T].

故選：A

6-函數(shù)股幣匕的單調(diào)增區(qū)間為(

)

C.■1,4］和(4,+8)D.(-oo,-l)of-l,|

【答案】C

【分析】由4+3尤一尤2Ho可得xw—1且無(wú)#4,然后求出>=4+3X一1的減區(qū)間即可.

【詳解】由4+3x-/#0可得且xw4,

3

因?yàn)閥=4+3x-f開(kāi)口向下，其對(duì)稱軸為X=；,

所以y=4+3x-尤2的減區(qū)間為4)和(4,+00)

所以V=—~-的單調(diào)增區(qū)間為I，4和(4,+8)

4+3x-x|_2)

故選：C

7.函數(shù)/(力是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，/(/(x)-x+l)=l,貝lj〃3)=()

A.9B.8C.3D.1

【答案】C

【分析】根據(jù)單調(diào)性可知/(x)-x+l為常數(shù)，根據(jù)/(%)與廣⑴的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性可解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且=所以/'(x)-x+l為常數(shù)，記

/(x)-x+l=m,則〃x)=x+7%—l,所以7(1)=加，/(m)=l,不妨設(shè)函數(shù)〃尤)單調(diào)遞增，且%>1,則

f(m)>f(V),即1>〃?(矛盾)，故〃?=1.

所以〃x)=x,故/⑶=3.

故選：C

8.定義在R上的函數(shù)/(X)滿足對(duì)任意的%%2(%產(chǎn)％2)恒有%/(七)-%/函)-%2/(%)+%2/(%2)>0,若。=/(。)，

b=c=/(2),則()

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【分析】根據(jù)已知，利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性比較大小.

即/(%)-/(々)

【詳解】因?yàn)檎剂刷?為/㈤-三/⑷+馬/仁)>。，所以(西-尤2)"(占)-/(%)]>°，

玉-x2

因?yàn)槎x在R上的函數(shù)個(gè))對(duì)任意的*，為"產(chǎn)%)都滿足”『。，

所以“X)在R上單調(diào)遞增,因?yàn)閍=/(o),b=/a),c=f(i),

所以/(2)>/(l)>f(0),即a<kc.故A,C,D錯(cuò)誤.

故選：B.

二、多選題

9.下列四個(gè)函數(shù)中，在(L+8)上為增函數(shù)的是()

3

A./(x)=--B./(X)=JT-3X

C./(x)=|尤+2|D./(x)=3-x

【答案】AC

【分析】A.由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性原理判斷；B.函數(shù)在(1,+8)上是先減后增；C.%>1時(shí)，/(x)=x+2是增函

數(shù)；D.在(1,+8)上是減函數(shù).

【詳解】解：A.由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性原理得/'(無(wú))=-3■在(L+⑹上為增函數(shù)，符合題意；

B.f(x)=x2-3x的圖象對(duì)稱軸為x=],所以函數(shù)在(1,+s)上是先減后增，所以該選項(xiàng)不符合題意；

C.x>l時(shí)，/(x)=|尤+2|=x+2是增函數(shù)，所以該選項(xiàng)符合題意；

D.〃x)=3-x在(1,+s)上是減函數(shù)，所以該選項(xiàng)不符合題意.

故選：AC

10.判斷下面結(jié)論正確的是()

①函數(shù)y=:的單調(diào)遞減區(qū)間是(e,0)u(0,”)；

②對(duì)于函數(shù)〃x),xeD,若看，”D且"？則函數(shù)“X)在。上是增函數(shù)；

③函數(shù)、=國(guó)是R上的增函數(shù)；

④已知/(X+1)=X2+2X+2,貝|/(%)=%2+1

A.①B.②C.③D.④

【答案】BD

【分析】對(duì)于①，舉例判斷，對(duì)于②，由增函數(shù)的定義判斷即可，對(duì)于③，舉例判斷，對(duì)于④，利用配湊

法求解即可

【詳解】對(duì)于①，當(dāng)尤=-1時(shí)，y=-l,而當(dāng)x=l時(shí)，y=l,所以函數(shù)y」的單調(diào)遞減區(qū)間不是

X

（-<?,0）5。，心），所以①錯(cuò)誤，

對(duì)于②，由>0可得（占-尤2）"（再）-/（/）]>。，所以玉-馬與/（再）-/■）同號(hào)，所以函數(shù)“X）

在D上是增函數(shù)，所以②正確，

對(duì)于③，當(dāng)x=-1和x=l時(shí)，y=l,所以y=W不是R上的增函數(shù)，所以③錯(cuò)誤，

對(duì)于④，因?yàn)椤▁+l）=d+2x+2=（x+ir+l,所以〃x）=f+l,所以④正確，

故選：BD

f—九2—2x尤〈〃

11.若函數(shù)〃X）='"存在最大值，則實(shí)數(shù)?？赡艿闹凳牵ǎ?/p>

[—x,x>a

A.-2B.-IC.1D.2

【答案】BCD

【分析】求出二次函數(shù)部分的對(duì)稱軸，再討論。與對(duì)稱軸的大小，求出。的的取值范圍即可得到答案

【詳解】解：>=-丁-2》圖象的對(duì)稱軸方程為了=-1,

①當(dāng)a\-l,時(shí)，/"（xL-f-2x有最大值/（一1）=1,Xx>a>-1,所以-x<l,所以此時(shí)〃尤）有最

大值1;

②當(dāng)a<-l,時(shí)，/（x）=-x2-2x有最大值/（a）=—4-2a,

當(dāng)x>a時(shí)，/（x）=—x在（a,+oo）單調(diào)遞減，所以/（X）=—x<—a,

所以要F（x）有最大值，得-a2_2a"a,解得-14a4。，與。<-1矛盾，舍去，

綜上，當(dāng)a2-l時(shí)，”尤）有最大值，

故選：BCD.

12.若函數(shù)〃尤）在定義域內(nèi)的某區(qū)間〃是增函數(shù)，且工區(qū)在M上是減函數(shù)，則稱/（尤）在M上是“弱增函

X

數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若/⑺=/，則不存在區(qū)間M使〃x）為“弱增函數(shù)”

B.若=x+j則存在區(qū)間M使〃x）為“弱增函數(shù)”

C.若〃x）=V+x,則〃尤）為R上的“弱增函數(shù)”

D.若/'（xb/+K-aK+a在區(qū)間（0,2］上是“弱增函數(shù)”，貝以=4

【答案】ABD

【分析】根據(jù)“弱增函數(shù)”的定義，結(jié)合基本初等函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷，即可得到正確答案.

【詳解】對(duì)于A：“工）=^在［0,+”）上為增函數(shù)，y=?=x在定義域內(nèi)的任何區(qū)間上都是增函數(shù)，故不

X

存在區(qū)間M使/（.*）=*為“弱增函數(shù)"，A正確；

對(duì)于B:由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知：〃X）=X+L在［1,+8）上為增函數(shù)，y=n0=l+/2,由幕函數(shù)的性質(zhì)可

%X

知，>=止1=1+廠2在［1,也）上為減函數(shù)，故存在區(qū)間M=［l,+O））使〃X）=X+」為“弱增函數(shù)”，B正確；

Xx

對(duì)于C：/（力=丁+》為奇函數(shù)，且X20時(shí)，/（x）=V+x為增函數(shù)，由奇函數(shù)的對(duì)稱性可知/（同=丁+工

為R上的增函數(shù)，>=/3=/+1為偶函數(shù)，其在x20時(shí)為增函數(shù)，在x<0時(shí)為減函數(shù)，故/（耳=丁+》

X

不是R上的“弱增函數(shù)”，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：若“力=無(wú)2+（4-。）％+°在區(qū)間（0,2］上是“弱增函數(shù)”,則1/（*）=/+（4-。）%+。在（0,2］上為增函

數(shù)，所以-好V0,解得aW4,又y=/（?=x+（4-a）+3在（0,2］上為減函數(shù)，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，

Vfl>2,則。24,綜上。=4.故D正確.

故選：ABD.

三、填空題

13.若函數(shù)/（x）=x?-辰-3在區(qū)間［4,7］上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

【答案】口4,+8）

【分析】根據(jù)函數(shù)在區(qū)間［4,7］上是減函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)對(duì)稱軸公式，列出不等式即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（引=%2-丘-3的對(duì)稱軸為直線》=:，開(kāi)口向上，

又函數(shù)〃x）在［4,7］上單調(diào)遞減，

k

所以萬(wàn)27,解得上214,

BP[14,+oo).

故答案為:口4,+8).

14.函數(shù)/(x)=［(2-a)：'、"在R上是增函數(shù)，則。的取值范圍為_(kāi)_____.

［ax,x>l

【答案】［1,2)

【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性，列出各段為減函數(shù)的條件，并注意兩段分界處的關(guān)系，即可求解.

\(2-a}x,x<l

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)/。)=I\在R上是增函數(shù)，

［OJC,x>1

所以當(dāng)無(wú)41時(shí)，(2-a)x為增函數(shù)，則2-°>0,解得a<2,

當(dāng)x>l時(shí)，為辦增函數(shù)，則。>0,且(2-a)xlWaxl,解得“21,

綜上，0的取值范圍為［1,2).

故答案為：［1,2).

15.設(shè)是定義在區(qū)間［-2,2］上的嚴(yán)格增函數(shù).若/(2a2-l)>〃a+2),則a的取值范圍是—

【答案】［-4,T).

24—1>〃+2

【分析】根據(jù)題意，列出不等式組-2<2〃2_”2,即可求解.

-2<a+2<2

【詳解】由題意，函數(shù)是定義在區(qū)間［-2,2］上的嚴(yán)格增函數(shù),

24—1>a+2

因?yàn)?(2/-l)>“a+2),可得一2V2/TV2,解得一如<"_1,

-2<a+2<22

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是［-手,-1).

故答案為：［-手,-1).

X2-ax+9,x<l

16.已知函數(shù)/(%)=43o/若"力之”1)恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是________

xd--------a+6,x>l

、x2

【答案】2<a<4

【分析】由題意可得〃%)的最小值是了⑴，再分段探討最小值建立不等關(guān)系，求解作答.

【詳解】依題意，f{x)^=f(y)=W-a,

43I4334

當(dāng)%>1時(shí)，x+---a+8>2.x------〃+8=12——a,當(dāng)且僅當(dāng)工=一,即x=2時(shí)取等號(hào)，

x2Vx22x

3

于是得12-］。N10-a,解得〃V4,

當(dāng)％<1時(shí)，f一依+9210一〃恒成立，即(％—l)(x+l—a)之。恒成立,因此有口之％+1恒成立,而(％+Dmax=2,

則。>2,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是2WQK4.

故答案為：2<a<4

四、解答題

13

17.已知函數(shù)=且/(-2)=-5.

⑴求函數(shù)/⑴的解析式；

(2)判斷函數(shù)在區(qū)間(0,+。)上的單調(diào)性并用定義法加以證明.

【答案】⑴〃尤)=尤-：

(2)單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析

【分析】(1)直接根據(jù)題意代入求值即可；

(2)根據(jù)定義法判斷函數(shù)在區(qū)間(0,+力)上的單調(diào)性即可.

(1)因?yàn)椤?2)=-2。+51=-；3，所以。=1,所以=1

(2)函數(shù)在(0,+力)上單調(diào)遞增，證明如下：任取石,々w(0,+oo),且占<三,所以

(石々+1)(%2-

/(%)-/(%)=x2~~因?yàn)榫?>%>。，所以

X2f>0,尤尼>0所以〃無(wú)2)—〃不)>0,即/優(yōu))>〃髭)，所以〃尤)在(。，+8)上單調(diào)遞增.

18.已知函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)?0,+8),對(duì)任意正實(shí)數(shù)。、I都有〃")+l=〃a)+〃6),且當(dāng)x>l時(shí),

/W>1.求證：函數(shù)/'(x)是(0,+動(dòng)上的增函數(shù).

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】任取4、七e（0,e），且%＞%，可得出-〃匕）=/三T，結(jié)合已知條件可出/（%）、/（%）

的大小關(guān)系，即可證得結(jié)論成立.

【詳解】證明：任取玉、G（0,+CO）,且%＞工，

則/（馬）一"%）=/?卜-〃百）7m+/（%）-"%）T7mt

因?yàn)樘?hào)＞1,所以＜曰＞1,所以〃々）—〃占）＞0,即〃々）＞〃石），

所以函數(shù)“X）是（0,+8）上的增函數(shù).

19.已知函數(shù)〃x）是定義在R上的增函數(shù)，并且滿足/（x+y）=/（x）+/（y）,fQ^=l.

⑴求”0）的值；

⑵若〃x）+/（2+x）＜2,求x的取值范圍.

【答案】（1）〃0）=0;

（2）1，]]

【分析】（1）利用賦值法即得；

（2）利用賦值法得=然后結(jié)合條件轉(zhuǎn)化已知不等式為了（2+2x）＜/]1,最后根據(jù)單調(diào)性即得.

（1）

因?yàn)?（x+y）=/（x）+〃y），

令x=y=0,得〃0）"（0）+/（0）,

即〃0）=0；

（2）

由題意知/（X）+/（2+X）=/（2X+2）,

.?.由〃x)+〃2+x)<2,可得〃2+2x)</

又/(x)在R上單調(diào)遞增，

22

??2x+2<——,即x<—,

33

??.、的取值范圍是［巴-:).

20.已知函數(shù)/(X)=x+—(?e7?)

⑴當(dāng)a=l,證明函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞減；

-1~|「37-

(2)當(dāng)xe-,3時(shí)，/(x)e1,—,求。的值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析⑵

4

【分析】(1)利用證明函數(shù)單調(diào)性的定義%由0"氣<1,〃不)-〃尤2)>°，可證明函數(shù)在(0」)

上單調(diào)遞減.

(2)通過(guò)討論參數(shù)。，分別求出a=0,?<0,a>0時(shí)/(x)的值即可.

(1)證明：若a=l,貝=x

V^,X2e(O,l),0v%<x2<1

/(%)一/(工2)=%+-----%2------=X1-X2+---------

X{x2再x2

_r_T?二一。_(芯一%)(芯%2—1)

再/X1X2

當(dāng)％%e(0,l)時(shí)，0cxi々<1，所以(*%)(%>1)>。

所以，函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞減.

(2)①當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x,不滿足條件;

②當(dāng)"<0時(shí)，易知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則滿足：/出=1，"3)=11

1a,

-+—=11

21ci=——

4

2解得:不滿足條件;

③當(dāng)。>0時(shí)，令0<玉<多<&,

f（%）-/（工2）=X|+烏一%一烏=（X］-%）"）

x{x2x1x2

所以/（西）＞/（%），函數(shù)在（o，&）上單調(diào)遞減；

同理可證，函數(shù)在（G,+8）上單調(diào)遞增，

所以，函數(shù)/（尤）最小值應(yīng)在尤=&處取得，

當(dāng)0＜&＜；時(shí)，函數(shù)〃x）在xe1,3的最小值為了（，，所以d=l,解得。=；,符合條件；

當(dāng)3＜右時(shí)，函數(shù)〃尤）在xe1,3的最小值為"3）,所以〃3）=1,解得。=-6,不符合條件；

當(dāng)工&43時(shí)，函數(shù)〃尤）在的最小值為了（?,所以/（6）=1,解得：?=1,不符合條件;

綜上，〃=；.

4

培優(yōu)第二階一一拓展培優(yōu)練

一、單選題

,、1

1.下列命題：（1）若“X）是增函數(shù)，則衣J是減函數(shù);（2）若Ax）是減函數(shù)，則是減函數(shù)；（3）

若Ax）是增函數(shù)，g（x）是減函數(shù)，g（7（x））有意義，則g（7（x））為減函數(shù)，其中正確的個(gè)數(shù)有：（）

A.1B.2C.3D.0

【答案】A

【分析】利用特殊函數(shù)判斷（1）（2）的正確性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷（3）的正確性.

1

【詳解】對(duì)于（1）,設(shè)〃》）=》為尺上的增函數(shù)，當(dāng)x=0時(shí),而J沒(méi)有意義，所以（1）錯(cuò)誤.

對(duì)于（2）,設(shè)〃x）=-x為R上的減函數(shù)，則［f（x）］2=Y在R上不是減函數(shù)，故⑵錯(cuò)誤.

對(duì)于（3）,根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，（3）正確.

所以正確的個(gè)數(shù)有1個(gè).

故選：A

2.若函數(shù)〃尤)在R單調(diào)遞增，且/(1)=0,則滿足"“<0的尤的取值范圍是()

x-2

A.(-oo,-l)u(0,l)B.(2,+oo)

C.(-1,0)口(1,小)D.(1,2)

【答案】D

【詳解】通過(guò)討論化簡(jiǎn)不等式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.

【分析】因?yàn)楹瘮?shù)/'(x)在R單調(diào)遞增，且/'⑴=0,

所以當(dāng)x>l時(shí),

不等式工區(qū)<0可化為x—2<0,

x—2

所以lvxv2,

當(dāng)犬v1時(shí)，/(%)<0,

不等式工區(qū)<0可化為九一2>0,

x—2

所以滿足條件的九不存在，

當(dāng)x=l時(shí)，注1=0,不滿足關(guān)系/(?<0,

x—2x—2

所以滿足四<0的X的取值范圍是(1,2),

x-2

故選：D.

9Y加2

3.記函數(shù)式尤)=一彳在區(qū)間［3,4］上的最大值和最小值分別為M和機(jī)，則"-等于()

x-2M

A.-B.-C.-D.-

3823

【答案】D

【分析】將函數(shù)八幻分離常數(shù)變形后，判斷出其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出最值即可得解.

【詳解】因?yàn)殪?="-2-4=2+吃，

x-2x-2

所以火x)在［3,4］上是減函數(shù).

所以m=/(4)=4,M=f(3)=6.

rim2168

所C以r一=—=T-

M63

故選：D.

x?_%2尤<0

2；,一c，若存在-5,1-a］,使“x+a)N/(4a-x)成立，則實(shí)數(shù)”的取值范

{—X-x+2,x>0

圍是()

A.(3,+co)B.(-oo,3)

C.10]D.[-10,3)

【答案】D

【分析】先判斷出y=/(x)在R上單調(diào)遞減，列不等式組，解出。的取值范圍.

I入2_2尤<0

【詳解】作出〃X)=「；一八的圖像如圖所示：

'|_彳2—尤+2,x>0

可知：y=/(x)在R上單調(diào)遞減，

所以存在xe[a-5,l—句，使/(x+a)?/(4a-x)成立可化為：x+aV4。一x在xe[a-5,l—a]能成立,

即2（a—5）43a,解得：a>—10.

由區(qū)間[。一5,1—。]可知：a-5<l-a,解得a<3

所以a的范圍是-lOVa<3.

故選：D

f(a-5)x-2,x>2/(X.)-/(%,)八

5.函數(shù)/(%)=若對(duì)任意a%6W芭/三)，都有八I'一'<0成立,則實(shí)數(shù)。

\x-2^a+\)x+3a,x<2%-%

的取值范圍為()

A.(-co,1]B.(1,5)C.[1,5)D.[1,4]

【答案】D

【分析】由函數(shù)的單調(diào)性可求解.

【詳解】因?yàn)閷?duì)任意?。R(x產(chǎn)三)，都有八曾2<0成立,所以/(X)是減函數(shù)，

4-4(。+1)+3tz>2(〃-5)-2

則Q-5<0,解得

a+\>2

故選：D.

6.已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)?,函數(shù)"1-3x)的定義域?yàn)锳=1,1,若改右氏使得-尤+1成立，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A

-1蝶)B.(。,口

(13](1313、

C匕'+口D.上向旬

【答案】C

【分析】由復(fù)合函數(shù)的定義域求得集合8,記g(尤)=/-x+1,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求g(x)在尤eB時(shí)的最小值，從

而得參數(shù)范圍.

【詳解「."(1一3力的定義域?yàn)锳=-,1,-2W1-3x4：,則B=-2,-.令g(x)=￡一%+1,

3x&B,使得a>x,-x+1成立，即。大于g(x)在-2q上的最小值.；g(x)=(x-g)+5，g(x)在

-2,；上的最小值為=.?.實(shí)數(shù)0的取值范圍是11,+。

故選：C.

7.已知函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)镽,滿足〃x+l)=〃l-x),且當(dāng)％>網(wǎng)>1時(shí)，[〃々)-〃%)](々-玉)<0恒

成立，設(shè)a="-l),b=f(i),c=/(e)(其中e=2.71828…)，則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c>a>bB.b>c>a

C.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷出〃尤)在(1,+s)上單調(diào)遞減,再利用〃x+l)=〃l-x)把”-1)轉(zhuǎn)化為

/(3),最后利用/■")的單調(diào)性判斷即可.

【詳解】因?yàn)橛?>占>1，所以無(wú)2-%>。，因此〃9)-〃不)<。，即"々)<〃％),

所以〃尤)在(1,+8)上單調(diào)遞減,

又因?yàn)閒(x+l)=/(l—x),所以〃—1)=1。-2)=〃1+2)=/(3),

又因?yàn)閘<2<e<3,所以〃2)>〃e)>〃3),

所以

故選：B.

8.已知定義在。E)上的函數(shù)“X)滿足：對(duì)任意的4，尤2日(),+8),X尸馬，都有>2,

x2一玉

/(1)=2022,則滿足不等式/(X—2022)>2(x-1012)的x的解集是()

A.(2022,+oo)B.(2023,+oo)C.［2022,2023)D.［2021,2023)

【答案】B

【分析】將/C>2轉(zhuǎn)化為卜伍)-2%［一［"%)—2xJ>0,從而得到函數(shù)g(句=_2x為增

X?—XyX?—%

函數(shù)，再結(jié)合/(1)=2022將所求不等式轉(zhuǎn)化為g(x-2022)>g(l),進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性求解即可.

［詳解］,C>2可轉(zhuǎn)化為［〃々)-2苫2］-［"%)-2%］>0,不妨設(shè)%>網(wǎng)上0,貝1j/一%>0,

X?一菁X2一%

；?［/(X2)-2%］一［/(占)-2占］>0.

令g(x)=〃尤)-2x,由單調(diào)性定義可知，才卜)為［。,+?>)上的增函數(shù).

,//(x-2022)>2(x-1012),f(x-2022)-2(x-2022)>2020.

/(I)=2022,/.g(l)=/(l)-2=2020,

x-2022>0

Ag(x-2022)>g(l),

x-2022>l，

???x>2023，即x的取值范圍為(2023,+8).

故選：B.

二、多選題

9.定義在(0,+句上的函數(shù)滿足：對(duì)于定義域上的任意/，巧，當(dāng)x尸馬時(shí)，恒有

則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”.給出下列四個(gè)函數(shù):

①〃x）=l；②〃x）=x>③〃尤）=?；④”x）=f+無(wú)能被稱為“理想函數(shù)”的有（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】BD

【分析】首先求得“理想函數(shù)”的等價(jià)條件，然后對(duì)題目所給四個(gè)函數(shù)逐一分析，從而確定正確選項(xiàng).

【詳解】依題意，定義在（0，+8）上的函數(shù)“X）滿足：對(duì)于定義域上的任意X,,%,當(dāng)玉N當(dāng)時(shí)，恒有

不妨設(shè)為>工2>°，可得々/（玉）一%/（%2）>。，即%2/（%）>占/（々）,

即差>雪’所以函數(shù)1勺在（。,+“）上單調(diào)遞增.

也即/（X）為“理想函數(shù)”的等價(jià)條件是函數(shù)y=小在（0,+8）上單調(diào)遞增.

X

①，y="D=1（x>0）在（0,+動(dòng)上單調(diào)遞減，不符合；

XX

②,了=4。=尤（工>0）在（0,+8）上單調(diào)遞增，符合；

③，y=￥?=5（x>0）在（0,+向上單調(diào)遞減，不符合；

④，y=n0=x+l（尤>0）在（0,+8）上單調(diào)遞增，符合；

綜上所述，②④符合題意.

故選：BD

/、\ax—l,x<a/、

10.設(shè)函數(shù)〃尤）=2；1、，〃尤）存在最小值時(shí)，實(shí)數(shù)。的值可能是（）

x—Zcvc+1,%之a(chǎn)

A.-2B.-IC.0D.1

【答案】ABC

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分。>0、。=0、。<0三種情況討論，當(dāng)a<0時(shí)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)只需函數(shù)在

斷點(diǎn)處左側(cè)的函數(shù)值不小于右側(cè)的函數(shù)值即可；

/、[ax-l,x<a

【詳解】解：因?yàn)椤癤=2C1、，

1%-2ax+1,x>a

若a>0,當(dāng)x<a時(shí)〃x）=ax-l在（-co,a）上單調(diào)遞增，當(dāng)x--8時(shí)/⑺一―雙此時(shí)函數(shù)不存在最小值;

若，=。，則/(x)=*；ix>o,此時(shí)“力加廣-1，符合題意；

若4<0,當(dāng)兄<。時(shí)/(九)=辦一1在(一8,。)上單調(diào)遞減，

當(dāng)xNa時(shí)/(九)=f-2依+1,

二次函數(shù),=--2辦+1對(duì)稱軸為1=4,開(kāi)口向上，此時(shí)/(%)在+00)上單調(diào)遞增，

/、\a<Q

要使函數(shù)“X)存在最小值，只需°2_1>/_2/+1，解得。<T，

綜上可得aU｛。｝.

故選：ABC

11.下列關(guān)于函數(shù)〃尤)=，-4+2》+3的結(jié)論正確的是()

A.單調(diào)遞增區(qū)間是［-1』B.單調(diào)遞減區(qū)間是［1,+8)

C.最大值為2D.沒(méi)有最小值

【答案】AC

【分析】先求〃x)的定義域排除選項(xiàng)B,再利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得〃x)的單調(diào)

性，進(jìn)而求其最值.

【詳解】要使函數(shù)有意義，貝IJ-/+2x+3N0,得一14尤43,故B錯(cuò)誤；

函數(shù)“X)=+2尤+3由/(“)=&與u=-x2+2x+3=_(x-l)2+4復(fù)合而成，

當(dāng)時(shí)，〃=一/+2尤+3單調(diào)遞增，當(dāng)xe［l,3］時(shí)，“=一/+2x+3單調(diào)遞減，

又〃〃)=&在［0,+8)上單調(diào)遞增，

所以=J*+2x+3在［-1,1］上單調(diào)遞增,在［1,3］上單調(diào)遞減，

故/⑺而="1)=2,又〃T)=〃3)=0,所以〃x，=0,故A,C正確,D錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.若非零函數(shù)〃x)對(duì)任意實(shí)數(shù)尤，y均有/'(x)?/(y)=〃尤+y),且當(dāng)無(wú)<0時(shí)〃刈>1.則().

A./(0)=1

B.對(duì)任意實(shí)數(shù)無(wú)，都有/'(x)>0

C.〃x)為(ro,+co)是增函數(shù)

D.當(dāng)/(4)=、時(shí)，對(duì)\/“目-1,1]時(shí)恒有/(f-2ax+2)W：,貝快數(shù)了式—,-2]3。}“2,”)

【答案】ABD

【分析】通過(guò)賦值法結(jié)合題設(shè)可判斷AB；由單調(diào)性的定義結(jié)合題設(shè)可判斷C,通過(guò)賦值法求得/(2),將

題目所給不等式右邊變形為7(2)后，利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)為為恒成立可判斷D.

【詳解】因?yàn)閒(x)?〃y)=/(x+y),

令y=o得〃x)?〃o)=〃x),即“X)?[〃())一1]=0,

又因?yàn)?(x)NO,所以"0)=1,故A正確；

當(dāng)x<0時(shí)〃x)>l,則〃X)?〃T)=/(O)=l,

所以〃-x)=e(O,l),故對(duì)于xeR恒有y(x)>0,故B正確；

令%>%且占wR,則-％)=/(%),

又尤2_%<0,故，=/(彳2—X|)>1，

/(現(xiàn))

又〃x)>0,所以〃％)>〃玉)，故〃x)為(—,+?))是減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

/(4)=/(2+2)=/(2)-/(2)=-^,故-2)=；,

對(duì)Nae[—1,1]時(shí)恒有f(X?-2ox+2)<—,

等價(jià)于對(duì)V?e卜1,1]時(shí)恒有/(f-2依+2)<〃2),

依題意有爐一2620對(duì)V。e恒成立，

爐—2x>0

-

所以<2,xe(^?,-2]u{0}u[2,+oo),故D正確

?X-I--1：U

故選：ABD

三、填空題

13.已知函數(shù)/(x)=|-3x+a|的增區(qū)間是[2,內(nèi))，則實(shí)數(shù)a的值為.

【答案】6

【分析】去絕對(duì)值將/（無(wú)）=卜3%+同轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性求解。的值即可.

—3x+〃,xW1

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)

,a

3x-a,x>—

3

故當(dāng)時(shí)，〃x）單調(diào)遞減，當(dāng)無(wú)W時(shí)，“X）單調(diào)遞增.

因?yàn)楹瘮?shù)〃6=卜3*+4的增區(qū)間是［2,+00）,

所以1=2,所以。=6.

故答案為：6.

x2-iwc+5,x＜l

14.已知函數(shù)本）=（根對(duì)任意尤/,&CR且x/X2,都有（而-々）［〃匕）-〃/）］＜。，則實(shí)

—,x＞\

數(shù)m的取值范圍是.

【答案】［2,3］##24根43

【分析】根據(jù)單調(diào)性的定義可知，函數(shù)/'（x）在R上遞減，即可利用分段函數(shù)的性質(zhì)解出.

【詳解】不妨設(shè)不＜9,所以由（%-%）［/（玉）一/（々）］＜?？傻茫?（不）＞/（*2），

->1

2

所以函數(shù)/（X）在R上遞減，故,m>0,解得：24mK3.

l-m+5>m

故答案為：［2,3］.

15.已知函數(shù)/（%）=/-4尤，g（x）=f（a＜0）,對(duì)VX|3^G［-3,-1］,使/（玉）=g（9）成立，則

實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】［一15,-⑵

【分析】由題意可知“X）的值域是g（x）值域的子集，所以分別求出兩函數(shù)的值域，列不等式組可求得答案.

【詳解】函數(shù)“力=爐-4彳圖象的對(duì)稱軸為直線42,

所以〃尤）在上單調(diào)遞減，

則〃力在[-2,-1]上的值域?yàn)閇5,12].

因?yàn)間(x)=?a<。)在[-3,-1]上單調(diào)遞增，

所以g(x)在上的值域?yàn)?芯-。.

由題意，可得[5,12仁-1,-a,

[_￡

即|3<5,解得-15VaW-12.

12W—CL

故答案為：卜15,-12]

16.已知函數(shù)〃尤)二名，若Vae[-2,2],玉e：,2使不等式/(無(wú))《蘇一2麗+：成立，則實(shí)數(shù)加的取

XiL_乙_D

值范圍為.

【答案】(^?,-3]u[-l,l]o[3,-w))

【分析】令g(a)=-2。加+療+與，則若Vae[-2,2],3xe：,2使不等式/(尤)</一2初+；成立等價(jià)于

在問(wèn)-2,2]，xe；,2上有g(shù)(aU//(x)1nl/

易知/(》*=(，討論〃與°的大小關(guān)系，則可得到g(。)在卜2,2]上的單調(diào)性，則可得到g(a)n2即可解

出實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【詳解】令g(a)=-2a加+療+與，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為在ae[-2,2],xe；,2上有g(shù).L21n,

易知/(無(wú))=*=1-々在”,上單調(diào)遞增，故/'(x)1111n=/[]=；,

x+1x+1|_2J3

①當(dāng)機(jī)<0時(shí)，在[一2,2]上單調(diào)遞增，則屋。)*=m2+4m+y>|,

所以機(jī)2+4根+3=(m+3)?(根+1)20,可得力￡(-0,-3]3-1,0)；

②當(dāng)機(jī)=0時(shí)，則符合題意；

③當(dāng)相>0時(shí)，g(a)在[一2,2]上單調(diào)遞減，則g(a)而"=加2-4"7+]層，

所以m2-4m+3=(租-1)(m一3)20,可得me(0,l]u[3,-+w).

綜上所述，相?(rO,—njup，*30)-

故答案為：(^,-3]U[-1,1]U[3,4W).

四、解答題

17.已知函數(shù)滿足=且/(1)=1.

⑴求。和函數(shù)/(X)的解析式；

(2)用定義法證明了(X)在其定義域的單調(diào)性.

【答案】(1)。=1,f(X)=G;

(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)求出/'(尤)=4一1+。,即得解；

(2)利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明.

(1)解：由y(x+l)=Jx+q,則有y(x)=Jx-1+a,

又由J(l)=Jl_l+a=&=l,則a=l；

所以〃x)=6.

(2)證明：/在其定義域?yàn)閱握{(diào)增函數(shù).

證明：〃x)=?,其定義域?yàn)椋?,+e),

令為<馬，所以

所以小J一人)5一嘉L產(chǎn)十,

因?yàn)樘?-玉>0,+>0,

所以〃%)—〃占)>。，

所以/(X)在其定義域?yàn)閱握{(diào)增函數(shù).

18.已知定義在R上的函數(shù)/(尤)滿足：①當(dāng)尤>0時(shí)，〃x)>i,②對(duì)任意尤,yeR都有〃x+y)=/(x)/(y),

③/⑴=2

⑴求”2)的值.

⑵求證：對(duì)任意x,/(x)>0

(3)證明：/(無(wú))在R上是增函數(shù).

【答案】(1)4(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)〃2)=〃1+1)=〃1)〃1)即可得解；

(2)令x=l,y=。，求得/'(()),再根據(jù)當(dāng)x>0時(shí)，/W>1,證明x<0時(shí)，/(%)>0,即可得證;

(3)設(shè)X<y,由〃y)=y[x+(y-x)]=〃x)〃y-x),說(shuō)明即可得證.

⑴解:因?yàn)椤▁+y)=〃x)〃y)，"1)=2,

所以〃2)=〃1+1)=/?⑴〃1)=4；

(2)證明：令x=l,y=O,

則〃1)=/。)〃。)，所以“0)=1,

當(dāng)x<0時(shí)，一x>0,所以

則/(x)/(f)=〃x-x)=〃0)=l,

所以〃x)>0,

所以對(duì)任意X,〃X)>。；

(3)證明：設(shè)x<y,

則所以

所以在R上是增函數(shù).

19.已知函數(shù)g(6+2)=尤+2?+1.

⑴求函數(shù)g(x)的解析式；

⑵設(shè)〃j)=g(?2\若存在X?[2,3]使-質(zhì)<0成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

【答案】(Dg(x)=(x-l)2(xN2)；

(2)一'|'+00)

【分析】⑴由配湊法得g(?+2)=(?+2-『，再結(jié)合五+222,即可求出g(無(wú))的解析式；

(2)先求出/(無(wú))，將題設(shè)轉(zhuǎn)化為5-。+1在xw［2,3］上有解，換元后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值

即可求解.

(1)g(?+2)=尤+24+1=(?+1)=(&+2-1),則g(x)=(x-l)2,又?+222,貝!J

g(x)=(x-l)2(x>2)；

(2)/(x)=g(x)_21_x2_2x+l_2x=x+!_4