專題二方程與不等式——2025屆中考數(shù)學(xué)突破熱點訓(xùn)練營

L《九章算術(shù)》中有這樣一個題：“今有醇酒一斗，直錢五十；行酒一斗，直錢一十.今將錢三

十，得酒二斗.問醇、行酒各得幾何？其譯文是：今有醇酒（優(yōu)質(zhì)酒）1斗，價值50錢；行

酒（劣質(zhì)酒）1斗，價值10錢；現(xiàn)有30錢，買得2斗酒.問醇酒、行酒各能買得多少？設(shè)醇

酒為x斗，行酒為y斗，則可列二元一次方程組為（）

x+y=2xy=2x+y=2x+y=2

AJB.<l-c.D.<

50x+10y=3050x+10y=3010x+50y=3010x+30j/=50

2.我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株椽，每

株腳錢三文足，無錢準與一株椽.”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文，

如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩余椽的運費恰好等于一株椽的價錢.根據(jù)題

意可列方程3（x-1）=包3，其中x表示（）

A.剩余椽的數(shù)量B.這批椽的數(shù)量C.剩余椽的運費D.每株椽的價錢

3.我國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醋（xu）酒一斗直粟

三斗.今持粟三斛，得酒五斗，問清、醋酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一斗清酒價值10斗谷子，

一斗酸酒價值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清、醋酒各幾斗？下面是甲、

乙兩種解答方案，則（）

甲：設(shè)換了清酒x斗，列方程為10x+3（5-力=30,…；

乙：設(shè)用x斗谷子換清酒，列方程為二+型==5,…

310

A.只有甲對B.只有乙對C.甲、乙都對D.甲、乙都不對

4.在“雙減”政策的推動下，我區(qū)某中學(xué)學(xué)生每天書面作業(yè)時長明顯減少，2022年下學(xué)期平均

每天書面作業(yè)時長為90分鐘，經(jīng)過2023年上學(xué)期和2023年下學(xué)期兩次調(diào)整后，2023年下學(xué)

期平均每天書面作業(yè)時長為70分鐘，設(shè)該校這兩學(xué)期平均每天書面作業(yè)時長每學(xué)期的下降率

為x,則可列方程為（）

A.70(1+X2)=90B.70(l+x)2=90C.90(l-x2)=70D.90(l-x)2=70

5.把1-9這9個數(shù)填入3x3方格中，使其任意一行，任意一列及兩條對角線上的數(shù)之和都相

等，這樣便構(gòu)成了一個“九宮格”.它源于我國古代的“洛善”（圖①），是世界上最早的“幻方”.

圖②是僅可以看到部分數(shù)值的“九宮格”，則其中x的值為：（）

A.lB.3C.4D.6

6.甲、乙兩地相距約240千米，新修的高速公路開通后，在兩地間行駛的長途客車平均車速

提高了60%,時間比原來縮短了30分鐘.設(shè)原來的平均車速為x千米/小時，則根據(jù)題意可列

方程為（）

y.A_2_4_0______2_4_0______1B2402401

-x(l+60%)x-2,(l+60%)xx-2

C出._生—一30D.24。工30

-x(1+60%)%(l+60%)xx

7.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問

人數(shù)、物價各幾何？”意思是：現(xiàn)有幾個人共買一件物品，每人出8錢，多出3錢；每人出7

錢，還差4錢.問人數(shù)、物價分別是多少？若設(shè)共有x人，物價是了錢，則下列方程正確的是

（）

A.8(x-3)=7(x+4)B.8x+3=7x-4

8=78=7

8.電影《劉三姐》中有這樣一個對歌的場景.

羅秀才：三百條狗交給你，一少三多四下分，不要雙數(shù)要單數(shù)，看你怎樣分得勻？

劉三姐的姐妹們：九十九條打獵去，九十九條看羊來，九十九條守門口，剩下三條給財主.

該歌詞表達的是一道數(shù)學(xué)題，其大意是：把300條狗分成4群，每個群里，狗的數(shù)量都是奇

數(shù)，其中一個群，狗的數(shù)量少；另外三個群，狗的數(shù)量多且數(shù)量相同.問：應(yīng)該如何分？設(shè)狗

數(shù)量多的三個群均為x條，則正確的是()

A.依題意狗數(shù)量少的群是(30°-x)條B.依題意300-3xWx

C.X有最小值，但無最大值D.x=99是正確解，但不是唯一解

9.塑料凳子輕便實用，在生活中隨處可見.如圖，若4個塑料凳子疊放在一起的高度為60cm

,6個塑料凳子疊放在一起的高度為70cm,則11個塑料髡子疊放在一起的高度是()

B.96cmC.97cmD.98cm

2

10.對于實數(shù)a,b,定義一種新運算“⑥”為：a區(qū)b==F，這里等式右邊是通常的實數(shù)運

a-b

算.例如：183=二方=-L則方程X?(-1)=工-1的解是()

1—34x—1

A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7

11.定義：如果一元二次方程ad+bx+c=0(awO)滿足a+6+c=0,那么我們稱這個方程為

“鳳凰”方程.已知"2+區(qū)+°=0("0))是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則下列結(jié)論

正確的是()

A.a-cB.a-bC.b=cD.a=b=c

12.某家商店的賬目記錄顯示，賣出26支/型牙刷和14盒8型牙膏，收入是264元.若以同樣

的價格賣出同款的39支牙刷和21盒牙膏，則收入應(yīng)是.

13.某公園門票價格如下表：某學(xué)校組織攝影、美術(shù)兩個社團的學(xué)生游覽該公園，兩社團的人

數(shù)分別為。和/?！?).若兩社團分別以各自社團為單位購票，共需1560元；若兩社團作為一

個團體合在一起購票，共需1170元，那么這兩個社團的人數(shù)為。=,b=.

購票人數(shù)1~4041-8080以上

門票價格20元/人16元/人13元/人

14.在一次綜合實踐活動中，某小組用I號、II號兩種零件可以組裝出五款不同的成品，編號

分別為4B,C,D,E,每個成品的總零件個數(shù)及所需的I號、II號零件個數(shù)如下：

成品編號I號零件個數(shù)n號零件個數(shù)總零件個數(shù)

A347

B549

C4610

D437

E628

選用兩種零件總數(shù)不超過25個，每款成品最多組裝一個.

(1)如果I號零件個數(shù)不少于11個，且不多于13個，寫出一種滿足條件的組裝方案

(寫出要組裝成品的編號)；

（2）如果i號零件個數(shù)不少于ii個，且不多于13個，同時所需的n號零件最多，寫出滿足

條件的組裝方案（寫出要組裝成品的編號）.

15.圖是在浦東陸家嘴明代陸深古墓中發(fā)掘出來的寶玉——明白玉幻方.其背面有方框四行十六

格，為四階幻方（從1至U16,一共十六個數(shù)目，它們的縱列、橫行與兩條對角線上4個數(shù)相

加之和均為34）.小明探究后發(fā)現(xiàn)，這個四階幻方中的數(shù)滿足下面規(guī)律：在四階幻方中，當(dāng)數(shù)

a,b,c,d有如圖1的位置關(guān)系時，均有a+6=c+d=17.如圖2,已知此幻方中的一些數(shù)，

則x的值為.

圖1

圖2

16.淄博燒烤風(fēng)靡全國.某燒烤店今年5月份盈利20萬元，預(yù)計7月份盈利28.8萬元，設(shè)每月

盈利增長的百分率相同，則6月份盈利萬元.

17.新春佳節(jié)，小明和小穎去看望李老師，李老師用一種特殊的方式給他們分糖，李老師先給

小明1塊，然后把糖盒里所剩糖的!給小明，再拿給小穎2塊，又把糖盒里所剩糖的,給小

66

穎.這樣兩人所得的糖塊數(shù)相同.則李老師的糖盒中原來有塊糖.

18.桿秤是我國度量衡“三大件（尺斗秤）”正要組成都分，是中華民族衡重的基本量具.桿秤依

據(jù)杠桿原理制作而成，一般由秤鉤（秤盤）、秤桿和秤蛇三部分組成，秤桿上的刻度叫做“秤

星”，古時候秤桿叫做“權(quán)”，秤蛇叫做“衡”，“權(quán)衡”一詞就來源于此.

2.5cm26cm2.5cm26cm

下圖是小陽同學(xué)利用自制桿秤稱重的示意圖，使用時將貨物放在秤盤上，用手提起8（相當(dāng)

于支點）處的秤紐，在秤桿上移動秤坨的位置，當(dāng)秤桿水平平衡時，可根據(jù)秤坨在秤桿上的

位置送出貨物的質(zhì)量如圖1所示，稱量貨物甲時，秤石它在C處秤桿平衡，此時可讀出貨物甲

的質(zhì)量是40g；如圖2所示，稱量貨物乙時，秤坨在。處秤桿平衡，此時可讀出貨物乙的質(zhì)

量是60g.根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)，求這把桿秤的秤星E對應(yīng)的刻度是多少克.

19.為了保護水資源，提倡節(jié)約用水，北京市居民用水實行階梯水價，實施細則如下表:

北京市居民用水階梯水價表（單位：元/立方米）

供水戶年用水量其中

階梯水價

類型（立方米）水費水資源費污水處理費

第一階梯0—180（含）52.07

自來水第二階梯181—260（含）74.071.571.36

第三階梯260以上96.07

某戶居民2023年用水共繳納1040元，求這戶居民2023年的用水量.

20.燕幾（即宴幾）是世界上最早的一套組合桌，設(shè)計者是北宋進士黃伯思.全套燕幾一共有七

張桌子，每張桌子高度相同.其桌面共有三種尺寸，包括2張長桌、2張中桌和3張小桌，它

們的寬都相同.七張桌面可以拼成一個大的長方形，或者分開組合成不同的圖形，其方式豐富

多樣，燕幾也被認為是現(xiàn)代七巧板的前身.右圖給出了《燕幾圖》中列出的名稱為“函三”和“回

文，，的兩種桌面拼合方式.若全套七張桌子桌面的總面積為61.25平方尺，則長桌的長為多少

尺？

B1

答案以及解析

1.答案：A

解析：設(shè)醇酒為x斗，行酒為y斗，由題意，則有

x+y=2

50x+10v=30

故選A.

2.答案：B

解析：?.?每株掾的運費是3文，那么少拿一株掾后，剩下的掾的運費恰好等于一株掾的價

錢，

3（x-1）表示少拿一株掾后的運費，絲竺表示一株掾的價錢，

X

.?.X表示這批掾的數(shù)量.

故選：B.

3.答案：A

解析：甲：設(shè)換了清酒x斗，則醋酒（5-x）斗，

歹方U程為10x+3（5-x）=30；

乙：設(shè)用x斗谷子換清酒，則用（30-x）斗谷子換酸酒，

列方程為土+吐e=5；

103

.?.甲正確、乙錯誤，

故選：A.

4.答案：D

解析：設(shè)該校這兩學(xué)期平均每天書面作業(yè)時長每學(xué)期的下降率為x,根據(jù)題意得:

90(l-x)2=70.

故選：D.

5.答案：A

解析：如圖,

□□

H□H

依題意可得2+5+8=2+7+y,

解得y=6,

8+x+6=2+5+8,

解得X-1.

故選：A.

6.答案：A

解析：?.?新修的高速公路開通后，在兩地間行駛的長途客車平均車速提高了60%,且原來的

平均車速為x千米/小時，

???新修的高速公路開通后的平均速度為(1+60%)x千米/小時.

24024030240240

根據(jù)題意得:——,即nn-----......—

(l+60%)x60x(l+60%)x2

故選：A.

7.答案：D

解析：根據(jù)“每人出8錢，多出3錢”可知y=8x-3,受，根據(jù)“每人出7錢，還差4

錢”可知y=7x+4,x='74,故8x—3=7x+4,了；3=了74.

8.答案：D

解析：設(shè)狗數(shù)量多的三個群均為x條，

???一個群，狗的數(shù)量少，三個群，狗的數(shù)量多且數(shù)量相同，狗的總數(shù)為300條，

???狗的數(shù)量多的三個群的的總數(shù)為3x,狗數(shù)量少的群是(3°°-3x)條，故A選項錯誤，

.?.300-3”元,故B選項錯誤，

解得：工>75,

■:3x<300,

...尤<100,

...75<x<100,

???X為奇數(shù)且為整數(shù)，

??.X有最小值77,最大值為99,

??.X有最小值也有最大值，x=99是正確解，但不是唯一解，故C選項錯誤，D選項正確，

故選：D.

9.答案:A

解析：設(shè)1個塑料凳子的高度為xcm,每疊放1個塑料凳子高度增加”m.根據(jù)題意，得

x+(4-l)v=60,解得尸=45,,]+10*5=95,11個塑料凳子疊放在一起的

[x+(6-l)j=70,V=5,兀

高度為95cm.

10.答案：B

解析：根據(jù)題中的新定義化簡得：二-=工一1,

X—1X—\

去分母得：2=6-1+1,解得：x=5,

經(jīng)檢驗x=5是分式方程的解.

故選：B.

11.答案：A

解析：???方程有兩個相等的實數(shù)根，

△=b1—4ac=0,

丁〃+b+c=0,

：.b--a-c

??/—4QC—a2+2ac+c?—4ctc——2QC+C2=(a—c),

?，?(Q-C『二0,

??Ct—C9

故先：A.

12.答案：396元

解析：設(shè)一支Z型牙刷收入x元，一盒8型牙膏收入y元，由題意，得

26x+14y=264,

化簡得：13x+7y=132,

則39x+21y=396,

所以，收入應(yīng)該是396元，

故答案為：396元.

13.答案：60；30

解析：???1170不能整除16,

??.兩個部門的人數(shù)。+6?81,

又1560不能整除16,

每個部門的人數(shù)不可能同時在41?80之間，

由于a>b,所以，當(dāng)lVAW40,41WaV80,則有：

'206+16。=1560

<13（a+6）=1170'

口。=60

解律

故答案為：60；30.

14.答案：ABD（答案不唯一）；ACE

解析：（1）設(shè)I號零件個數(shù)為x,n號零件的個數(shù)為4

???I號零件個數(shù)不少于11個，且不多于13個，

由表得滿足I號零件的組法為：

組/8C用I號零件12個，組28。用I號零件12個，組ZCO用I號零件11個，組8C。用

I號零件13個，組ACE用I號零件13個，組ADE用I號零件13個，

以上六種方案中使用n號零件個數(shù)為：

組/8C用n號零件14個，組ZB。用n號零件11個，組/co用n號零件13個，組BC。用

n號零件13個，組4CE用n號零件12個，組4DE用n號零件9個，

???兩種零件總數(shù)不超過25個，

x+y<25,

.??滿足題意的方案為組48。，ACD,ACE,ADE,

???一種滿足條件的組裝方案可以是幺5。,

故答案為：ABD；

(2)由(1)得，組ZCE用的零件最多，為25個，

故答案為：ACE.

15.答案：1

解析：如圖，根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，在實線的三階區(qū)域內(nèi)有了右下角對應(yīng)的是17-y,

在虛線的三階區(qū)域內(nèi)，2對應(yīng)右下角的數(shù)是15,如圖所示，

四個數(shù)分別是x,x+y,17-j,15,

x+x+y+17—y+15=34,

x—1；

故答案為1.

1