限時(shí)練習(xí)：30min完成時(shí)間:一月一日天氣:

寒假作業(yè)12探究與表達(dá)規(guī)律

積累里用

一、圖形規(guī)律探究的一般步驟：

1.寫序號(hào):記每組圖形的序數(shù)為“1,2,3,...,w”（如題圖中的圖分別標(biāo)為圖①，圖②，圖③，…；

2.數(shù)圖形個(gè)數(shù):在圖形數(shù)量變化時(shí)，要記錄每組圖形個(gè)數(shù)（圖①，圖②，圖③，…分別是由幾個(gè)圖形組成）；

3.尋找圖形數(shù)量與序數(shù)n的關(guān)系：

①觀察所給圖形和上一個(gè)圖（基礎(chǔ)圖），找出增加的部分；

②將增加的圖形個(gè)數(shù)用含序數(shù)的式子表示出來；

③歸納出含有序數(shù)n的關(guān)系式.

二、數(shù)字規(guī)律探究的一般步驟：

1.當(dāng)所給的組數(shù)是整數(shù)時(shí)，先觀察這組數(shù)字是自然數(shù)列、正數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列還是正整數(shù)列經(jīng)過平方、

平方加1或減1等運(yùn)算后的數(shù)列，然后再看這組數(shù)字的符號(hào)，判斷數(shù)字符號(hào)的正負(fù)是交替出現(xiàn)還是只出現(xiàn)

一種符號(hào)，最后把數(shù)字規(guī)律和符號(hào)規(guī)律結(jié)合起來從而得到結(jié)果；

2.當(dāng)數(shù)字是分?jǐn)?shù)和整數(shù)結(jié)合時(shí)，先把這組數(shù)據(jù)的所有整數(shù)寫成分?jǐn)?shù)，然后分別推斷出分子和分母的規(guī)律，

最后得到該組第n項(xiàng)的規(guī)律；

3.當(dāng)所給的代數(shù)式含有系數(shù)時(shí)，先觀察其每一項(xiàng)的系數(shù)之間是否有自然數(shù)列、正整數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列或

交替存在一定的對(duì)稱性，然后觀察其指數(shù)是否存在相似的規(guī)律，最后將系數(shù)和指數(shù)的規(guī)律結(jié)合起來求得結(jié)

果.

三、等式規(guī)律探究的一般步驟

1.標(biāo)序數(shù)；

2.對(duì)比式子與序號(hào)，即分別比較等式中各部分與序數(shù)（1,2,3,4,…，w）之間的關(guān)系，把其隱含的規(guī)律用含序

數(shù)的式子表示出來，通常方法是將式子進(jìn)行拆分，觀察式子中數(shù)字與序號(hào)是否存在倍數(shù)或者次方的關(guān)系；

3.根據(jù)找出的規(guī)律得出第"個(gè)等式，并進(jìn)行檢驗(yàn).

懈鞏固提升練

1.用火柴棍搭建如圖所示的小魚圖形，搭建第6個(gè)小魚圖形需要用到的火柴棍根數(shù)是（）

D.48

【答案】B

【解析第1個(gè)圖中有火柴棒6+2=8（根），

第2個(gè)圖形有火柴棒6x2+2=14（根），

第3個(gè)圖形有火柴棒6x3+2=20（根），

第〃個(gè)圖形有（6〃+2）根，

.?.第6個(gè)小魚圖形需要用到的火柴棍根數(shù)為6x6+2=38（根），故B正確.

故選B.

2.工人師傅要把一根質(zhì)地均勻的圓柱形木料鋸成若干段，按如圖的方式鋸開，每鋸斷一次所用的時(shí)間相

同.若鋸成6段需要10分鐘，則鋸成〃（〃》2,且“為整數(shù)）段所需的時(shí)間為（）

A."分鐘B.（2〃一2）分鐘C.（2"+2）分鐘D.2〃分鐘

【答案】B

【解析】:?鋸成6段需要鋸5次，需要10分鐘，

???每鋸斷一次所用的時(shí)間是2分鐘，

???鋸成w段需要鋸（〃-1）次，

，鋸成"段需要的時(shí)間為：2（〃-1）=（2〃—2）（分鐘），故選B.

3.一個(gè)紙環(huán)鏈，紙環(huán)按紅黃綠藍(lán)紫的順序重復(fù)排列，截去其中的一部分，剩下部分如圖所示，則被截去部

分紙環(huán)的個(gè)數(shù)可能是（）

二—

紅黃綠藍(lán)紫紅黃綠黃綠藍(lán)紫

A.2020B.2021C.2022D.2023

【答案】D

【解析】紙環(huán)按紅黃綠藍(lán)紫的順序重復(fù)排列，完整紙環(huán)是5的倍數(shù)；中間缺少藍(lán)紫紅3個(gè)，

由題意設(shè)被截去部分為5幾+2+1=5幾+3,故選D.

4.已知整數(shù)外,"2'〃3'。4,滿足下列條件：“1=0,Cl2=—\（\+1|,%=—|%+2],〃4=-1%+3|,依此類

推，則。2022的值為（）

A.-1010B.-1011C.-1012D.-1013

【答案】B

【解析】???q=o,

%=-k+1=—1。+1|=—]，

%=一=一|—1+=—1,

%=一檢+3]=-卜1+3卜-2,

%=-1%+=一|-2+4|=-2,

“6=-1〃5+5|=-卜2+5]=-3,

???當(dāng)下標(biāo)為偶數(shù)時(shí)，其值等于下標(biāo)的一半的相反數(shù),

???％022=-1011?故選B.

2

r尤345

5.一組按規(guī)律排列的單項(xiàng)式：—,-土，—,其中第10個(gè)式子是（）

1234

101011

A.--B.--C.--D.—

9101010

【答案】c

卅2

【解析】??,第1個(gè)單項(xiàng)式為（-1）中彳一=r??；

第2個(gè)單項(xiàng)式為（-1）1+2—=

22

9+3丫4

第3個(gè)單項(xiàng)式為（_『+3己-=5；

1+〃

.?.第〃個(gè)單項(xiàng)式為（T）l+"

n

/1°Y11

.?.第10個(gè)單項(xiàng)式為：（_1嚴(yán)。J=一二，故選C.

1010

6.如圖，是按照一定規(guī)律畫出的“樹形圖”，經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn):圖①中有1個(gè)“樹枝”，圖②中有3個(gè)“樹枝”,

，，

圖③中有7個(gè)“樹枝”……照此規(guī)律，圖⑦中有（）個(gè)“樹枝

①②③④

A.63個(gè)B.87個(gè)C.91個(gè)D.127個(gè)

【答案】D

【解析】經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖①中有1個(gè)“樹枝”，

圖②中有3=1+2個(gè)弼枝”，

圖③中有7=1+2+22個(gè)“樹枝”，

,?,}

，圖⑦中有1+2+2?+…+26=127個(gè)“樹枝故選D.

7.將一張長(zhǎng)方形的紙按如圖對(duì)折，對(duì)折時(shí)每次折痕與上次的折痕保持平行，第一次對(duì)折后可得到1條折痕

（圖中虛線），第二次對(duì)折后可得到3條折痕，第三次對(duì)折后得到7條折痕那么第7次對(duì)折后得到的折

痕比第5次對(duì)折后得到的折痕多____條.

iiiiiiiiiii

iiiiiiiiiii

iiiiiiiiiii

iiiiiiiiiii

iiiiiiiiiii

第一次對(duì)折第二次對(duì)折第三次對(duì)折

【答案】96

【解析】根據(jù)題意可知，第w次折疊可得到(2"-1)條折痕，則第7次的折痕有27-1=127,第5次的折痕

有25-1=31,

V127-31=96,

...第7次對(duì)折后得到的折痕比第5次對(duì)折后得到的折痕多96條，故答案為：96.

8.觀察下列圖形：根據(jù)圖形的變化規(guī)律，第100個(gè)圖形共有一個(gè)點(diǎn).

(1)(2)(3)(4)(5)???(?)

【答案】9901

【解析】???第一個(gè)圖形只有一個(gè)中心點(diǎn)；

第二個(gè)圖形一個(gè)中心點(diǎn)，兩條邊，每邊一個(gè)點(diǎn)；

第三個(gè)圖形一個(gè)中心點(diǎn)，三條邊，每邊兩個(gè)點(diǎn)；

第四個(gè)圖形一個(gè)中心點(diǎn)，四條邊，每邊三個(gè)點(diǎn)；

依次類推，第"個(gè)圖形一個(gè)中心點(diǎn)，"條邊，每邊有〃-1個(gè)點(diǎn)，

???第〃個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為〃(〃-1)+1,

.?.當(dāng)〃=100時(shí)，點(diǎn)的個(gè)數(shù)為100x99+1=9901,故答案為9901.

9.你玩過“數(shù)字黑洞”的游戲嗎？下面我們就來玩一種數(shù)字游戲，它可以產(chǎn)生“黑洞數(shù)”，操作步驟如下：第

一步，任意寫出一個(gè)自然數(shù)(以下稱為原數(shù))；第二步，再寫出一個(gè)新的三位數(shù)，它的百位數(shù)字是原數(shù)中偶數(shù)

數(shù)字的個(gè)數(shù)，十位數(shù)字是原數(shù)中奇數(shù)數(shù)字的個(gè)數(shù)，個(gè)位數(shù)字是原數(shù)的位數(shù)；以下每一步，都對(duì)上一步得到

的數(shù)按照第二步的規(guī)則繼續(xù)操作，直至這個(gè)數(shù)不再變化為止.不管你開始寫的是一個(gè)什么數(shù)，幾步之后變

成的自然數(shù)總是相同的，最后這個(gè)總相同的數(shù)就稱為“黑洞數(shù)”.請(qǐng)你以20221019為例進(jìn)行嘗試：這個(gè)數(shù)字

游戲的“黑洞數(shù)”是.(零作為偶數(shù))

【答案】123

【解析】由題意知，20221019,

第一步：538,

第二步：123,

第三步：123,

故黑洞數(shù)字為：123,故答案為：123

10.如圖是某月的月歷.

星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

12345

6789101112

13141516171819

20212223242526

27282930

(1)十字框中的五個(gè)數(shù)的和與中間數(shù)16有什么關(guān)系？

(2)若將十字框上、下、左、右平移，可框住另外五個(gè)數(shù)，設(shè)中間數(shù)為a,這五個(gè)數(shù)還有這種規(guī)律嗎？若有請(qǐng)

證明，若沒有請(qǐng)說明理由.

【解析】(1)解：9+15+16+17+23=80,

80+5=16,

所以十字框中的五個(gè)數(shù)的和與中間數(shù)16的關(guān)系是80+5=16；

(2)解：設(shè)中間數(shù)為a,那么a的上方的數(shù)是a-7,a的左邊的數(shù)是,a的右邊的數(shù)是a+1,a的下方

的數(shù)是a+7,

這五個(gè)數(shù)的和是a-7+a—l+a+a+l+a+7=5a,

5a+5=a,

所以十字框中的五個(gè)數(shù)的和+5=中間數(shù).

W能力培優(yōu)練

11.等邊AABC在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A、C對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為0和-1,若AABC繞著頂點(diǎn)順時(shí)針方向

在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)為1;則翻轉(zhuǎn)100次后，點(diǎn)2所對(duì)應(yīng)的數(shù)是()

B

-5-4-3-2-1012345

A.99B.100C.101D.103

【答案】B

【解析】如圖，每3次翻轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，

BCAB

「「，一

-5-4-3-2-1012345

V1004-3=33……1,

...翻轉(zhuǎn)100次后點(diǎn)8在數(shù)軸上，

.?.點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是33x3+1=100.故選B.

12.觀察圖中正方形四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律，可知數(shù)2022應(yīng)標(biāo)在()

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè)

正方形正方形正方形正方形

A.第506個(gè)正方形的左下角B.第506個(gè)正方形的右上角

C.第505個(gè)正方形的右上角D.第505個(gè)正方形的左下角

【答案】B

【解析】???2022=4x505…2,.?.數(shù)2022應(yīng)標(biāo)在第506個(gè)正方形的右上角，故選B.

13.察圖中每一個(gè)圓中各點(diǎn)處所標(biāo)數(shù)字的規(guī)律，2021應(yīng)標(biāo)在（）

C.第506個(gè)圓的“A”點(diǎn)處D.第505個(gè)圓的點(diǎn)處

【答案】B

【解析】由圖可知，每個(gè)圓上有四個(gè)數(shù)字，且是按逆時(shí)針排序的,

因?yàn)?021+4=505…1,

所以2021是第506個(gè)圓上最小的數(shù),

第1個(gè)圖形中最小的數(shù)在A處，

第2個(gè)圖形中最小的數(shù)在2處，

第3個(gè)圖形中最小的數(shù)在C處，

第4個(gè)圖形中最小的數(shù)在。處，

第5個(gè)圖形中最小的數(shù)在A處，

所以依此類推，每4個(gè)圖形為一組依次循環(huán)，

506+4=126…2,

所以2021在第506個(gè)圓的點(diǎn)處.故選B.

14.如圖是一組有規(guī)律的圖案，第①個(gè)圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第②個(gè)圖案由7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成,

設(shè)第〃（?是正整數(shù)）個(gè)圖案是由y個(gè)基礎(chǔ)圖形組成的，則y與〃之間的關(guān)系式是.

①②③

【答案】y=3〃+l

【解析】第①個(gè)圖案中，基礎(chǔ)圖形的個(gè)數(shù)是4=3xl+l,

第②個(gè)圖案中，基礎(chǔ)圖形的個(gè)數(shù)是7=3x2+l,

第③個(gè)圖案中，基礎(chǔ)圖形的個(gè)數(shù)是10=3x3+1,

歸納類推得：第〃(〃是正整數(shù))個(gè)圖案中，基礎(chǔ)圖形的個(gè)數(shù)是初+1,即>=3〃+1,故答案為：y=3n+X.

【解析】根據(jù)題意可得：2/?=20,解得：^=10,

??.。=j=10—1=9,???x=20b+4=200+9=209,故答案為：9,10,209.

16.如圖，將一串有理數(shù)按一定規(guī)律排列，探索下列問題：

—14—a—58―a—9A—aB???

JtItJtit

2―?—36->—710-????C-?D

(1)在A處的數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？

(2)負(fù)數(shù)排在A,B,C,。中的什么位置？

(3)第2021個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？排在對(duì)應(yīng)于A,B,C,。中的什么位置？

【解析】(1)解：A處是向上箭頭對(duì)應(yīng)的數(shù)，與4、8對(duì)應(yīng)，

則在A處的數(shù)是正數(shù)；

(2)根據(jù)前面的數(shù)字可得，除1外，向右的箭頭對(duì)應(yīng)的數(shù)為負(fù)數(shù)，

在A,B,C,。中3,。是向右的箭頭對(duì)應(yīng)的數(shù)，

即負(fù)數(shù)排在3,D位置;

(3)根據(jù)前面的數(shù)據(jù)可得，奇數(shù)為負(fù)數(shù)，偶數(shù)為正數(shù)，且4與4對(duì)應(yīng)，8與-5對(duì)應(yīng)，C與6對(duì)應(yīng)，。與-7

對(duì)應(yīng)，依次循環(huán)，

2021為奇數(shù)，則2021+4=505……1,排在8對(duì)應(yīng)的位置，

答:第2021個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，排在排在B對(duì)應(yīng)的位置.

17.如圖，從左向右依次擺放序號(hào)分別為1,2,3,……，w的小桶，其中任意相鄰的四個(gè)小桶所放置的小

球數(shù)之和相等.

(i)x+y=.

(2)若”=30,則這些小桶內(nèi)所放置的小球數(shù)之和是多少？

(3)用含左a為正整數(shù))的代數(shù)式表示裝有“2個(gè)球”的小桶序號(hào)為.

【解析】(1)解：：任意相鄰的四個(gè)小桶所放置的小球數(shù)之和相等，

5+2+3+4=3+4+%+y,

x+y=79

故答案為：7；

(2)解：由(1)可知，5,2,3,4四個(gè)數(shù)循環(huán)出現(xiàn)，

,/30+4=7.......2,

???第30個(gè)桶的數(shù)與第2個(gè)桶的數(shù)相同，

/.(5+2+3+4)x7+(5+2)=105,

.?.這些小桶內(nèi)所放置的小球數(shù)之和是105；

(3)解：裝有“2個(gè)球”的小桶序號(hào)分別為2,6,10,……,4/7-2,

故答案為：4n-2.

18.如圖，每個(gè)小正方形的面積均為1.將左圖中黑色的小正方形移動(dòng)，得到右邊拼成的長(zhǎng)方形，根據(jù)兩種

圖形方法計(jì)算小正方形的個(gè)數(shù)；如圖得出以下等式：

第1個(gè)等式：2+4=2X3

⑴請(qǐng)寫出第3個(gè)等式：；

(2)猜想第“個(gè)等式為：(用含〃的等式表示)；

(3)當(dāng)"為多少時(shí)，左圖中的最底端有2024個(gè)小正方形？此時(shí)左圖中共有多少個(gè)小正方形？

【解析】(1)解：2+4+6+8=4x5；

(2)解：2+4+6H-----1-2(n+1)=(H+l)(/z+2)；

(3)解：因?yàn)樽畹锥擞?024個(gè)小正方形，所以2(〃+1)=2024,

解得：〃

所以2+4+6+…+2024=1012x1013=1025156(個(gè))，

答：?=1011,共有1025156個(gè)小正方形.

19.如下表，從左邊第1個(gè)格子開始依次在每個(gè)格子中填入一個(gè)正整數(shù)，第1個(gè)格子填入%,第2個(gè)格子

填入。2,第3個(gè)格子填入％，…，第〃個(gè)格子填入以此類推，表中任意4個(gè)相鄰格子中所填正整數(shù)之

和都相等，其中囚=1,%=3.

a

a2a3%n

(1)右％=5,=7,貝I%=；a2022=；

(2)若%+%=8,求表中前100個(gè)數(shù)的和；

⑶將表中前2022個(gè)數(shù)的和記為S,若|3-%-%|=8,求S的值.

【解析】(1)???表中任意4個(gè)相鄰格子中所填正整數(shù)之和都相等,

q+a2+氣+%=a?+q+%+4，

%=%=1,

???表格中從左向右每4個(gè)數(shù)字一個(gè)循環(huán)，

/.2022+4=505...2,

一S2022-a2—3.

故答案為：1;3；

(2),??表格中從左向右每4個(gè)數(shù)字一個(gè)循環(huán)，

，100+4=25,

前100個(gè)數(shù)的和：

I+^^3+???+QQ

—25(q+4+4+%)

=25x(1+3+8)

=300,

???前100個(gè)數(shù)的和為：300

(3)13—%—為|=8,

/.3—%—%=—%一%=—8,

%+線=11—5,

???即q均為正整數(shù)，

.?.%+線=11，

??,任意4個(gè)相鄰格子中所填正整數(shù)之和都相等，

.??前2022個(gè)數(shù)的和：

S=505(芻+“2+4+4)+4+，2

又q+%+”5+4=%+“5+4+ai

..@3=@7，

同理：。4=。8，

.，.％+%=%+線=11，

S—505(氣+4+4+”4)+4+4

=505x(1+3+11)+1+3

=505x15+4

=7579，

S=7579.

W3拓展突破練

20.已知加22,n>2,且根，〃均為正整數(shù)，如果將/進(jìn)行如圖所示的“分解”，那么下列四個(gè)敘述中：①

在25的“分解”中最大的數(shù)是11；②在43的“分解”中最小的數(shù)是13；③若4的“分解，，中最大的數(shù)是29,則

m=5；④若3"的“分解”中最小的數(shù)是79,則〃=5；正確的有()

/1

“32(3

2《、

,3/7

23<"33<9

2y725

、93，《?27

、29

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】①在25的“分解”中，最大的數(shù)是25T+1=17,故該項(xiàng)錯(cuò)誤；

②若在43的“分解”中最小的數(shù)是13,則其他三個(gè)數(shù)為15,17,19,這四個(gè)數(shù)的和為64,恰好為43,故該項(xiàng)

正確；

③若m=5,由加的，，分解，，中最大的數(shù)是29,可知其余四個(gè)數(shù)為21,23,25,27,這五個(gè)數(shù)的和為125,

是53,故該項(xiàng)正確；

④若3"的“分解”中最小的數(shù)是3"1-2=79,則〃=5,故該項(xiàng)正確；

綜上分析可知正確共3個(gè)，故C正確.故選C.

21.將邊長(zhǎng)為1的正方形紙片按如圖1所示的方法進(jìn)行對(duì)折，記第一次對(duì)折后得到的圖形面積為S/,第2

次對(duì)折后得到的圖形面積為S2,…，第”次對(duì)折后得到的圖形面積為請(qǐng)根據(jù)圖2化簡(jiǎn)

r+邑+$3+…+$2014=()

20152014

【答案】C

1111

【解析】觀察發(fā)現(xiàn)S1+S2+S3+…+邑014——I-----1------F,??+故選C.

248產(chǎn)

22.英語字母表中的字母排列順序是：a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,I,m,n,o,p,

4,r,S,t,U,V,w,X,y,Z,若尾字母z的后面又接上首字母”，則可將26個(gè)字母排成一個(gè)循環(huán)

圓圈，現(xiàn)給定一個(gè)破譯密碼“x+3”（其中x代表字母表中的任意一個(gè)字母，+3表示將該字母換成向后移動(dòng)3

位所得到的字母），就可以將“暗語”破譯成“明語”，如“暗語”也。可通過破譯密碼“x+3”破譯成“明語”"s,

則利用該破譯密碼對(duì)“暗語”46xzeZ?。破譯正確的“明語”是（）

A.tuesdayB.subjectC.teacherD.twelfth

【答案】c

【解析】由題意可知:

字母q通過破譯密碼“x+3”，向后移動(dòng)3位所得到對(duì)應(yīng)字母為：/；

字母b通過破譯密碼“x+3”,向后移動(dòng)3位所得到對(duì)應(yīng)字母為:

字母x通過破譯密碼“x+3”,向后移動(dòng)3位所得到對(duì)應(yīng)字母為:a.

字母z通過破譯密碼“X+3”,向后移動(dòng)3位所得到對(duì)應(yīng)字母為:c■

字母e通過破譯密碼“x+3”,向后移動(dòng)3位所得到對(duì)應(yīng)字母為:h;

字母b通過破譯密碼“x+3”,向后移動(dòng)3位所得到對(duì)應(yīng)字母為:

字母。通過破譯密碼“x+3”,向后移動(dòng)3位所得到對(duì)應(yīng)字母為:

二破譯正確的"明語”是：teacher,故選C.

23.一只小球落在數(shù)軸上的某點(diǎn)乙，第一次從1向左跳1個(gè)單位到《，第二次從月向右跳2個(gè)單位到鳥,

第三次從鳥向左跳3個(gè)單位到A,第四次從巴向右跳4個(gè)單位到《……若按以上規(guī)律跳了100次時(shí)，它落

在數(shù)軸上的點(diǎn)見。所表示的數(shù)恰好是2021,則這只小球的初始位置點(diǎn)4所表示的數(shù)是（）

A.1971B.1970C.-1971D.-1970

【答案】A

【解析】設(shè)這只小球的初始位置點(diǎn)1所表示的數(shù)是。,

則6表示的數(shù)是。-1,

巴表示的數(shù)是。+1,

G表示的數(shù)是。-2,

A表示的數(shù)是a+2,

二%表示的數(shù)是a+50,

???點(diǎn)片oo所表示的數(shù)恰好是2021,

.?.a+50=2021,解得a=1971,故選A.

24.定義一種關(guān)于整數(shù)”的"尸’運(yùn)算：（1）當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3〃+5；（2）當(dāng)"是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果是爰

（其中女是使學(xué)是奇數(shù)的正整數(shù)）,并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行.例如：取〃=58,第一次經(jīng)尸運(yùn)算是29,第二次

經(jīng)尸運(yùn)算是92,第三次經(jīng)尸運(yùn)算是23,第四次經(jīng)廠運(yùn)算是74,……；若〃=9,則第2020次運(yùn)算結(jié)果是（）

A.1B.2C.7D.8

【答案】A

32

【解析】由題意〃=9時(shí)，第一次經(jīng)F運(yùn)算是3x9+5=32,第二次經(jīng)F運(yùn)算是1r=1,第三次經(jīng)廠運(yùn)算是

Q

3xl+5=8,第四次經(jīng)/運(yùn)算是戲=1,L；

從第二次開始出現(xiàn)1、8循環(huán)，奇數(shù)次是8,偶數(shù)次是1,

.?.第2020次運(yùn)算結(jié)果1,故選A.

25.（1）觀察下列圖形與等式的關(guān)系，并填空：

o

@(1+2+3)+(1+3+5+7)=-(42+42+4X3)

OOOO

OOOO

OOOO

OOOO

OOOO

(2)歸納上述圖形變化規(guī)律:

(1+2+3+...+〃-1)+(1+3+5+?-+2〃—1)=—[」=

(3)根據(jù)上述結(jié)論計(jì)算:1+2+3+……+98+99+1+3+5+……+197+199=

【解析】(1)由前四個(gè)規(guī)律可得：@(H-2+3+4)+(1+3+5+7+9)=|(52+52+5X4)

(2)由(1)中規(guī)律可得:

,22(3幾2一幾

(l+2+3+...+n-l)+(l+3+5+...+2n-l)=-[.n+n+n(n-l)J=——-——

(3)由題意可知〃=99+1=100,

故:1+2+3+……+98+99+1+3+5+……+197+199=3x100~10°=14950.

2

26.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過，“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非”，數(shù)形結(jié)合的思想方法在數(shù)學(xué)中

應(yīng)用極為廣泛.觀察下列按照一定規(guī)律堆砌的鋼管的橫截面圖:

30

用含n的式子表示第"個(gè)圖的鋼管總數(shù).

【分析思路】

圖形規(guī)律中暗含數(shù)字規(guī)律，我們可以采用分步的方法，從圖形排列中找規(guī)律；把圖形看成幾個(gè)部分的組合,

找到每一部分對(duì)應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，進(jìn)而找到整個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的數(shù)字規(guī)律.

如：要解決上面問題，我們不妨先從特例入手(統(tǒng)一用E,表示第w個(gè)圖形鋼管總數(shù)).

【解決問題】

(1)如圖，如果把每個(gè)圖形按照它的行來分割觀察，你發(fā)現(xiàn)了這些鋼管的堆砌規(guī)律了嗎？像〃=1,77=2,〃=3

的情形那樣，在所給橫線上，請(qǐng)用數(shù)學(xué)算式表達(dá)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

30

18

9

,000、

,00、

CJJUOUUUUCXJ

n=2n=3

S1=1+2,S2=2+3+4,83=3+4+5+6,S4=.

(2)其實(shí)，對(duì)同一個(gè)圖形，我們的分析眼光可以是不同的.請(qǐng)你像(1)那樣對(duì)每一個(gè)所給圖形添加分割線,

提供與(1)不同的分割方式；并在所給橫線上，請(qǐng)用數(shù)學(xué)算式表達(dá)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：

(3)用含n的式子列式，并計(jì)算第〃個(gè)圖的鋼管總數(shù)為

【解析】(1)解：由題意得：S&=4+5+6+7+8,

故答案為：4+5+6+7+8;

(2)如圖，

Sj=1+2；邑=1+2+3+3；S3=1+2+3+4+4+4；邑=1+2+3+4+5+5+5+5,

故答案為：1+2,1+2+3+3,1+2+3+4+4+4,1+2+3+4+5+5+5+5；

(3)VS,=1+2:

邑=1+2+3+3；

S3=1+2+3+4+4+4；

S4=1+2+3+4+5+5+5+5,

./、n(n+i)/\3/、

??Sn=1+2+3+…+1)=---+n^n+1)=+,

3

故答案為：-?(?+1).

27.如圖所示，是由若干棱長(zhǎng)相同的小正方體疊成的幾何體.第1個(gè)幾何體由1個(gè)小正方體疊成，第2個(gè)

幾何體由4個(gè)小正方體疊成，第3個(gè)幾何體由10個(gè)小正方體疊成，……

請(qǐng)你解決以下問題：

(1)按此規(guī)律，第4個(gè)幾何體由個(gè)正方體疊成;

⑵為了方便表述，我們記第〃個(gè)幾何體由〃〃個(gè)小正方體疊成(其中〃=1,2,3,…)，貝IJ%-4=

一1111

(3)求值：ZZ+…+?

d?6-ZjCI3Cl2^^4^^3^^2023—“2022

【解析】(1)解：由題意可知，

第1個(gè)幾何體由1個(gè)小正方體疊成；

第2個(gè)幾何體由4個(gè)小正方體疊成，即1+3=4：

第3個(gè)幾何體由10個(gè)小正方體疊成，即1+3+6=10；

按此規(guī)律，第4個(gè)幾何體由1+3+6+10=20個(gè)正方體疊成，

故答案為：20；

(2)解：由題意可知，4=1,“2=4,。3=1°，。4=20,

=4-1=3；a3—a2=10—4=6；a4—a3=20—10=10,

故答案為：3,6,10；

(3)解：通過觀察發(fā)現(xiàn)，&-4=3=1+2；/—%=6=1+2+3；6r4-a3=10=1+2+3+4,

(1計(jì)1—cin=1+2+3+.......+〃+1

-,+-1-+L+1

出一Q]%一〃4一“2023—02022

---------1-----------------1----------------------F...H------------------------------------

1+21+2+31+2+3+41+2+3+...+2023

1112

二一+一+——+...+

36102023x2024

1

=2x|-------1--------1-------F...+

(2x33x44x52023x2024

11111

—I——I——F…+

33445

11

=2x

2-2024

_1011

一1012

28.提出問題：有12個(gè)相同的長(zhǎng)方體紙盒，它們的長(zhǎng)、寬、高分別是4、3、5,現(xiàn)要用這12個(gè)紙盒搭成一

個(gè)大長(zhǎng)方體，怎樣搭可使長(zhǎng)方體的表面積最?。?/p>

分析問題：對(duì)于這種問題，我們一般采用復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的策略，進(jìn)行由特殊到一般的探究.

探究一：我們以兩個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是4、3、5的長(zhǎng)方體為例進(jìn)行分析.我們發(fā)現(xiàn)，無論怎樣放置這兩個(gè)

長(zhǎng)方體紙盒，搭成的大長(zhǎng)方體體積都不變，但是由于擺放位置的不同，它們的表面積會(huì)發(fā)生變化，經(jīng)過操

作，發(fā)現(xiàn)共有3種不同的擺放方式，如圖所示.

圖1圖2圖3

(1)請(qǐng)計(jì)算圖1、圖2、圖3中的拼成的新的大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高及其表面積，并填充下表:

長(zhǎng)(cm)寬(cm)高(cm)表面積(cm2)

圖1546148

圖21043164

圖3583—

根據(jù)上表可知，表面積最小的是____________所示的長(zhǎng)方體.(填“圖1”、“圖2”、“圖3”)

(2)探究二：有4個(gè)相同的長(zhǎng)方體紙盒，它們的長(zhǎng)、寬、高分別是5、4、3,現(xiàn)要用這4個(gè)紙盒搭成一個(gè)大長(zhǎng)

方體，怎樣搭可使長(zhǎng)方體的表面積最??？

先畫出各種擺法的示意圖，再根據(jù)各自的表面積得到最小擺法，是一種常規(guī)的方法，但比較耗時(shí)，也不方

便，可以按照下列思路考慮:

在圖1的基礎(chǔ)上繼續(xù)擺,要使表面積小，就要重疊大面，得到5x8x6的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積為

在圖2的基礎(chǔ)上繼續(xù)擺,要使表面積小，就要重疊大面，得到10x4x6的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積為

在圖3的基礎(chǔ)上繼續(xù)擺,要使表面積小，就要重疊大面，得到5x8x6的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積為

綜上所述，有4個(gè)相同的長(zhǎng)方體紙盒，它們的長(zhǎng)、寬、高分別是5、4、3,要用這4個(gè)紙盒搭成一個(gè)大長(zhǎng)方

體的表面積最小為.

(3)探究三：我們知道，在體積相同的前提下，正方體的表面積最小，所以我們可以盡可能地使所搭成的幾

何體為正方體或接近正方體，我們還可以這樣思考：

將4分解質(zhì)因數(shù)，得到1x1x4,或1x2x2兩種情況，通過與小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高5x4x3進(jìn)行組合：

在L=5xl=5,K=4x2=8,"=3x2=6時(shí)，搭成的LxKx”的大長(zhǎng)方體最接近正方體，此時(shí)表面積最小，

表面積為2(LXK+KX"+LX")=(直接寫出結(jié)果).

類比應(yīng)用：請(qǐng)你仿照探究三的解題思路，解答開始提出的問題：

有12個(gè)相同的長(zhǎng)方體紙盒，它們的長(zhǎng)、寬、高分別是4、3、5,現(xiàn)要用這12個(gè)紙盒搭成一個(gè)大長(zhǎng)方體，怎

樣搭可使長(zhǎng)方體的表面積最小？

拓展延伸：將168個(gè)棱長(zhǎng)為1cm的小正方體，拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，使得長(zhǎng)方體的表面積達(dá)到最小，這個(gè)表面積

是cm2.

【解析】(1)解：?.?2X(5X8+8X3+5X3)=158,

...圖1表面積最小，

故答案為：158,圖1；

(2)解：?.,2x(5x6+6x8+5x8)=236,

2x(10x4+4x6+10x6)=248,

2x(5x8+8x6+5x6)=236,

二大長(zhǎng)方體的表面積最小為236,

故答案為：236,248,236,236；

(3)解:v2x(5x8+8x6+5x6)=236,

故答案為：236；

類比應(yīng)用：由探究三可得：

當(dāng)L=5x2=10,K=4x2=8,"=3x3=9時(shí)，達(dá)成的LxKxH的大長(zhǎng)方體最接近正方體，此時(shí)表面積最小

為：2x(10x8+8x9+10x9)=484；

拓展延伸：?.?168=2x2x2x3x7,

.,.當(dāng)L=4,K=6,"=7時(shí)，達(dá)成的LxKx”的大長(zhǎng)方體最接近正方體，此時(shí)表面積最小為：

2x(4x6+6x7+4x7)=188,

故答案為：188.

29.問題探究：

如圖1,2個(gè)角的各邊相交，第2個(gè)角的每條邊最多會(huì)與第1個(gè)角的2條邊新產(chǎn)生2個(gè)交點(diǎn)，所以共有

2x2=4xl=4個(gè)交點(diǎn)；

如圖2,3個(gè)角的各邊相交，第3個(gè)角的每條邊最多會(huì)與前面2個(gè)角的4條邊新產(chǎn)生4個(gè)交點(diǎn)，所以共有

2x2+4x2=4x(l+2)=12個(gè)交點(diǎn)；

若4個(gè)角的各邊相交，第4個(gè)角的每條邊最多會(huì)與前面3個(gè)角的6條邊新產(chǎn)生6個(gè)交點(diǎn)，所以共有

2x2+4x2+6x2=4x(l+2+3)=24個(gè)交點(diǎn)；

圖1圖2

⑴若5個(gè)角的各邊相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？(仿照上面的“問題探究”中的方法，寫出必要的探究過程)

(2)直接寫出10個(gè)角的各邊相交，最多共有個(gè)交點(diǎn)；

(3)直接寫出〃個(gè)角的各邊相交，最多共有個(gè)交點(diǎn)(用含〃的代數(shù)式表示).

【解析】(1)解：若5個(gè)角的各邊相交，第5個(gè)角的每條邊最多會(huì)與前面4個(gè)角的8條邊新產(chǎn)生8個(gè)交點(diǎn),

所以共有2x2+4x2+6x2+8x2=4x(l+2+3+4)=40個(gè)交點(diǎn)；

???若5個(gè)角的各邊相交，最多有40個(gè)交點(diǎn)；

(2)解：，.?2個(gè)角的各邊相交，最多有2x2=4xl=4個(gè)交點(diǎn)；

3個(gè)角的各邊相交，最多有2x2+4x2=4x(l+2)=12個(gè)交點(diǎn)；

4個(gè)角的各邊相交，最多有2x2+4x2+6x2=4x(l+2+3)=24個(gè)交點(diǎn)；

5個(gè)角的各邊相交，最多有2x2+4x2+6x2+8x2=4x(l+2+3+4)=40個(gè)交點(diǎn)；

???〃個(gè)角的各邊相交，最多有4x(l+2+3+4+5+…+〃-1)個(gè)交點(diǎn)，

，10個(gè)角的各邊相交，最多共有4x(l+2+3+4+5+6+7+8+9)=180個(gè)交點(diǎn),

故答案為：180；

(3)解：〃個(gè)角的各邊相交，最多共有交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：

4x[l+2+3+4+5++(w—1)]=4xI?T)+J"-D=—1)=Q/—2”)個(gè),

n個(gè)角的各邊相交，最多共有(2/-2”)個(gè)交點(diǎn)，

故答案為：2rr-2n.

wa仿真考場(chǎng)練

30.(2023?黑龍江牡丹江?統(tǒng)考中考真題)觀察下面兩行數(shù)：

1,5,11,19,29,…

1,3,6,10,15,…取每行數(shù)的第7個(gè)數(shù)，計(jì)算這兩個(gè)數(shù)的和是()

A.92B.87C.83D.78

【答案】C

n2+n

【解析】第一行的數(shù)字規(guī)律為：n2+n-l,第二行的數(shù)字規(guī)律為:

2

，第一行的第7個(gè)數(shù)字為：72+7-1=55,第二行的第7個(gè)數(shù)字為：△==28,

2

廠.55+28=83,

故選C.

31.（2023?四川綿陽?統(tǒng)考中考真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“?”和線段按照一定規(guī)律擺成以下

圖形，第1幅圖形中"?”的個(gè)數(shù)為外,第2幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為出，第3幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為生，…，以

1111

此類推，那么一+—+—+???+—的值為（）

axa2a3a19

?心$〉中卜…

第1幅圖第2幅圖第3幅圖第4幅圖

,20「61-589-431

A?—B.—C.D.

2184840760

【答案】C

【解析】q=3=1?3,

出=8=2?4,

%=15=3?5,

a4=24=4?6,

q二〃（〃+2）；

1111

...—+—+—+???+----

?4a2a3ai9

11111

—++++,,,+

1x32x43x54x619x21

1^111111111）

—1++++…+

32435461921J

2（22021J

589

"840'

故選：C.

20

32.（2023?湖南常德?統(tǒng)考中考真題）觀察下邊的數(shù)表（橫排為行，豎排為列）按數(shù)表中的規(guī)律，分?jǐn)?shù)備

若排在第。行b列，則的值為（）

1

T

12

2-1-

123

-32-1-

1234

4-3-2-1-

A.2003B.2004C.2022D.2023

【答案】C

【解析】觀察表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)的分子是幾，則必在第幾列；只有第一列的分?jǐn)?shù)，分母與其所在行數(shù)

一致，故熹20在第20列，即6=20；向前遞推到第1列時(shí)，分?jǐn)?shù)20-19為1故分?jǐn)?shù)2熹0與分?jǐn)?shù)

20232023+1920422023

國在同一行.即在第2042行，則。=20