第56講二項(xiàng)分布與超幾何分布

鏈教材夯基固本

激活思維

1.（人A選必三P76練習(xí)Tl（2））將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次，X表示“正面朝

上”出現(xiàn)的次數(shù)，則￡（為=2,。⑶=」一.

【解析】一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲一次正面朝上的概率為A且每次是否正面朝上相互

2

獨(dú)立，所以X-BB，J,所以E（X）=4xg=2,D（^）=4X^x1=l,

2.（人A選必三P74例1改）將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，則恰好出現(xiàn)5次

正面朝上的概率是_警_.

256

【解析】設(shè)事件/="正面朝上”，則尸（/）=0.5.用X表示事件N發(fā)生的次數(shù)，則X?

3（10,0.5）,恰好出現(xiàn)5次正面朝上等價(jià)于X=5,于是尸（*=5）=00義0.51。=互-=可.

1024256

3.（人A選必三P80練習(xí)T1）一箱24罐的飲料中4罐有獎(jiǎng)券，每張獎(jiǎng)券獎(jiǎng)勵(lì)飲料一罐.從

中任意抽取2罐，則這2罐中有獎(jiǎng)券的概率是—.

"138"

【解析】因?yàn)橐幌?4罐的飲料中4罐有獎(jiǎng)券，所以無獎(jiǎng)券的有20罐.從24罐中任意

抽取2罐，有C%=276（種）結(jié)果，且它們是等可能的，其中抽取的2罐均無獎(jiǎng)券，有C%=

190（種），所以這2罐中有獎(jiǎng)券的概率為尸=1一譬=1一粵=￡.

C24276138

4.（人A選必三P80練習(xí)T2）學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會(huì)，已知有4

名候選人來自甲班.假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會(huì)被選到，則甲班恰有2名同學(xué)被選到的

概率是至.

"165"

【解析】總共有C%種選法，甲班有4名候選人，選擇2名甲班同學(xué)和2名別班同學(xué)

的選法種數(shù)為Cid,則甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率為個(gè)=里.

Ch165

5.（人A選必三P80習(xí)題T2）若某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.9,每次射擊的結(jié)果

相互獨(dú)立，則在他連續(xù)4次的射擊中，恰好有一次未擊中目標(biāo)的概率是」）.2916.

【解析】設(shè)事件/=“恰好有一次未擊中目標(biāo)”，則尸⑷=€4X0.93X（1—0.9）=0.291

6.

聚焦知識(shí)

一、二項(xiàng)分布

1.伯努利試驗(yàn)

只包含.兩個(gè).可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n

次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為《重伯努利試驗(yàn).

2.二項(xiàng)分布

一般地，在〃重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件/發(fā)生的概率為p(O<p<l),用X

表示事件/發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為尸(X=AO=C/A(1—p)"F,4=0,1,2,…，".如果

隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X?B(〃，.

3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差

(1)若隨機(jī)變量x服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=p,rw=P(1—D).

(2)若子?取”，p),貝U￡(田=_型_,D(X)=np(1—z?).

二、超幾何分布

1.定義：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取

n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，那么X的分布列為P(X=k)=￥^^_,

k=m,冽+1,m+2,…，r,其中〃，N,MSN,nWN,m=max{0,n—N~\~M},

r=min{H,M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何

分布.

2.超幾何分布的均值與方差(*)

(1)均值：根據(jù)均值的計(jì)算公式，當(dāng)X?H(n,M,2V)時(shí)，E(X)=^mkPk=J^_,其中r

=min{〃，M}.

(2)方差：。⑶=

M(N—1)

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說法

目幀U二項(xiàng)分布

例1(2024?威海二模)市場(chǎng)供應(yīng)的某種商品中，甲廠產(chǎn)品占60%,乙廠產(chǎn)品占40%,甲

廠產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為90%,乙廠產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為65%.現(xiàn)有某質(zhì)檢部門

對(duì)該商品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè).

(1)若質(zhì)檢部門在該市場(chǎng)中隨機(jī)抽取1件該商品進(jìn)行檢測(cè)，求抽到的產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)

的概率；

【解答】記質(zhì)檢部門在該市場(chǎng)中隨機(jī)抽取1件該商品進(jìn)行檢測(cè)，抽到的產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀

等級(jí)為事件/,則=60%X90%+40%X65%=80%=|.

(2)若質(zhì)檢部門在該市場(chǎng)中隨機(jī)抽取4件該商品進(jìn)行檢測(cè)，設(shè)抽到的產(chǎn)品中能達(dá)到優(yōu)秀

等級(jí)的件數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【解答】由(1)可知每件產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率均為:故X?BB'3,X=0,1,2,

3,4,所以尸(X=O)=Cg@J-J1」，”=1)=/并可=-,尸(X=2)

625625

,P(X=4)=C，[f)[l-|12|6故x的

296=

=氏，尸(x=3)=a

OZJ625625

分布列為

X01234

11696256256

P

625625625625625

E(X)=OX—+1X—+2X—+3X—+4X-=—

6256256256256255

＜總結(jié)提煉A

(1)在求"次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生左次的概率時(shí)，首先要確定好〃和左的值，

再準(zhǔn)確利用公式求概率；(2)在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問題時(shí)，關(guān)鍵是理清事

件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)"和變量的概率，從而求得概率.

目幀自超幾何分布

例2(2024?聊城二模)某即時(shí)配送公司為更好地了解客戶需求，優(yōu)化自身服務(wù)，提高客

戶滿意度，在其，，8兩個(gè)分公司的客戶中各隨機(jī)抽取10位客戶進(jìn)行了滿意度評(píng)分調(diào)查(滿

分100分)，評(píng)分結(jié)果如下：

分公司Z：66,80,72,79,80,78,87,86,91,91.

分公司B：62,77,82,70,73,86,85,94,92,89.

(1)求抽取的這20位客戶評(píng)分的第一四分位數(shù)；

【解答】將抽取的這20位客戶的評(píng)分從小到大排列為：62,66,70,72,73,77,78,

79,80,80,82,85,86,86,87,89,91,91,92,94.因?yàn)?0X25%=5,所以抽取的這

20位客戶評(píng)分的第一四分位數(shù)為73+77=75.

2

(2)規(guī)定評(píng)分在75分以下的為不滿意，從上述不滿意的客戶中隨機(jī)抽取3人繼續(xù)溝通

不滿意的原因及改進(jìn)建議，設(shè)被抽到的3人中分公司8的客戶人數(shù)為X,求X的分布列和

數(shù)學(xué)期望.

【解答】由已知得，分公司/中75分以下的有66分，72分；分公司8中75分以下

的有62分，70分，73分，所以上述不滿意的客戶共5人，其中分公司/中2人，分公司2

中3人.所以X的所有可能取值為1,2,3.P(X=1)=邛=a~,P(X=2)=叼=3,P(X

105

=3)=?=-,所以X的分布列為

CS10

X123

331

P

10510

數(shù)學(xué)期望E（X）=IX3+2X3+3XL=9.

105105

，總結(jié)提煉A

在〃次試驗(yàn)中，某事件/發(fā)生的次數(shù)X可能服從超幾何分布或二項(xiàng)分布.

①當(dāng)這〃次試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)（如有放回摸球），X服從二項(xiàng)分布；

區(qū)別

②當(dāng)〃次試驗(yàn)不是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)（如不放回摸球），X服從超幾何分布

在不放回"次試驗(yàn)中，如果總體數(shù)量N很大，而試驗(yàn)次數(shù)〃很小，此時(shí)

聯(lián)系

超幾何分布可近似轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)分布

變式2某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，對(duì)該流水線上的產(chǎn)品進(jìn)行

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：

分組區(qū)間[490,(495,(500,(505,(510,

（單位：克）495]500]505]510]515]

產(chǎn)品件數(shù)34751

包裝質(zhì)量在（495,510］克的產(chǎn)品為一等品，其余為二等品.

（1）估計(jì)從該流水線任取一件產(chǎn)品為一等品的概率；

【解答】樣本中一共有3+4+7+5+1=20件產(chǎn)品，包裝質(zhì)量在（495,510］克的產(chǎn)品

有4+7+5=16件，故從該流水線任取一件產(chǎn)品為一等品的概率為P=—

205

（2）從上述抽取的樣本產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為一等品的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；

【解答】依題意，X的可能取值為0,1,2,P（X=2）=?="，尸（X=1）=C^=這,

Cio19C3o95

尸（x=o）=m=2,故X的分布列為

C2095

X012

33212

P

959519

（3）從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)y為一等品的產(chǎn)品數(shù)量，求y的分布列.

【解答】依題意，y的可能取值為0,1,2,丫?/'3,則尸（y=2）=02=1|,尸（/

-3=短故丫的分布列為

48

=l)=cixX；=至，p(y=o)=

Y012

1816

P

252525

新視角二項(xiàng)分布中的最值問題

例3-1(2024?池州二模)學(xué)校組織某項(xiàng)勞動(dòng)技能測(cè)試，每位學(xué)生最多有3次測(cè)試機(jī)

會(huì).一旦某次測(cè)試通過，便可獲得證書，不再參加以后的測(cè)試，否則就繼續(xù)參加測(cè)試，直到

用完3次機(jī)會(huì).如果每位學(xué)生在3次測(cè)試中通過的概率依次為0.5,0.6,0.8,且每次測(cè)試是

否通過相互獨(dú)立.現(xiàn)某小組有3位學(xué)生參加測(cè)試，回答下列問題.

(1)求該小組學(xué)生甲參加考試次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望￡(㈤.

【解答】由題意知X的所有可能取值為1,2,3,因?yàn)槭?X=l)=0.5,P(X=2)=(1—

0.5)X0.6=0.3,尸(X=3)=(l—0.5)X(l—0.6)=0.2,所以X的分布列為

X123

P0.50.30.2

所以E(R=1XO.5+2XO.3+3XO.2=L7.

(2)規(guī)定：在2次以內(nèi)測(cè)試通過(包含2次)獲得優(yōu)秀證書，超過2次測(cè)試通過獲得合格

證書.記該小組3位學(xué)生中獲得優(yōu)秀證書的人數(shù)為Y,求使得「(￥=?取最大值時(shí)的整數(shù)k.

【解答】由題知每位學(xué)生獲得優(yōu)秀證書的概率尸=P(X=l)+P(X=2)=0.5+0.3=0.8

=4

—5'

方法一：因?yàn)閥的所有可能取值為o,I,2,3,且y?Bp'J,所以「(￥=0)=

64

京，尸(Y=3)=C§X諼，所以尸(Y=O)<尸(y=i)<尸(y=2)<p(y=3),所以

使得p(y=B取得最大值時(shí)，整數(shù)左的值為3.

方法二：由y?小力得尸「用=受01廿：k=0,1,2,3,所以P(y=.

P(-1)

ax隊(duì)。tf4_q

=RY-i——2=4UJ^4bJ=2>1,左=1,2,3,所以p(y=3)>p(y

k3

a>xl5Jxl5J

=2)＞尸(y=i)＞尸(y=o),所以使得產(chǎn)(丫=與取得最大值時(shí)，整數(shù)上的值為3.

例3-2(2024?懷化二模)現(xiàn)有甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員爭(zhēng)奪某項(xiàng)比賽的獎(jiǎng)金，規(guī)定兩名運(yùn)動(dòng)員

誰先贏網(wǎng)左＞1,左GN*)局，誰便贏得全部獎(jiǎng)金。元.假設(shè)每局甲贏的概率為乙

贏的概率為1—P，且每場(chǎng)比賽相互獨(dú)立.在甲贏了根(機(jī)〈1)局，乙贏了上)局時(shí)，比賽

意外終止，問：獎(jiǎng)金如何分配才合理？評(píng)委給出的方案是：甲、乙按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去

各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比P甲：尸乙分配獎(jiǎng)金.

(1)若左=3,m=2,n=l,p=一,求尸甲：尸乙；

4

【解答】設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行X局甲贏得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然是甲贏，依題意，

T.

X的可能取值為1,2.當(dāng)X=1時(shí)，甲以3：1贏，尸(X=l)=j當(dāng)X=2時(shí)，甲以3：2贏，

P(X=2)=1X3=￡.因此甲贏的概率為3+工=”,則乙贏的概率為1—"=工，所以P甲：尸

4416416161616

乙=15：1.

(2)記事件N="比賽繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)左=4,加=2,〃=2時(shí)，

比賽繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率%)，并判斷當(dāng)今WpVl時(shí)，事件/是否為小概率

事件，并說明理由.規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.06,則稱該隨機(jī)事件為小概率事件.

【解答】設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行丫局乙贏得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然是乙贏，當(dāng)丫=2

時(shí)，乙以4：2贏，尸(y=2)=(l—02；當(dāng)y=3時(shí)，乙以4：3贏，尸(Y=3)=C如(1—p＞=2以1

—p￥，于是乙贏得全部獎(jiǎng)金的概率尸(N)=(l—p)2+20(l—p)2=(l+20(l—,)2.甲贏得全部獎(jiǎng)

金的概率加)=1—(1+20(1—02,則/(0=—2(1—(1+20-2(1—p)(—1)=

6次1—初＞0,即函數(shù)加)在J7'1)上單調(diào)遞增，則加)mml=".因此乙贏的概率的最大

值為1一型=」上七0.0554C0.06,所以事件/是小概率事件.

343343

隨堂內(nèi)化

1.某電視節(jié)目采用組團(tuán)比賽的方式進(jìn)行，參賽選手需要全部參加完五場(chǎng)公開比賽，其

中五場(chǎng)中有四場(chǎng)獲勝，就能取得參加決賽的資格.若某參賽選手每場(chǎng)比賽獲勝的概率均是馬

3

則這名選手能參加決賽的概率是(D)

A.幽

243243

C.空D.必

243243

【解析】由題意可知五場(chǎng)中獲勝的場(chǎng)次x?BI5'寸，選手能參加決賽的概率尸=

aX針X卜九X針

2.根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，PM2.5日均值(單位：ug/m3)在35以下，空氣質(zhì)量為一級(jí)；在

35?75空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75以上，空氣質(zhì)量為超標(biāo).工作人員從某自然保護(hù)區(qū)2024年

全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表所示：

PM2.5日均值(25,35](35,45](45,55]

頻數(shù)311

PM2.5日均值(55,65](65,75](75,85]

頻數(shù)113

從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記X表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，則X的

均值是(A)

A2

109

C.-D.-

109

【解析】依據(jù)條件，X服從超幾何分布，其中N=10,M=3,n=3,故￡(田=吆="^

N10

9

10

3.(多選)已知隨機(jī)變量X?2(4,p),E(X)=2,貝!|(AD)

A.?」

2

C.O⑶=2D.E(4X+3)=11

【解析】對(duì)于A,由題意可得X服從二項(xiàng)分布，故E(X)=4p=2,即P=g，故A正確;

4,所以p=^=c?c￡)

對(duì)于B,因?yàn)閄?@3,w=3)+r=l，故

8

錯(cuò)誤；對(duì)于；

BC,D(X)=4XX1,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,￡(4X+3)=4￡(&+3=ll,

故D正確.

4,現(xiàn)有高三年級(jí)學(xué)生7人，7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，要從這7人中隨機(jī)

抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的學(xué)生人數(shù)，則隨機(jī)變量X

的數(shù)學(xué)期望是—;設(shè)事件N=”抽取的3人中，既有睡眠充足的學(xué)生，也有睡眠不足的學(xué)

~7~

生”，則事件/發(fā)生的概率為°.

~T

【解析】由題意可知隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,則尸(X=0)=￡=L，P(X

=1)=^1=12,P(X=2)=^^=—,尸(X=3)=?=A，所以￡田=0義工+1乂盤+2*工

a35a35a35353535

+3義奈=修,由已知條件可得p(/)=@^宴

「溫馨疆示,

I

\_______________________________________________________________________________)

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配套精練

一、單項(xiàng)選擇題

1.已知隨機(jī)變量/?8(12,p),且上(2§—3)=5,則。(3J=(D

【解析】因?yàn)椤?2U—3)=2￡(。一3=2X120—3=5,所以p=\故。(35=32。?=

9義12X士X

2.2024年5月中國(guó)郵政發(fā)行了《巢湖》特種郵票3枚，巢湖是繼《太湖》(5枚)、《鄱

陽湖》(3枚)、《洞庭湖》(4枚)后，第四個(gè)登上特種郵票的第五大淡水湖.現(xiàn)從15枚郵票中

隨機(jī)抽取2枚，記取到郵票《巢湖》的枚數(shù)為X,則￡(田=(A)

【解析】依題意，X的可能取值有0,1,2,則尸(X=0)=%=三，P(X=1)=且/

Ci535Ci5

3.(2024?臨沂期初摸底)一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)黑球、〃個(gè)白球(”dN*),這些球除

顏色外大小、質(zhì)地完全相同.從中任意取出3個(gè)球，已知取出2個(gè)黑球、1個(gè)白球的概率為

2，設(shè)X為取出白球的個(gè)數(shù)，貝|E(X)=(A)

A.3B

2-l

C.1D.2

【解析】由題可知中=且，解得〃=3,則X的可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=日

*20a

=工,P(X=1)=型?=望，尸(X=2)=盤?=2,尸(X=3)=E=L,所以￡(X)=0X」~+1X—

20'JCg20'J逐20''Cg20—2020

913

+2X^-+3X-L=-.

20202

4.A,B兩組各3人獨(dú)立的破譯某密碼，A組每個(gè)人譯出該密碼的概率均為6，B組每

個(gè)人譯出該密碼的概率均為P2,記A,B兩組中譯出密碼的人數(shù)分別為X,Y,且3<P1<P2

<b貝U(B)

A.E(X)<E(Y)，D(X)<D(Y)

B.E(X)<E(Y),D(X)>D(Y)

C.E(X)>E(Y),D(X)<D(Y)

D.E⑶>￡(7),D(X)>D(Y)

【解析】由題意可知X服從二項(xiàng)分布2(3,pi),所以E(X)=3p,。(&=3〃(1—pi).同

理，y服從二項(xiàng)分布2(3,Pi),所以E(F)=302,o(y)=302(i—P2).因?yàn)?Vpi<"<1,所以

3Pl<3p2,所以E(X)<￡(。對(duì)于二次函數(shù)y=3p(l—p),對(duì)稱軸為p=J可知函數(shù)在L”上

單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有“1(1一6)>302(1—02),即。(大)>。(7).

二、多項(xiàng)選擇題

5.(2025?亳州期初)已知隨機(jī)變量X滿足X?3(4*),0<°<1,￡(星)=沙孫則(BCD)

A.p=：2B.￡4(㈤=：

1132

C.E(2X+1)=?D.O(2X+l)=g

QQ1

【解析】對(duì)于A,因?yàn)閄?5(4,2)，E(X)=^D(X),所以4夕=六42(1一0)，解得夕=；,

故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,由上知￡(%)=?=：,故B正確；對(duì)于C,￡(2X+1)=2￡(X)+1=￡,

故C正確；對(duì)于D,。(2》+1)=4。(&=4乂4以1一2)=萬，故D正確.

6.下列說法正確的有(AB)

A.已知事件Z,B,且尸(4)=tP⑻=幺,P(A\B)=~,則尸(5⑷=4

6325

B.設(shè)火箭發(fā)射失敗的概率為0.01,若發(fā)射10次，其中失敗的次數(shù)為X,則尸(X=后)=

CioXO.OPXO.991°-i

C.若從10名男生、5名女生中選取4人，則其中至少有1名女生的概率為受

C15

D.設(shè)甲乘汽車、動(dòng)車前往某目的地的概率分別為0.3,0.7,汽車和動(dòng)車正點(diǎn)到達(dá)目的

地的概率分別為0.6,0.8,則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為0.58

【解析】對(duì)于A,由條件概率公式知P(4B)=P(/⑻則—即)="§

233尸(%)

1

=|=|,故A正確；對(duì)于B,因?yàn)閤?Rio,0.01),所以「(XuAOnC4oXO.oJxoggi?！?故

6

B正確；對(duì)于C,至少有一名女生的概率P=CgC/+C，WCKh+CK9o,故c錯(cuò)誤；對(duì)

于D,設(shè)事件/="甲正點(diǎn)到達(dá)目的地”，事件2="甲乘動(dòng)車前往目的地”，事件。="甲

乘汽車前往目的地”，由題意知P(5)=0.7,尸(0=0.3,尸(4出)=0.8,尸(Z|C)=0.6,由全概

率公式得尸(/)=尸(2)尸(/|2)+2(。)7>(4|0=0.7乂0.8+0.3乂0.6=0.56+0.18=0.74,故口錯(cuò)誤.

7.某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)〃位二進(jìn)制數(shù)幺=002。3。4…即，其中0。

=1,2,3,w)e{0,1}.若在/的各數(shù)位上出現(xiàn)0和1的概率均為熱記X=m+02+

MH----則當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)(ABC)

A.尸(X=0)=￡

B.P(X=k)=P(^=n-kXOWkWn,左GN*)

C.E(A)=|

幾2

D.D(A)=j

【解析】由二進(jìn)制數(shù)N的特點(diǎn)知每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字只能填0,1,每位數(shù)出現(xiàn)0,1

是獨(dú)立的，所以X?小，J,所以尸(X=O)=cQ°[—J=]故A正確；P(X=k)=

3日(1—￡=C；FQ"I3—3'=尸(X=〃一砂，故B正確；因?yàn)閄?2it所以E(X)

=nX-=-,D(X)=〃xlx[l—J=",故C正確，D錯(cuò)誤.

2224

三、填空題

8.某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6,經(jīng)過三次射擊，此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概

率為_0.648_.

【解析】設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,則X?2(3,0.6),故P(XN2)=尸(X=2)+P(X=3)=

C?X0.62X(1-0.6)+dX0.63=0.648.

9.(2024?開封二模)袋中有4個(gè)紅球，加個(gè)黃球，〃個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取

出的紅球數(shù)為15若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為%則￡(?=_，.

【解析】依題意，m,w為非負(fù)整數(shù)，記”取出的兩個(gè)球都是紅球”為事件/,則P(/)

=尸=1,所以--------3-=1，解得加+〃=5或加+〃=—12(舍去)忑的可能取

Cm+n+46(m+n+4)(m+n+3)6

值為0,1,2,則尸仁=o)=團(tuán)=得，P4=1)=笠=|,尸("2)=9=；,所以￡?=0義2

C9loC9yC9Olo

+lX-+2X-=-.

969

10.50張彩票中只有2張中獎(jiǎng)票，現(xiàn)從中任取〃張，為了使這〃張彩票里至少有一張中

獎(jiǎng)的概率大于0.5,則n至少為.15.

【解析】設(shè)X表示中獎(jiǎng)票的張數(shù)，則尸匠21)=尸(萬=1)+2(丫=2)=堡睨+重量>

C?oC?o

c48!48!

2-----------------------------------------------------

05n(〃T)!(49-)!+(-2)!(5L〃)！>1,所以2?150^+?^>1,又〃

50!50!250X4950X492

n!(50—〃)！n!(50—H)!

所以w至少為15.

四、解答題

11.(2024?晉城二模)長(zhǎng)跑可提高呼吸系統(tǒng)和心血管系統(tǒng)機(jī)能，較長(zhǎng)時(shí)間有節(jié)奏的深長(zhǎng)呼

吸，能使人體呼吸大量的氧氣，吸收氧氣量若超過平時(shí)的7—8倍，就可以抑制人體癌細(xì)胞

的生長(zhǎng)和繁殖.其次長(zhǎng)跑鍛煉還改善了心肌供氧狀態(tài)，加快了心肌代謝，同時(shí)還使心肌肌纖

維變粗，心收縮力增強(qiáng)，從而提高了心臟工作能力.某學(xué)校對(duì)男、女學(xué)生是否喜歡長(zhǎng)跑進(jìn)行

了調(diào)查，調(diào)查男、女生人數(shù)均為200,統(tǒng)計(jì)得到如下2X2列聯(lián)表：

喜歡不喜歡合計(jì)

男生12080200

女生100100200

合計(jì)220180400

(1)試根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生對(duì)長(zhǎng)跑的喜歡情況與性別有

關(guān)聯(lián)？

【解答】零假設(shè)Ho：學(xué)生對(duì)長(zhǎng)跑的喜歡情況與性別無關(guān)，可得力2=

400X(120X100-80X100)2=400^4040>3841>所以根據(jù).=0,05。的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推