貴州省貴陽(yáng)市第六中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)

學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)i是虛數(shù)單位，集合A中的元素由復(fù)數(shù)3-5i的實(shí)部和虛部組成，集合3={1,3,5},則

()

A.{3,5}B.{3,-5}C.{3}D.{5}

2.設(shè)i是虛數(shù)單位，若i(l-z)=l,則|z|=()

A.1B.72C.2D.V2z

3.中文“函數(shù)”一詞，最早是由近代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯的，之所以這么翻譯，他給出的原因

是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，下列選項(xiàng)中是同一個(gè)函數(shù)的是()

A.y=f_］與y=0B.y=y/x+1?yjx-1與y=-Jx2-1

c.y=x與D.y=X~Xy=x-l

x

4.如圖所示，三個(gè)邊長(zhǎng)為近的正方形相連，若=NACD=#,則tan(a-/?)=()

5.已知平面向量慶=(2,3),萬(wàn)=(憶一2),則“左＜3”是“戌與法的夾角為鈍角”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

6.在VABC中，內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為a,b,c,己知6=4,。為AC的中點(diǎn)，且30=3,

貝1J麗?前=()

A.3B.5C.6D.12

7.設(shè)M是正六邊形ABCDEF中AD,BE,C/的交點(diǎn)，。為正六邊形ABCDEF所在平面

內(nèi)任意一點(diǎn)，貝！1函+礪+反+歷+改+赤=（）

A.30MB.40MC.50MD.60M

8.已知函數(shù)g（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，g（無(wú)）=f+2龍，函數(shù)

〃元）=因2"<?，若〃1即）<3,則實(shí)數(shù)，"的取值范圍是（）

[2x+l,x>0

A.（0,10）B.（-oo,10）C.（10,+oo）D.（0,1）

二、多選題

9.下列結(jié)論正確的是（）

A.已知向量owO，實(shí)數(shù)4=0,則Xa=0

B.若入B均為單位向量，旦6,51=三，則5在￡上的投影向量為;Z

C.若、2Vbe2,則av8

D.己知i是虛數(shù)單位，nieR,若復(fù)數(shù)z=〃，-3+（/"+6）i是純虛數(shù)，貝卜”=±&

10.已知VABC是銳角三角形，且43=2點(diǎn),A=45。，則AC的長(zhǎng)度可以是（）

357

A.1B.—C.—D.一

222

11.下列說(shuō)法正確的是（）

A.已知。=2.703,人=log32.7,貝

21

B.已知正實(shí)數(shù)羽y滿足一=i-一，則孫的最小值為8

xy

C.若VABC為直角三角形，則荏.布=0

D.已知藪2是三個(gè)非零向量，則G?平=2（5同成立的充要條件是Z與"共線

三、填空題

1113

12.i+M（21og23+log25）-log452+e=.

13.已知向量商=（1,0）,1（2,1）,若M+"與后垂直，則彳的值為.

14.在VABC中，點(diǎn)。是線段2C上任意一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)、F

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

41

為線段A3上靠近3點(diǎn)的三等分點(diǎn)，^AD=mAE+nAF，則一+一的最小值為.

mn

四、解答題

15.在VABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,已知6=2,cosC=--,向量

2

+a-5,b),向量M=(3,6),且正與反共線.

⑴求。；

(2)求VABC的面積.

16.已知向量扇方滿足|菊=2,5|=否.

(1)若。4=3,求向量a與萬(wàn)一B的夾角；

(2)若上+司=3.求卜-2同的值.

17.已知函數(shù)/(%)=cos2%+sinxcosx—g.

⑴求函數(shù)的最小正周期；

(2)將函數(shù)/(%)的圖象向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求出g(x)的解析式和對(duì)稱軸.

18.在VABC中，內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a/,c,已知其=gccosB+6sinC.

⑴求角C；

⑵若c=2,求VABC周長(zhǎng)的取值范圍.

19.“函數(shù)從力的圖象關(guān)于點(diǎn)(a㈤對(duì)稱”的充要條件是“對(duì)于函數(shù)可無(wú))定義域內(nèi)的任意x,

都有Mx)+M2a-x)=26”.若函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱，且當(dāng)xe[0,l]時(shí)，

f(x)=x2—2mx+2m+1.

(1)求〃0)+/(2)的值;

7Y-I-1

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=—_.

①證明函數(shù)g(尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,7)對(duì)稱；

②若實(shí)數(shù)〃??0,1),則命題“％式。，牛上，,使得(尤?)成立”是否為真命題？

若是，請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《貴州省貴陽(yáng)市第六中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號(hào)12345678910

答案CBCABBDABCCD

題號(hào)11

答案AB

1.C

【分析】由復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的概念可得A={3,-5},結(jié)合交集的計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】由題意，A={3,-5},B={1,3,5},則Ac3={3}.

故選：c.

2.B

【分析】先求出z=l+i,再根據(jù)模長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【詳解】由i(l-z)=l,則i-z=：=/=T,即z=l+i,

所以=Vl2+12=A/2.

故選：B.

3.C

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,y=d-l的定義域?yàn)?-力,。)3。,+力)，而＞=0的定義域?yàn)?-8,+“),

故兩者不是同一函數(shù)；

對(duì)于B,由jx+]＞0得X21,故＞=+Jx-1定義域?yàn)閇1,+8),

由/_120得

故,二47二i的定義域?yàn)?f＞，T]u[l，y)，故兩者不是同一函數(shù)；

對(duì)于C,m=標(biāo)=〃，兩者定義域均為(—,+8),對(duì)應(yīng)法則相同，故為同一函數(shù)，

故C正確；

對(duì)于D,＞=二11的定義域?yàn)?_力,0)30,+8),y=x-l的定義域?yàn)?y,+x),

故兩者不是同一函數(shù)；

故選：C.

4.A

答案第1頁(yè)，共10頁(yè)

【分析】根據(jù)圖形先求出夕,"的正切值，再利用兩角差的正切公式計(jì)算即得.

tan?=4=l,tan^=4=l,

【詳解】由圖知,

3^/73262

11

則i‘a(chǎn)-z八、-TtaTnat-atannB^32

l1+-Ix-I7

32

故選：A.

5.B

【分析】由坐標(biāo)計(jì)算向量的夾角與共線時(shí)的情況再結(jié)合必要不充分條件的判定可得.

＜4

【詳解】若沆與為的夾角為鈍角，貝巾\rh仁'n,=,2k—6Q，解得左＜3且左一9，

左＜3時(shí)不能得出而與范的夾角為鈍角，沅與蘇的夾角為鈍角時(shí)可以得出左＜3,

所以“左＜3”是“成與力的夾角為鈍角”的必要不充分條件.

故選：B

6.B

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式及運(yùn)算律計(jì)算即可.

【詳解】己知6=4,所以AC=4,

因?yàn)?。為AC的中點(diǎn)，所以AD=OC=2

且80=3,貝!|麗友=（而+網(wǎng)?（而+㈣=（而+網(wǎng)（麗_西=而2_加=”4=5.

故選：B.

7.D

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)及向量線性運(yùn)算可得解.

【詳解】

BE,C尸的中點(diǎn),

所以市+歷=2礪，OB+OE=2OM，OC+OF=2OM，

答案第2頁(yè)，共10頁(yè)

所以礪+無(wú)+反+而+屈+赤=6兩，

故選：D.

8.A

【分析】根據(jù)g(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，可得x<。時(shí)g(x)=-f+2x,分1則<0和

1g機(jī)2。兩種情況分別求解不等式，即可求解.

【詳解】當(dāng)x<0時(shí)，則-x>。，所以g(-力二尤之一2x,

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以g(-x)=-g(x),

所以-g(x)=%2-2x,貝！Ig(x)=-f+2x,

-尤2+2x,尤<0

所以〃x)=

2x+1,x>0

當(dāng)1gmV。時(shí)，即0<機(jī)<1,/(igm)=-(lgm)2+21gm<3,

所以一(igm)?+21gm一3<0,BP(1gm)2-21gm+3>0,

因?yàn)槎魏瘮?shù)y=(lgm丫—21gm+3的判另ij式為A=4—4x3<0,

所以(lg/n)2—21g機(jī)+3>0恒成立，所以0<相<1,

當(dāng)坨機(jī)20時(shí)，即加21,/(lgm)=21gm+l<3,所以Igavl,

解得OvmvlO,所以14相〈10,

綜上加?0,10).

故選：A.

9.BC

【分析】利用平面向量的數(shù)乘運(yùn)算可判斷A選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判斷B選項(xiàng)；利

用不等式的基本性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的概念可得出關(guān)于用的等式與不等式，解出加

的值，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，已知向量實(shí)數(shù)4=0,則幾Z="A錯(cuò);

對(duì)于B選項(xiàng),若入否均為單位向量，且G，b)=],則5在￡上的投影向量為Wcos,￡=；3,

B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，若ac2vbc1,貝1]。2>0，由不等式的基本性質(zhì)可得a<6,C對(duì)；

答案第3頁(yè)，共10頁(yè)

對(duì)于D選項(xiàng)，已知i是虛數(shù)單位，機(jī)eR,若復(fù)數(shù)z=n?-3+?！?若)i是純虛數(shù),

故選：BC.

10.CD

【分析】先根據(jù)三角形是銳角三角形，確定角8的取值范圍，再結(jié)合正弦定理用角B的三角

函數(shù)表示邊AC,利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求AC的取值范圍.

【詳解】因?yàn)槿切螢殇J角三角形，且4=45。，所以8+C=135。，45°<B<90°.

由正弦定理，可得：—^-=——,又AB=2冊(cè),

sinBsinC

uuz,八AB-sinB2>/2-sinB=0nB_4tanB4

所以AC=------------=---------------^=----------=4--------------,

sinCsin(135°-B)(sinB+cosB)tanB+1tanB+1

4

由45°v/v90。，所以tang>l,所以2<4-------------<4.

tanB+1

故選：CD

11.AB

【分析】根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到。>11>1,可判定A正確；由2+,=1,利用

xy

基本不等式，求得刊28,可判定B正確；當(dāng)3為銳角時(shí)，求得血.5Cv0,可判定C不正

確；當(dāng)瓦￡,"石工2時(shí)，滿足(無(wú)5斤="(5-3,可判定D不正確.

【詳解】對(duì)于A,因a=2.7°3>2.7°=1,jfi]Z?=log32.7<log33=l,即故A正確；

2121

對(duì)于B,正實(shí)數(shù)人,y滿足一=1—，可得一+—=1,

%y

由『?匕=26當(dāng)且僅當(dāng)常時(shí)，即.22時(shí)，等號(hào)成立,

則2仁41,可得孫28,即沖的最小值為8,故B正確；

對(duì)于C,在直角VA3C中，若8為銳角時(shí)，可得cos3>0,

則通.前=|荏(而卜0$(無(wú)-3)=-|嗣|而|cosB<0，故C不正確;

對(duì)于D,由。，瓦c是三個(gè)非零向量，若a_LB,a_Lc,B_Lc時(shí)，可得￡.石=5.2=0,

答案第4頁(yè)，共10頁(yè)

滿足⑹小僅可，此時(shí)不能判斷￡與"共線，故充分性不成立，

即Z與2共線不是(商出猿=川5?成立的充要條件，故D不正確.

故選：AB

12.4

【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

ln3

[T￥?](21og23+log25)-log432+e

=(log29+log25)-log452+3

=log245-log452+3

=1+3=4.

故答案為：4.

13.--/-0.4

5

【分析】利用向量垂直的表示式結(jié)合向量的坐標(biāo)計(jì)算即得.

【詳解】因向量4=(1,0),方=(2,1),則。/=2,出|=君，

則+=+&出『=2應(yīng)+5&=0,解得：2=--.

2

故答案為：-不

14.%逋

33

1?

【分析】利用向量的共線運(yùn)算及平面向量基本定理找到:加+：〃=1的關(guān)系，再用代換1法求

23

最小值即可.

【詳解】

____k,1____,9____?

由已知可得：AD=mAE+nAF=—mAC+—nAB,

23

又因?yàn)?。在線段BC上，所以有

答案第5頁(yè)，共10頁(yè)

=AD-AB=2（AC-AB）=>AD=2AC+（l-/l）AB,>2G（0,1）,

1,

—m=Z

7

根據(jù)平面向量基本定理可知：2，

—n=1—2

[3

所以有5機(jī)+1〃=1,_S—m,J7?G（0,1）,即mw（0,2）,/J

41（41Y12、c28/」機(jī)、818nIm84^3

則nil—l—=—I-—m-\—n=2dF—^-+?-->—+J---x---=—H-----，

mn\mn3）33m2n3v3m2n33

當(dāng)且僅當(dāng)：'，即機(jī)=3-百，〃二色叵一3時(shí)取等號(hào)，

3m2n44

故答案為：§+M.

33

15.（1）”2

⑵6

【分析】（1）利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于。的等式，結(jié)合。>0可求出。的值;

（2）求出角C的值，利用三角形的面積公式可求得VA5C的面積.

【詳解】（1）因?yàn)橄蛄壳?（。2+“一5/），向量元=（3,6）,且正與5共線，

貝I136=6（。-+a—5）=6,整理可得"+a—6=0,因?yàn)閍>0,解得4=2.

12兀

（2）因?yàn)閏osC=—,0<C<71,貝ljC=—,

23

所以，VABC的面積為S,Br=—absinC=—x2x2x—=^3.

“BC222

71

16.（l）y；

⑵26

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合向量夾角公式求解.

（2）利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解.

【詳解】（1）由I，1=2,151=A/3,a-b=3，得|五_6=1萬(wàn)2+6、—2萬(wàn)?J=1，a-（a—b）=a2—a-b=l,

因此cos〈落五一方）—發(fā)=!，而0?（2,五一B〉（兀，貝|〈萬(wàn),值_5）=V,

\a\\a-b|23

所以向量巨與a-B的夾角為:.

（2）由隆+方|=3,得4、+石2+2無(wú)5=9，則2?+（近了+23石=9,解得1.5=1,

答案第6頁(yè)，共10頁(yè)

所以11一2昨yja2+4b2-4a-b=722+4x(^)2-4x1=2上.

17.⑴函數(shù)〃x)的最小正周期兀；

(2)g(x)=^^sin]尤,對(duì)稱軸為x=^+fat,^eZ.

【分析】(1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)/(元)的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期性求最小

正周期；

(2)根據(jù)題意變換圖象得到函數(shù)g(x)的解析式，利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性求對(duì)稱軸.

【詳解】(1)由題意，/(x)=cos2x+sinxcosx——=+cos~~A+—sin2x--

v72222

=g(sin2x+cos2x)=^^sin[2x+；],

故函數(shù)的最小正周期7寸=|=兀?

(2)將函數(shù)/(x)的圖象向右平移]個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

y=——也si.n「2/x——吟HJ]=——0si?n2x——叫,

2LI4j2I4J

再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)

故8(%)的解析式g(x)=—sin|^x--j,

jrjr3冗

令x——=—+kit,keZ,可得x=--卜kit,keZ,

424

47r

則g(x)的對(duì)稱軸為尤=彳+E,%eZ.

71

18.⑴孑

⑵(4,6]

【分析】(1)由正弦定理可得bsin4=\^sinCcosB+sinBsinC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及

兩角和的正弦公式即可求解；

答案第7頁(yè)，共10頁(yè)

（2）由正弦定理可得”建sinA,b=^sinB,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及三角恒等變換可

33

得“+。+。=2+45缶（4+2，再根據(jù)角的范圍和三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)檠浮?A/5CCOS5+Z?sinC,所以J5sinA=QsinCcos5+sinBsinC,

因?yàn)閟inA=sin（3+C）=sinBcosC+cosBsinC,

所以^3sinBcosC+出cosBsinC=6sinCcosB+sinBsinC,

所以A/3sinBcosC=sinBsinC，

因?yàn)閰巍辏?,兀），所以sinbwO,所以tanC=石,

因?yàn)镃e（O,7r）,所以C=；；

IT

（2）由（1）知C=],因?yàn)閏=2,

abc24石

所以sinAsinBsinC733，

~2

所以a=4"sinA,b='括sinB，

33

所以i+Z?+c=2+sinA+sinB

43"3

。46.44月/心

=2d-------sinAH-------sinA+—

33I3j

=2+迪snM+?兀.兀

inAAcos—+cosAAsin—

333

=2+2A^sinA+2cosA=2+4sin[A+1J,

因?yàn)椤?lt;A<?,所以+?<即，

3666

所以;<$皿,+胃41,所以4<2+4sin]a+Wv6,

即a+b+ce(4,6],所以VABC周長(zhǎng)的取值范圍為(4,6].

19.(1)4

⑵①證明見解析；②不是，證明見解析

【分析】(1)根據(jù)對(duì)稱的充要條件，令尤=0即可求解；

答案第8頁(yè)，共10頁(yè)

(2)①根據(jù)對(duì)稱的充要條件計(jì)算即可證明；②設(shè)/(x)在［0,2］上的值域?yàn)锳,則命題

“％目0,2］,切耳0,1］,使得(a)=g?成立”,即4印,4］,討論二次函數(shù)的對(duì)稱軸,

求出/(x)在［0,2］上的值域，進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)函數(shù)〃力的圖象關(guān)于點(diǎn)。,2)對(duì)稱，

所以f(x)+/(2-x)=4,

令尤=0,得/(0)+〃2)=4.

,x-x/、7x+17(x+1)—66

(2x)①g(x)=--=-_-=7——

x+1x