整式乘法與因式分解（2）因式分解要點梳理1B.C.D.

選擇題：下列從左到右的變形中，屬于因式分解的是（）A.(a+3)(a-3)=a2-9B.a2-b2=(a+b)(a-b)C.a2-4a-5=a(a-4)-5D.a2-4a-5=(a-2)2-9知識回顧（因式分解）1、因式分解概念

把一個多項式寫成幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解.

B等式的特征：左邊是

，右邊是

.多項式幾個整式的乘積知識回顧（因式分解）2、因式分解的方法

（1）提公因式法：

（逆用乘法分配律）ab+ac+ad=

a(b+c+d)1.系數(shù)取各項系數(shù)最大公約數(shù)；2.字母取各項相同的字母；3.指數(shù)取各項最低的.

分解因式：12x2yz-9x3y解:原式=3x2y(4z-3x)公因式括號內(nèi)項數(shù)不變知識回顧（因式分解）2、因式分解的方法

（2）運用公式法：

把下列各式分解因式：（1）m2-9n2解:原式=

m2-(3n)

2a2－b2=(a＋b)(a－b)

a2

＋2ab+b2=(a＋b)2a2－2ab+b2=(a－b)2平方差公式：

完全平方公式：逆用整式乘法公式(a＋b)(a－b)=a2－b2(a＋b)2=a2＋2ab

+

b2(a－b)2=a2－2ab

+b2=(m+3n)(m-3n)（2）a2b2-2ab+1解:原式=

(ab)2-2ab+12=(ab-1)2第一個數(shù)為相同數(shù)，第二個數(shù)為相反數(shù)兩項三項注意符號對應(yīng)知識回顧（因式分解）2、因式分解的方法

分解因式：x2+6x+5解:原式=

(x+1)(x+5)x2+(p+q)

x+pq=(x+p)(x+q)

*（3）十字相乘法1×51+51.二次項系數(shù)是1；

3.一次項系數(shù)是常數(shù)項分解得到的兩個因數(shù)之和.2.常數(shù)項是兩個數(shù)之積；

二次三項式簡記口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中。知識回顧（因式分解）2、因式分解的方法

*（4）分組分解法：

分解因式：x2-y2+ax+ay解:原式=

(x+y)(x-y)+a(x+y)

分組后可以直接提公因式或運用公式進行因式分解（三項以上）整體=

(x+y)(x-y+a)

兩兩分組3、因式分解的步驟

1、提取公因式（三步：系數(shù)、字母、指數(shù).）2、看項數(shù)（兩項用平方差公式；三項用完全平方公式或十字相乘；四項用分組分解）3、查（檢查每個因式是否還能繼續(xù)分解）知識回顧（因式分解）一提二看三查注意：分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止分解因式：3ax4-3ay4解:原式=3a(x4-y4)一提=3a(x2+y2)

(x+y)(x-y)三查二看=3a(x2+y2)(x2-y2)整式乘法（計算）：(4ab2)

?(5b2)＝20ab3a2(1-3a)=a2-3a3(x+2)(2x-3)=2x2+x-6

(2x+3)(2x-3)=4x2-9

(2x+3y)2=4x2+12xy+

9y2知識回顧（整式乘法和因式分解的關(guān)系）因式分解：12xyz-9x2y=3xy(4z-3x)m2-9n2=(m+3n)(m-

3n)a2b2-2ab+1=(ab-1

)23ax

4-3ay4=3a(x2+y2)

(x+y)(x-y)x2-y2+ax+ay=(m+3n)(m-

3n)積（因式）和（多項式）變形積（因式）和（多項式）除單項式乘單項式等于單項式外變形整式乘法和因式分解是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩種變形：整式乘法ab＋ac+ad

a(b＋c+d)

整式乘法a2－b2(a＋b)(a－b)

整式乘法a2±2ab+b2(a±b)

2因式分解因式分解因式分解積和知識回顧（整式乘法和因式分解的關(guān)系）典型例題2例1.把下列各式分解因式因式分解(2)(x-1)(x-3)+1(1)4x(a-b)-8y(b-a)

解:原式=x2-3x-x+3+1多乘多=x2-4x+4合并同類項=(x-2)2完全平方公式

解:原式=4x(a-b)+8y(a-b)減法法則=4(a-b)

(x+2y)提公因式提公因式要提干凈因式分解例1.把下列各式分解因式(3)x4-2x2+1解:原式=

(x2-1)2完全平方公式(4)m2+7m-18=

[(x+1)

(x-1)]2平方差公式=

(x+1)2(x-1)2積的乘方(ab)n=anbn解:原式=(m-2)(m+9)分解因式的結(jié)果為積的形式-2+9-2×9因式分解例1.把下列各式分解因式(5)3x+x2-y2-3y解:原式=

(3x-3y)

+(

x2-y2)加法交換律結(jié)合律(6)a2-

b2-

c2+2bc=3(x-y)

+(

x+y)

(

x-y)提公因式平方差公式=

(x-y)

(3+x+y)提公因式解:原式=

a2-

(b2+c2-2bc)分組分解=

a2-

(b-c)2=

(a+b-c)

(a-b+c)加法交換律結(jié)合律完全平方公式平方差公式

兩兩分組一三分組整體思想

因式分解應(yīng)用例2.已知

a+b=4，a-b=1,則(a+1)2-(b-1)2的值為

.原式=[(a+1)+(b-1)][(a+1)-(b-1)]=(a+b)(a-b+2)=4×(1+2)=1212原式=(a2+2a+1)-(b2-2b+1)=a2+2a+1-b2+2b-1=a2-b2+2a+2b=(a+b)(a-b)+2(a+b)=4×(1+2)=12解法(一)：先分解因式解法(二)：先用乘法公式展開整體代入先用平方差公式分解因式先用完全平方公式展開整體代入=(a+b)(a-b+2)因式分解應(yīng)用因式分解應(yīng)用變式1.已知

a+b=4，ab=2,則a3b+2a2b2+ab3的值為

.變式2.已知

a-b=3，b+c=5,則ac-bc+a2-ab的值為

.（2）另外一名同學(xué)發(fā)現(xiàn)第四步因式分解的結(jié)果不徹底，請你直接寫出因式分解

的最后結(jié)果

；例3.請仔細閱讀以下內(nèi)容，然后回答問題：

下面是某同學(xué)對多項式

(x2-4x+2)

(x2-4x+6)

+4進行因式分解的過程：

解：令x2-4x+2=y，則：

原式＝y(tǒng)(y+4)+4

（第一步）

＝y(tǒng)2+4y+4

（第二步）

＝

(y+2)2

（第三步）

＝(x2-4x+4)2（第四步）因式分解應(yīng)用C(x-2)4(x2-4x+4)2＝[(x-2)2]2=(x-2)4．把括號中的相同部分(x2-4x+2)看做一個整體（1）該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的

；

A．提取公因式

B．平差公式C．兩數(shù)和的完全平方公式

D．兩數(shù)差的完全平方公式用

x2-4x+2整體替換y轉(zhuǎn)化為簡單的二次三項式轉(zhuǎn)化后分解因式整體代入（3）請你模仿以上方法嘗試對多項式(x2-2x)

(x2-2x+2)+1進行因式分解．因式分解應(yīng)用＝(x2-2x+1)2原式＝y(tǒng)(y+2)

+1解:設(shè)x2-2x＝y(tǒng)．把x2-2x看做一個整體＝(y+1)2用

x2-2x整體替換y，并檢查能否繼續(xù)分解＝[(x-1)2]2＝

(x-1)4轉(zhuǎn)化為簡單的二次三項式轉(zhuǎn)化后分解因式＝y(tǒng)2+2y+1整體代入例4.已知：a、b、c是△ABC的三邊長，且滿足a2b-a2c+b3-b2c=0．試判斷△ABC的形狀因式分解應(yīng)用∴

b-c=0或

a2+b2=0(a2b-a2c)

+(b3-b2c)

=0解:

a2b-a2c+b3-b2c=0因式分解(b-c)

(a2+b2)

=0∵a2+b2不可能等于0a2(b-c

)

+

b2(b-c)

=0∴

b-c=0即b=c

，△ABC是等腰三角形2、已知：x2+5y2+4xy-6y+9=0，求xy的值.1、已知：4x2+9y2+4x-6y+2=0，求x、y的值.拓展訓(xùn)練3、因式分解：x3-