第4章實(shí)數(shù)（單元測(cè)試?拔尖卷）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（2023?廣東珠海??？既＃┫铝袑?shí)數(shù)-3、〃、0、萬(wàn)中，無(wú)理數(shù)是（）

A.-3B.GC.0D."

2.（2022秋?浙江?七年級(jí)期中）下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（）

A.-3與'（-a），B.J（_3『與+C.-3與年為D.舊與卜3|

3.（2021秋?四川宜賓?八年級(jí)?？计谥校┘拥牧⒎礁牵ǎ?/p>

A.i/mB.-y/mC.±y/mD.l]-m

4.（2019秋?七年級(jí)單元測(cè)試）小雪在作業(yè)本上做了四道題目：①巧=-3；0±716=4；③姬=9；

④而于=一6,她做對(duì)了的題目有()

A.1道B.2道C.3道D.4道

5.（2023秋?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如果一個(gè)比加小2的數(shù)的平方等于（-4）2,那么相等于（）

A.-4B.±4C.-2D.—2或6

6.（2023秋?全國(guó),八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若（2-道）a精確到個(gè)位數(shù)所得結(jié)果為1,則正整數(shù)?？赡苁牵ǎ?/p>

A.1B.3C.6D.9

7.（2023秋?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，2-1無(wú)|+J1—|y|=0,S.\x-y\=y-x,化簡(jiǎn)1+y().

A.-1B.1C.—1或一3D.3或1或—1或一3

8.（2023秋?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）無(wú)理數(shù)c=3-6,c的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為則下列等式錯(cuò)誤

的是（）

A.-b-(-a)=a-bC.—axb=—bD.c-^a=b

9.（2023春?山東聊城?八年級(jí)統(tǒng)考期末）按如圖所示的程序進(jìn)行計(jì)算，若輸入元的值為6,則輸出了的值為

)

A.2B.2+V2c.2-V2D.6-4A/2

10.（2023春?重慶巴南?八年級(jí)統(tǒng)考期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用“夾逼法”估算?的值，現(xiàn)在用應(yīng).表示距

離冊(cè)（"為正整數(shù)）最近的正整數(shù)?例如：％表示距離"■最近的正整數(shù)，，％=1;七表示距離也最近的

正整數(shù)，，出=1；%表示距離有最近的正整數(shù)，，4=2.…利用這些發(fā)現(xiàn)得到以下結(jié)論:

①/=3；

②?=3時(shí)，"的值有5個(gè);

⑤)%—a,+%一,,,+—%2=0;

(4)—+—+...+—=8.

%。2。20

⑤當(dāng)工+，+…+!=1。。時(shí)，〃的值為2550.

%a2

以上結(jié)論中正確的結(jié)論有個(gè)()

A.2B.3C.4D.5

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.（2022秋?福建漳州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知d—2x+l+J7N=0,則x+y=.

12.（2019春?上海?七年級(jí)?？计谥校┐笥?-班的最小整數(shù)是

13.（2021春?上海寶山?七年級(jí)?？计谥校┮阎獮?土2.3,那么7^+400529x

14.（2023秋?江蘇?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）比較大?。贺鲜肥?（填或

3

15.（2021春?廣東汕頭?七年級(jí)?？计谥校┤鬪/^+0+27）2=0,則媯+吩=—.

16.（2023春?遼寧鞍山?七年級(jí)?？计谥校?和屈的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C、8,點(diǎn)C是A2的中點(diǎn)，則點(diǎn)A表示

的數(shù)的小數(shù)部分是

ACB

IIII

。3R

17.（2018秋?七年級(jí)單元測(cè)試）已知Jl-3a和|8b-3|互為相反數(shù),求我-27的值為

18.（2023春?安徽滁州?七年級(jí)校考階段練習(xí)）有理數(shù)與無(wú)理數(shù)之間的運(yùn)算有著某種規(guī)律性，例如：若。和

b是有理數(shù)，a（^+3）+b=0,則。=0,b=0,已知相和”是有理數(shù)：

（1）若O-3）x#+〃-3=0,則利"的平方根為；

（2）若（2+6）帆-（1-6）"=6,其中相，”是X的平方根，貝！I尤的值為.

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

19.（8分）（2023春?福建福州?七年級(jí)?？计谥校┙夥匠?

(1)2x2=8;(2)(X-1)3=-27.

20.（8分）（2021春?福建龍巖?七年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算

⑴V9-O；(2)"

21.（10分）（2023春?山東德州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知:2x-l和4x+3是m的兩個(gè)不同的平方根，2y+2是

而的整數(shù)部分.

（1）求x,y,m的值.

（2）求l+4y的平方根.

22.（10分）（2023春?湖北隨州?七年級(jí)校聯(lián)考期中）閱讀材料.

0A/4<A/7<79,即2<近<3

?幣的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為近一2,規(guī)定實(shí)數(shù)m的整數(shù)部分記作上74，小數(shù)部分記作卜博，如[近]=2,

｛仞=4一2.

解答下列問(wèn)題：

（1）[719]=

（2）求[而一2]+卜一而｝的值.

23.（10分）（2022秋?河南南陽(yáng)?八年級(jí)校考階段練習(xí)）探究發(fā)散:

（1）完成下列填空

①V?='②Jo.s2=

④病二，⑤，⑥

（2）計(jì)算結(jié)果，回答：府一定等于〃嗎？你發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律了嗎？請(qǐng)你用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述出來(lái):

（3）利用你總結(jié)的規(guī)律，計(jì)算：若無(wú)<2,則加一2>=

（4）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖.

?11??

Q0bc

化簡(jiǎn)：J（b一0）2一,+耳+卜Q(chēng)+d.

24.（12分）（2023春?安徽亳州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）如圖，作直角邊為1的等腰RtAOAA，則其面積E=g;

以。人為一條直角邊，I為另一條直角邊作Rtz\o44,則其面積邑=豐；以。A為一條直角邊，1為另一

多直角邊作Rt^OAA，則其面積S3=4,......貝US“=；

（2）請(qǐng)用含有"5是正整數(shù)）的等式表示s“，并求k+sj+s：+…+s,2的值.

參考答案:

1.D

【分析】由于無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，利用無(wú)理數(shù)的定義即可判定選擇項(xiàng).

【詳解】解:實(shí)數(shù)-3、JZ、0、萬(wàn)中，無(wú)理數(shù)只有萬(wàn)，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)和有理數(shù)定義的理解及區(qū)分.初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)有：H,2TT等;

開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；以及像0.1010010001...,等有這樣規(guī)律的數(shù).

2.A

【分析】先將各數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)相反數(shù)的定義，即可解答.

【詳解】解：A、回后了=卜3|=3,回-3與府1互為相反數(shù)，符合題意；

B、回戶1=卜3|=3,回Q7與T不互為相反數(shù)，不符合題意；

C、0^27=-3,團(tuán)-3與不互為相反數(shù)，不符合題意；

D、0^27=3,|-3|=3,回啰與卜3|不互為相反數(shù)，不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相反數(shù)的定義，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根和立方根，解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方和立

方根的定義，以及只有符號(hào)不同的數(shù)是相反數(shù).

3.A

【分析】如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a,那么x是a的立方根，根據(jù)此定義求解即可.

【詳解】解：13%7的立方為m,

0m的立方根為標(biāo)，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)數(shù)的立方根，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.

4.A

【分析】依據(jù)立方根、平方根算術(shù)平方根的定義求解即可

【詳解】①亞方=3故①正確;②士標(biāo)=±4,故②錯(cuò)誤；

國(guó)=3通,故③錯(cuò)誤;④正針=6做④錯(cuò)誤.

故選:A.

【點(diǎn)睛】此題考查立方根，算術(shù)平方根和平方根，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵

5.D

【分析】根據(jù)題意得出（加-2）2=（-4）2,解方程即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：（加-2）2=（-4）2,

即（M―2）2=16,

團(tuán)相一2=±4,

回機(jī)二一2或6,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平方根，根據(jù)題意列出方程結(jié)合平方根的意義求解是關(guān)鍵.

6.B

【分析】估算出2-后的取值，再根據(jù)（2-括）a精確到個(gè)位數(shù)所得結(jié)果為1,得出0.54（2-6）.<1.5,可

得2.5"<5即可.

【詳解】解：02.89<3<3.24,

團(tuán)1.7c退<1.8,

0-1.8<-^<-1.7,

00.2<2-73<0.3,

團(tuán)（2-退）“精確到個(gè)位數(shù)所得結(jié)果為1,

0O.5<（2-V3）a<1.5,

團(tuán)2.5“V5,

團(tuán)正整數(shù)a可能是3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，正確估算出2-月的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵.

7.C

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)解答即可.

[2—lx=0[x=±2

【詳解】由題意得：?解得4，

[i-|j=o[y=±i

團(tuán)|尤一止y-x,

my",

jx=_2\x=-2

可或r彳，

[y=i[y=T

0x+y=-2+l=-l,或x+y=-2-l=-3.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值和有理數(shù)的加法法則，能正確去掉絕對(duì)值符號(hào)是解此題的關(guān)鍵.

8.D

【分析】根據(jù)1<6<2,得出1<3-6<2,進(jìn)而得出3-指的整數(shù)部分。=1,小數(shù)部分6=2-退，然后

根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則，對(duì)選項(xiàng)一一進(jìn)行分析，即可得出答案.

【詳解】解：01<^<2,

0-2<-^<-1,

03-2<3-V3<3-l,

01<3-V3<2,

03-73的整數(shù)部分。=1,小數(shù)部分6=3-6-1=2-石，

A、0一6—（―a）=_（2—A/5）—（―1）=A/5—1,a—b—1—^2—A/3j=>/3—1,S—b—^—a^=a—b,故該選項(xiàng)正確，

不符合題意；

B、回—6+c=—（2—6）+3—6=1,a=l,^\a=—b+c,故該選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、團(tuán)-"6=-1*（2-君）=石-2,-b=g-2,S-axb=-b,故該選項(xiàng)正確，不符合題意；

D、Elc-J-a=（3-6）+l=3-b=2-y[i,Elc+awb,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解本題的關(guān)鍵在利用夾逼法正確估算出無(wú)理數(shù)

的大小.

9.A

【分析】把％=6代入程序流程圖進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：把x=6代入，得6+3-夜=2-0，

?.?2-也<1，

.?.y=（2-礎(chǔ)2+g=2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是按照題中箭頭的方向依次計(jì)算，遇到判斷框時(shí),

注意判斷清楚滿足否和是哪個(gè)路徑的要求.

10.C

【分析】根據(jù)定義通過(guò)估算無(wú)理數(shù)的值，找到數(shù)字變化的規(guī)律，再用規(guī)律去解答題.

【詳解】解：①???如表示距離我最近的正整數(shù)，

二4=3,所以①正確；

②當(dāng)4=3時(shí)，”為7,8,9,10,11,12一共有6個(gè)，

所以②錯(cuò)誤；

③：%=1,a2=1,a3=2,4=2,a5=2,a6=2,%=3,as=3,o9=3,<710=3,=3,6,=3,

.,.%—a?+—...+%i—%2=0，

所以③正確；

(4^)—1,a2=1,“3=2,“4=2,。5=2,。6=2,。7=3,=3,a。=3,"io=3,]=3,"12=3

可得2個(gè)1,4個(gè)2,6個(gè)3,8個(gè)4……,

111,111

所以1---F...H---=lx2+4x—+6x—+o8x—=o8.

%a2a2Q234

故④正確；

@v—+—++—=100=50x2=2xl+4x-+6x-+...+100x—,

ax0261rl2350

.?.77=2+4+6+...+100=2+100x50=2550,

2

所以⑤正確；

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的知識(shí)和發(fā)現(xiàn)規(guī)律并運(yùn)用規(guī)律解題的方法，難度較大.

11.4

【分析】根據(jù)偶次方和算術(shù)平方根的非負(fù)性，求出工、》的值，再代入計(jì)算即可.

【詳解】解：￡—2x+1+Jy-3=0,即(％-1)+Jy-3=0,而(x-1)220,Jy-320,

.\x-l=0,y-3=0,

解得：x=l,y=3,

:.x+y=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查偶次方、算術(shù)平方根的非負(fù)性，掌握偶次方、算術(shù)平方根的非負(fù)性是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

12.6

【分析】先估算出6介于哪兩個(gè)整數(shù)之間，再確定7-6的范圍，從而可得解.

【詳解】m，

01<73<2,

0-2<-V3<-l,

05<7-V3<6,

故大于7-后的最小整數(shù)是6.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，把握7-a的取值范圍，再找出符合

條件的整數(shù).

13.2.53

【分析】直接利用算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案.

【詳解】解：；7529?2.3,

70.0529x100~2.3

V0.0529~2.3X—=0.23

10

7529+V0.0529~2.3+0.23=2.53

故答案為：2.53

【點(diǎn)睛】此題主要考查了算術(shù)平方根，正確掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

14.<

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較的方法，先將兩個(gè)無(wú)理數(shù)平方，根據(jù)正數(shù)平方越大，原實(shí)數(shù)就越大即可得.

【詳解】解：回程一（e一i）=qi一6+1=上產(chǎn)<（）

02^±1<75-1.

3

故答案為：<.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，掌握用作差法比較實(shí)數(shù)大小是解題的關(guān)鍵.

15.-1

【分析】先利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出。，人的值，代入求值即可.

【詳解】解：團(tuán)+e+27）2=0,

團(tuán)a—8=0,匕+27=0,

解得：a—8>b=—27,

回+\fb=+A/—27=2-3=-1,

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，以及立方根、絕對(duì)值、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

以上基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用.

16.4-V13/-V13+4

【分析】設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)是x,再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出x的值，再估算這個(gè)數(shù)大小，得出整數(shù)部分與

小數(shù)部分即可求解.

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)是X,

■.,數(shù)軸上表示3、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C、B,點(diǎn)C是A2的中點(diǎn)，

.y/13+x

,,=3,

2

解得x=6->/13.

03<V13<4

0-4<->^3<-3

02<6-713<3

回6-舊的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分是6-屈-2=4-a.

故答案為：4-V13.

【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)與數(shù)軸，無(wú)理數(shù)的估算，熟知數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系和能估算無(wú)理

數(shù)的大小是解答此題的關(guān)鍵.

17.-26.5

【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和等于0列式，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，然后代入代

數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【詳解】回正五和|8b-31互為相反數(shù)，

Eljl-3a+|8b-31=0,

回1-3a=0,8b-3=0,

13

解得a=g,b=-,

JO

__hT]

團(tuán)-27二1—x27=27=-26.5,

故答案為-26.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)、算術(shù)平方根、絕對(duì)值、立方根等概念以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握幾個(gè)非負(fù)

數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為。是解題的關(guān)鍵.

18.±34

【分析】（1）根據(jù)題意可得m-3=0,〃-3=0,從而可得帆=3,”=3,然后代入式子中，進(jìn)行計(jì)算即可

解答；

「f2m-/?-6=0\m=2一

（2）根據(jù)已知易得2a-“-6+G（根+〃）=0,從而可得《八，進(jìn)而可得：\c，然后利用平方

\m+n={j[n=—2

根的意義，即可解答.

【詳解】解：（1）'?>（m-3）xV6+n-3=0,加和〃是有理數(shù)，

m—3=0,幾—3=0,

解得：m=3fn=3,

/.zm=3x3=9,

加〃的平方根為±3,

故答案為：±3；

（2）（2+百）根—（1—逐）〃=6,

/.2m+y/Sm—n+y/3n—6=0,

/.2m—n—6++n）=0,

???加和〃是有理數(shù)，

{2m-n—6=0

\m+n=Q

[m=2

解得：c，

[n=-2

,?,明〃是1的平方根，

x=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，平方根，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

19.⑴玉=2,X2=-2

（2）x=-2

【分析】（1）利用平方根解方程即可;

（2）利用立方根解方程即可.

【詳解】⑴解：?.?2尤2=8,

x2=4J

/.x=±2,

..X]=2,尤？=-2,

..?原方程的解為：%=2,X2=-2；

(2)解：V(X-1)3=-27,

..1——3,

..x——2,

?,?原方程的解為：x=-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用平方根、立方根解方程，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

20.(1)5

【分析】(1)根據(jù)算術(shù)平方根，立方根，進(jìn)行計(jì)算即可求解;

(2)根據(jù)算術(shù)平方根進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)解：V9-O

=3-(—2)

=3+2

二5；

(2)解：V4

=2+

=2+--4

4

3

4

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根，立方根，熟練掌握算術(shù)平方根，立方根的定義是解題的關(guān)鍵.

125

21.⑴x=m=——

9

(2)±73

【分析】（1）一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)不同的平方根的和為0,可求出X的值，把X的值代入2X-1或4X+3,得到加

的一個(gè)平方根，可求出加的值；由囪＜和＜即3＜拘＜4,得至lJ2y+2=3,求出y的值；

（2）將（1）中y的值代入1+分，求其平方根即可.

【詳解】（［）解：由題意得，2x—l+4x+3=0,

解得x=-§，

:.2x-l=--x2-l=一,

33

V9＜Vio＜A/16,即3VM＜4

的整數(shù)部分是3,

:.2y+2=3,

解得y

1125

故答案為：x=y=m=^-

（2）把y代入，l+4y=l+4x1=3

3的平方根是土道，

故答案為：土6.

【點(diǎn)睛】本題考查平方根的概念和平方根的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)不同的平方根的和為0;一個(gè)

數(shù)算術(shù)平方根的整數(shù)部分的確定方法：找到與被開(kāi)方數(shù)最接近的兩個(gè)平方數(shù)，較小的這個(gè)平方數(shù)的算術(shù)平

方根即是它的整數(shù)部分；易錯(cuò)點(diǎn)是一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)，它的平方根有兩個(gè)，且一正一負(fù).

22.（1）4,2-73

（2）5-713

【分析】（工）先估算的范圍，進(jìn)而可得它們的整數(shù)部分和小數(shù)部分，即得答案;

（2）先估算萬(wàn)-2,5-舊的范圍，可得［而-2］=1,{5-相}=4-a，再代入所求式子計(jì)算即可.

【詳解】(1)016<19<25J<3<4,

04<V19<5,-2<-^<-l,

回［啊=4；{-V3)=-A/3-(-2)=2-^:

故答案為：4,2-A/3；

（2）09<13<16.

03<V13<4,

回1<而-2<2,-4<-y/13<-3

01<5-V13<2,

國(guó)［而-2卜1,（5-