等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)典型考點(diǎn)闖關(guān)練

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考

一、單選題

1.已知x,yeR,且x>y,則（）

11八

A.-------<0B.tanx-tany>0

%y

y

C.ln|x|-ln|j；|>0D.<0

2.設(shè)—,b=t+—,c=t(2,+,其中—Iv/vO,則()

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

3.已知實(shí)數(shù)。<6,則">0”是畔〈誓的（）

bb+m

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.設(shè)。=1.01°51=1.01。6,/=。6。5,則。也。的大小關(guān)系為（

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

5.已知。=log56,b=logo52,c=e-2,比較〃，b,c的大小為（

A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

6.若負(fù)實(shí)數(shù)/滿足：對(duì)于任意總存在瓦。￡卜4刁,使得而+c=l,貝V的范圍是（）

-4-551

A.B.C.D.[-A/5-4]

，443

設(shè)”.=辟0=將則（

7.)

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

8.設(shè)實(shí)數(shù)。，b,C滿足，〃+從貝人+C的最小值為（)

右.11C.一克

AB.——D.-1

222

9.若a>b>0,且。6=1,則下列不等式成立的是

bb,1

A.ClH—<---V10g(61+Z?)B.<log2(〃+b)<Q+g

bT2

1b—1/7、1b

C.〃+習(xí)<log2(Q+b)<D.log?(a+b)<〃+Z

二、多選題

10.設(shè)。，bER+f則下列命題正確的有（）

A.若々2一/=1,則a-bvlB.若y[a—y/b=1,貝lja-b>1

C.若2a2+—=1,則〃+/?4D.若——,貝（JO<Z?—〃<1

32ab

11.若lnQ〉lnO,c￡R,則下列說法正確的是（）

22

AC/C-bb+c

A.—<—B.—<----

abaa+c

C.a3>b3D.alna>blnb

12.已知實(shí)數(shù)滿足。>0,〃>l,e"—Z2VaT—（lnZ?）T,則下列正確的是（）

A.e2a<b1B.ea>bC.ea+a>\nb+bD.a<b-l

三、填空題

13.若實(shí)數(shù)無y,z20,且x+y+z=4,2x—y+z=5,貝！JM=4x+3y+5z的取值范圍是.

14.已知。也ce（0,+s）,若上7<,<—也，則a，b,c從小到大的順序是_____.

a+bb+cc+a

cd

15.已知三個(gè)不等式（1）必>0；（2）bocd；（3）以其中兩個(gè)作條件，余下一個(gè)作結(jié)

ab

論，則可組成的真命題個(gè)數(shù)為個(gè).

16.記min｛尤,y,z｝表示羽》z中最小的數(shù).設(shè)a>0,人>0,則min,a,1」+361的最大值為______.

[baJ

四、解答題

17.已知函數(shù)/（"=/+笈+1,滿足苗<；[:1）<2,則"2）的取值范圍為？

18.已知。>0/>0,3/僅4-1）=62（1一°4）.證明:

⑴當(dāng)。>1時(shí)，0<b<l；

（2）a3b+3ab3>2y/3.

19.已知函數(shù)/（彳）=加+笈+。，且=3a>2c>2b.求證:

b3

⑴〃>0且一3<—<——

a4

⑵函數(shù)“X）在（0,2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

參考答案

題號(hào)12345678910

答案DCDDCBABBABC

題號(hào)1112

答案ACAD

1.D

【分析】對(duì)于A、B、C三個(gè)選項(xiàng)都可以用特殊值代入否定答案判斷，對(duì)于D選項(xiàng)，利用指數(shù)函數(shù)的

單調(diào)性即可判斷.

1113

【詳解】對(duì)于A,令x=2,y=—l,則——=-+1=->0,A錯(cuò)誤；

xy22

33,

對(duì)于B,令％=—兀,》=0,則tanx-tany=tan—兀-tany=-1<0,B錯(cuò)誤;

44

對(duì)于C,令％=1,〉=一2,貝i]lnM-ln3=lnl—ln2=Tn2<0,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,y=單調(diào)遞減，則時(shí)，一&]<0成立，D正確.

故選：D.

2.C

【分析】借助正負(fù)性、對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可得.

【詳解】由一故一e(—8,—1),故a=f—>0,

由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得6=/+；<_(1+1)=-2,

c=，(2+/)<0,且c=..(2+%)=,2+2%=(.+1)2—1>—1,

綜上所述，有b〈c<a.

故選：C.

3.D

【分析】化簡(jiǎn)產(chǎn)，對(duì)照條件的定義可得答案.

bb+m

.、乂ATT.—A-A-IXCl〃+加a+ma_{b-a)m

【詳解】不等式不——，等價(jià)于>0,

bb+mb+mb[b+m)b

(b—a)m

因?yàn)椤?lt;人，所以Z?—a>0,顯然機(jī)>0,不一定得出>0：

[b+rri)b

高(b—a品\m>°也不一定得出機(jī)>0.

故選：D

4.D

【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)幕、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.

【詳解】由y=LOU在R上遞增,貝！1〃=1.01°5〈==

由y=X0-5在[0,+8）上遞增，則Q=1.0產(chǎn)5>c=O.605.

所以b>a>c.

故選：D

5.C

【分析】根據(jù)尸log5x在（0,+“）上單調(diào)遞增比較a和1的大小，根據(jù)c和1的大小比較a和c的大小,

根據(jù)y=logo,5X在（0,+e）上單調(diào)遞減比較6與0的大小，根據(jù)c與0的大小比較少和c的大小.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=iogsX在（0,+8）上單調(diào)遞增,

J5ffl^a=log56<log55=l,

又c<l,所以a>c,又因?yàn)楹瘮?shù)y=log°,5X在（0,+“）上單調(diào)遞減,

=log052<log051=0,因?yàn)閏>0,

所以6<c,綜上，a>c>b.

故選：C.

6.B

【分析】由條件得到。=?，求得早的范圍，由。的取值范圍是二的子集，構(gòu)造不等式求解即

bbb

可.

【詳解】由題可知：對(duì)于任意。目7,小總存在仇ce[Tj],

使得a=二,

b

所以。的取值范圍是？的子集即可,

b

-5<c-l<Z—1

-4<c<t

111

-4<b<t-<—<——

tb4

注意至（]0<1-，41一。<5，

Z7v74V745、t-1

=>

tby74

因?yàn)?，V。，所以

-4<t

-4<r

5t-l

<-4<r<5

551

__<t---V/V—

-<-44~43

店」

/T

t<——.3

故選：B

7.A

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(》)=I學(xué)n丫，利用函數(shù)單調(diào)性確定瓦。大小，通過作差4-6,判斷正負(fù)即可確定。涉

大小即可.

【詳解】設(shè)〃同=當(dāng)，則令((x)=上亨竺=°，得x=&，

則/⑺在(0,悶上單調(diào)遞增,在(點(diǎn)+可上單調(diào)遞減，

b=f(書),c=f(&),則6>c,

?,1ln55-31n5lne5-lnl25八,

又a-b=-----=-------=---------->0,得a>b,

6103030

所以Q〉Z?>C,

故選：A

8.B

【分析】根據(jù)題意進(jìn)行轉(zhuǎn)化a+6+c2a+6+1+尸=(“+J)?+(6+“-g,利用完全平方式的性質(zhì)即

可得解.

【詳解】由4+廿wc<l可得：

a+b+c>a+b+a2+b2=(a+—)2+(Z?+—)2——>,

2222

當(dāng)4=6=時(shí)取等號(hào)，

所以a+6+c的最小值為-工.

2

故選：B

9.B

【詳角星】因?yàn)椤?gt;人>。，且"=1,所以。>l,0<Z?vl,「.，(l,log2(a+Z?》log22A/^F=l,

設(shè)〃x)=2「貝!Jra)=2'ln2—1>0,所以〃力=2<單調(diào)遞增，

a+111

所以2)>〃+—〉〃+/?=>〃+—>log2(a+b)，所以選B.

bb

【名師點(diǎn)睛】比較幕或?qū)?shù)值的大小，若塞的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函

數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較，若底數(shù)不同，可考慮利用中間量進(jìn)行比較.本題雖小，但考查的知識(shí)點(diǎn)較多，需靈活

利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式作出判斷.

10.ABC

【分析】根據(jù)給定的正實(shí)數(shù)條件，利用不等式性質(zhì)，結(jié)合選項(xiàng)的條件推理判斷ABD；令

a=^=cos0,b=^3sm0,O<0<^,借助輔助角公式及三角函數(shù)性質(zhì)求解判斷C.

【詳角星】對(duì)于A,由4一/=],得（。+1）（。-1）=4—1=/>。，而。>0,則a+l>a—1>。，

因此。?=（〃+1）（。一1）>（。一1,，即>>?—1,于是a—bvl,A正確;

對(duì)于B,由y[a—y[b=1,得y[a=1+y/b>1,即a>1,

y^a-b=+y[b）（y/a-4b）=\[a+y/b>y[a>1,B正確；

對(duì)于C,令a=~^cos?,b=6stna。<9,貝！Ja+〃=^^cose+A/5sine=^^sin（e+9）,

其中銳角。滿足sine=.,cos0=^,顯然"<。+夕<]+0,

因此當(dāng)夕+。=不時(shí)，（〃+b）max=——"?C正確；

22

對(duì)于D,由，一工=1,得b=―^—>0,0<a<l,b-a=-l-\——-——bl-a-l=-2d———+l-a,

ab1-a1—a\—a

131Q

當(dāng)1—a=—,即〃=—時(shí)，—2d-----}-l—a=—>1,即Z?—a>l,D錯(cuò)誤.

441-a4

故選：ABC

11.AC

【分析】先由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得。>6>0,利用作差法即可判斷AB,構(gòu)造函數(shù)/（司=/即可判斷

C,構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlnx,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可判斷D.

【詳解】因?yàn)閥=lnx在（0,+8）為增函數(shù)，由lna>lnb有a>6>。，b-a<0

對(duì)于A：由且上/"a）,因?yàn)?2上0,所以：一2二^伍一十6一丁山故A正確；

ababababab

bb+cc（b-a\bb+cc（b-a\hb+c

對(duì)于B：由-------=-）—（,當(dāng)CVOM+C>O時(shí)，--------=-）―（>°，即巳〉”反，故B錯(cuò)

aa+ca^a+c）aa+ca（a+c）aa+c

誤;

對(duì)于C：令〃x）=V,可知/（x）在R上單調(diào)遞增，由a>6>0有03>凡故C正確;

對(duì)于D：令g(x)=xlnx,貝！|g'(x)=l+lnx,由g'(x)>0有，g'(x)<0有0(尤<L

所以g(x)在(0,上單調(diào)遞減，在g,上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，g(a)>g(Z?)=>olnfl>Z?ln/?,

當(dāng)0<b<a〈!時(shí)，g(a)<g(6)nalna<blnb,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.AD

【分析】通過對(duì)已知不等式進(jìn)行變形，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得出a<lnb,進(jìn)而推導(dǎo)各選項(xiàng)

的正確性.

【詳解】對(duì)不等式進(jìn)行變形化簡(jiǎn)得：

aIn。

設(shè)〃%)=/」,尤>0.

尤

求導(dǎo)得：/(力=1+：>0.

所以函數(shù)在(。,+8)上單調(diào)遞增.

由/⑷</(lnb),且函數(shù)單調(diào)遞增，可得a<lnb,即e"<b.

對(duì)于選項(xiàng)A：

因?yàn)閑"<8,所以平方可得即e2a<〃.A正確.

對(duì)于選項(xiàng)B：

取反例，當(dāng)Q=1/=3時(shí)，e1-3<0<l-(ln3)-1,滿足題意.

而ed;=evZ?=3,所以B錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C：

取反例，當(dāng)。=1,。=3時(shí)，

計(jì)算選項(xiàng)C的左邊為e+lv4,右邊ln3+3>4,

此時(shí)小+"1昉+6,C錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)D：

令g(x)=lnx-x+l,求導(dǎo)得夕(無)=^-1,可以看出該導(dǎo)數(shù)在(1,收)上小于0.

所以g(%)在(1,+00)上單調(diào)遞減，所以g(x)vg⑴=0.

因?yàn)閎>l,所以g(b)=lnb-b+l<。，所以

由前面可知〃<lnb,所以avh-1,所以選項(xiàng)D正確.

故選：AD.

13.[15,19]

O7747

【分析】先得至b=3-?,y=l并根據(jù)x,y,zN0得到04z<3,從而求出M=方+15415,19].

2zz

【詳解】因?yàn)閤+y=4-z,2x-y=5-z,故x=3j=

3-->0

3

7

由九,y,zNO得<1一§20,解得0<z<3,

z>0

故M=4x+3y+5z=413-F[+3]l-￡|+5z=.+15e[15,19].

故答案為：[15,19]

14.c<a<b

【分析】利用不等式的性質(zhì)將原不等式化成」二<「一<」一，結(jié)合條件，進(jìn)一步化成

a+bb+cc+a

a+b>b+c>c+a,即可比較大4、.

【詳解】由三<4（上可得三+1<4+1<上+1,

a+bb+cc+aa+bb+cc+a

a+b+ca+b+ca+b+c

即an-------<-------<-------,

a+bb+cc+a

因。，仇?！辏?,+8）,〃+Z?+c>0,貝!J有0<——v—^―,

a+bb+cc+a

故得：a+b>b+c>c+a,

由a+b〉Z?+c可得由b+c>c+a可得

于是有c<a<b.

故答案為：c<a<b.

15.3

【分析】根據(jù)所給條件組合不同命題，結(jié)合不等式性質(zhì)判斷各命題的真假即可.

【詳解】若龍>0,bc>ad,則工〉鄉(xiāng)，

ab

hradcd

因?yàn)楸?gt;0,bc>ad,所以不等式兒,ad兩邊同時(shí)除以得一〉丁，即一>7，

ababab

所以，由〃b〉0,be>ad可得成立；

fab

cd

若ab>0,—>—,貝（JZ?c>.

ab

cdcd

因?yàn)橐弧狄?，ab>0,所以一xab>—xa。，即拉:>ad,

abab

cd

所以，由而>0,—>—,可得。o>公/成立;

ab

cd

若be>ad,—>—,則必〉0.

ab

srcd匚匚2cdbe-ad

因m為一〉丁，所以一一-=--->0n.

ababab

因?yàn)榇?>加，所以8c-勿Z>0,所以必>0,

cd

所以，由歷>公/,—>—,可得而>0成立,

ab

所以組成的3個(gè)命題都是真命題.

故答案為：3

16.2

【分析】分。是否大于:進(jìn)行討論，由此即可簡(jiǎn)化表達(dá)式，若貝|可以得至Ijmin[a4+3b1w2,

bbLaj

并且存在a=2"=1,使得min，〃」+3/71=2,,同理時(shí)，我們可以證明min[a，!」+3b]<2,

2IaJb[baJ

由此即可得解.

【詳解】^a<~,貝|曲<1,此時(shí)min]a，7/+3z4=min]〃,一+3/4，

b[baJtaJ

因?yàn)閍[L+3b]=l+3abV4,所以。和,+3b中至少有一個(gè)小于等于2,

\a）a

所以min1a,1+3b]V2,又當(dāng)q=2,6時(shí)，a=—=—+3b=2,

IaJ2ba

所以min[cz,；1+361的最大值為2.

LbaJ

若a>L則必>1,此時(shí)minJa」—+3/4=min<j!」+36],

b{baJ[baJ

因?yàn)?（』+3小=4+3<4,所以:和工+3b中至少有一個(gè)小于2,

b\aJabba

所以min]〃，!」+3Z?]<2.

LbaJ

綜上，min[a，!」+3r的最大值為2.

LbaJ

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是分。是否大于:進(jìn)行討論，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可順利得解.

b

17.[3,11]

\\<a+b<3/、

【分析】由條件得再利用待定系數(shù)法表示4a+26=3（4+6）+°-6,

根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由］［。2”</高（l）<會(huì)4得（［l-<a+-b<31,〃/2、）=4.+26+1,

/\/\\A+B=4fA=3

^a+2b=A（a+b）+B（a-b）,貝解得5=］，

/、，［l<a+b<3,［3<3（t2+Z?）<

所以4。+2b=3（。+6）+。一6,由“，八,可得，IJ,

所以2<4。+26<10,則可得34/⑵411.

18.(1)證明見解析

⑵證明見