2024-2025學年六年級數(shù)學上冊典型例題系列

第四單元：比中的“不變量問題”專項練習

1.“雙減”課后服務(wù)活動中，數(shù)學文化研究小組有42人，其中男,女生人數(shù)

的比是6：1。后來又加入一些女生，這時男、女生數(shù)的比為4：3。這個小組增

加了多少名女生？

【答案】21人

【分析】根據(jù)題意可知，男生人數(shù)不變，有42乂工=36（名），女生有42一

o+i

36=6（名），后來女生人數(shù)占男生人數(shù)的：，根據(jù)分數(shù)乘法的意義，用36X：

即可求出變化后的女生人數(shù)，再減去原來的女生人數(shù)即可。

【詳解】42x/-=36（名）

6+1

42-36=6（名）

3

36X--6

4

=27-6

=21（名）

答：這個小組增加了21名女生。

【點睛】解答本題的關(guān)鍵是明確男生人數(shù)不變，進而根據(jù)分數(shù)乘法的意義求出

后來女生人數(shù)。

2.周口海洋館的6大類表演節(jié)目精彩紛呈，吸引了許多觀眾。表演開始前，小

明統(tǒng)計出海豚劇場與企鵝園的觀眾人數(shù)比為2：3,后來有4名觀眾從海豚劇場

去了企鵝園，此時海豚劇場與企鵝園的人數(shù)比變?yōu)?：2,求兩個場館共有多少

名觀眾？

【答案】60名

【分析】據(jù)題意，表演開始前，小明統(tǒng)計出海豚劇場與企鵝園的觀眾人數(shù)比為

2：3,此時海豚劇場觀眾人數(shù)是總?cè)藬?shù)的?，企鵝園觀眾人數(shù)是總?cè)藬?shù)的（，

后來有4名觀眾從海豚劇場去了企鵝園即海豚劇場觀眾人數(shù)少了4人而企鵝園

觀眾人數(shù)多了4人，設(shè)兩個場館共有年名觀眾，則此時海豚劇場觀眾人數(shù)是

（fx-4），企鵝園觀眾人數(shù)是（：x+4）,根據(jù)比例的基本性質(zhì)和此時海豚劇

場與企鵝園的人數(shù)比變?yōu)?:2,列式解答即可。

【詳解】解：設(shè)兩個場館共有X名觀眾。

^%-4jx2=f-|x+4jxl

—x+4=—x-8

55

43

-x一一x=4+8

55

-x=12

5

X=124-—

5

%=60

答：兩個場館共有60名觀眾。

【點睛】本題考查比例的實際應(yīng)用，找出題目中人數(shù)變化和比的變化的關(guān)系是

解題的關(guān)鍵。

3.一杯糖水，糖和水的質(zhì)量比是1：10。若再放2克糖，糖和水的質(zhì)量比則是

1：8o杯中糖水里原有糖和水各多少克？

【答案】糖：8克；水：80克

【分析】根據(jù)題意，水的重量始終沒變，把水的質(zhì)量看作單位“1”，原來糖的

質(zhì)量占水的分率：1?10=白；放2克糖后，糖的質(zhì)量占水的分率：1；

1Uo

將兩個分率相減得到2克糖對應(yīng)的分率，再根據(jù)：單位“1”=對應(yīng)量4■對應(yīng)量

的分率，求出原來水的重量，再乘:即可求出原來糖的質(zhì)量。

【詳解】1+10=:

11

8-10

1

=24-

40

=80（克）

80X，=8（克）

答：杯中糖水里原有糖8克和水80克。

【點睛】此題考查了比與分數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵能夠?qū)⒈绒D(zhuǎn)化為分率再解答。

4.六（2）班有45名學生，女生人數(shù)是男生人數(shù)的］。轉(zhuǎn)走幾名女生后，這時

女生人數(shù)占全班的轉(zhuǎn)走了幾名女生？

【答案】3名

【分析】因為轉(zhuǎn)走的是女生，所以男生人數(shù)不變。此題可采用抓不變量的方法

解決。女生人數(shù)是男生人數(shù)的g,說明女生人數(shù)與男生人數(shù)的比是2：3,把45

名按2：3分配求出男生人數(shù)。幾名女生轉(zhuǎn)走后，男生占現(xiàn)在全班的（1-

：）。已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)的問題的解法：已知量《已知

量占單位“1”的幾分之幾=單位“1”的量。據(jù)此用男生人數(shù)+（1—金）即

14

可求出現(xiàn)在全班的人數(shù)。最后用原來全班的人數(shù)一現(xiàn)在全班的人數(shù)，即可求出

轉(zhuǎn)走的女生人數(shù)。

【詳解】45X金

3

=45X-

=27（名）

=42（名）

45-42=3（名）

答：轉(zhuǎn)走了3名女生。

【點睛】在解決稍復雜的分數(shù)問題時，可以運用轉(zhuǎn)化法把關(guān)于分數(shù)的問題轉(zhuǎn)化

為比的問題來解決。

4

5.有甲、乙兩個糧倉，甲糧倉存糧的質(zhì)量是乙糧倉存糧質(zhì)量的,。若把甲糧倉

中的1200千克糧食運進乙糧倉，這時甲、乙兩個糧倉存糧的質(zhì)量比是2：5O

甲、乙兩個糧倉原來各有存糧多少千克？

【答案】甲糧倉5600千克；乙糧倉9800千克

【分析】把甲、乙兩糧倉的總存糧看作單位“1”，原來甲糧倉存糧占總存糧的

占，原來乙糧倉存糧占總存糧的把甲糧倉中的1200千克糧食運進乙糧

倉，甲、乙兩糧倉的總存糧不變，此時乙糧倉存糧占總存糧的金，1200千克

糧食占總存糧的（言―￡），根據(jù)量+對應(yīng)的分率=單位“1”求出兩個糧

倉的總存糧，最后用分數(shù)乘法求出甲、乙兩個糧倉的存糧噸數(shù)，據(jù)此解答。

【詳解】甲、乙兩糧倉存糧：1200+

2+57+4

=12004--

77

=15400（千克）

4

甲糧倉：15400X二

4

=15400X—

=5600（千克）

7

乙糧倉：15400乂不

7

=15400X—

11

=9800（千克）

答：甲糧倉原來有存糧5600千克，乙糧倉原來有存糧9800千克。

【點睛】找出題目中的單位“1”，抓住不變量“兩個糧倉的存糧總噸數(shù)”，并

利用分數(shù)除法求出存糧總噸數(shù)是解答題目的關(guān)鍵。

6.甲、乙兩箱粉筆的盒數(shù)之比是5：2,如果從甲箱里取出18盒放入乙箱后，

甲、乙兩箱粉筆的盒數(shù)之比是8：5。那么甲、乙兩箱粉筆各有多少盒？

【答案】甲箱：130盒；乙箱：52盒

【分析】根據(jù)比的意義可知，甲箱的盒數(shù)是5份，乙箱的盒數(shù)是2份，即甲盒

占了總份數(shù)的三，當甲箱取出18盒后，由于兩箱總盒數(shù)不變，此時甲箱的盒

數(shù)占總份數(shù)的：高，由此即可知道取出的18盒占的分率是：根

O+JZ+JO+J

據(jù)公式：對應(yīng)量+對應(yīng)分率=單位“1”，把數(shù)代入公式即可求出一共多少盒,

之后再乘甲占總共的分率即可求出甲箱的盒數(shù)，之后用總盒數(shù)減去甲箱的盒數(shù)

即可求出乙箱的盒數(shù)。

【詳解】保仁一孩）

=184--

91

=182（盒）

182X^5

=182x1

=130（盒）

182-130=52（盒）

答：甲箱粉筆有130盒，乙箱粉筆有52盒。

【點睛】本題主要考查按比例分配解應(yīng)用題，要找準對應(yīng)量和對應(yīng)分率是解題

的關(guān)鍵。

7.甲乙兩包糖的塊數(shù)比是4：1,如果從甲包取出13塊放入乙包，甲乙兩包糖

的塊數(shù)比為7：5,那么原來兩包糖各有多少塊？

【答案】甲：48塊；乙：12塊

【分析】把甲、乙兩包糖的塊數(shù)看作單位“1”，則乙包糖的塊數(shù)占總塊數(shù)的

占，從甲包中取出13塊糖放入乙包中，乙包糖的塊數(shù)占總塊數(shù)的乙，乙包

糖的塊數(shù)增加了（鼻一占），又因增加的分率對應(yīng)的量是13塊，用對應(yīng)量

除以對應(yīng)分率就是兩包糖的總塊數(shù)；再分別乘原來甲、乙兩包糖占總量的分

率，即可求出原來兩包糖各有多少塊。

【詳解=3+舄-2）

=60（塊）

44

60X=60X—=48（塊）

4+15

60X—=60X-=12（塊）

4+15

答：原來甲包糖有48塊，乙包糖有12塊。

【點睛】解答此題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩包糖的總塊數(shù)不變，求出取出13塊糖

所對應(yīng)的分率是解題的關(guān)鍵。

8.一批水果，剩下的質(zhì)量是賣出的質(zhì)量的g,又賣出50千克后，剩下的質(zhì)量

與賣出的質(zhì)量的比是2：8。這批水果共有多少千克？（列方程解答）

【答案】1000千克

【分析】開始剩下的質(zhì)量是賣出的質(zhì)量的g,說明總質(zhì)量有1+3份，賣出質(zhì)量

有3份，賣出質(zhì)量是總質(zhì)量的幣，又賣出50千克后，剩下的質(zhì)量與賣出的質(zhì)

量的比是2：8,說明此時賣出質(zhì)量占總質(zhì)量的工，設(shè)這批水果共有x千克，

根據(jù)總質(zhì)量X開始賣出質(zhì)量對應(yīng)分率+又賣出的質(zhì)量=總質(zhì)量X最終賣出質(zhì)量

的對應(yīng)分率，列出方程解答即可。

【詳解】解：設(shè)這批水果共有x千克。

3-4

-x+50=—x

45

43/

—x——x=50

54

—xX20=50X20

20

x=1000

答：這批水果共有1000千克。

【點睛】關(guān)鍵是理解分數(shù)乘法和比的意義，用方程解決問題的關(guān)鍵是找到等量

關(guān)系。

9.甲、乙兩個車間原有人數(shù)比4：3,從甲車間調(diào)48人到乙車間，甲、乙兩個

車間現(xiàn)有人數(shù)比2：3,甲、乙兩個車間原有人數(shù)各多少人？

【答案】甲車間160人；乙車間120人

【分析】從甲車間調(diào)48人到乙車間，甲乙兩車間的總?cè)藬?shù)不變，原來甲占兩車

間總?cè)藬?shù)的4士，現(xiàn)在甲占兩車間總?cè)藬?shù)的9喜，兩個分率之差對應(yīng)從甲車間

調(diào)去乙車間的人數(shù)，根據(jù)“量+對應(yīng)的分率”求出兩個車間的總?cè)藬?shù)，再根據(jù)

比的應(yīng)用求出甲、乙兩車間原有的人數(shù)，據(jù)此解答。

【詳解】48+（占-金）

=484-（y-y）

=484--

35

=280（人）

4

甲：280X1=160（人）

乙：280X7^=120（人）

4+3

答：甲車間原有160人，乙車間原有120人。

【點睛】抓住題中的不變量，并利用分數(shù)除法求出兩個車間的總?cè)藬?shù)是解答題

目的關(guān)鍵。

10.甲乙兩桶汽油，汽油重量之比為3：2,甲桶汽油向乙桶倒5千克，則甲乙

汽油重量之比變?yōu)?：7,則原來兩桶汽油一共有多少千克？

【答案】75千克

【分析】設(shè)原來兩桶汽油一共有x千克，汽油從甲桶倒向乙桶，總質(zhì)量沒變，

汽油總質(zhì)量+原來總份數(shù)又原來甲桶對應(yīng)份數(shù)一汽油總質(zhì)量+現(xiàn)在總份數(shù)義現(xiàn)

在甲桶對應(yīng)份數(shù)=5千克，據(jù)此列出方程解答即可。

【詳解】解：設(shè)原來兩桶汽油一共有x千克。

x4-（3+2）X3—x4-（8+7）X8=5

x4-5X3-x4-15X8=5

38工

嚴一mx=5

—xX15=5X15

15

x=75

答：原來兩桶汽油一共有75千克。

【點睛】關(guān)鍵理解比的意義，明白總質(zhì)量不變，找到等量關(guān)系列出方程解答即

可。

11.未未和萊拉原有圖書數(shù)量的比是2：3,未未又買來24本書后，未未和萊

拉現(xiàn)在圖書數(shù)量的比是6：7,則原來未未有多少本書？萊拉有多少本書？

【答案】84本；126本

【分析】設(shè)原來共有x本書，未未又買來24本書后，現(xiàn)在共有（x+24）本，

萊拉的圖書數(shù)量沒變，根據(jù)原來總本數(shù)?原來總份數(shù)X原來萊拉對應(yīng)份數(shù)=現(xiàn)

在總本數(shù)+現(xiàn)在總份數(shù)X現(xiàn)在萊拉對應(yīng)份數(shù)，列出方程，求出x的值是原來總

本數(shù)，原來總本數(shù)?原來總份數(shù)，求出一份數(shù)，一份數(shù)分別乘原來未未和萊拉

的對應(yīng)份數(shù)即可求出他們原來的本數(shù)。

【詳解】2+3=5（份）

6+7=13（份）

解：設(shè)原來共有x本書。

x4-5X3=（x+24）4-13X7

37

—x="—（x+24）

513

-3x=-7x十,——168

51313

-3X---7X=-X7十.——168---7-X

513131313

4、/65168..65

654134

x=210

2104-（2+3）

=2104-5

=42（本）

42X2=84（本）

42X3=126（本）

答：原來未未有84本書，萊拉有126本書。

【點睛】關(guān)鍵是理解比的意義，用方程解決問題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系。

12.六年級學生報名參加數(shù)學興趣小組，參加的同學是六年級總?cè)藬?shù)的，后

來又有20人參加，這時參加的同學與未參加同學的人數(shù)比是3：4。六年級一

共有多少人？

【答案】210人

【分析】把六年級的學生總數(shù)看作單位“1”，原來參加興趣小組的人數(shù)占總?cè)?/p>

數(shù)的j現(xiàn)在參加興趣小組的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的后來又參加的20人對應(yīng)

的分率為兩個分數(shù)的分率之差，利用“量+對應(yīng)的分率”即可求得六年級的總

人數(shù)，據(jù)此解答。

【詳解】20-(右3一；1)

=20+(")

=2。4

=210(人)

答：六年級一共有210人。

【點睛】題中六年級學生的總?cè)藬?shù)不變，找出后來又參加人數(shù)對應(yīng)的分率是解

答題目的關(guān)鍵。

13.甲、乙兩瓶藥液質(zhì)量的比是4：1,如果從甲瓶中取出13g倒入乙瓶后，甲

乙兩瓶藥液質(zhì)量的比變成了7：5,甲、乙兩瓶藥液原來各有多少克？

【答案】甲液原來有48克、乙藥液原來有12克。

【分析】甲乙兩瓶藥液的質(zhì)量之和沒有發(fā)生變化，則原先甲乙兩瓶藥液的質(zhì)量

之和看做5份，現(xiàn)在甲乙兩瓶藥液的質(zhì)量之和看做12份，統(tǒng)一成60份后，甲

藥液由原來的48份，變成現(xiàn)在的35份，少了13份，每一份是1克，據(jù)此求出

甲'乙兩瓶藥液原來各有多少克即可。

【詳解】4：1=(4X12)：(1X12)=48：12

7：5=(7X5)：(5X5)=35：25

134-(48—35)

=134-13

=1(克)

甲：1X48=48(克)

乙：1X12=12(克)

答：甲液原來有48克'乙藥液原來有12克。

【點睛】本題考查按比分配，解答本題的關(guān)鍵是掌握按比分配解決問題的方

法。

14.一個書架上層和下層的本數(shù)比4：5,如果把上層拿120本到下層，這樣下

層剛好是上層的2倍，這個書架原來上層有多少本？

【答案】480本

【分析】根據(jù)“這樣下層剛好是上層的2倍”可知，后來上層與下層的本數(shù)比

為1：2；原來上層本數(shù)是總本數(shù)的后來上層本數(shù)是總本數(shù)的，據(jù)此可

知，上層拿出的120本占總本數(shù)的（一；，根據(jù)分數(shù)除法的意義求出總本數(shù),

再乘原來上層本數(shù)占總本數(shù)的分率即可。

【詳解】后來上層與下層的本數(shù)比為1：2；

414

120.（廠X9

=1204--X-

99

=480（本）；

答：這個書架原來上層有480本。

【點睛】先求出后來上層與下層的本數(shù)比是解答本題的關(guān)鍵，進而求出上層拿

出的120本占總本數(shù)的分率，再根據(jù)分數(shù)乘除法的意義解答。

15.某學校六年級加入公益活動和沒加入公益活動的人數(shù)之比是8：5,后來又

有20名學生參與進來，這時參與公益活動與沒參與的人數(shù)之比是10：3,這個

年級有多少名學生？

【答案】130名

【分析】總?cè)藬?shù)沒變，即單位“1”沒變，用20名學生+對應(yīng)分率=總?cè)藬?shù),

據(jù)此列式解答。

108

【詳解】204-（）

10+38+5

=204-

1313

=2。1

=130（名）

答：這個年級有130名學生。

【點睛】關(guān)鍵是確定單位“1”，理解分數(shù)除法和比的意義。

16.學校閱覽室里有36名學生在看書，其中男生和女生的比是5：4,后來又

有幾名女生來看書，這時女生人數(shù)占所有看書人數(shù)的《，問后來又有幾名女生

來看書？

【答案】4名

【分析】根據(jù)題意，閱覽室有36人，男生和女生比是5：4,男生占總?cè)藬?shù)的

三4，女生占總?cè)藬?shù)的4二，求出男生和女生人數(shù)；后來又來了幾名女生，這時

女生人數(shù)占所有看書人數(shù)的《，就是說男生和女生人數(shù)一樣多，用男生人數(shù)減

去原來女生人數(shù)，就是后來幾名女生，即可解答。

【詳解】男生和女生一共有5+4=9（份）

男生占:女生占：

男生人數(shù)有：36x|=20（人）

女生人數(shù)有：36X1=16（人）

20-16=4（人）

答：后來又來了4名女生。

【點睛】本題考查按比例分配問題，以及求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用乘

法。

17.甲筐有蘋果80千克，乙筐有蘋果60千克，從乙筐取出多少千克給甲筐

后，可以使甲、乙兩筐蘋果的質(zhì)量比是5：2?

【答案】20千克

【分析】乙筐取出一部分給甲筐后，總量不變，還是140千克，把140千克按

比分配，求出最后的重量，然后求給了多少千克。

【詳解】（80+60）*5+2）

=140+7

=20（千克）

20x2=40（千克）

60-40=20（千克）

答：乙筐取出20千克給甲筐。

【點睛】見比設(shè)份是求解按比分配問題最常用的方法，先求出一份量是多少，

再求出多份量。

18.甲、乙兩袋糖果的質(zhì)量之比是3：2,如果從甲袋糖果中拿出5千克放入乙

袋，這時甲、乙兩袋糖果的質(zhì)量之比是1:1o兩袋糖果一共重多少千克？

【答案】50千克

【分析】甲、乙兩袋糖果的質(zhì)量之比是3：2,甲袋比乙袋多3—2份，甲袋拿

出多出份數(shù)的一半放入乙袋，兩袋質(zhì)量相等，