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文檔簡介
第04講基本不等式
目錄
01常考題型過關(guān)練
題型01由基本不等式比較大小
題型02由基本不等式證明不等關(guān)系
題型03基本不等式求積的最大值
題型04基本不等式求和的最小值
題型05基本不等式"1"的妙用求最值目
題型06條件等式求最值目
題型07基本不等式的恒成立問題星]
題型08基本(均值)不等式的應用國
02核心突破提升練
01
??碱}型過關(guān)練
01由基本不等式比較大小
1.已知a,b>0,A等J,G=/(癡),//=]言],試寫出人,G,"的大小關(guān)
系,
【答案】A<G<H
【知識點】比較函數(shù)值的大小關(guān)系、由基本不等式比較大小、判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性
【分析】根據(jù)基本不等式易得疝21,進而結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小即可.
【詳解】由,/>。,則歲之益,當且僅當〃=人時等號成立,
-^rr=,當且僅當〃=〃時等號成立,
a+b24ab
a+br—2ab
2a+b
因為函數(shù)為減函數(shù),
所以歲[v/(痣)言),即AWG4H.
故答案為:A<G<H.
2.若log&2+l)<log"(2a),則實數(shù)”的取值范圍是
【答案】(0,1)
【知識點】由基本不等式比較大小、由對數(shù)(型)的單調(diào)性求參數(shù)
【解析】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),涉及基本不等式,由基本不等式得標+1>2-進而判定函數(shù)y=iog'x
的單調(diào)性,從而確定。的范圍.
【詳解】由基本不等式得儲+122a,且回axl,團"等號"不能取到,
回4+1>2a,
22
若a>1,則y=log”%為單調(diào)遞增函數(shù),于是logja+1)>logfl(2a),與loga(a+1)<loga(2a)矛盾;
22
若0<a<1,則y=log。%是單調(diào)遞減函數(shù),此時log。(a+1)<loga(2a),滿足loga(a+1)<log”(2a),
/.aG(0,1)
故答案為(0,1).
【點睛】注意基本不等式取等號的條件在這里不成立,從而得到"+l>2a,然后分類討論,看是否滿足題
3.(2025?上海黃浦?二模)設玉<々<三<尤4,隨機變量X取值均、%、與、Z的概率均為0.25,隨機變
量X1取值土產(chǎn)、石產(chǎn)、號區(qū)、玉公的概率也均為0.25,隨機變量X?取值2%-%、2X2-X3、2x3-匕、
2%-玉的概率也均為025.若記。[X]、。區(qū)]分別為X1、X2的方差,則()
A.D[Xj<D[X2]
B.D[XJ]=D[X2]
c.D[XJ>D[X2]
D.。國]與MX?]的大小關(guān)系與毛、%、三、匕的取值有關(guān)
【答案】A
【知識點】由基本不等式比較大小、平均數(shù)的和差倍分性質(zhì)、計算幾個數(shù)據(jù)的極差、方差、標準差、各數(shù)
據(jù)同時乘除同一數(shù)對方差的影響
【分析】根據(jù)隨機變量X1,Xz的取值情況,計算出它們的期望和方差,再借助均值不等式即可判斷作答.
【詳解】由隨機變量X”Xz的取值情況,它們的期望分別為:
廠V1.X+xx+X,X+X17、
EX】=z(-1yA224=](玉+w+忍+Z),
x
EX2=;(2七一馬+29~3+2七一%+2%—%)=;(玉+X2+兀3+/),即EX?=EX1,
=1[(A±^Z)2+(^±^)2+(^±^4)2+(^±i)2]_(£X)2,
42222
22(X;+X;+%;+工:)+2%%2+2%2工3+2工314+2%4工1
貝頻與上T+)2?(%3+%4)2?(乂+%)
一4
同理DX?=;[(2占一尤2)2+(2無2-泡)2+(2$一無4)2+(2%—占)2]-(加2)2,
則(2王一々)2+(2%-%3)2+(2%—%4)2+(24—%A=5(X^+%;+宕+—4(3々+/毛+毛]4+及玉)
則。[X2]-。國]
XX
+其+考+X:)+(工科2+23+尤3%4+X4工1)
J.5(%;+%;+6+%:)―4(石々+X2X3+X3X4+)一
42
+%;+%;+%:)一(再/+X2X3+X3X4+X4X1
8
x
因為無;+工;之2%%2,%;+考>2X3X2,X3+4-2%4%3,%;+%:N2X4X1
所以X;+X;+%;+X:>XrX2+X2X3+X3X4+X4Xj,
因為王<兀2<工3<X4,不能取等號,所以片+%;+%;+%:>再入2+工2工3+工3工4+工4%1,所以。[X2]-Z)[X]]>。
所以。區(qū)]>。國].
故選:A.
4.右a、5eR+,且awZ?,則下列關(guān)系式中不可能成立的是()
a+b2ablaba+b
A.1>A/O^-1|>1B.1>1>
2a+ba+b2
laba+blaba+b
C.1>1D.>1>1
a+b2a+b2
【答案】D
【知識點】由基本不等式比較大小、由基本不等式證明不等關(guān)系、比較函數(shù)值的大小關(guān)系、根據(jù)解析式直
接判斷函數(shù)的單調(diào)性
【分析】構(gòu)造函數(shù)/⑴=卜-1|,根據(jù)/(X)在X>1單調(diào)遞增,在X<1單調(diào)遞減,結(jié)合基本不等式可得
?>痛>當即可根據(jù)選項求解.
2a+b
【詳解】設〃x)=kT,xx=—,x2=4ab,W=當,
2a+b
a+bI—2ab2ab/~~
因為。wZ?,---->yjab,<一j==7ab,所以七〉/〉七,
2a+blyjab
如圖,“X)在X>1單調(diào)遞增,在X<1單調(diào)遞減,
故當再>無2>1時,/(X)單調(diào)遞增,所以/(%)>/(%)>/(忍),即@1^一1>1必-“>,故A
正確,
故當1>玉>%EI寸,/(X)單調(diào)遞減,所以/(%)</(%)</(花),即色/一1<|而一1|<,故C
正確,
當玉>1>%>當時,如圖</(%)</(%3),即■ff5一1>>1痣T,故B正確,
若芯>1>%>尤3,則/(%)</(工3),若玉>1>尤3則■/■(%)>〃9),所以不可能出現(xiàn)
/(%)</(&)</(%),所以D錯誤,
故選:D
2
5.(1)a>b>0,比較。(a-。)與幺的大?。?/p>
4
25
(2)已知a>Z?>。,求代數(shù)式。?+-...云的最小值及取最小值時。涉的值.
b{a-b)
【答案】(1)b{a-b)<--(2)"+,,5的最小值20,a=麗,6=①
4b(a-b)2
【知識點】基本(均值)不等式的應用、由基本不等式比較大小、基本不等式求積的最大值、基本不等式
求和的最小值
【分析】(1)利用基本不等式即可得解;
(2)由(1)知0<b(a-6)4幺,-,再利用基本不等式即可得解.
4b(a-b)a
【詳解】(1)a>b>0,:.a-b>0,
——22
:.b(a-b)<"(a—b)=幺,當且僅當6=1—b,即2b=。時,等號成立.
_2J4
2
所以貼一份4幺.
4
2
a14
(2)由(1)知0<。(〃一。)4—,77-^
4b(a-b)a
2.252,10°、D~1°0也日捫由〃210°葉而一―
a+------>a+—>2.a?—=20,當且僅當。=--時取等節(jié),
b(a-b)ar\aa
b=a-bri—
__a=J10
25inn
顯然要使江=20成立,需滿足〃=F,解得M
u\o.—u)ab=—
a>Q2
綜上可知,當。=可/=巫,代數(shù)式/+二八取得最小值20.
2b(a-b)
【點睛】易錯點睛:利用基本不等式求最值時,要注意其必須滿足的三個條件:
(1)"一正"就是各項必須為正數(shù);
(2)"二定"就是要求和的最小值,必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值;要求積的最大值,則必須把構(gòu)成
積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值;
(3)"三相等"是利用基本不等式求最值時,必須驗證等號成立的條件,若不能取等號則這個定值就不是所
求的最值,這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.
期型【02由基本不等式證明不等關(guān)系
6.設4,。2,%,。4是四個正數(shù).
(1)已知01a2=1,求證:(1+4)(1+%)24;
(2)已知。+4乂1+<72乂1+03)(1+%)<16,求證:如出,4,%中至少有一個小于1.
【知識點】由不等式的性質(zhì)證明不等式、由基本不等式證明不等關(guān)系、反證法證明
【分析】(1)根據(jù)4M2為正數(shù),Q的=1,將(1+2(1+%)展開利用基本不等式即可證明。+2(1+%”4
成立;(2)采用反證法證明即可.
【詳解】(1)證明:4,。2>。,???=1,
(l+oj^+a,)=1+0)+/+o1a2N2+21a1a2=4,
當且僅當q=%=l成立,得證.
(2)證明:假設都大于等于1,那么有4+lN2g+lN2,%+122,%+122
四式相乘可得(1+0)。+02)(1+/)(1+g)216與小于16矛盾.
故假設錯誤,即中至少有一個小于1.
7.若正數(shù)。、6滿足:a+b=l.
⑴求證:J2a+1+J2b+142拒;
(2)求『1+行7的最小值.
【答案】(1)證明見解析;(2)2A/3.
【知識點】由基本不等式證明不等關(guān)系、基本不等式求和的最小值
【解析】(1)利用基本不等式求得(、團斤+<8,即可證得結(jié)論成立;
(2)計算得出
的最小值.
【詳解】(1)因為正數(shù)。、%滿足a+6=l,
貝I](j2a+l++=2a+l+2b+l+2j(2a+l)(26+l)W4+(2a+l+2b+l)=8,
當且僅當。=6=(時,等號成立,
所以,J2a+1+J26+1V2近;
所次即+日22G
因此,JjZi+JQ的最小值為2石.
【點睛】易錯點睛:利用基本不等式求最值時,要注意其必須滿足的三個條件:
(1)"一正二定三相等""一正"就是各項必須為正數(shù);
(2)"二定"就是要求和的最小值,必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值;要求積的最大值,則必須把構(gòu)成
積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值;
(3)"三相等"是利用基本不等式求最值時,必須驗證等號成立的條件,若不能取等號則這個定值就不是所
求的最值,這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.
8.已知實數(shù)〃也0均大于0,證明:。僅2+02)+6(02+Q2)+C(Q2+/)之6〃仇\
【知識點】由基本不等式證明不等關(guān)系
【分析】利用基本不等式證明.
【詳解】+C2)+Z?(C2+4Z2)+C(4Z2+Z?2)
>a'2bc+b'2ac+C-2ab—6abc,
當且僅當Q=b=c時取等號,證畢.
c/.、n/rrf-1-P-'-r4+lQ+l
9.(工)已矢口a>1,:----<----;
a—1a—1
(2)已知正數(shù)%、y滿足x+3y=2,求證:-+->2+73
%y
【知識點】基本不等式"1〃的妙用求最值、由基本不等式證明不等關(guān)系、作差法比較代數(shù)式的大小
【分析】(1)運用作差比較法作差通分整理后即可證明;
⑵利用常值代換法和基本不等式即可求得?;的最小值,從而得證.
+1a+1(a2+1)—(〃+1)2—2a
【詳解】(1)由
片一1CI—1a2-la2-l
因則〃2一1>。,-2a<0,故F~7<。,
a-1
即得W<£±1,故得證;
ci—1a—1
(2)因正數(shù)x、y滿足%+3y=2,
1111I、,。3yx、
則—+—=7(Z_+_)(x+3y)=7(4+=+—)
xy2xy2
手+2
3Vx
當且僅當工=一時等號成立.
xy
3yxx=-\/3—1
由<%了解得:<
y=l----
x+3y=2I3
即當%=V3-1,時等號成立'故得正
敢型03基本不等式求積的最大值
10.設a>0,b>0,若2a+b=8,貝!I的最大值為.
【答案】8
【知識點】基本不等式求積的最大值
【分析】根據(jù)基本不等式可求而的最大值.
【詳解】由題意得,ab=-mabW-2-1?428,
22猴22
當且僅當2a=b,即a=21=4時取等號,
團必的最大值為8.
故答案為:8.
11.已知/(x)=lnx,若/(而)=1,則/(叫"(用的最大值為.
【答案】1
【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)的應用、基本不等式求積的最大值
【分析】由條件可得而=e,/(叫"92)=4(ln|a〉(ln網(wǎng)),結(jié)合不等式會+苗上2曲可求得結(jié)論.
【詳解】因為/(%)=+%,=
所以ln(ab)=1,故以=e,
又/(a2>f(b1)=4(lnd)?(in網(wǎng))<In2\c^+In2\b\+21n|?|ln|Z?|=(in問+ln|/?|)2=(in]聞丫=i,
當且僅當a=b=Ve或a=b=—Ve時等號成立;
所以僅2)的最大值為i.
故答案為:1.
12.若a>0,b〉0,2a+3b=lf則必的最大值是.
【答案】三
24
【知識點】基本不等式求積的最大值
【分析】根據(jù)基本不等式可得最值.
【詳解】由已知a>0,b>0,
貝12a+3b>2J2a?36=2^b,
即2J6ab<1,ab<—,
當且僅當2a=36,BP6!=—,6=工時,取等號,
46
即功的最大值是上,
24
故答案為:777?
24
13.已知正數(shù)。,6滿足3=“+:則:的最大值為一.
bb
9
【答案】-/2.25
4
【知識點】基本不等式求積的最大值
【分析】由3="+:得:=3-°,代入,,利用基本不等式即可求.
bbb
【詳解】因為3="+],所以《=3-〃,
bb
因為〃,人為正數(shù),故3-〃>0,所以Ov〃v3,
所以Q(3_a)V『+;—aj=:,
當且僅當a=3—a即a=j,此時6=弓,£取到最大值為
23b4
9
故答案為:—
4
14.若正數(shù)6滿足。+26=1,則仍的最大值為.
【答案】
O
【知識點】基本不等式求積的最大值
【分析】利用基本不等式即可求得.
【詳解】為正數(shù),/.a+2b>2y/a-2b,即1>2y[2^/ab,
則ab<^,當且僅當a=2b=g,即“時取等號.
8224
故答案為:
O
15.(2025?上海?模擬預測)已知VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且耳=2csinA
⑴求sinC的值;
(2)若c=3,C為鈍角,求VABC面積S的最大值.
【答案】⑴3
2
⑵逆
4
【知識點】正弦定理邊角互化的應用、三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形、基本不等式求積的
最大值
【分析】(1)由正弦定理即可得sinC=3:
2
(2)由余弦定理結(jié)合重要不等式可得/取值范圍,再由三角形的面積公式SA"=;MsinC可求出面積的
最大值.
【詳解】(1)由題意可知,扃=2csinA,
由正弦定理得J5sinA=2sinCsinA,
因為ACe(O,兀),所以sinAxO,
即sinC=;
2
(2)由(1)可知sinC=3,
2
所以C=](不符合題意舍去)或c=:,
在VA5c中,由余弦定理得c2=/+62-2/7cosC,
2兀1
因為C=——且c=3,即9=/+〃+lab■—=cr+b~+ab>lab+ab=3ab,
32
當且僅當a=6=C時取等號,即必V3,
故VABC的面積SABC=—absmC=-ab<^^-,
ABC244
即7ABe的面積最大值為史.
4
04基本不等式求和的最小值
16.若實數(shù)。,人滿足。-助20,則2"+:的最小值為.
【答案】2
【知識點】基本不等式求和的最小值、比較指數(shù)幕的大小、指數(shù)幕的運算
【分析】由已知2">0,京>0,a-2b>0,然后利用基本不等式求解即可.
【詳角軍】因為2">0,卷>。,a-2b>0,
所以2"+,=2"++22‘2".J=>2亞=2,
當且僅當2"=,,即a=6=0時等號成立,
所以2。+好的最小值為2.
故答案為:2.
17.已知實數(shù)。、6滿足a+26=1,則3"+9”的最小值為.
【答案】20
【知識點】基本不等式求和的最小值
【分析】利用基本不等式計算可求最小值.
【詳解】因為。+處=1,
所以3。+4=3"+32〃>2斤苧=2用而=2相,
當且僅當3"=32J即=!時取等號,
24
故3"+9〃的最小值為2石.
故答案為:2石.
18.已知lga+lg6=l,則a+25的最小值為
【答案】475
【知識點】對數(shù)的運算、基本不等式求和的最小值
【分析】根據(jù)對數(shù)運算求得。力的關(guān)系,利用基本不等式求得正確答案.
【詳解】依題意,lga+lg6=lg"=l,
所以"=10且々>0,。>0,
所以〃+2b22y/a-2b=4?,
當。=2方=26時等號成立.
故答案為:4下
19.已知平面向量a、b、c滿足:|。|=出|=1,a-c=b-c=l,則a-b+c~的最小值為-
【答案】2A/2-1
【知識點】基本不等式求和的最小值、用定義求向量的數(shù)量積、平面向量數(shù)量積的幾何意義
【分析】根據(jù)條件推理得到c在a方向上的投影數(shù)量等于c在b方向上的投影數(shù)量,且等于|。|=|"=1,
〈a,c〉=〈b,c〉,故可以作出圖形,設出〈a,c〉=6,將所求轉(zhuǎn)化成關(guān)于6的函數(shù)形式,利用基本不等式即可求
得.
【詳解】因|。1=1〃1=1,由Q.c=b-c=l可得|c|cos〈Q,c〉=\c\cos(b,c)=l,
即c在〃方向上的投影數(shù)量等于c在〃方向上的投影數(shù)量,且等于|〃H"=1,
又由cos〈a,c)=cos(b,c)可得〈a,c)=〈瓦c〉,不妨設〈a,c〉=8,
1---211
貝!la-6=cos2。,|c|=——于是。-Z?+c=cos26+——=2cos26>+——~1,
cost/cosacosU
因。€[0,兀],則因2cos26+二^220,當且僅當cos2?=變時,等號成立,
cos02
即當cos2。=4時,a-b+c取得最小值20-1.
故答案為:2虎-L
【點睛】關(guān)鍵點點睛:解題的關(guān)鍵在于運用向量數(shù)量積的定義和投影向量的數(shù)量理解4c的相互關(guān)系,設出
夾角。,將所求化成關(guān)于。的函數(shù)形式.
敢型基本不等式“1”的妙用求最值
20.若正數(shù)a、b滿足,+:=1,貝!|2a+b的最小值為__.
ab
【答案】3+20/20+3
【知識點】基本不等式"1〃的妙用求最值
【分析】根據(jù)基本不等式求解.
【詳解】由已知2。+6=(24+6)(,+;)=3+學+223+20,當且僅當學=?,即0=1+也涉=1+金時
abbaba2
等號成立,故所求最小值是3+20.
故答案為:3+272.
21.已知尤>0,y>0,x+4y=xy,則x+>的最小值為
【答案】9
【知識點】基本不等式"r的妙用求最值
]4(14^
【分析】將%+4y=沖轉(zhuǎn)化為一+—=1,再由x+y=(%+y)—+—展開后利用基本不等式,即可求出的最
y%Vx)
小值.
14
【詳解】因為1>0,>>。,x+4y=xy,貝"一+-=1,
y%
當且僅當土=勺,即x=6,y=3時,等號成立,
y%
所以1+y的最小值為9.
故答案為:9.
22.已知正數(shù)x,y滿足x+2y-l=。,且不等式機,對任意的正數(shù)x,y恒成立.則實數(shù)小的取值范圍
y工
是.
【答案】m<3+2A/2
【知識點】基本不等式"甘的妙用求最值
【分析】根據(jù)給定條件,利用基本不等式"1"的妙用求出最小值即可求出結(jié)果.
【詳解】依題意,正數(shù)龍,V滿足x+2y=l,
貝巾_1+1.=0+2>)(工+3=3+土+苴23+2j^=3+2應,當且僅當x=0y=忘一1時取等號,
yxyxyxVx
由不等式V工+:對任意的正數(shù)X,y恒成立,得機43+20,
所以實數(shù)機的取值范圍是根V3+2JL
故答案為:m<3+2y/2
12
23.已知正實數(shù)a,6滿足上+:=1,則2a+6的最小值為一.
ab
【答案】8
【知識點】基本不等式"1"的妙用求最值
【分析】應用基本不等式"1"的代換求目標式的最小值.
【詳解】由。,6>。及1+2=1,則2a+b=(2a+?[L+2]=4+2+網(wǎng)24+2/2.e=8,
abyab)ab\ab
當且僅當。=2,6=4時等號成立,故2a+b的最小值為8.
故答案為:8.
24.己知定義在R上的函數(shù)y=/(x)滿足/(x+3)=±,當0<%<3時,f(x)=ax+2b(a>0,b>Q),若
f(x)
了(2024)=2,則:的最小值為____.
ab
【答案】4
【知識點】基本不等式"甘的妙用求最值、函數(shù)周期性的應用
【分析】確定函數(shù)的周期,結(jié)合了(2024)=2可得a+8=l,將工+:化為+口伍+切,展開后利用基本不
ab\ab)
等式,即可求得答案.
【詳解】因為函數(shù)/(X)滿足/(尤+3)=},貝1」/(尤+6)=77^=/(尤),
/(尤)/(x+3)
所以函數(shù)/⑴的周期為6,
又因為*2024)=2,
所以〃6x337+2)=/(2)=2,
因為當0<x<3時,/(x)=ax+2b(a>0,Z?>0),
貝!J有2〃+2/?=2,a-\-b=l,
所以,+:=(,+:1(。+。)=22+2\回=4,
ab\abJab\ab
當且僅當2=2,即。=2,6=1時取等號.
ab22
故答案為:4
25.函數(shù)y=loga(x+2)-l(a>0,且a*1)的圖像恒過定點A,若點A在直線〃式+"'+2=0上,其中m>0,
n>0,則'的最小值為.
mn
【答案】2
【知識點】基本不等式"1"的妙用求最值、對數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題
【分析】先由題意結(jié)合log〃l=0求出點A,進而由點A在直線上得加+〃=2,再結(jié)合基本不等式常數(shù)"1"的
妙用即可求解.
【詳解】因為log〃l=0,所以函數(shù),=1。8。代+2)-1(“>。且“力1)的圖象恒過定點(-1,-1),
即A(T-l),
又點A在直線加乂+孫+2=0上,故根+”=2,
一cc1Ifl1]、1(nm\1(^\nm\
又機〉0,〃〉0,所以—F—=——F—z\(m+ri)=—\2d----1—>—2+2./一x一=2,
mn2ymn)2(mn)21vmn
nm
當且僅當二='即m=〃=1時等號成立,
mn
所以工+工的最小值為2.
mn
故答案為:2.
1o
26.己知函數(shù)〃力=三+2萬,若m>0,n>0,>/(2m)+/(n-l)=/(O),則±的最小值是_____
mn
【答案】8
【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式求和的最小值、
基本不等式"1"的妙用求最值
【分析】由函數(shù)奇偶性的定義可知/(x)為奇函數(shù),根據(jù)單調(diào)性可知2帆+九=1,然后結(jié)合基本不等式即可求
解.
【詳解】函數(shù)"X)的定義域為R,M/(-x)=(-x)3-2%=-/(%),
所以“X)為奇函數(shù),又/'(X)=3尤2+2>0,所以函數(shù)單調(diào)遞增,
又/(0)=0,所以“2間+-1)=0,
所以2m+〃一1=0,即2m-\-n=l,
12(12、/c、/n4機、/^4m
以—I—=—I—2m+n\=4H----1------24+2J---------=8o,
mnn)mnymn
當且僅當r二i=4叫H7,即等1號1成立,
mn24
所以上1+二?的最小值為8.
mn
故答案為:8.
1o
27.已知定義在R上的偶函數(shù)m+[-2,若正實數(shù)以6滿足〃々)+〃2〃)=",則—+7的最小
ab
值為—.
【答案】|9
【知識點】由奇偶性求參數(shù)、基本不等式的妙用求最值
【分析】首先根據(jù)偶函數(shù)的定義,得出機的值,再由/(。)+/(26)=%得出。+28=5,用不等式"1"的妙用,
即可得出最小值.
【詳解】因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù),
所以/(—X)=|—X—77?+1|—2=f(x)=|x—77Z+1|—2,即機=1,
所以/(x)=W—2,
因為若正實數(shù)。、6滿足〃。)+/(26)=1,
所以/(a)+/(2Z?)=〃一2+2。-2=1,即a+2b=5,
,12、/Q2b.12b2〃、1c29
貝nlj(一+一)(—+——)=l+——+——>l+2x-=
ab555a5b55
當且僅當丁=.,即〃=人時,等號成立,
5〃5b
9
故答案為:—.
<■?96條件等式求最值
28.已知函數(shù)y=F(x),其中〃x)=alnx-g,若曲線y=〃*)在(I"⑴)處的切線斜率為1,則的
最小值為.
【答案】1/0.5
【知識點】已知切線(斜率)求參數(shù)、導數(shù)的運算法則、條件等式求最值
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得。+6=1,再結(jié)合基本不等式運算求解.
【詳解】因為/(x)=alnx-。的定義域為(0,+s),且((x)=:+:,
由題意可得:f(^=a+b=l,
又因為片+方之①+與-=L當且僅當。=。=:時,等號成立,
222
所以/+〃的最小值為]
故答案為:
29.設羽ywR,a>0力>0,若就=濟=3,a+2b=2?,則1+一的最大值為________
xy
【答案】1
【知識點】指數(shù)式與對數(shù)式的互化、運用換底公式化簡計算、條件等式求最值
【分析】由指對互化對數(shù)換地公式得'+,=log3ab,再根據(jù)基本不等式得必e(03,進而得
%y
—+—=log3ab^(0,1]
xy
【詳解】解:因為"=夕=3,所以x=logq3,y=log03,所以,=log3〃,L=log38,-+—=log3
尤yxy
因為a+2b=2?,所以2〃Z?K(g^)2=6,故。?!?0,3],
所以L+^=log3
%)
故’的最大值為1.
犬y
故答案為:1.
O7
30.已知a>0,b>GAa+b=\,貝!J-。的最大值為_____.
a+b
【答案】|2
【知識點】條件等式求最值
11lab2
【分析】先求出上+;的最小值,再將化為a+bII,即可求得答案.
ab一十丁
ab
【詳角華】因為a>0/>0,4〃+6=1,
,,1111、,1,、b4?!溉隻4a八
故一+—=(z一+—)(4。+Z?)=4+ld1>5+2./—x——=9,
ababab\ab
當且僅當'h=4〃即。=:1力=:1時等號成立,
ab63
2ab_22、h。
所以占一口一3,即上,的最大值是,,
-+7a+b9
ab
2
故答案為:—.
141Q
31.已知?!?,b>0,且一+7=1,則—;+:的最小值為____.
ab。一1b
【答案】2
【知識點】條件等式求最值、基本不等式求和的最小值
【分析】利用消元法結(jié)合基本不等式計算即可.
141b-4b4
【詳解】由一+7=1=>—=-^—,即__-=><2-1=-~-
abab。一4。一4
+?=-+2心戶
所以―-:-1=2,
a-\b4b4bV4b
當且僅當b=6,〃=3時取得最小值.
故答案為:2
32.已知",beR,且/+。2=2,則a+Z?的取值范圍為.
【答案】[一2,2]
【知識點】條件等式求最值
【分析】根據(jù)條件,利用重要不等式即可求出3+份244,從而得出結(jié)果.
【詳解】s^j(a+b)2=a2+2ab+b2<2(a2+b2)=4,當且僅當a=6時取等號,
所以-2Wa+bW2,
故答案為:
14
33.設X>l,y>0且x+y=3,則一7+一的最小值是
x-Iy----------
【答案】|9
【知識點】基本不等式〃1〃的妙用求最值、條件等式求最值、基本不等式求和的最小值
14114
【分析】由已知可得(>i)+y=2,即可將r+-化為廣(一7+-)?-1)+凡展開后后利用基本不等式,
X—Iy乙X—Iy
即可求得答案.
【詳解】由%>l,y>0且x+y=3,可得1―1>0,且(%—l)+y=2,
141141y4(x-l)
故--+-=-(--+-)[(^-i)+y]=-[5+^-+]
x—1y2x—1y2x—1y
Iy4(1)
>-[5+2]=
2yx-lyp
當且僅當fr暨產(chǎn),結(jié)合(i)+y=2,即時取等號,
149
即丁的最小值是5,
9
故答案為:—
散型【07基本不等式的恒成立問題
34.已知對Vxe(0,+oo),不等式x>機恒成立,則實數(shù)加的最大值是.
【答案】不存在
【知識點】基本不等式的恒成立問題
【分析】利用參變量分離法結(jié)合基本不等式求出機的取值范圍,即可得解.
【詳解】由已知可得Vxe(O,y),機〈尤+L由基本不等式可得尤+422、口=2,
XX\X
當且僅當X=1時,等號成立,.?.加<2,故實數(shù)機的最大值不存在.
故答案為:不存在.
35.若對任意正實數(shù)。、b,不等式恒成立,則實數(shù)上的取值范圍是.
【答案】(f4]
【知識點】基本不等式的恒成立問題
【分析】變形可得左竺,利用基本不等式求得?+竺的最小值即可.
baba
【詳解】因為。、6為正實數(shù),所以必>0,
所以由標+防?之鼠力,可得上4《±竺1=@+竺,
abba
又巴+竺22」巴乂竺=4,當且僅當?=竺,即。=26時取等號,
ba\baba
因為對任意正實數(shù)。、b,不等式/+4^2秘恒成立,所以ZW4,
所以實數(shù)%的取值范圍是(一*4].
故答案為:(-吃4].
36.(2025?上海松江?二模)如圖在三棱錐尸-ABC中,PA,PB、PC兩兩垂直,且PA=3,P8=2,尸C=1,
設M是底面ABC內(nèi)一點,定義=,其中州〃,。分別表示三棱錐Af一的,三棱錐M-P8C,
2CL1
三棱錐加-尸。4的體積.若/(M)=(不x,y),且一+—212恒成立,則正實數(shù)。的最小值為________.
3xy
【答案】1
【知識點】基本不等式的恒成立問題、錐體體積的有關(guān)計算、基本不等式"1"的妙用求最值
【分析】根據(jù)給定的信息求出三棱錐尸-ABC的體積,進而求出x+y,再利用基本不等式"1”的妙用求出最
小值,并建立不等式求解.
【詳解】在三棱錐P—ABC中,PA、PB、PC兩兩垂直,且上4=3,P3=2,PC=1,
211
貝!J%+y+7=%-ABC=:尸A2。=1,解得x+y=:又%>0,y>0,“>。,
363
xyyxy
當且僅當竺=土時取等號,由@+,212恒成立,得3(a+l+26)212,
xyxy
于是(G+1尸24,解得所以正實數(shù)。的最小值為1.
故答案為:1
X
37.已知實數(shù)a>0,函數(shù)/(無)=;~—,g{x}=x+a,若對任意再e|-2a,24],總存在/e[-2a,2a],使得
1+ax
/伍)Vg(xj,則a的最大值為.
【答案】4T
【知識點】函數(shù)與方程的綜合應用、基本不等式的恒成立問題
【分析】把對任意再e[-2a,2a],總存在%e[-2a,2/,使得/(%)"(%),轉(zhuǎn)化為“力而。WgQL在
xe[-2a,2a]成立,結(jié)合一次函數(shù)與基本不等式分別求得函數(shù)〃x),g(x)的最小值,列出不等關(guān)系式,即可
求解.
【詳解】由題意,對任意2a,2a],總存在2a,2a],使得
等價于/(^L(g(x)*在x?6242a]成立,
根據(jù)函數(shù)g(x)=x+a在xe—2a,20上為單調(diào)遞減函數(shù),所以g(x)1n=-。,
即〃x).<-a,gp(-^^)<-a,
v7mnl+ax1min
當xe[0,2a]時,可得〃x)20;當xw[-2a,0)時,可得/(x)<0,
所以當xe[-2“,0)時,化簡=
—+ax
x
又由—ax=—[(—)+(—axy]<—2>/a,當且僅當一=ax,即尤=尸時等號成立,
x尤尤,a
所以,
所以二^4一。,即2a夜VI,BP0<fl<44,所以a的最大值4T.
故答案為:4T.
【點睛】方法點撥:
把對任意再e[-2a,2a),總存在3e[-2a,2a],使得/(迎卜8任),轉(zhuǎn)化為了⑺1nhi<g(x)1n在無w[-2a,2a]成
立,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式分別求得函數(shù)〃x),g(x)的最小值是解答的關(guān)鍵.
38.若對任意的無目1,2],不等式彳2+%>7加一2恒成立,則實數(shù)機的取值范圍是()
A.初<2夜+1B.l-2y/2<m<5
C.1-2夜<加<20+1D.m<4
【答案】A
【知識點】一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題、基本不
等式的恒成立問題、基本不等式的恒成立問題
【分析】根據(jù)題意分析可得原題意等價于對任意的xe[l,2],不等式》+1+1>加恒成立,結(jié)合基本不等式運
算求解.
【詳解】因為/+尤>皿
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