函數(shù)與方程

基礎(chǔ)鞏固

一、單選題

1.方程lnx=4—2"的解所在的區(qū)間為()

A.(O,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

［答案］B

［解析］通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及零點存在性定理求得正確答案.由In尤

=4—2*得不+lnx—4=0,設(shè)式x)=2'+ln尤一4,則兀c)在(0,+(?)上單調(diào)遞增,犬1)=—2<0,

/2)=ln2>0,所以/U)的唯一零點在區(qū)間(1,2),即方程Inx=4—2，的解所在的區(qū)間為(1,2).

故選B.

(2X—1,x<\,

2.已知函數(shù)/(x)=L一則函數(shù)人行的零點為()

［1+lOg2X,X>\,

A.；,0B.-2,0

C.1D.0

［答案］D

［解析］當(dāng)立1時，令兀0=2*—1=0,解得x=0；

當(dāng)X>1時，令危)=l+log2X=0,

解得

又因為x>l,所以此時方程無解.

綜上，函數(shù)兀0的零點只有0.

f—］

3.(2025?陜西咸陽模擬)函數(shù)加)=.二一'八的零點個數(shù)為()

Lx—2+Inx,x>0,

A.5B.4

C.3D.2

［答案］D

［解析］當(dāng)它0時，x2—1=0,解得x=—1；

當(dāng)x>0時，/(x)=x—2+lnx在(0,+co)上單調(diào)遞增，

并且黃1)=1—2+ln1=-1<0,

式2）=2-2+ln2=ln2>0,即式1抽2）<0,

所以函數(shù)兀0在區(qū)間（1,2）內(nèi)必有一個零點，

綜上，函數(shù)八尤）的零點個數(shù)為2.故選D.

4.如圖是函數(shù)次尤）的圖象，它與x軸有4個不同的公共點，給出的下列四個區(qū)間之中,

存在不能用二分法求出的零點，該零點所在的區(qū)間是（）

A.[-2.1,-1]B.[4.1,5]

C.[1.9,2.3]D.[5,6.1]

[答案]C

［解析］結(jié)合圖象可得A、B、D選項每個區(qū)間的兩個端點函數(shù)值異號，可以用二分法

求出零點，故選C.

11—I—V

5.（2025?山東荷澤期中）函數(shù)/U）=51n=--sin尤的零點個數(shù)為（）

乙1X

A.lB.0

C.3D.2

［答案］A

1-4—Y1

［解析］由丁可得一即定義域為（一1,1），所以了（彳）=［_乒一cosxNO,即

Kx）在（一1,1）上為單調(diào)遞增函數(shù)，又六0）=0,所以犬尤）僅有一個零點.故選A.

6.函數(shù)/（x）=2sinx-sin2尤在［0,2利的零點個數(shù)為（）

A.2B.3

C.4D.5

［答案］B

［解析］函數(shù)/（x）=2sinx—sin2尤，在［0,2兀］的零點個數(shù)即2sinx—sin2x=0在區(qū)間［0,2兀］

的根的個數(shù)，

令/?（%）=2sinx,g（x）=sin2x,

畫出兩函數(shù)在區(qū)間［0,271］的圖象（圖略），可知以尤）=2sinx和g（x）=sin2無在區(qū)間［0,2兀］的

圖象的交點個數(shù)為3.故選B.

［ex~a,x<0,

7.已知函數(shù)式x）=（aGR）,若函數(shù)兀0在R上有兩個零點，則實數(shù)a的取

\2x~a,x>0

值范圍是（）

A.（0,l］B.[I,+oo)

C.（0,l）D.(-oo,1]

［答案］A

［解析］畫出函數(shù)五x)的大致圖象如圖所示.因為函數(shù)犬x)在R上有兩個零點，所以黃尤)

在(一8,0］和(0,+8)上各有一個零點.當(dāng)它0時，加:)有一個零點，需0<好1；當(dāng)無>0時，式尤)

有一個零點，需一。<0,即a>0.綜上，0<a<l..

8.(2024?廣東汕頭期末)已知函數(shù)y=/(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)尤加時，?=

’若關(guān)于尤的方程［/U)］2+a：Ax)+b=0(a,beR),有且只有7個不同實數(shù)根,

Jogl6X,X>2f

則實數(shù)。的取值范圍是()

A(-2,-JB.(-2,-1)

C?1)D.Q,+Q

［答案］A

［解析］由題可畫出函數(shù)的大致圖象，

:關(guān)于x的方程勿功］2+。.次0+6=0(處bGR)有且只有7個不同實數(shù)根，

設(shè)/=兀0，則結(jié)合函數(shù)圖象,可知方程戶+加+/?=0必有兩個根人“2，且九=1"266，1),

.,/1+/2=-°60，2),貝!］—2<°<一(，即2,—3.故選A.

二、多選題

9.下列函數(shù)中，在(一1,1)內(nèi)有零點且單調(diào)遞減的是()

A.y=logKx+l)B.》=2%—1

2

C.y=x1—^D.y=-j(?

［答案］AD

［解析］函數(shù)y=logj_(x+l)在定義域上單調(diào)遞減，且x=0時y=0,>=一一/在(一1』)

上不是單調(diào)函數(shù),丁=一%3在定義域上單調(diào)遞減，且1=0時y=o.對于y=2x—l,當(dāng)％=()￡(一

1,1)時，y=0且y=2，-l在R上單調(diào)遞增.故選AD.

10.(2024?江蘇南通期末涵數(shù)y=lgx—5+1的零點所在的區(qū)間為()

A.(0,l)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

［答案］AC

［解析］求函數(shù)y=lgx—5+1零點，令0=lgx—%+1,即lgx=5：—1，分別畫出函

數(shù)yi=lgx(尤>0)與函數(shù)>2=5—1的圖象，得到兩圖象有兩個公共點，由圖象可知，式龍)有兩

個零點，分別在區(qū)間(0,1)和區(qū)間(2,3)上；區(qū)間(0,1)上的零點顯而易見.令人x)=lgx—5+1,

/(2)=lg2-^2+l=lg2>0,1/(3)=lg3-1x3+l=lg3-1=lgy［9~^<\g/一；=0,所以

八2)五3)<0,根據(jù)零點存在性定理，|x)在(2,3)存在零點.故選AC.

11.(2023?濟寧模擬)已知函數(shù)log2X,0<a<6<c,；(G/S)/(c)<0,實數(shù)d是函數(shù)式尤)

的一個零點.給出下列四個判斷，其中可能成立的是()

A.d<aB.d>b

C.d>cD.d<c

［答案］ABD

［解析］由y=自*在(0,+GO)上單調(diào)遞減，y=log2X在(0,+8)上單調(diào)遞增，可得/(X)

=《)—log2X在定義域(0,+oo)上是減函數(shù)，當(dāng)0<a<b<c時,加)次6)>Ac),因為用:貼求c)<0,

即)=0，所以①/⑷，f(b),式c)都為負(fù)值,則a,b,c都大于d；②型)>0,尬)<0,

則。，萬都小于d,c大于d.綜合①②可得上c不可能成立.

三、填空題

［xlnx,x>0,

12.(2023?濟南模擬)已知函數(shù)加)=Lc八則段)的零點為________.

［xx2,,

［答案］一1和1

［x>0,%0,

［解析］令段)=0得1八或%__

Lxlnx=0Lx2—%—2=0,

解得x=l或％=—1,

???加）的零點為一1和1.

13.（2024?江蘇淮安聯(lián)考）函數(shù)兀0對一切實數(shù)x都滿足￡+x）=《|一￡），并且方程啟）

=0有三個實根，則這三個實根的和為.

3

［答案］2

［解析］因為函數(shù)兀0的圖象關(guān)于直線對稱，所以方程次x）=0有三個實根時，一定

13

有一個根是看另外兩個根的和為1,故方程段）=0的三個實根的和為宗

X2—1,x<\,

14.（2024.廣東陽江調(diào)研）已知函數(shù)於）=11若關(guān)于x的方程段）=上有三個

log^x,X>1,

不同的實根，則實數(shù)上的取值范圍是.

［答案］（-1,0）

［解析］關(guān)于X的方程式x）=G有三個不同的實根,等價于函數(shù)_Ax）與函數(shù)y=k的圖象有

三個不同的交點，作出函數(shù)7U）的圖象如圖所示，由圖可知實數(shù)k的取值范圍是（一1,0）.

x

15.（2024?山西太原期中）已知xo是函數(shù)於）=VeX+lnx的零點，則eo-lnxo=.

［答案］T

x

［解析］由題可知，fi,x0）=xoeo+Inxo=0,

所以j^exo=—Inxo=>^oeYo=~>0>

令兀c)=xe*,(尤>0),則負(fù)x)單調(diào)遞增，

且人尤o)=/flng,所以xo=ln(,

所以e*o=；7，lnxo=-xo，

xo

所以eblnxo=；(—xo)=-l.

能力提升

|j?+2x,x<a,

1.（2024?濟寧模擬）已知函數(shù)段）=若危）有3個零點，則實數(shù)。的取值

［x-1,x>a,

范圍是（）

A.{a|0<a<l}B.{fl|-l<a<0}

C.{a|—l<a<l}D.{a\a<\}

［答案］A

［解析］因為y=V+2x有2個零點x=-2和尤=0,y=x—1有1個零點x=l,所以若

要使五尤）有3個零點，則0%<1,故選A.

2.（2025?河北保定模擬）設(shè)函數(shù)y（x）=x2—2x+a,g（x）—2x~2a,若當(dāng)xG（—1,1）時，曲線

y=兀0與y=g（x）恰有一個交點，則。的取值范圍是（）

A.（-l,0）B.（一焉，1）

C.(l,2)D.(2,3)

［答案］B

［解析］由題意可知產(chǎn)危）在尤上單調(diào)遞減，而尸g（x）是R上增函數(shù),

要滿足題意需

〃+3>；-2aj

即4

a—1<2—2a,

解之得12—得.故選B.

3.已知函數(shù)?x）=x—5（x＞0）,g（x）=x+ex,/z（%）=x+lnx（A＞0）的零點分別為為，孫對

則（）

A.X1<X2<^3B.X2<X1<X3

C.X2<X3<X\D.X3<Xl<X2

［答案］C

［解析］作出y=x與y=/(x>0),y=~ex,y=—Inx(x>0)的圖象，如圖所示，可知選

X

4.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特二模）已知函數(shù)加）=］不若關(guān)于x的方程［/^疔+3㈤-1+加

=0恰有3個不同的實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是（）

A（T，1）B.（T，+co）

C.（-oo,2）U（2,+oo）D.（1,e2）

［答案］A

y1-Y

［解析］因為式》）=最五,所以了（尤）=e#i'

令/（尤）=0,得尤=1,

當(dāng)x＜l時，f（x）＞0,於）遞增；

當(dāng)尤＞1時,/（x）＜0,式一遞減;

所以當(dāng)x=l時，犬x）取得極大值屋2,

式龍）圖象如圖所示：

方程+7班尤）―1+機=0,

即（X尤）+1）々彳）-1+⑼=0,

解得y（x）=-1或黃尤）=1—7”,

由函數(shù)八尤）的圖象知：人勸=一1只有一個解，

所以凡X）=l一根有兩個解，

所以0＜1—2,解得1—葭2＜加＜1,故選A.

X2+2X+1,x<0,

5.（多選題）（2024.陜西咸陽模擬改編）已知函數(shù)危尸若方程空）=a

|lnx\,x>0,

有四個根XI，X2,%3，%4，且X1<X2<%3<X4，則下列說法正確的是（）

A.XI+X2=-2B.XS+X4>2

C.X1X2>4D.0<401

［答案］ABD

［解析］函數(shù)y=f+2x+l的圖象開口向上，對稱軸為直線X=—1,

當(dāng)立0時，危）=f+2x+l在（一8,—1］上遞減，函數(shù)值集合為［0,+oo）,在［—1,0］上

遞增，函數(shù)值集合為［0,1］,

當(dāng)―0時，段）=|lnR在（0,1］上遞減,函數(shù)值集合為［0,+oo）,在［1,+8）上遞增，函數(shù)

值集合為［0,+8）,方程>（x）=a的根是直線>=〃與函數(shù)y=/（x）圖象交點的橫坐標(biāo)，方程1工）

=4有四個根即，X2，X3，%4，即直線>=〃與函數(shù)y=/（x）圖象有4個交點，在同一坐標(biāo)系內(nèi)

作出直線與函數(shù)y=