第9節(jié)三角函數(shù)模型及解三角形的實際應(yīng)用

考試要求1.會用三角函數(shù)解決簡單的實際問題，體會利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事

物周期變化的數(shù)學(xué)模型.2.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識以及方法解決一些

與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.

■知識

【知識梳理】

1.仰角和俯角

在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰

角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角（如圖1）.

2.方位角

從正北方向起按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點的方

位角為a（如圖2）.

3.方向角

正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30。，北偏西45。等.

4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.

［常用結(jié)論與微點提醒］

1.不要搞錯各種角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混.

2.解決與平面幾何有關(guān)的計算問題關(guān)鍵是找清各量之間的關(guān)系，從而應(yīng)用正、余

弦定理求解.

【診斷自測】

1.思考辨析（在括號內(nèi)打“?”或“X”）

（1）東北方向就是北偏東45。的方向.（）

（2）從A處望3處的仰角為a,從5處望A處的俯角為夕，則a,4的關(guān)系為a+

￡=180°.（）

⑶俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為[o,手.()

(4)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標(biāo)點之間的位置關(guān)

系.()

答案(1)V(2)X(3)X(4)V

解析Q)a=B;

⑶俯角是視線與水平線所構(gòu)成的角.

2.如圖，在高速公路建設(shè)中需要確定隧道的長度，工程技術(shù)人員已測得隧道兩端

的兩點A,3到點C的距離AC=3C=1km,且C=120。，則A,3兩點間的距離

為km.

答案小

解析在△ABC中，易得A=3O。，

由正弦正理而下一前

得AB*：；%*1X坐=小km.

3.如圖，在塔底D的正西方A處測得塔頂?shù)难鼋菫?5。，在塔底D的南偏東60°

的3處測得塔頂?shù)难鼋菫?0。，A,3間的距離是84m,則塔高CD=m.

答案12小

解析設(shè)塔高CD=xm,

則AD=xm,DB=\[3xm.

由題意得ZADB=90°+60°=150°,

在△A3。中，利用余弦定理得

842"+於國)2—2小.fcos150。，

解得％=12由（負(fù)值舍去）,

故塔高為12巾m.

4.（必修一P241T6改編）某時鐘的秒針端點A到中心點。的距離為5cm,秒針繞

點。勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時間。=0時，點A與鐘面上標(biāo)12的點3重合，將A,3兩點

間的距離或單位：cm）表示成/（單位：s）的函數(shù)，則d=i,fG[O,60].

答案lOsin者/

解析如圖，設(shè)NA03=a,

H.I2兀、/兀

則。=而又片4,

匕匕2"__兀

所以]=而/,

b立u,ad

因為5sin2=29

njr

所以d=10sin丁lOsin前,00,60],

■考點聚焦突破

考點一三角函數(shù)模型

例1（多選）如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心。距離水面2米，已知水

輪每60秒逆時針轉(zhuǎn)動一圈，如果當(dāng)水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點Po）開始計時,

則（）

A.點P第一次到達(dá)最高點需要20秒

B.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動155秒時，點P距離水面2米

C.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動50秒時，點P在水面下方，距離水面2米

D.點尸距離水面的高度/?（米）與/（秒）的函數(shù)解析式為/z=4cos（j^/+^+2

答案ABC

解析設(shè)點P距離水面的高度力（米）和時間/（秒）的函數(shù)解析式為

h=Asin（cot>0,①>0,|9|〈習(xí)，

/lmax=A+B=6,

/Zmin=-A~\~B——2,

由題意得<2兀

T=—co=60,

</z（0）=Asin（①?0+夕）+B=0,

〃A=4,

B=2,

解得4"=工

①T30，

兀

[9=一不

故/z=4sin品一春+2,故D錯誤；

（兀71A

對于A,令h=6,即h=4sin|j^r—gj+2=6,

解得片20,故A正確；

對于B,令f=155,代入/i=4sinG^/—8|+2,

解得人=2,故B正確；

對于C,令/=50,代入/i=4sinG"—8|+2,

解得力=一2,故C正確.

感悟提升三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面:一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；

二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題.

訓(xùn)練1（多選）（2024?河南名校調(diào)研）錢塘江出現(xiàn)過罕見潮景“魚鱗潮”.“魚鱗潮”

的形成需要兩股涌潮，一股是波狀涌潮，另外一股是破碎的涌潮，兩者相遇交叉

就會形成像魚鱗一樣的涌潮.若波狀涌潮的圖象近似函數(shù)?=Asm（cox+

（piA,0?N*,|夕|<§的圖象，而破碎的涌潮的圖象近似了（X）的圖象.已知當(dāng)％=2兀

時，兩潮有一個交叉點，且破碎的涌潮的波谷為一4,則以下四種說法正確的是

()

A.①=2

B?信J=&+也

（24一裔是偶函數(shù)

D/（x）在區(qū)間（一字0）上單調(diào)

答案BC

解析因為?r）=Asin（ox+夕），

所以/（x）=/（ycos（（yx+夕）.

因為當(dāng)x=2兀時，兩潮有一個交叉點，

所以Asva（2a＞n+（p）=Aa）cos（2a）Ti+（p）,

因為AGN*,所以tan（20兀+夕）=①，

因為O?N*,所以tan（20兀+°）=tan9=0,

因為101號

所以一審＜tan0＜小，即-小＜co＜小,

又O?N*,所以0=1,A錯誤.

7T

因為tan9=1,所以9=]

因為破碎的涌潮的波谷為一4,

所以2。=4,所以A=4,

所以兀v）=4sin（x+1）,/（x）=4cos（x+^.

局=4sin（消）

/.兀兀I兀.哈

=41sin,cosa十cos]sni

=76+72,B正確.

（兀I喻

H=4coslx_4+41=4cosx,

所以/（x—T是偶函數(shù)，C正確.

當(dāng)聞一會0）時,無+同-1野，

所以了（無）在（一]0）上不單調(diào),D錯誤.

考點二解三角形應(yīng)用舉例

角度1測量距離問題

例2為加快推進(jìn)“5G+光網(wǎng)”雙千兆城市建設(shè)，如圖，在某市地面有四個5G基

站A,B,C,D已知基站C,。建在某江的南岸，距離為10\門km；基站A,B

在江的北岸，測得NAC3=75。，ZACD=120°,ZADC=30°,ZADB=45°,則

基站A,3的距離為()

CD

A.1O\[6kmB.30(^3-l)km

C.30(V2-l)kmD.lChj5km

答案D

解析在△ACD中，ZADC=3Q°,ZACB=15°,ZACD=120°,

所以/30)=45°,ZCAD=30°,ZADC=ZCAD=3Q°,

所以AC=CD=1M，

在ABDC中，

ZCBD=180°-(30°+45°+45°)=60°,

由正弦定理得3C=歿鶻0=5陋+5冊，

在△ABC中，由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2ACBCCOSZACB

=(10V§)2+(5啦+5加2XlMx(5g+5#)cos75°=500,

所以A3=1S3，即基站A,3之間的距離為1隊3km.

角度2測量高度問題

例3(2024.湖州、衢州、麗水模擬)某學(xué)生為測量某酒店的高度，在遠(yuǎn)處選取了與

該建筑物的底端3在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與。，如圖，現(xiàn)測得NBCD

=45°,ZBDC=105°,8=100米，在點C處測得酒店頂端A的仰角NAC3=

28°,則酒店的高度約為(參考數(shù)據(jù)：啦心1.4,2.4,tan28*0.53)()

A

D

A.91米B.101米C.lll米D.121米

答案B

解析由題知NC3D=30。，

在△BCD中，~/r,z?n=~?/

sinNCBDsin/BDC

因為sinZBDC=sin105°=sin(60°+45°)

y[6-\-yf2

sin60°cos450+cos60°sin45。=丫J

inn\z-就x----+---也-s—

”,CDsinZBDCiUU4

所以BC=./fn=------------；---------

sin/CBDJ_

2

=50(76+72),

AB=BCtanNACB=50(#+啦)Xtan28。

心101（米）.

角度3測量角度問題

例4已知島A南偏西38。方向，距島A3海里的3處有一艘緝私艇.島A處的一艘

走私船正以10海里/時的速度向島嶼北偏西22。方向行駛，問緝私艇朝何方向以多

大速度行駛，恰好用0.5小時能截住該走私船?

［參考數(shù)據(jù)：sin38。心浮￡sin22。

解如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，。為島A正南方向上一點，緝私艇的速

度為每小時x海里,

則3c=0.5x,AC=5,

依題意，AB=3,ZBAC=180o-38°-22o=120°,

由余弦定理可得

BC2=AB2+AC2-2ABACCOS120°,

所以302=49,

所以5C=0.5x=7,解得x=14.

又由正弦定理得

5X也「

,ACsinZBAC025小

sinNABC=~BC=7=14，

所以NA3C=38。，

又NA4D=38。，所以3C〃AD,

故緝私艇以每小時14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時截住該走私船.

感悟提升解三角形應(yīng)用問題的要點

⑴從實際問題中抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個三角形的元素.

⑵利用正弦定理、余弦定理解三角形，得到實際問題的解.

訓(xùn)練2⑴2022年4月16日，搭載著3名航天員的神舟十三號載人飛船返回艙成

功著陸于東風(fēng)著陸場,標(biāo)志著神舟十三號返回任務(wù)取得圓滿成功.假設(shè)返回艙D垂

直下落于點C,某時刻地面上點A,B觀測點觀測到點D的仰角分別為45°,75°,

若A,3間距離為10千米（其中向量場與宓同向），試估算該時刻返回艙距離地面

的距離。約為千米.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：73^1.732）

答案14

解析在△A3。中，A=45。，ZABD=180°-75°=105°,ZADB=30°,

D

由正弦定理得焉=超，

AD=20Xsin105°=20Xsin（60°+45°）

=20X（sin60°cos45°+cos60°sin45°）

=5（出+也）（千米），

所以CD=ADX坐=5（加+娘）X坐=5#+5-14（千米）.

（2）（2024?山西部分學(xué)校聯(lián)考）圖①為青銅大立人像，1986年于三星堆遺址二號祭祀

坑出土，重約180公斤，是距今已有3000多年歷史的青銅器.如圖②，小張去博

物館參觀青銅大立人像時，他在A處觀測青銅大立人像頂部P的仰角為30°,他

再向青銅大立人像底部H前進(jìn)388厘米到達(dá)B處，此時觀測青銅大立人像頂部P

的仰角為75。.已知A,B,H三點共線，則青銅大立人像的高HP為_____厘米.（參

考數(shù)據(jù)：9773^168）

答案265

解析由題意可知N必3=30。，/PBH=75。,AB=388,

所以N5必=45°.

在△PBA中，由正弦定理可得

43_______PB

sinZBB4-sinZFAB,

即解得尸3=194/.

sin45sin30v

在RtAPHB中，PH=PBsinZPBH=19472Xsin75°

=194色X亞手2974+97,

故心168+97=265（厘米）.

■課時分層精練

【A級基礎(chǔ)鞏固】

1.如圖所示是某彈簧振子做簡諧運動的部分圖象，則下列判斷錯誤的是（）

A.該彈簧振子的振幅為2cm

B.該彈簧振子的振動周期為1.6s

C.該彈簧振子在0.2s和1.0s時振動速度最大

D.該彈簧振子在0.6s和1.4s時的位移為零

答案C

解析由圖象及簡諧運動的有關(guān)知識得，該彈簧振子的振幅為2cm,振動周期為

2X（1.0-0.2）=1.6s.

當(dāng)t=0.2s或1.0s時，振動速度為零,該彈簧振子在0.6s和1.4s時的位移為零.A,

B,D正確，C錯誤.

2.在相距2km的A,3兩點處測量目標(biāo)點C,若NC4B=75。，ZCBA=60°,則A,

C兩點之間的距離為（）

A.冊kmB./km

C.小kmD.2km

答案A

解析如圖，在△ABC中，

"60°75入

BA

由已知可得NACS=45。,

?AC_2

**sin60°-sin45°'

：.AC=2y/2X^~=y[6（km）.

3.如圖，在200m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30。，60°,

則塔高為（）

400

AA.^-m

r200^3

。3

答案A

解析設(shè)山頂為A,塔底為C,塔頂為。，

過點A作CD的垂線，交CD的延長線于點3（圖略），則易得A3=7標(biāo),

idnou

BD=ABtan30°=盧泊tan30°=^X^=^(m),

ianouyj3J3

所以CD=BC—30=200—皆=￥(m).

4.（多選）（2024.廣東六校聯(lián)考）水車是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項古老發(fā)明.

如圖是一個半徑為R的水車，一個水斗從點A（l,一?。┏霭l(fā)，沿圓周按逆時針方

向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時6秒.經(jīng)過/秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到尸點，設(shè)點尸的坐標(biāo)

為（x,y）,其縱坐標(biāo)滿足y=/（/）=Rsin（必+夕）。三0,0>0,|夕|〈芬則下列結(jié)論

正確的是（）

兀

A.9=W

B.當(dāng)戶[0,2]時，函數(shù)y=/(f)單調(diào)遞增

C.當(dāng)/?[3,5]時，函數(shù)最小值為一2

D.當(dāng)。=9時，必=4

答案BD

解析因為R=、/12+(一/)2=2,T=^=6,

得①=胃，所以財=2sin你+夕),

巧

7(0)=2sin9=一小，sin=>

兀

由于I0|V],

所以9=—全財=2sin0-,A錯誤；

若ow,則一齊？苫音，

JTTT

又丁=5111%在區(qū)間一可，可上單調(diào)遞增，

所以人才)在[0,2]上單調(diào)遞增，B正確；

若3WtW5,則亨W?一亨W普，

所以當(dāng)爭一]=守時，即取得最小值，

為2x[—坐)=—小，C錯誤；

當(dāng)f=9時，H9)=2sin(3L§=2sin^3,yj22—(.y/3)2=1,所以P(—1,^3),

所以孫=N(—1—1)2+(小+小)2=%D正確.

5.(2024.臨沂調(diào)研)阻尼器是一種通過提供運動的阻力耗減運動能量的裝置.由物理

學(xué)知識可知，某阻尼器模型的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位

移s(cm)與時間/(s)的函數(shù)關(guān)系式為s⑺=3sin(①/+夕)(O>0),若該阻尼器模型在擺

動過程中連續(xù)三次位移為so(—3<so<3)的時間分別為九，慮，％,且九十短=2,短+

打=4,則下列為s⑺的單調(diào)區(qū)間的是()

A.[k,左+1](左GN)

「J,3H

B.k+y左+]/GN)

C.[k,左+2](%￡N)

35~

D.左+1,左+]（左GN）

答案A

解析因為力+/2=2,力+/3=4,

,2兀

所以5（力的取小正周期T=t3—Zl=2,CD=2=71.

由tl+t2=2,得直線/=1是函數(shù)s?）圖象的一條對稱軸，

JT

則兀+夕=%兀+1,Z,

得9=%兀一k^Z,

取9=—則s（t）=3sin^7i/—,

人JI兀兀、

令2左兀一—5W2E+2，左?N,且/三0,

解得2左W/W2左+1,左?N,

故s⑺的單調(diào)遞增區(qū)間是[2左，2A+1],左?N,

則其單調(diào)遞減區(qū)間是[24+1,2左+2],左?N,

所以s⑺的單調(diào)區(qū)間是陜，左+1],朋N.

6.（2024.貴陽診斷）鏡面反射法是測量建筑物高度的重要方法，在如圖所示的模型

中，已知人眼距離地面高度力=1.5m,某建筑物高加=4.5m,將鏡子（平面鏡）置

于平地上，人后退至從鏡中能夠看到建筑物頂部的位置，測量人與鏡子間的距離

<71=1.2m,將鏡子后移am,重復(fù)前面的操作，測量人與鏡子間的距離02=3.2m,

則a=（）

A.6B.5C.4D.3

答案A

解析如圖，設(shè)建筑物最高點為A,建筑物底部為。，第一次觀察時鏡面位置為

B,第一次觀察時人眼睛位置為C,第二次觀察時鏡面位置為。，

A

-11%

r*a*

設(shè)。到3之間的距離為aom,

由光線反射性質(zhì)得ZABO=ZCBD,

所以tanZABO=tanZCBD,

即",①

同理可得一吟=與，②

由①②可得用=詈，解得ao=3J

<20tzia2~ai

代人①整理得

Ai（t/2-ai）4.5X（3.2-1.2）

a=h=L5=6.

7.（2024.宜賓診斷）如圖是梁思成研究廣濟(jì)寺三大士殿的手稿，它是該建筑中垂直

于房梁的截面，其中T是房梁與該截面的交點，A,3分別是兩房檐與該截面的

交點，該建筑關(guān)于房梁所在鉛垂面（垂直于水平面的面）對稱，測得柱子Ci與C2

之間的距離是小L（為測量單位），柱子C2與C3之間的距離是25L如果把AT,

視作線段，記Pi,P2,尸3是AT的四等分點，Qi,。2,Q是3T的四等分點.

若3Q=23則線段P3Q的長度為（）

A.V7LB.小LC.\[5LD.2\[2L

答案A

解析作出示意圖，如圖所示，其中點Ci與點A重合，PiCiLAB,QiCiLAB,

P2Q2//C2c3且P2Q2=C2C3=2小L,ZP3P2Q2=ZC2AP2,AC2=y[3L.

因為該建筑關(guān)于房梁所在鉛垂面（垂直于水平面的面）對稱，Pi,P2,P3是AT的四

等分點，Q1,。2,Q是的四等分點，

所以AP2=BQ2=2"PIP3=L.

q/「AP_AC2_^L—小

又cosNC2Ap2—AP2—2L—2'

7T

所以NP3P2。2=ZC2Ap2=4.

在3P2。2中，由余弦定理得

P3Qi=

P3P2+P2Q2—2-P3P2,P2。2cosNP3P2。2

=7?+(2小￡)2—2Z.25Leos菅

=70,

所以P3Q=SL

8.江岸邊有一炮臺高30m,江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，在炮

臺頂部測得兩條船的俯角分別為45。和60°,而且兩條船與炮臺底部所連的線成

30。角，則兩條船相距m.

答案1即

解析由題意畫示意圖，如圖,

N

OM=AOtan450=30(m),

ON=AOtan30°=lCh/3(ni),

在△MON中，由余弦定理得,

/900+300-2X30X10V3X^

=^/300=lO\/3(m).

即兩條船相距1師m.

9.（2024.皖豫名校聯(lián)盟聯(lián)考）如圖，一艘巡邏船由南向北行駛，在A處測得某山的

底部C在北偏東15。方向上，勻速向北航行20min到達(dá)3處，此時測得該山的底

部。在北偏東60。方向上，測得山頂尸（P在C正上方）的仰角為60。，已知山的高

度為2事km.則巡邏船的航行速度為km/h.

AV

答案6(^3+1)

解析由題意知，在△HC尸中，PC=2小km,ZPBC=60°,

故tan/尸3。=后=小，#BC=2km.

nCv

在△ABC中，ZBC4=60°-15o=45°,

?BC_AB2_AB

人」sinZBAC~sinZBCA31sin15°-sin45°,

y16—y/2

而sin15°=sin(45。-30。)=v4yl,

所以AB=@X^^=2(小+l)(km).

所以巡邏船的航行速度為

2（S+1）J=6（小+l）（km/h）.

10.如圖是某商業(yè)小區(qū)的平面設(shè)計圖，初步設(shè)計該小區(qū)邊界輪廓是半徑為200米,

圓心角為120。的扇形AOA。為南門位置，C為東門位置，小區(qū)里有一條平行于

A。的小路CD,若。。=改瞥米，則圓弧念的長為米.

OA

答案5071

解析連接OC,

因為CD//OA,

所以NDC0=NCQ4,

ZCDO=180°-ZDOA=60°.

在△OCD中，由正弦定理可得

20M

OD_OC即3_200

sinZDCO~sinZCDO,即sinNGC。一?

2

20即、，小_

3x2\l~2

則sinZDCO=一而一=',

因為NDCO=NCOA,且0。</。04<120。，

所以ZDCO=ZCOA=45°,

所以圓弧念的長為：X200=50兀米.

11.小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑

物A3,高為(154-15)m,在它們之間的地面上的點M,。三點共線)處測

得樓頂A,教堂頂C的仰角分別是15。和60。，在樓頂A處測得教堂頂C的仰角

為30。，求小明估算索菲亞教堂的高度.

解由題意知，ZCAM=45°,ZAMC=105°,

所以NACM=30。.

A5AB

在RtAABM中,A"=sin/AM3=sin15。'

在澳皿中，由正弦定理得哉=懸，

許n/巾/—Afsin45°AB-sin45°

M以CM=sin30°=sin15°-sin30°,

在RtADCM中，CD=CMsin60°

AB,sin45°-sin60°

sin15°-sin30°

(154-15).坐坐

乙乙I-

加一用一=3加的.

42

故索菲亞教堂的高度為3Mm.

12.(2024.湖北名校聯(lián)考)如圖，點A,3分別是圓心在坐標(biāo)原點，半徑為1和2的

圓上的動點.動點A從初始位置"cossin§開始，按逆時針方向以角速度

2rad/s做圓周運動，同時點3從初始位置為(2,0)開始，按順時針方向以角速度

2rad/s做圓周運動.記/時亥！J,點A,5的縱坐標(biāo)分別為yi,y2.

7

(1)求。=?寸，A,3兩點間的距離；

(2)若尸yi+券，求y關(guān)于時間/>0)的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)/?(0，為時，y的取

值范圍.

解⑴連接AB,OA,03(圖略)，

當(dāng)/=彳時，=-，

4ZxO2A3=n+o7F/X2OB=K，

2兀

所以NA03=竽.

又。4=1,OB=2,

2冗

所以AB2=y+22—2XlX2cos卞=7,

即A,5兩點間的距離為由.

(2)依題意，yi=sin(2/+§,

券=-2sin2t,

所以y=sin^2/+^—2sin2t

=^cos2z—|sin2%=*\/5cos(2%+g

即函數(shù)關(guān)系式為尸小式2/+卻＞0),

當(dāng)E(0,\時,2/+界住,野,

所以cos(2/+§?—1,m,

故當(dāng)p(0,為時，y?一小，書.

【B級能力提升】

13.(多選)(2024.廣州質(zhì)檢)潮汐是由于海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落

的自然現(xiàn)象，一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠

近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋.現(xiàn)有一條貨船的吃水深度(船底與水面的距

離)為4m,根據(jù)安