第四章曲線運(yùn)動

第18課時拋體運(yùn)動

【考情分析?探規(guī)律】

2024湖北卷T3、2024北京卷T19、2024浙江1月選考T8

2024海南卷T3、2024廣西卷T8、2024新課標(biāo)卷T15

平拋運(yùn)動

2023全國甲卷T14、2023浙江6月選考T3

2022廣東卷T6、2022北京卷T17

2024?江西卷?T8、2024?山東卷?T12、2024?江蘇卷號15、

拋體運(yùn)動2023?山東卷115、2023湖南卷T2、2023江蘇卷T15、

2022山東卷T11

試生活中的拋體運(yùn)動，自行車、汽車、火車轉(zhuǎn)彎等動力學(xué)及臨界

生活實踐類

問題，水流星，體育運(yùn)動中的圓周運(yùn)動問題

題

小船渡河模型，繩、桿速度分解模型，與斜面或圓弧面有關(guān)的

情

學(xué)習(xí)探究類平拋運(yùn)動，圓周運(yùn)動的傳動問題，圓錐擺模型，水平面內(nèi)、豎

境直面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題，圓周運(yùn)動中的輕繩、輕桿模型

【知識梳理】

考點(diǎn)一平拋運(yùn)動基本規(guī)律的應(yīng)用

1.定義:

將物體以一定的初速度沿水壬方向拋出，物體只在重力作用下的運(yùn)動。

2.性質(zhì)：

平拋運(yùn)動是加速度為￡的勻變速曲線運(yùn)動,運(yùn)動軌跡是拋物線。

3.研究方法：

化曲為直

(1)水平方向：勻速直線運(yùn)動;

(2)豎直方向：自由落體運(yùn)動。

4.規(guī)律

⑴基本規(guī)律

如圖，以拋出點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以初速度。。方向(水平方向)為x軸正方向，豎直向下為

y軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系xOyo

位［水平方向.時卜位移

移大小:可

關(guān)

-豎直方向:-方向:tana*=爵

系

速

度"水平方向

大小:g?2+42

關(guān)

系方向:tan。=好等

—豎直方向：%=gt

(2)平拋運(yùn)動物體的速度變化量

因為平拋運(yùn)動的加速度為恒定的重力加速度g,所以做平拋運(yùn)動的物體在任意相等時間

間隔。內(nèi)的速度變化量是相同的，方向恒為豎直向下，如圖所示。

(3)兩個推論

①做平拋運(yùn)動的物體在任意時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中

點(diǎn)。

②做平拋運(yùn)動的物體在任意時刻任意位置處，速度方向與水平方向的夾角。和位移方向

與水平方向的夾角a的關(guān)系為：tan0=2tana。

【小試牛刀】

【典例】1.(2024?浙江1月選考-8)如圖所示，小明取山泉水時發(fā)現(xiàn)水平細(xì)水管到水平

地面的距離為水桶高的兩倍，在地面上平移水桶，水恰好從桶口中心無阻擋地落到

桶底邊沿A。已知桶高為/?,直徑為O,重力加速度為g,則水離開出水口的速度大

小為（）

A

A.-日B.-R

47fl4N2h

（V2+I）D修D(zhuǎn).（V2+i）r）區(qū)

【答案】C

【解析】設(shè)出水口到桶口中心的水平距離為無，則x=Po隹,水落到桶底A點(diǎn)時葉§=

7g2

。0戶互,解得。0=絲產(chǎn)￡，故C正確。

7g2\2h

【典例】2.（2024.山東省一模）如圖所示是運(yùn)動員將網(wǎng)球在邊界A處正上方B點(diǎn)正對球

網(wǎng)水平向右擊出，恰好過網(wǎng)的上邊沿C點(diǎn)落在。點(diǎn)的示意圖，不計空氣阻力，已知

AB=hi,網(wǎng)高必=前1,A、C兩點(diǎn)間的水平距離為x,重力加速度為g,下列說法中正

確的是（）

B.網(wǎng)球的初速度大小為x償

C.若擊球高度低于/?1,應(yīng)減小擊球速度，才能讓球落在對方界內(nèi)

D.若擊球高度低于到小，無論球的初速度多大，球都不可能落在對方界內(nèi)

【答案】D

2

【解析】網(wǎng)球做平拋運(yùn)動，則依娜/,hi-h2=^gt2/X+XCD=Vot\,x=vo^2/解得

Vo=Xtl=翳，故A、B錯誤；任意降低擊球高度(仍高于初,會有一臨

貴'7m

界情況，此時球剛好接觸網(wǎng)又剛好壓界，設(shè)擊球臨界高度為hi',由平拋運(yùn)動規(guī)律有

a2

hi'=^gti,hi'-hi^gti',2x=v0'ti',x=v0't2,聯(lián)立解得領(lǐng)，若小于該臨界高度，速度

大會出界，速度小會觸網(wǎng)，D正確；若擊球高度低于句仍高于句,則球從被擊出到恰

好接觸網(wǎng)的時間減小，則由可知擊球速度增加，故C錯誤。

【解題技巧】求解平拋運(yùn)動臨界問題的一般思路

⑴確定臨界狀態(tài)，若有必要，畫出臨界軌跡。

(2)找出臨界狀態(tài)對應(yīng)的臨界條件。

(3)根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律列方程求解。

考點(diǎn)二斜拋運(yùn)動

1.定義:

將物體以初速度。0斜向上方或斜向下方拋出,物體只在重力作用下的運(yùn)動。

2.性質(zhì)：

斜拋運(yùn)動是加速度為￡的勻變速曲線運(yùn)動,運(yùn)動軌跡是拋物線。

3.研究方法：

運(yùn)動的合成與分解

(1)水平方向：勻速直線運(yùn)動;

(2)豎直方向：勻變速直線運(yùn)動。

4.基本規(guī)律

以斜拋運(yùn)動的拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)0,水平向右為x軸的正方向，豎直向上為y軸的正方

向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy。

⑴初速度可以分解為0ox=0ocos9,00y=Oosin9

在水平方向，物體的位移和速度分別為

X=0o4=(0oCOS0",0x=0Ox=OoCOSd

在豎直方向，物體的位移和速度分別為

y=%L好=(Oosin珈一冠

藥=0oy-gf=0osin9-gt

(2)當(dāng)斜拋物體落點(diǎn)位置與拋出點(diǎn)等高時

①射高：//=生金=吟更￡。

2g2g

②斜拋運(yùn)動的飛行時間：,=%=也史”。

99

G囪4工口八，2v2sin0cos0v2sin20

③易寸程：s=0ocos0't=-o-------=-o-----，

99

對于給定的。0,當(dāng)。=45。時，射程達(dá)到最大值，Smax=叱。

9

【小試牛刀】

【典例】1.在2023年杭州亞運(yùn)會女子鉛球決賽中，我國運(yùn)動員鞏立姣以19.58m的

成績成功衛(wèi)冕。運(yùn)動員為了尋求最佳效果，訓(xùn)練時會嘗試用不同質(zhì)量的鉛球分別以

不同夾角拋球的感覺。如圖，在某次訓(xùn)練中運(yùn)動員將質(zhì)量m=6kg的鉛球斜向上拋

出，鉛球離開手的瞬間速度大小Oo=10m/s,方向與水平方向夾角8=37。，鉛球離

開手時離水平地面的高度%=2.25m。重力加速度g取lOmd,sin37o=0.6,cos37°

=0.8,不計空氣阻力。求：

%

￡L

(1)鉛球離開手瞬間的水平分速度大小和豎直分速度大小

(2)鉛球上升到最高點(diǎn)的時間t和離地面的最大高度H；

(3)運(yùn)動員拋出的鉛球飛出的水平距離。

【小試牛刀】

【典例】2.（多選）（2022?山東卷41）如圖所示，某同學(xué)將離地1.25m的網(wǎng)球以13m/s

的速度斜向上擊出，擊球點(diǎn)到豎直墻壁的距離為4.8m。當(dāng)網(wǎng)球豎直分速度為零時,

擊中墻壁上離地高度為8.45m的尸點(diǎn)。網(wǎng)球與墻壁碰撞后，垂直墻面速度分量大小

變?yōu)榕銮暗?.75倍。平行墻面的速度分量不變。重力加速度g取10ml,網(wǎng)球碰墻

后的速度大小。和著地點(diǎn)到墻壁的距離d分別為（）

A.o=5m/sB.u=3V2m/s

C.d=3.6mD.d=3.9m

考點(diǎn)三與斜面或圓弧面有關(guān)的拋體運(yùn)動

【小試牛刀】

【典例】1.如圖所示，一小球從一半圓軌道左端A點(diǎn)正上方某處開始做平拋運(yùn)動（小

球可視為質(zhì)點(diǎn)），飛行過程中恰好與半圓軌道相切于3點(diǎn)，。為半圓軌道圓心，半圓

軌道半徑為R,03與水平方向的夾角為60。，重力加速度為g,不計空氣阻力，則

小球拋出時的初速度為（）

777777^7777777777^7777777777777.7.7.7.7.7

A.1^^B.陛

N2\2

C.1^^D,1^^

7273

【典例】2.（來自教材改編）跳臺滑雪是一項勇敢者的滑雪運(yùn)動，運(yùn)動員在滑雪道上獲

得一定速度后從跳臺飛出，在空中飛一段距離后落地。如圖所示，運(yùn)動員從跳臺A

處沿水平方向以大小為20m/s的速度飛出，落在斜坡上的3處，斜坡與水平方向的

夾角。為37。，不計空氣阻力缶由37。=0.6,cos37°=0.8,10m/s2）,求：

⑴運(yùn)動員在空中飛行的時間；

(2)運(yùn)動員落在B處時的速度大小；

(3)運(yùn)動員在空中離坡面的最大距離。

【變式訓(xùn)練】

1.(2025.山東棗莊市聯(lián)考)如圖所示，工程隊向峽谷對岸平臺拋射重物，拋出點(diǎn)P和落

點(diǎn)。的連線與水平方向夾角為53。兩點(diǎn)的高度差為20m。重力加速度大小取10mH,

忽略空氣阻力。sin53°=0.8,cos53°=0.6o求：

⑴在點(diǎn)尸以水平方向的初速度拋出的重物，離PQ連線的距離最遠(yuǎn)時的速度大?。?/p>

(2)在點(diǎn)P以垂直于尸。連線方向的初速度拋出的重物，剛要落到。點(diǎn)的速度大小。

【解題技巧】

1.與斜面結(jié)合的拋體運(yùn)動分解方法

⑴水平方向：勻速直線運(yùn)動

豎直方向：勻變速直Z戔運(yùn)動。

(2)沿斜面方向：加速J復(fù)為gsine的勻變速直線)運(yùn)動。(0為斜面與水平方向的夾角)

垂直斜面方向：加速】在為geose的類豎直上拋1運(yùn)動。

(3)斜拋運(yùn)動：沿初速J復(fù)方向的勻速直線運(yùn)動,沿豎直方向的自由落體運(yùn)動。

2.幾種常見情形

已知條件情景示例解題策略

從斜面外平拋，垂直落在斜面上，

分解速度tan0=—=—

vygt

已知速

z/z//z/z/zzz/z/z/z//zzz////z/

Xu13Z)rt\，J、o

度

方向垂從斜面外斜拋，垂直落右;斜面上，

分解速度

直/()

A-%-vocosa

已知速度方【TaAnNc/

Vy-vsina-rgt

%囪的三v____o

向0/1O

從圓弧形軌道外平拋，恰好無碰撞地進(jìn)入圓弧形

軌道，如圖所示。

分解速度

tan0=—=—

Vov0

已知速度方向沿該點(diǎn)圓弧的切線方向

從斜面上平拋又落到斜直7上，如圖所示。

已知位分解位移

已知位移方

移

,zjy初2gt

向tan3=-=--=—

方向沿xvot2VQ

斜

面向下

從斜面上斜拋又落到斜面上，如圖所示。

分解位移

女）

2

y_-v0sina-t+1^t

tan8

x%cosa?t

在斜面外平拋，落在斜面上位移最小，如圖所示。

分解位移

、、「

八XVat2v

tan6=-=I-2-=—n

y-gt2gt

已知位移方向垂直斜"面〃〃力

從圓心處水平拋出，落到半徑為H的圓弧上，如

圖所示。

|x=vt

C5RL=|^ot2

LMyx2+y2=R2

利用位移關(guān)已知位移大小等于半徑R二^

系

從與圓心等高的圓弧上水平拋出，落到半徑為R

<

VoORx=R+Rcos9

x=vot

<17

的圓弧上，如圖所示。y=Rsin9=-gtz

已知水平位移尤與半徑R的差的平方與豎直位移、(％—R)2+y2=R2

的平方之和等于半徑R的平方

【限時訓(xùn)練】（限時：60分鐘）

【基礎(chǔ)必刷題】1~5題每小題7分，6題14分，共49分

1.（多選）如圖，x軸沿水平方向，y軸沿豎直方向。圖中畫出了從y軸上沿?zé)o軸正方向拋

出的三個小球a、b和c的運(yùn)動軌跡，其中b和c是從同一點(diǎn)拋出的。不計空氣阻力，

則（）

A.a的飛行時間比b長

B.b和c的飛行時間相等

C.a的水平速度比b的小

D.b的初速度比c的大

2.（2024?湖北卷-3）如圖所示，有五片荷葉伸出荷塘水面，一只青蛙要從高處荷葉跳到低

處荷葉上。設(shè)低處荷葉a、b、c、d和青蛙在同一豎直平面內(nèi)，a、b高度相同，c、d高

度相同，a、b分別在c、d正上方。將青蛙的跳躍視為平拋運(yùn)動，若以最小的初速度完

成跳躍，則它應(yīng)跳到（）

管色底

A.荷葉aB.荷葉b

C.荷葉cD.荷葉d

3.（2025?山東臨沂市調(diào)研）一小球從如圖所示的坐標(biāo)原點(diǎn)O處開始做平拋運(yùn)動，初速度沿

著了軸正方向。在坐標(biāo)原點(diǎn)O處有束激光照射到小球上，隨著小球的運(yùn)動，激光束繞O

點(diǎn)不停轉(zhuǎn)動，總能保持激光束跟蹤小球。設(shè)任意時刻激光束與x軸正方向的夾角為仇

小球做平拋運(yùn)動的時間為不計空氣阻力，貝1（）

A八1i

A.tan夕一一B.tan30^—

tt2

C.tan38tD.tan夕8,

4.（2023?湖南卷2）如圖（a）,我國某些農(nóng)村地區(qū)人們用手拋撒谷粒進(jìn)行水稻播種。某次拋

出的谷粒中有兩顆的運(yùn)動軌跡如圖（b）所示，其軌跡在同一豎直平面內(nèi)，拋出點(diǎn)均為

且軌跡交于尸點(diǎn)，拋出時谷粒1和谷粒2的初速度分別為功和02,其中方向水平,

02方向斜向上。忽略空氣阻力，關(guān)于兩谷粒在空中的運(yùn)動，下列說法正確的是（）

A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度

B.谷粒2在最高點(diǎn)的速度小于oi

C.兩谷粒從0到P的運(yùn)動時間相等

D.兩谷粒從。到尸的平均速度相等

5.如圖所示，陽光垂直照射到斜面草坪上，在斜面頂端把一高爾夫球水平擊出讓其在與

斜面垂直的面內(nèi)運(yùn)動，小球剛好落在斜面底端。B點(diǎn)是運(yùn)動過程中距離斜面的最遠(yuǎn)處，

A點(diǎn)是在陽光照射下小球經(jīng)過B點(diǎn)的投影點(diǎn)，不計空氣阻力，則（）

A.小球在斜面上的投影做勻速運(yùn)動

B.OA與AC長度之比為103

C.若斜面內(nèi)D點(diǎn)在B點(diǎn)的正下方，則。。與DC長度不等

D.小球在B點(diǎn)的速度大小與整段運(yùn)動過程的平均速度大小相等

6.（14分）（2024?北京卷49）如圖所示，水平放置的排水管滿口排水，管口的橫截面積為S,

管口離水池水面的高度為〃，水在水池中的落點(diǎn)與管口的水平距離為小假定水在空中

做平拋運(yùn)動，已知重力加速度為g,萬遠(yuǎn)大于管口內(nèi)徑。求：

（1）（5分）水從管口到水面的運(yùn)動時間t；

⑵（5分）水從管口排出時的速度大小如；

（3）（4分）管口單位時間內(nèi)流出水的體積Q。

【鞏固必刷題】7~10題每小題9分，共36分

7.如圖所示，1、2兩個小球以相同的速度如水平拋出。球1從左側(cè)斜面拋出，經(jīng)過時間

人落回斜面上，球2從某處拋出，經(jīng)過時間打恰能垂直撞在右側(cè)的斜面上。已知左、右

兩側(cè)斜面的傾角分別為a=30。、夕=60。，貝版）

A.%.%2=1?2B./i.亥=1?3

CJi：打=2：1D.ti：打=3：1

8.某科技比賽中，參賽者設(shè)計了一個軌道模型，如圖所示。模型放到0.8m高的水平桌

子上，最高點(diǎn)距離水平地面2m,右端出口水平。現(xiàn)讓小球在最高點(diǎn)由靜止釋放，忽略

阻力作用，為使小球飛得最遠(yuǎn)，右端出口距離桌面的高度應(yīng)設(shè)計為（）

A.0B.0.1mC.0.2mD.0.3m

9.固定的半圓形豎直軌道如圖所示，A3為水平直徑，。為圓心，質(zhì)量不等的甲、乙兩個

小球同時從A點(diǎn)水平拋出，速度分別為S、。2,經(jīng)時間A、叁分別落在等高的C、。兩

點(diǎn)，OC.0。與豎直方向的夾角均為53。⑸1153。=0.8,cos53°=0.6）,不計空氣阻力,

下列說法正確的是（）

A.V[:772—1?9

B/i:勿=1：4

C.甲球的速度變化量小于乙球的速度變化量

D.落在。點(diǎn)的小球垂直打在圓弧上

10.（多選）（2024?山東卷42）如圖所示，工程隊向峽谷對岸平臺拋射重物，初速度00大小

為20m/s,與水平方向的夾角為30°,拋出點(diǎn)P和落點(diǎn)Q的連線與水平方向夾角為30°,

重力加速度大小取10m/s2,忽略空氣阻力。重物在此運(yùn)動過程中，下列說法正確的是

()

A.運(yùn)動時間為2陋s

B.落地速度與水平方向夾角為60°

C.重物離PQ連線的最遠(yuǎn)距離為10m

D.軌跡最高點(diǎn)與落點(diǎn)的高度差為45m

【尖子拔高題】

11.（15分X2025?山東省模擬）如圖，8。為斜面頂端的水平邊沿，子彈從斜面最低點(diǎn)A處

以一定速度射出，經(jīng)過一段時間恰好水平擊中。點(diǎn)，不計空氣阻力，已知斜面的傾角為

30。，重力加速度為g,AB長度長度相（0o未知）

（1）（6分）求子彈從射出到擊中。點(diǎn)經(jīng)歷的時間;

（2）（9分）求槍口瞄準(zhǔn)點(diǎn)C距離D點(diǎn)的高度（C點(diǎn)在。點(diǎn)的正上方）。

第四章曲線運(yùn)動

第18課時拋體運(yùn)動

【考情分析?探規(guī)律】

2024湖北卷T3、2024北京卷T19、2024浙江1月選考T8

2024海南卷T3、2024廣西卷T8、2024新課標(biāo)卷T15

平拋運(yùn)動

2023全國甲卷T14、2023浙江6月選考T3

2022廣東卷T6、2022北京卷T17

2024?江西卷?T8、2024?山東卷?T12、2024?江蘇卷號15、

拋體運(yùn)動2023?山東卷115、2023湖南卷T2、2023江蘇卷T15、

2022山東卷T11

試生活中的拋體運(yùn)動，自行車、汽車、火車轉(zhuǎn)彎等動力學(xué)及臨界

生活實踐類

問題，水流星，體育運(yùn)動中的圓周運(yùn)動問題

題

小船渡河模型，繩、桿速度分解模型，與斜面或圓弧面有關(guān)的

情

學(xué)習(xí)探究類平拋運(yùn)動，圓周運(yùn)動的傳動問題，圓錐擺模型，水平面內(nèi)、豎

境直面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題，圓周運(yùn)動中的輕繩、輕桿模型

【知識梳理】

考點(diǎn)一平拋運(yùn)動基本規(guī)律的應(yīng)用

1.定義:

將物體以一定的初速度沿—方向拋出，物體只在—作用下的運(yùn)動。

2.性質(zhì)：

平拋運(yùn)動是加速度為g的曲線運(yùn)動，運(yùn)動軌跡是O

3.研究方法：

化曲為直

(1)水平方向：運(yùn)動；

(2)豎直方向：運(yùn)動。

4.規(guī)律

⑴基本規(guī)律

如圖，以拋出點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以初速度。。方向(水平方向)為x軸正方向，豎直向下為

y軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系xOyo

位［水平方向.時卜位移

移大小:可

關(guān)

-豎直方向:-方向:tana*=爵

系

速

度"水平方向

大小:g?2+42

關(guān)

系方向:tan。=好等

—豎直方向：%=gt

(2)平拋運(yùn)動物體的速度變化量

因為平拋運(yùn)動的加速度為恒定的重力加速度g,所以做平拋運(yùn)動的物體在任意相等時間

間隔。內(nèi)的速度變化量是相同的，方向恒為豎直向下，如圖所示。

(3)兩個推論

①做平拋運(yùn)動的物體在任意時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中

點(diǎn)。

②做平拋運(yùn)動的物體在任意時刻任意位置處，速度方向與水平方向的夾角。和位移方向

與水平方向的夾角a的關(guān)系為：tan0=2tana。

【小試牛刀】

【典例】1.(2024?浙江1月選考-8)如圖所示，小明取山泉水時發(fā)現(xiàn)水平細(xì)水管到水平

地面的距離為水桶高的兩倍，在地面上平移水桶，水恰好從桶口中心無阻擋地落到

桶底邊沿A。已知桶高為/?,直徑為O,重力加速度為g,則水離開出水口的速度大

小為（）

A

A.-日B.-R

47fl4N2h

（V2+I）D修D(zhuǎn).（V2+i）r）區(qū)

【典例】2.（2024.山東省一模）如圖所示是運(yùn)動員將網(wǎng)球在邊界A處正上方B點(diǎn)正對球

網(wǎng)水平向右擊出，恰好過網(wǎng)的上邊沿C點(diǎn)落在。點(diǎn)的示意圖，不計空氣阻力，已知

AB=hi,網(wǎng)高蛆=葩1,A、C兩點(diǎn)間的水平距離為x,重力加速度為g,下列說法中正

確的是（）

B.網(wǎng)球的初速度大小為x型

C.若擊球高度低于加，應(yīng)減小擊球速度，才能讓球落在對方界內(nèi)

D.若擊球高度低于號/n,無論球的初速度多大，球都不可能落在對方界內(nèi)

考點(diǎn)二斜拋運(yùn)動

1.定義:

將物體以初速度。0或斜向下方拋出，物體只在—作用下的運(yùn)動。

2.性質(zhì)：

斜拋運(yùn)動是加速度為g的曲線運(yùn)動，運(yùn)動軌跡是o

3.研究方法：

運(yùn)動的合成與分解

(1)水平方向：___直線運(yùn)動；

(2)豎直方向：直線運(yùn)動。

4.基本規(guī)律

以斜拋運(yùn)動的拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。，水平向右為x軸的正方向，豎直向上為y軸的正方

向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系尤0/

0版

(1)初速度可以分解為oQx=oocos0,Ooy=oosin0

在水平方向，物體的位移和速度分別為

X=W=(yoCOSff)t,Vx=Vox=VoCOS0

在豎直方向，物體的位移和速度分別為

產(chǎn)預(yù)/一那=(o()sin。"一那

Vy=voy—gt=uosin0—gt

(2)當(dāng)斜拋物體落點(diǎn)位置與拋出點(diǎn)等高時

①射高:

②斜拋運(yùn)動的飛行時間：片子=也詈

③射程：s=°ocos爾=也2理="3

對于給定的。0,當(dāng)。=45。時，射程達(dá)到最大值，Smax=叨。

9

【小試牛刀】【典例】1.在2023年杭州亞運(yùn)會女子鉛球決賽中，我國運(yùn)動員鞏立姣

以19.58m的成績成功衛(wèi)冕。運(yùn)動員為了尋求最佳效果，訓(xùn)練時會嘗試用不同質(zhì)量的

鉛球分別以不同夾角拋球的感覺。如圖，在某次訓(xùn)練中運(yùn)動員將質(zhì)量加=6kg的鉛

球斜向上拋出，鉛球離開手的瞬間速度大小0o=10m/s,方向與水平方向夾角6=37。,

鉛球離開手時離水平地面的高度/x=2.25mo重力加速度g取10m/s2,sin37。=0.6,

cos37°=0.8,不計空氣阻力。求：

（1）鉛球離開手瞬間的水平分速度大小。0.和豎直分速度大小OOy；

（2）鉛球上升到最高點(diǎn)的時間t和離地面的最大高度H-,

（3）運(yùn)動員拋出的鉛球飛出的水平距離。

【小試牛刀】

【典例】2.（多選）（2022?山東卷41）如圖所示，某同學(xué)將離地1.25m的網(wǎng)球以13m/s

的速度斜向上擊出，擊球點(diǎn)到豎直墻壁的距離為4.8m。當(dāng)網(wǎng)球豎直分速度為零時，

擊中墻壁上離地高度為8.45m的P點(diǎn)。網(wǎng)球與墻壁碰撞后，垂直墻面速度分量大小

變?yōu)榕銮暗?.75倍。平行墻面的速度分量不變。重力加速度g取10m/s2,網(wǎng)球碰墻

后的速度大小。和著地點(diǎn)到墻壁的距離d分別為（）

/4.89

1.25/m

A?=5m/sB.r=3V2m/s

C.d=3.6mD.d=3.9m

考點(diǎn)三與斜面或圓弧面有關(guān)的拋體運(yùn)動

【小試牛刀】

【典例】1.如圖所示，一小球從一半圓軌道左端A點(diǎn)正上方某處開始做平拋運(yùn)動（小

球可視為質(zhì)點(diǎn)），飛行過程中恰好與半圓軌道相切于3點(diǎn)，。為半圓軌道圓心，半圓

軌道半徑為R,03與水平方向的夾角為60。，重力加速度為g,不計空氣阻力，則

小球拋出時的初速度為（）

【答案】A

【解析】小球飛行過程中恰好與半圓軌道相切于B點(diǎn)，可知小球運(yùn)動到B點(diǎn)時速度方向

與水平方向的夾角為30°,設(shè)位移方向與水平方向的夾角為6，貝Utan巴瞽=掾，由

ZO

tan6=(=/,可得豎直方向的位移y=*,而Vy2=2gy,tan30°=^,

聯(lián)立解得。。=后無，選項A正確，B、C、D錯誤。

【典例】2.(來自教材改編)跳臺滑雪是一項勇敢者的滑雪運(yùn)動，運(yùn)動員在滑雪道上獲

得一定速度后從跳臺飛出，在空中飛一段距離后落地。如圖所示，運(yùn)動員從跳臺A

處沿水平方向以大小為20m/s的速度飛出，落在斜坡上的3處，斜坡與水平方向的

夾角夕為37。,不計空氣阻力(sin37。=0.6,cos37°=0.8,10m/s2),求：

⑴運(yùn)動員在空中飛行的時間；

(2)運(yùn)動員落在B處時的速度大?。?/p>

(3)運(yùn)動員在空中離坡面的最大距離。

【答案】(1)3s(2)10713m/s(3)9m

【解析】⑴運(yùn)動員做平拋運(yùn)動，設(shè)在空中飛行的時間為t,則有無=。顯,,由題

圖可知tan

聯(lián)立解得t=^tan(9=3s

9

(2)運(yùn)動員落在B處時有vx=v0,vy=gt

22

所以O(shè)B=Jvx+vy=10V13m/s

(3)取沿斜坡向下方向(x方向)與垂直于斜坡向上方向(y方向)分析運(yùn)動員的運(yùn)動，則在垂

直于斜坡方向上的初速度為Dy'=0()sin夕=12m/s

加速度為的=-geos0=-8m/s2

當(dāng)垂直于斜坡方向上的速度為0時，運(yùn)動員在空中離坡面的距離最大，則有片十

9mo

【變式訓(xùn)練】

1.(2025?山東棗莊市聯(lián)考)如圖所示，工程隊向峽谷對岸平臺拋射重物，拋出點(diǎn)尸和落

點(diǎn)。的連線與水平方向夾角為53。兩點(diǎn)的高度差為20m。重力加速度大小取10m/sz,

忽略空氣阻力。sin53。=0.8,cos53。=0.6。求：

(1)在點(diǎn)尸以水平方向的初速度拋出的重物，離尸。連線的距離最遠(yuǎn)時的速度大?。?/p>

(2)在點(diǎn)P以垂直于PQ連線方向的初速度拋出的重物，剛要落到Q點(diǎn)的速度大小。

案】(1)12.5m/s(2)-m/s

【解析】(1)由題意可知，此時重物做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律有

X=vot

其中h=20m

h._

x=------=115m

tan53°

可得w=7.5m/s

將初速度和重力加速度沿著PQ方向和垂直于尸。方向分解,

得Wocos53°=4.5m/s

4fosin53°=6m/s

/=gsin53。=8m/s2

2

gy=gcos53°=6m/s

當(dāng)垂直于PQ方向的分速度減為0時，重物離PQ連線的距離最遠(yuǎn)，

則Vy=g"l

vxi=vx+gxti,聯(lián)立解得vxi=12.5m/s

即離PQ連線的距離最遠(yuǎn)時的速度大小為12.5m/s。

(2)由題意可知，此時重物做斜上拋運(yùn)動，將初速度沿著水平方向和豎直方向分解為V/

和水平方向做勻速直線運(yùn)動，豎直方向做豎直上拋運(yùn)動。則廣系7=i苴'

-h=Vy't'-^gt'2

其中-vo'sin53°=O.8vo'

Vy-votos53°=O.6vor

解得f=2.5s

vo-7.5m/s

則Q點(diǎn)的速度為V所卜2+%"2

其中vA-O.8vo-6m/s

vy"=vy'-gt'=0.6vo'-gt'=-20.5m/s

解得VQ=^^-m/so

【解題技巧】

1.與斜面結(jié)合的拋體運(yùn)動分解方法

⑴水平方向：勻速直線運(yùn)動

豎直方向：勻變速直線運(yùn)動。

⑵沿斜面方向：加速度為gsin8的勻變速直線運(yùn)動。(6為斜面與水平方向的夾角)

垂直斜面方向：加速度為geos0的類豎直上拋運(yùn)動。

⑶斜拋運(yùn)動：沿初速度方向的勻速直線運(yùn)動，沿豎直方向的自由落體運(yùn)動。

2.幾種常見情形

已知條件情景示例解題策略

從斜面外平拋，垂直落在斜面上，

分解速度tan0=—=—

vygt

已知速

出口圖句j*o777^77/777777777777777^77r

度

方向垂

從斜面外斜拋，垂直落在斜面上，

分解速度

直/()

已知速度方tanT=

Vy-vosina-tgt

向如圖所示。_

從圓弧形軌道外平拋，恰好無碰撞地進(jìn)入圓弧形

軌道，如圖所示。

分解速度

tan3=—=—

VoVQ

已知速度方向沿該點(diǎn)圓弧的切線方向

從斜面上平拋又落到斜面上，如圖所示。

分解位移

,ZJy如2gt

tan0=-=--=—

xvot2v0

已知位7~

移

方向沿

從斜面上斜拋又落到斜面上，如圖所示。

斜分解位移

已知位移方5)

面向下y_-%sinat+.

向tan(7

xv0cosa-t

在斜面外平拋，落在斜面上位移最小，如圖所示。

分解位移

、、「

八xvt2v

tan0=-=o產(chǎn)==—0

y5gt2gt

已知位移方向垂直斜面

從圓心處水平拋出，落到半徑為H的圓弧上，如

圖所示。

X=VQt

C如R

12

pM

<y=2gt

x2+y2=R2

利用位移關(guān)已知位移大小等于半徑R

系

從與圓心等高的圓弧上水平拋出，落到半徑為R

8ORrx=R+RcosB

x=vQt

的圓弧上，如圖所示。7—A<17

y=Rsin6=5gt

已知水平位移x與半徑R的差的平方與豎直位移^x-R)2+y2=R2

的平方之和等于半徑R的平方

【限時訓(xùn)練】（限時：60分鐘）

【基礎(chǔ)必刷題】1~5題每小題7分，6題14分，共49分

1.（多選）如圖，x軸沿水平方向，y軸沿豎直方向。圖中畫出了從y軸上沿x軸正方向拋

出的三個小球a、b和c的運(yùn)動軌跡，其中b和c是從同一點(diǎn)拋出的。不計空氣阻力，

則（）

OX

A.a的飛行時間比b長

B.b和c的飛行時間相等

C.a的水平速度比b的小

D.b的初速度比c的大

【答案】BD

【解析】平拋運(yùn)動可看成水平方向的勻速直線運(yùn)動和豎直方向的自由落體運(yùn)動的合運(yùn)動，

因//<加=%,所以b和C的飛行時間相等且比a的飛行時間長，A錯誤，B正

確；因X=vt,Xa>Xb>Xc,ta<tb=tc,故Oa>0b>0c,C錯誤，D正確。

2.（2024?湖北卷-3）如圖所示，有五片荷葉伸出荷塘水面，一只青蛙要從高處荷葉跳到低

處荷葉上。設(shè)低處荷葉a、b、c、d和青蛙在同一豎直平面內(nèi)，a、b高度相同，c、d高

度相同，a、b分別在c、d正上方。將青蛙的跳躍視為平拋運(yùn)動，若以最小的初速度完

成跳躍，則它應(yīng)跳到（）

A.荷葉aB.荷葉b

C.荷葉cD.荷葉d

【答案】C

【解析】青蛙做平拋運(yùn)動，水平方向為勻速直線運(yùn)動，豎直方向為自由落體運(yùn)動，則有

x=vt,仁研，可得°=%居

因此水平位移越小，豎直高度越大，初速度越小，因此它應(yīng)跳到荷葉C上面。故選C。

3.（2025?山東臨沂市調(diào)研）一小球從如圖所示的坐標(biāo)原點(diǎn)。處開始做平拋運(yùn)動，初速度沿

著x軸正方向。在坐標(biāo)原點(diǎn)O處有束激光照射到小球上，隨著小球的運(yùn)動，激光束繞O

點(diǎn)不停轉(zhuǎn)動，總能保持激光束跟蹤小球。設(shè)任意時刻激光束與x軸正方向的夾角為仇

小球做平拋運(yùn)動的時間為3不計空氣阻力，貝1（）

A.tan80c-B.tan9^-

C.tanD.tan夕8,

【答案】C

【解析】小球做平拋運(yùn)動，豎直方向的位移為,水平方向的位移為

因此激光束與x軸正方向的夾角0的正切值為tan。=丫="=受，即tangt,故選

XVQLZVQ

Co

4.(2023?湖南卷-2)如圖(a),我國某些農(nóng)村地區(qū)人們用手拋撒谷粒進(jìn)行水稻播種。某次拋

出的谷粒中有兩顆的運(yùn)動軌跡如圖(b)所示，其軌跡在同一豎直平面內(nèi)，拋出點(diǎn)均為O,

且軌跡交于P點(diǎn)，拋出時谷粒1和谷粒2的初速度分別為S和勿，其中方向水平，

方向斜向上。忽略空氣阻力，關(guān)于兩谷粒在空中的運(yùn)動，下列說法正確的是()

介々/、谷粒2

⑶（b）

A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度

B.谷粒2在最高點(diǎn)的速度小于

C.兩谷粒從O到P的運(yùn)動時間相等

D.兩谷粒從0到P的平均速度相等

【答案】B

【解析】拋出的兩谷粒在空中均僅受重力作用，加速度均為重力加速度，故谷粒1的加

速度等于谷粒2的加速度，A錯誤；谷粒2做斜拋運(yùn)動，谷粒1做平拋運(yùn)動，在豎直方

向上谷粒2做豎直上拋運(yùn)動，谷粒1做自由落體運(yùn)動，從。到尸兩谷粒豎直方向上位

移相同，故谷粒2運(yùn)動時間較長，C錯誤；谷粒2做斜拋運(yùn)動，水平方向上為勻速直線

運(yùn)動，故運(yùn)動到最高點(diǎn)的速度即為水平方向上的分速度。兩谷粒從0點(diǎn)運(yùn)動到P點(diǎn)的

水平位移相同，但谷粒2運(yùn)動時間較長，故谷粒2水平方向上的速度較小，即最高點(diǎn)的

速度小于5,B正確；兩谷粒從。點(diǎn)運(yùn)動到P點(diǎn)的位移相同，運(yùn)動時間不同，故平均

速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D錯誤。

5.如圖所示，陽光垂直照射到斜面草坪上，在斜面頂端把一高爾夫球水平擊出讓其在與

斜面垂直的面內(nèi)運(yùn)動，小球剛好落在斜面底端。B點(diǎn)是運(yùn)動過程中距離斜面的最遠(yuǎn)處，

A點(diǎn)是在陽光照射下小球經(jīng)過B點(diǎn)的投影點(diǎn)，不計空氣阻力，貝！|()

A.小球在斜面上的投影做勻速運(yùn)動

B.04與AC長度之比為103

C.若斜面內(nèi)D點(diǎn)在B點(diǎn)的正下方，則。。與DC長度不等

D.小球在B點(diǎn)的速度大小與整段運(yùn)動過程的平均速度大小相等

【答案】D

【解析】將小球的運(yùn)動分解為沿斜面和垂直斜面兩個分運(yùn)動，可知小球沿斜面方向做初

速度為vocos9,加速度為gsine的勻加速直線運(yùn)動，則小球在斜面上的投影做勻加速直

線運(yùn)動，故A錯誤；小球垂直斜面方向做初速度為vosin0,加速度為geos。的勻減速直

線運(yùn)動，3點(diǎn)是運(yùn)動過程中距離斜面的最遠(yuǎn)處，則此時小球垂直斜面方向的分速度剛好

為0根據(jù)對稱性可知，。到8與3到C的時間相等均為U儂嗎則有人『cos夕什々sin

gcostf2

6+,Loc-vocos夕2什：gsin夕（2獷,可得LAC-LOC-LOA-VQCOS0-r+|gsin夕3金,所以

捍審共產(chǎn)B錯誤;

z

L-ACvocos0t+-gsmd-3t3

將小球的運(yùn)動分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動和豎直方向的自由落體運(yùn)動MUXOB'=V0t,

小球從。到c有xoc-=v0-2t=2xOB',根據(jù)幾