第68課時專題強化：電磁感應中的電路及圖像問題

r目標要求］1.掌握電磁感應中電路問題的求解方法。2.會計算電磁感應問題中電壓、電流、電荷量、熱量

等物理量。3.能夠通過電磁感應圖像，讀取相關(guān)信息，應用物理規(guī)律求解問題。

考點一電磁感應中的電路問題分析

分析電磁感應中電路問題的基本思路

0討論交流

“相當于電源”的導體兩端的電勢差就是電源的電動勢嗎？

答案導體兩端的電勢差與電源的電動勢是兩個不同的概念，導體兩端的電勢差不是電源的電動勢。當電

路是斷開狀態(tài)時，等效電源兩端的電勢差等于電源的電動勢；當電路是閉合狀態(tài)時，等效電源兩端的電勢

差為路端電壓，與電動勢不相等。

【例1】(來自教材改編)如圖，由某種粗細均勻的總電阻為3R的金屬條制成的矩形線框必cd,寬ad=L,

固定在水平面內(nèi)且處于方向豎直向下的磁感應強度為3的勻強磁場中。一接入電路的電阻為R的導體

棒PQ,在水平拉力作用下沿防、A以速度v勻速滑動，滑動過程中尸。始終與油垂直，且與線框接

觸良好，不計摩擦。在PQ從靠近ad處向兒滑動的過程中，求：

(DPQ切割磁感線產(chǎn)生的電動勢；

(2)PQ滑到中間位置時尸。兩端的電壓;

⑶線框消耗的最大電功率。

答案（1*八⑵I必⑶寫手

解析（1）PQ切割磁感線產(chǎn)生的電動勢E=3Lv

（2）PQ滑到中間位置時外電阻R外=13R?5R=075R

3/?

根據(jù)閉合電路的歐姆定律/=口=w=竺竺

R外+R1.75R7R

尸。兩端的電壓U=/R外

（3）因當外電阻等于電源內(nèi)阻時電源輸出功率最大，而當PQ在中間位置時外電阻最大，最大值為0.757?,

與電源內(nèi)阻最接近，可知此時線框消耗的電功率最大，最大電功率為「=當=里學=密答。

R外0.757?49R

【例2】（2024.江蘇南京市、鹽城市期末汝口圖所示，仍cd為水平固定放置的U形導體框，其中次長為x,

兒部分阻值為r,其余部分電阻不計。長為2小阻值為2r的均勻?qū)w棒MN,始終與導體框接觸良好。

整個裝置處于垂直紙面向外的勻強磁場中?，F(xiàn)使導體棒以速度v水平向左勻速運動，則導體棒兩端的

電勢差是（）

A.0.5Bxv

C.1.5BxvD.2Bxv

答案C

解析導體棒以速度V水平向左勻速運動，等效電路如圖所示,UMN~UMP~\~UPQ-\-UQN,UpQ=^^.r=

0.5Bxv，閉合回路之外的電勢差為UMP+UQN=BXV,所以導體棒兩端的電勢差UMN=UMP+UPQ+UQN=

\.5Bxv,故選Co

【例3】如圖，導體軌道OPQS固定，其中PQS是半圓弧，。為半圓弧的中點，。為圓心。軌道的電阻

忽略不計。OM是有一定電阻、可繞O轉(zhuǎn)動的金屬桿，M端位于尸。5上，與軌道接觸良好?？臻g

存在與半圓所在平面垂直的勻強磁場，磁感應強度的大小為瓦現(xiàn)使從位置以恒定的角速度

逆時針轉(zhuǎn)到os位置并固定(過程I)；再使磁感應強度的大小以一定的變化率從8增加到力(過程n)0

在過程I、II中，流過的電荷量相等，則號等于()

B

537

A-B-C-D.2

424

答案B

解析在過程I中，根據(jù)法拉第電磁感應定律,

巖P=竺=B(如2-扣2)

1

住At】Ati

根據(jù)閉合電路歐姆定律,有71=當且qi=7iA介

在過程II中，有石2=警=宜乎貯

=

h~K，q?=I2N2,又qi=qz,

22

Hn^(|^-^)_(B’-B)加2

RR

所以3="故選B。

B2

B總結(jié)提升

利用計算電荷量的導出公式q=可以快速求解選擇題：

設(shè)在時間。內(nèi)通過導體橫截面的電荷量為q,則根據(jù)電流定義式7=2及法拉第電磁感應定律有萬=〃黑，

4日V*EAnA0入□n_△⑦

得q二I\t=—Az=-----A/=—,HP=4丁。

“R.R*tR=K

總總總總

注意：萬表示電動勢的平均值，7表示電流的平均值。電流變化時計算通過導體橫截面的電荷量時要用電流

的平均值。

考點二電磁感應中的圖像問題分析

1.解題步驟

(1)明確圖像的種類，即是3—1圖像還是圖像，或者E—f圖像、i—z圖像、/一r圖像等；對切割磁感

線產(chǎn)生感應電動勢和感應電流的情況，還常涉及E—尤圖像和，一x圖像；

(2)分析電磁感應的具體過程；

(3)用右手定則或楞次定律確定電流方向與時間的對應關(guān)系；

(4)結(jié)合法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律、牛頓運動定律等知識寫出相應的函數(shù)關(guān)系式；

(5)根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，進行數(shù)學分析，如分析斜率的變化、截距等；

(6)畫圖像或判斷圖像。

2.常用方法

(1)排除法：定性地分析電磁感應過程中物理量的正負、增大還是減小及變化快慢，來排除錯誤選項。

(2)函數(shù)法：寫出兩個物理量之間的函數(shù)關(guān)系，然后由函數(shù)關(guān)系對圖像進行分析和判斷。

【例4】如圖所示，兩個寬度均為L的勻強磁場垂直于光滑水平桌面，磁感應強度大小相等，方向相反,

高為L、上底和下底長度分別為L和2L的等腰梯形金屬線框水平放置，現(xiàn)使其勻速向右穿過磁場區(qū)域,

速度垂直梯形底邊，從圖示位置開始x=0,以逆時針方向為電流的正方向。

(1)畫出下列三圖所示時刻感應電流的方向。

(2)下列四幅圖中能夠反映線框中電流/隨金屬框向右移動距離x關(guān)系的是

答案(1)①逆時針方向②順時針方向③逆時針方向(2)C

解析(2)x在0~Z,內(nèi)，由楞次定律判斷知感應電流的方向沿逆時針方向，為正，線框的有效切割長度在均

勻增大，由公式E=3/v知，產(chǎn)生的感應電動勢均勻增大，則感應電流均勻增大；》在乙~2乙內(nèi)，線框的左

右兩邊都切割磁感線，均產(chǎn)生感應電動勢，兩個感應電動勢串聯(lián)，且均勻增大，感應電流方向沿順時針方

向，為負；x在2L~3乙內(nèi)，由楞次定律知，感應電流的方向沿逆時針方向，為正，線框的有效切割長度在

均勻增大，由公式E=5/v知，產(chǎn)生的感應電動勢均勻增大，則感應電流均勻增大，而且感應電流變化情況

與線框進入磁場的過程相同，故C正確，A、B、D錯誤。

【例5】（多選）（2024.陜西榆林市三模）如圖甲所示，一個矩形金屬框A3CD通過細桿懸掛在豎直平面內(nèi),

懸點尸為AB邊中點。金屬框邊水平，平行45邊的虛線E尸下方存在磁感應強度隨時間變化的勻

強磁場，磁場范圍足夠大、方向垂直紙面（豎直平面）。若金屬框的重量忽略不計，規(guī)定金屬框所受安

培力向上為正方向，7=0時起，金屬框所受安培力廠隨時間f的變化圖像如圖乙所示。取垂直紙面向

外為磁感應強度的正方向，則。=0時刻起磁感應強度3隨時間7的變化圖像可能正確的是（）

答案BD

解析在一個周期內(nèi)，安培力/先向上線性增大，再向下線性減小，且增大時的變化率比減小時的變化率

大；根據(jù)左手定則可知，金屬框內(nèi)的磁場垂直紙面向外時，感應電流先沿順時針方向，再沿逆時針方向，

由楞次定律可知，磁通量先增大后減小，則磁感應強度先增大后減??；由F=BIL，/=《=篝，可知磁感

應強度增大時的變化率大于減小時的變化率，故A錯誤，B正確；根據(jù)左手定則可知，金屬框內(nèi)的磁場垂

直紙面向里時，感應電流先沿逆時針方向，再沿順時針方向，由楞次定律可知，磁通量先增大后減小，則

磁感應強度先增大后減??；同理可知，磁感應強度增大時的變化率大于減小時的變化率，故C錯誤，D正

確。

【例6】（多選）（2022?河北卷⑻如圖，兩光滑導軌水平放置在豎直向下的勻強磁場中，一根導軌位于x軸

上，另一根由仍、be、cd三段直導軌組成，其中次段與x軸平行，導軌左端接入一電阻R。導軌上一

金屬棒沿x軸正向以速度vo保持勻速運動，f=0時刻通過坐標原點O,金屬棒始終與無軸垂直。

設(shè)運動過程中通過電阻的電流強度為，，金屬棒受到安培力的大小為R金屬棒克服安培力做功的功率

為尸，電阻兩端的電壓為U,導軌與金屬棒接觸良好，忽略導軌與金屬棒的電阻。下列圖像可能正確

的是（）

答案AC

解析當金屬棒從。點向右運動L時，即在0~2時間內(nèi)，在某時刻金屬棒切割磁感線的長度L割=/（）+

v0

vortan0（0為ab與ad的夾角）,

則根據(jù)￡=BL割血,

BLv

可得i=j0=Wa+vo/tan。），

RR

可知回路電流均勻增加；

22

BLv02

安培力尸--=+vortan0）2,

則FT關(guān)系為二次函數(shù)關(guān)系，但是不過原點；

安培力做功的功率

B212%2*z

P=Fv=——-——=--5-（/o+uoKan0）-,

0RR

則P7關(guān)系為二次函數(shù)關(guān)系，但是不過原點；

電阻兩端的電壓等于金屬棒產(chǎn)生的感應電動勢，即0=后=8L割物=8丫0（4）+為注2110）

即U7圖像是不過原點的直線；根據(jù)以上分析，可排除B、D選項；

在4~三時間內(nèi)，金屬棒切割磁感線的長度不變，感應電動勢E不變，感應電流，不變，安培力廠大小不變，

%為

安培力的功率P不變，電阻兩端電壓U保持不變；同理可判斷，在馬時間內(nèi)，金屬棒切割磁感線長度

%V0

逐漸減小，金屬棒切割磁感線的感應電動勢E均勻減小，感應電流i均勻減小，安培力P大小按照二次函

數(shù)關(guān)系減小，但是不能減小到零，與0~上內(nèi)是對稱的關(guān)系，安培力的功率尸按照二次函數(shù)關(guān)系減小，但是

v0

不能減小到零，與0~上內(nèi)是對稱的關(guān)系，電阻兩端電壓U按線性均勻減小，綜上所述選項A、C可能正確，

vo

B、D錯誤。

課時精練

（分值：60分）

基礎(chǔ)落實練

1~6題每小題4分，共24分

1.如圖所示是兩個相互連接的金屬圓環(huán)，小金屬環(huán)的電阻是大金屬環(huán)電阻的二分之一，連接處電阻不計,

勻強磁場垂直穿過大金屬環(huán)所在區(qū)域，當磁感應強度隨時間均勻變化時，在大環(huán)內(nèi)產(chǎn)生的感應電動勢為E,

則。、6兩點間的電壓為（）

D.E

答案B

解析a、。間的電壓等于路端電壓，而小環(huán)電阻占電路總電阻的］故.、6間電壓為U=/，選項B正確。

2.如圖所示，在一磁感應強度3=0.5T的勻強磁場中，垂直于磁場方向水平放置著兩根相距L=0.1m的平

行光滑金屬導軌MN和尸Q,導軌電阻忽略不計，在兩根導軌的端點N、Q之間連接一阻值R=0.3O的電

阻。導軌上垂直放置著金屬棒其接入電路的電阻r=0.2O。當金屬棒在水平拉力作用下以速度v=4.0

m/s向左做勻速運動時（）

A.ab棒所受安培力大小為0.02N

B.N、Q間電壓為0.2V

C.a端電勢比b端電勢低

D.回路中感應電流大小為1A

答案A

解析油棒產(chǎn)生的感應電動勢E=BLv=0.2V,感應電流/=—J=0.4A,成棒受到的安培力大小

R+r

=0.02N,A正確，D錯誤；N、Q間的電壓U=±E=Q12Y,B錯誤；由右手定則得。端電勢比。端電

R\T

勢高，C錯誤。

3.（2025?遼寧大連市檢測）如圖所示，邊長為L的正方形單匝導線框仍加放在紙面內(nèi)，在ad邊左側(cè)有范圍

足夠大的勻強磁場，磁感應強度大小為8,方向垂直紙面向里，導線框的總電阻為R?，F(xiàn)使導線框繞。點

在紙面內(nèi)沿順時針方向勻速轉(zhuǎn)動，經(jīng)時間。第一次轉(zhuǎn)到圖中虛線位置。則在。內(nèi)通過導線框橫截面的電

荷量為（）

.BL2

A.—

4R

C與D等

答案B

解析。時間內(nèi)穿過導線框的磁通量變化量為,由法拉第電磁感應定律得石=竽=

22At

M,平均感應電流7=《=黑，通過導線框橫截面的電荷量4=又加=器，故選B。

4.（多選）在如圖甲所示的電路中，電阻2&=&=2R,單匝、圓形金屬線圈的半徑為小電阻為R,半徑為

「2（/2＜八）的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直于線圈平面向里的勻強磁場，磁感應強度B隨時間/變化的關(guān)系圖線如圖乙

所示，其余導線的電阻不計。閉合開關(guān)S,在加時刻，電路中的電流已穩(wěn)定。下列說法正確的是（）

A.流過電阻&的電流方向自下向上

B.穩(wěn)定后電阻R兩端的電壓為笑生

4t0

C.穩(wěn)定后“、N兩點間的電壓為哼里

D.O~fo時間內(nèi)，電阻&上產(chǎn)生的焦耳熱為嘴魚

Of?LQ

答案BD

解析由題圖乙可知磁感應強度隨著時間均勻增大，根據(jù)楞次定律，可判斷出線圈中感應電流方向為逆時

2

針，則流過電阻Ri的電流方向自上向下，故A錯誤；根據(jù)法拉第電磁感應定律有石=嗤，S=nr2,箸

=配生=也,解得E=叱也，根據(jù)閉合電路歐姆定律，當穩(wěn)定后V、N兩端電壓為外電壓。外=

?+?,C錯誤；電阻R兩端的電壓Ui=，故B正確；根據(jù)閉合電路歐姆定

律，穩(wěn)定后電路中的電流/=Y^-=9,根據(jù)焦耳定律，在0~%時間內(nèi)，電阻R2上產(chǎn)生的焦耳熱

R1-tR2-\-R4t（）R

。2=尸&m=嗒盟,故D正確。

ORLQ

5.（多選）（2024.河南焦作市二模）如圖甲所示，正方形線圈油cd內(nèi)有垂直于線圈的勻強磁場，已知線圈匝數(shù)

"=10,邊長油=lm,線圈總電阻r=lfl,線圈內(nèi)磁感應強度隨時間的變化情況如圖乙所示。設(shè)圖甲所

示的磁場方向與感應電流方向為正方向，則下列有關(guān)線圈的感應電流3焦耳熱。以及。、6兩點間電壓大

小"，仍邊的安培力尸（取向下為正方向）隨時間/的變化圖像正確的是（）

答案ACD

解析0~ls內(nèi)產(chǎn)生的感應電動勢為ei=^=2V,由楞次定律可知，感應電流為逆時針（為負），大小為

"=￡=2A,同理可得，1~5s內(nèi)產(chǎn)生的感應電動勢為e2=嗯=1V,由楞次定律可知，感應電流為順時

針（為正），大小為正確；a、兩點間的電壓，內(nèi)大小為內(nèi)大小

Z2=—Y=1A,AZ?0~lsMI=Z-I-47=0.5V,1~5s

為=z.-=0.25V,B錯誤；必邊的安培力，0~1s內(nèi)大小為0W尸產(chǎn)響"W4N,隨時間逐漸增大,由

M224

左手定則，方向為向下為正；同理1~3s內(nèi)大小為0WF2="52i2L〈2N,隨時間逐漸減小，由左手定則，

方向為向上為負；同理3~5s內(nèi)大小為0<P3="53i2L〈2N,隨時間逐漸增大，由左手定則，方向為向下

為正，C正確；0~1s內(nèi)焦耳熱0〈。產(chǎn)J,隨時間逐漸增加，1~5s內(nèi)焦耳熱4JWQ=Qm+

i/rt'W8J,隨時間逐漸增加，D正確。

6.（2024?云南昆明市模擬）半徑分別為r和2r的同心圓形導軌固定在同一水平面上，一長為八電阻為R的

均勻直導體棒AB置于圓導軌上面，BA的延長線通過圓軌道中心0。裝置的俯視圖如圖所示，整個裝置位

于一勻強磁場內(nèi)，磁感應強度大小為B,方向豎直向下，在兩導軌之間接阻值為R的定值電阻和電容為C

的電容器。直導體棒在水平外力作用下以角速度。繞。逆時針勻速轉(zhuǎn)動。在轉(zhuǎn)動過程中始終與導軌保持良

好接觸，導軌電阻不計。下列說法正確的是（）

A.導體棒中電流由A流向B

B.電容器所帶電荷量為:C股"2

C.電容器的M板帶負電

D.導體棒兩端電壓為23co2r

4

答案B

解析根據(jù)右手定則，導體棒中電流方向由3流向A,A項錯誤；在/時間內(nèi)，導體棒掃過的面積5=

"小2『）2一產(chǎn)）,根據(jù)法拉第電磁感應定律,導體棒兩端電壓"=/清，解得17=弟”,電容器所

帶電荷量為Q=CU=；CBsa,B項正確，D項錯誤；A點電勢高于B點電勢，故M板帶正電，C項錯誤。

4

能力綜合練

7、8題每小題6分，9題16分，共28分

7.（2024?廣東湛江市一模）如圖所示，在區(qū)域I、II中分別有磁感應強度大小相等、垂直紙面但方向相反、

寬度均為。的勻強磁場區(qū)域。高為a的正三角形線框efg從圖示位置沿x軸正方向勻速穿過兩磁場區(qū)域，

以逆時針方向為電流的正方向，下列圖像中能正確描述線框皈中感應電流/與線框移動距離x關(guān)系的是

（）

答案B

解析正三角形線框板剛進入向里的磁場I時，/的大小為零，之后隨線框進入磁場距離的增大，利用楞

次定律可知，感應電流沿逆時針方向，為正方向，在進入過程中，eg和席兩邊的有效切割長度變大，其有

效長度為L有效=2xtan30。，感應電動勢為E=或有效v,感應電流為/=《=亞警，當線框或前進〃距離

時，感應電流達到最大，即/o=4萼,在線框剛進入向外的磁場區(qū)域II瞬間，感應電流為零，之后隨線

框進入磁場距離的增大，利用楞次定律可知，弧線框中感應電流方向沿順時針方向，即為負。進入過程

有效切割長度變大，在該過程中，結(jié)合之前的分析，其電流的瞬時值為/，=竺駕產(chǎn),當前進距離為2a

時，其感應電流達到最大，結(jié)合之前的分析，其最大值為6=空警=2/。，在剛出向外的磁場區(qū)域II瞬間,

感應電流大小為零，之后隨線框出磁場距離的增加，利用楞次定律可知，彌中感應電流方向沿逆時針方

向，為正，有效切割長度變大，在該過程中，結(jié)合之前的分析其電流的瞬時值為I-嗎,當前進

距離為3“時，感應電流達到最大，其最大值為/o"=亞誓=/o,故選B。

8.如圖所示，垂直紙面向里的勻強磁場的區(qū)域?qū)挾葹?a,磁感應強度的大小為及一邊長為a、電阻為4R

的正方形均勻?qū)Ь€框ABCD從圖示位置沿水平向右方向以速度v勻速穿過磁場區(qū)域，下列圖中導線框中A、

8兩端電壓UAB與導線框移動距離x的關(guān)系圖像正確的是（）

XXXX科X

XXXXX

XXXXXX

=X二*XX

XXXXXX

XXXXXX

XXXXXX

\UAB

Bav3Bau/4--------1

Bau/4Bavl4)—；??.

O°-a2a：iax

AB

UAB

Bav

334t//4----------1

Bavl4-i----------1,

Oa2a3ax

D

答案D

解析由楞次定律判斷可知，在導線框穿過磁場的過程中，A點的電勢始終高于3點的電勢，則UAB始終

為正值。AB,DC兩邊切割磁感線時產(chǎn)生的感應電動勢均為E=Bav,導線框移動距離在0~“內(nèi)時，AB切

割磁感線，A、8兩端的電壓是路端電壓，則UAB=^E=^Bav；導線框移動距離在a~2a內(nèi)時，導線框完全

在磁場中運動，穿過導線框的磁通量沒有變化，不產(chǎn)生感應電流，則UAB=E=BW；導線框移動距離在

2a~3a內(nèi)時，A、8兩端的電壓等于路端電壓的］則UAB=^E=^Bav,故D正確。

9.(八省聯(lián)考?內(nèi)蒙古J4)如圖(a),兩組平行金屬導軌在同一水平面固定，間距分別為1和1.51,分別連接電

阻必、&,邊長為d的正方形區(qū)域存在豎直向下的勻強磁場，磁感應強度3隨時間/變化關(guān)系如圖(b)所示。

f=0時，在距磁場左邊界d處，一長為1.5d的均勻?qū)w棒在外力作用下，以恒定速度vo向右運動，直至通

過磁場，棒至磁場左邊界時與兩組導軌同時接觸。導體棒阻值為3R,Ri、&的阻值分別為2R、R,其他電

阻不計，棒與導軌垂直且接觸良好。求：

(1)0~2時間內(nèi)，Ri中的電流方向及其消耗的電功率P；

vo

(2)色~四時間內(nèi)，棒受到的安培力產(chǎn)的大小和方向。

%%

答案(1)N到M生匣泣

32R

(2)吟生水平向左

解析(1)由題圖(b)可知在0~2時間內(nèi)，磁場磁感應強度均勻增加,根據(jù)楞次定律可知品中的電流方向為

v0

N到M；根據(jù)法拉第電磁感應定律得￡=竽=孚=丹

△tAt2

0~2時間內(nèi)，導體棒在MV之間的電阻為2R,所以電流為/總=-|-=陪

V0