數(shù)學(xué)文化專(zhuān)項(xiàng)練(二)(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第121頁(yè))1．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)是254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為()A．134石 B．169石C．338石 D．1365石B[抽樣比是eq\f(28,254)，那么1534石米夾谷1534×eq\f(28,254)≈169(石)，故選B.]2．(2017·福建4月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問(wèn)中有如下問(wèn)題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人．每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，問(wèn)筑堤幾日．”其大意為：“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩．第一天派出64人，從第二天開(kāi)始，每天派出的人數(shù)比前一天多7人．修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升，共發(fā)出大米40392升，問(wèn)修筑堤壩多少天．”在這個(gè)問(wèn)題中，第5天應(yīng)發(fā)大米()A．894升 B．1170升C．1275升 D．1467升B[由題意，知每天派出的人數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為64，公差為7的等差數(shù)列，則第5天的總?cè)藬?shù)為5×64＋eq\f(5×4,2)×7＝390，所以第5天應(yīng)發(fā)大米390×3＝1170升，故選B.]3．《算數(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)于20世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一”．該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式V≈eq\f(1,36)l2h.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取3.那么，近似公式V≈eq\f(2,75)l2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804142】A.eq\f(22,7) B．eq\f(25,8)C.eq\f(157,50) D．eq\f(355,113)B[設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，則圓錐的底面圓周長(zhǎng)L＝2πr，所以圓錐底面圓的半徑r＝eq\f(L,2π)，則圓錐的體積為V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π·eq\f(L2,4π2)h＝eq\f(1,12π)L2h.又V≈eq\f(2,75)L2h，所以eq\f(1,12π)L2h≈eq\f(2,75)L2h，解得π≈eq\f(25,8).]4．(2017·福建三明5月質(zhì)檢)“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體，它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)．如圖1，正方形ABCD是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線，若該幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是半徑為r的圓，根據(jù)祖暅原理，可求得該幾何體的體積為()圖1A.eq\f(8,3)r3 B．eq\f(8,3)πr3C.eq\f(16,3)r3 D．eq\f(16,3)πr3C[由題意，根據(jù)祖暅原理，求得該幾何體的體積與中截面面積為(2r)2＝πR2的球的體積相等，所以幾何體的體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)×4r2×r＝eq\f(16,3)r3.]5．(2017·四川瀘州四診)《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中一個(gè)問(wèn)題的解答可以用如圖2的算法來(lái)實(shí)現(xiàn)，若輸入的S，T的值分別為40,126，則輸出a，b的值分別為()圖2A．17,23 B．21,21C．19,23 D．20,20A[依據(jù)流程圖運(yùn)行程序：S＝40，T＝126，此時(shí)T≥2S成立，(T－2S)÷2＝46÷2＝23，余數(shù)為0，則b＝eq\f(T－2S,2)＝23，a＝S－b＝40－23＝17，輸出a，b結(jié)束程序運(yùn)行．綜上可得輸出a，b的值分別為17,23.]6．(2017·廣州一模)《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬；將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)之為鱉臑．若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為()A．8π B．12πC．20π D．24π法二：(直接法)利用鱉臑的特點(diǎn)求解，如圖，因?yàn)樗膫€(gè)面都是直角三角形，所以PC的中點(diǎn)到每一個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，即PC的中點(diǎn)為球心O，易得2R＝PC＝eq\r(20)，所以球O的表面積為4πR2＝20π，選C.]7．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典，其中對(duì)勾股定理的論術(shù)比西方早一千多年，其中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材埋在壁中，不知大??；以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長(zhǎng)1尺．問(wèn)這塊圓柱形木料的直徑是多少？長(zhǎng)為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中，截面圖如圖3所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分)，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為(注：1丈＝10尺，1尺＝10寸，π≈3.14，sin22.5°≈eq\f(5,13))()圖3A．600立方寸 B．610立方寸C．620立方寸 D．633立方寸D[連接OA，OB，OD，設(shè)⊙O的半徑為R，則(R－1)2＋52＝R2，∴R13.sin13.sin∠AOD＝eq\f(AD,AO)＝eq\f(5,13).∴∠AOD≈22.5°，即∠AOB≈45°.故∠AOB≈eq\f(π,4).∴S弓形ACB＝S扇形OACB－S△OAB＝eq\f(1,2)×eq\f(π,4)×169－eq\f(1,2)×10×12≈6.33(平方寸)，則V＝633(立方寸)，故選D.]8．(2017·石家莊一模)祖暅?zhǔn)悄媳背瘯r(shí)代的偉大數(shù)學(xué)家，5世紀(jì)末提出體積計(jì)算原理，即祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任何一個(gè)平面所截，如果截面面積都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等．現(xiàn)有以下四個(gè)幾何體：圖4①是從圓柱中挖去一個(gè)圓錐所得的幾何體，圖4②、圖4③、圖4④分別是圓錐、圓臺(tái)和半球，則滿(mǎn)足祖暅原理的兩個(gè)幾何體為()圖4A．①② B．①③C．②④ D．①④D[設(shè)截面與底面的距離為h，則①中截面內(nèi)圓的半徑為h，則截面圓環(huán)的面積為π(R2－h(huán)2)；②中截面圓的半徑為R－h(huán)，則截面圓的面積為π(R－h(huán))2；③中截面圓的半徑為R－eq\f(h,2)，則截面圓的面積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(h,2)))2；④中截面圓的半徑為eq\r(R2－h(huán)2)，則截面圓的面積為π(R2－h(huán)2)．所以①④中截面的面積相等，故其體積相等，選D.]9．(2017·湖北七市聯(lián)考)秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，他在所著的《數(shù)書(shū)九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法．如圖5所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入n，x的值分別為3,4，則輸出的v的值為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804143】圖5A．6 B．25C．100 D．400C[輸入n＝3，x＝4，第一步：v＝1，i＝3－1＝2；第二步：v＝1×4＋2＝6，i＝2－1＝1；第三步：v＝6×4＋1＝25，i＝1－1＝0；第四步：v＝25×4＝100，i＝0－1＝－1＜0.程序結(jié)束，輸出的v＝100，故選C.]10．假設(shè)“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，給出下列式子：圖6①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③eq\f(c1,a1)＜eq\f(c2,a2)；④c1a2＞a1c2.其中正確的式子的序號(hào)是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④D[①由題圖知2a1＞2a2,2c1＞2c2；即a1＞a2，c1＞c2，∴a1＋c1＞a2＋c2，∴①不正確．②∵a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，∴a1－c1＝a2－c2，∴②正確．③∵c1a2＞a1c2，a1＞0，a2＞0，∴eq\f(c1a2,a1a2)＞eq\f(a1c2,a1a2).即eq\f(c1,a1)＞eq\f(c2,a2)，∴③不正確．④∵a1＞a2＞0，c1＞c2＞0.∴aeq\o\al(2,1)＞aeq\o\al(2,2)，ceq\o\al(2,1)＞ceq\o\al(2,2)，又∵a1－c1＝a2－c2.即a1＋c2＝a2＋c1，即aeq\o\al(2,1)＋ceq\o\al(2,2)＋2a1c2＝aeq\o\al(2,2)＋ceq\o\al(2,1)＋2a2c1.∴aeq\o\al(2,1)－ceq\o\al(2,1)＋ceq\o\al(2,2)－aeq\o\al(2,2)＋2a1c2＝2a2c1，即(a1－c1)(a1＋c1)－(a2－c2)(a2＋c2)＋2a1c2＝2a2c1，整理得(a1－c1)(a1－a2＋c1－c2)＋2a1c2＝2a2c1，∵a1＞c1，a1＞a2，c1＞c2，∴2a1c2＜2a2c1.即c1a2＞a1c2，∴④正確．故選D.]11．(2017·湖北黃岡3月模擬)關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐試驗(yàn)和查理斯試驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的試驗(yàn)來(lái)估計(jì)π的值：先請(qǐng)200名同學(xué)，每人隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(x，y)的個(gè)數(shù)m；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)m來(lái)估計(jì)π的值，假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是m＝56，那么可以估計(jì)π≈________.(用分?jǐn)?shù)表示)eq\f(78,25)[由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－1＜0,x＋y＞1,0＜x，y＜1))，所以eq\f(m,200)＝eq\f(\f(1,4)π·12－\f(1,2)×12,1×1)，eq\f(56,200)＝eq\f(1,4)π－eq\f(1,2)，π＝eq\f(78,25).]12．(2017·江西4月新課程教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))我國(guó)古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國(guó)古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì)．例如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成(如圖7)，最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開(kāi)始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數(shù)是________．圖7405[前9圈的石板數(shù)依次組成一個(gè)首項(xiàng)為9，公差為9的等差數(shù)列，S9＝9×9＋eq\f(9×8,2)×9＝405.]13．(2017·衡水三模)公元前3世紀(jì)，古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積(V)與它的直徑(D)的立方成正比”，此即V＝kD3，歐幾里得未給出k的值.17世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家們對(duì)求球的體積的方法還不了解，他們將體積公式V＝kD3中的常數(shù)k稱(chēng)為“立圓率”或“玉積率”．類(lèi)似地，對(duì)于等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱)、正方體也可利用公式V＝kD3求體積(在等邊圓柱中，D表示底面圓的直徑；在正方體中，D表示棱長(zhǎng))．假設(shè)運(yùn)用次體積公式求得球(直徑為a)、等邊圓柱(底面積的直徑為a)、正方體(棱長(zhǎng)為a)的“玉積率”分別為k1，k2，k3，那么k1∶k2∶k3＝________.eq\f(π,6)∶eq\f(π,4)∶1[由題意得，球的體積為V1＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up8(3)＝eq\f(π,6)a3?k1＝eq\f(π,6)；等邊圓柱的體積為V2＝πR2a＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up8(2)a＝eq\f(π,4)a3?k2＝eq\f(π,4)；正方體的體積V3＝a3?k3＝1，所以k1∶k2∶k3＝eq\f(π,6)∶eq\f(π,4)∶1.]14．在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書(shū)中，用如圖8(1)所示的三角形，解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律．在歐洲直到1623年以后，法國(guó)數(shù)學(xué)家布萊士·帕斯卡的著作(1655年)介紹了這個(gè)三角形．近年來(lái)國(guó)外也逐漸承認(rèn)這項(xiàng)成果屬于中國(guó)，所以有些書(shū)上稱(chēng)這是“中國(guó)三角形”(Chinesetriangle)，如圖8(1).17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”如圖8(2)．在楊輝三角中相鄰兩行滿(mǎn)足關(guān)系式：Ceq\o\al(r,n)＋Ceq\o\al(r＋1,n)＝Ceq\o\al(r＋1,n＋1)，其中n是行數(shù)，r∈N.請(qǐng)類(lèi)比上式，在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿(mǎn)足的關(guān)系式是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804144】11121133114641……Ceq\o\al(0,n)Ceq\o\al(1,n)…Ceq\o\al(r,n)…Ceq\o\al(n－1,n)Ceq\o\al(n,n)圖8(1)eq\f(1,2)eq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,12)eq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,5)eq\