階段質(zhì)量檢測(一)推理與證明[考試時(shí)間：90分鐘試卷總分：120分]題號一二三總分15161718得分第Ⅰ卷(選擇題)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．?dāng)?shù)列3,5,9,17,33，…的通項(xiàng)an＝()A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n＋12．用反證法證明命題“若關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c∈Z)有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是奇數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)正確的是()A．假設(shè)a，b，c都是奇數(shù) B．假設(shè)a，b，c都不是奇數(shù)C．假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)奇數(shù) D．假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)奇數(shù)3．因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱(大前提)，而函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx＋1，x>0，,0，x＝0，,xx－1，x<0))是奇函數(shù)(小前提)，所以f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱(結(jié)論)．上面的推理有錯(cuò)誤，其錯(cuò)誤的原因是()A．大前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) B．小前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)C．推理形式錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) D．大前提和小前提都錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)4．某同學(xué)在電腦上打出如下若干個(gè)“★”和“”：★★★★★★……依此規(guī)律繼續(xù)打下去，那么在前2014個(gè)圖形中的“★”的個(gè)數(shù)是()A．60 B．61C．62 D.635．對命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”，可類比猜想出：正四面體的內(nèi)切球切于四面各正三角形的位置是()A．各正三角形內(nèi)的任一點(diǎn) B．各正三角形的中心C．各正三角形邊上的任一點(diǎn) D．各正三角形的某中線的中點(diǎn)6．已知函數(shù)f(x)＝5x，則f(2014)的末四位數(shù)字為()A．3125B．5625C．0625 D．81257．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n)≤eq\f(1,2)＋n(n∈N＋)”時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證()A．1＋eq\f(1,2)≤eq\f(1,2)＋1 B．1≤eq\f(1,2)＋1C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)≤eq\f(1,2)＋2 D．1＜eq\f(1,2)＋18．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)，從k到k＋1，左邊需要增乘的代數(shù)式為()A．2k＋1 B．2(2kC.eqC.eq\f(2k＋1,k＋1)D.eqD.\f(2k＋3,k＋1)9．對于函數(shù)f(x)，g(x)和區(qū)間D，如果存在x0∈D，使|f(x0)－g(x0)|≤1，則稱x0是函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間D上的“友好點(diǎn)”．現(xiàn)給出下列四對函數(shù)：①f(x)＝x2，g(x)＝2x－3；②f(x)＝eq\r(x)，g(x)＝x＋2；③f(x)＝e－x，g(x)＝－eq\f(1,x)；④f(x)＝lnx，g(x)＝x－eq\f(1,2).其中在區(qū)間(0，＋∞)上存在“友好點(diǎn)”的是()A．①②B．②③C．③④D．①④10．已知f(x)＝x3＋x，a，b∈R，且a＋b>0，則f(a)＋f(b)的值一定()A．大于零 B．等于零C．小于零 D．正負(fù)都有可能答題欄題號12345678910答案第Ⅱ卷(非選擇題)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確的答案填在題中的橫線上)11．設(shè)f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)＝________.12．已知點(diǎn)A(x1，3x1)，B(x2，3x2)是函數(shù)y＝3x的圖像上任意不同兩點(diǎn)，依據(jù)圖像可知，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖像的上方，因此有結(jié)論eq\f(3x1＋3x2,2)>3eq\f(x1＋x2,2)成立．運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)A(x1，tanx1)，B(x2，tanx2)是函數(shù)y＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<x<0))的圖像上任意不同兩點(diǎn)，則類似地有____________________成立．13．觀察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，….根據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為________________________．14．(福建高考)已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三個(gè)關(guān)系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一個(gè)正確，則100a＋10b＋c等于________．三、解答題(本大題共4小題，共50分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分12分)若a1>0，a1≠1，an＋1＝eq\f(2an,1＋an)(n＝1,2，…)．(1)求證：an＋1≠an；(2)令a1＝eq\f(1,2)，寫出a2，a3，a4，a5的值，觀察并歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式an.16.(本小題滿分12分)已知△ABC的三邊a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，試分別用綜合法和分析法證明B為銳角．17．(本小題滿分12分)已知a，b，c∈(0,1)．求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于eq\f(1,4).18．(本小題滿分14分)是否存在二次函數(shù)f(x)，使得對于任意n∈N＋，都有eq\f(12＋22＋32＋…＋n2,n)＝f(n)成立，若存在，求出f(x)；若不存在，說明理由．答案1．選B2．選B命題“a，b，c中至少有一個(gè)是奇數(shù)”的否定是“a，b，c都不是奇數(shù)”，故選B.3．選B因?yàn)閒(1)＝f(－1)＝2，所以f(－1)≠－f(1)，所以f(x)不是奇函數(shù)，故推理錯(cuò)誤的原因是小前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)．4．選C第一次出現(xiàn)“★”在第一個(gè)位置，第二次出現(xiàn)“★”在第(1＋2)個(gè)位置，第三次出現(xiàn)“★”在第(1＋2＋3)個(gè)位置，…，第n次出現(xiàn)“★”在第(1＋2＋3＋…＋n)個(gè)位置．∵1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，當(dāng)n＝62時(shí)，eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(62×62＋1,2)＝1953,2014－1953＝61<63，∴在前2014個(gè)圖形中的“★”的個(gè)數(shù)是62.5．選B正三角形類比正四面體，正三角形的三邊類比正四面體的四個(gè)面，三邊的中點(diǎn)類比正三角形的中心．6．選B因?yàn)閒(5)＝55＝3125的末四位數(shù)字為3125，f(6)＝56＝15625的末四位數(shù)字為5625，f(7)＝57＝78125的末四位數(shù)字為8125，f(8)＝58＝的末四位數(shù)字為0625，f(9)＝59＝的末四位數(shù)字為3125，故周期T＝4.又由于2014＝503×4＋2，因此f(2014)的末四位數(shù)字與f(6)的末四位數(shù)字相同，即f(2014)的末四位數(shù)字是5625.7．選A當(dāng)n＝1時(shí)不等式左邊為1＋eq\f(1,2)，右邊為eq\f(1,2)＋1，即需要驗(yàn)證：1＋eq\f(1,2)≤eq\f(1,2)＋1.8．選B當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)，所以，增乘的式子為eq\f(2k＋12k＋2,k＋1)＝2(2k＋1)．9．選C對于①，|f(x)－g(x)|＝|x2－(2x－3)|＝|(x－1)2＋2|≥2，所以函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0，＋∞)上不存在“友好點(diǎn)”，故①錯(cuò)，應(yīng)排除A，D；對于②，|f(x)－g(x)|＝|eq\r(x)－(x＋2)|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(1,2)))2＋\f(7,4)))≥eq\f(7,4)，所以函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0，＋∞)上也不存在“友好點(diǎn)”，故②錯(cuò)，排除B；同理，可知③④均正確．10．選A∵f(x)＝x3＋x，∴f(x)是增函數(shù)且是奇函數(shù)．∵a＋b>0，∴a>－b，∴f(a)>f(－b)，∴f(a)＋f(b)>0.11．解析：∵f(n＋1)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＋eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n＋1)，∴f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n＋1).答案：eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n＋1)12．解析：因?yàn)閥＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<x<0))圖像是上凸的，因此線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)eq\f(tanx1＋tanx2,2)總是小于函數(shù)y＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<x<0))圖像上的點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，tan\f(x1＋x2,2)))的縱坐標(biāo)，即有eq\f(tanx1＋tanx2,2)<taneq\f(x1＋x2,2)成立．答案：eq\f(tanx1＋tanx2,2)<taneq\f(x1＋x2,2)13．解析：由所給等式可得：等式兩邊的冪式指數(shù)規(guī)律明顯，底數(shù)關(guān)系如下：1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，即左邊底數(shù)的和等于右邊的底數(shù)．故第五個(gè)等式為：13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝21214．解析：可分下列三種情形：(1)若只有①正確，則a≠2，b≠2，c＝0，所以a＝b＝1與集合元素的互異性相矛盾，所以只有①正確是不可能的；(2)若只有②正確，則b＝2，a＝2，c＝0，這與集合元素的互異性相矛盾，所以只有②正確是不可能的；(3)若只有③正確，則c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.答案：20115．解：(1)證明：采用反證法．假設(shè)an＋1＝an，即eq\f(2an,1＋an)＝an，解得an＝0或an＝1，從而a1＝0或a1＝1，與題設(shè)a1>0，a1≠1相矛盾，故an＋1≠an成立．(2)a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(2,3)，a3＝eq\f(4,5)，a4＝eq\f(8,9)，a5＝eq\f(16,17)，猜想：an＝eq\f(2n－1,2n－1＋1).16．證明：法一(分析法)：要證明B為銳角，因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角，則只需證cosB>0.又∵cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，∴只需證明a2＋c2－b2>0.∴即證a2＋c2>b2.∵a2＋c2≥2ac，∴只需證明2ac>b2.由已知eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，即2ac＝b(a＋c)，∴只需證明b(a＋c)>b2，即證a＋c>b成立，在△ABC中，最后一個(gè)不等式顯然成立．∴B為銳角．法二(綜合法)：由題意得：eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋c,ac)，則b＝eq\f(2ac,a＋c)，b(a＋c)＝2ac>b2(∵a＋c>b)．∵cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)≥eq\f(2ac－b2,2ac)>0，又y＝cosx在(0，π)上單調(diào)遞減，∴0<B<eq\f(π,2)，即B為銳角．17．證明：假設(shè)(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于eq\f(1,4).因?yàn)?<a<1,0<b<1,0<c<1，所以1－a>0.由基本不等式，得eq\f(1－a＋b,2)≥eq\r(1－ab)>eq\r(\f(1,4))＝eq\f(1,2).同理，eq\f(1－b＋c,2)>eq\f(1,2)，eq\f(1－c＋a,2)>eq\f(1,2).將這三個(gè)不等式兩邊分別相加，得eq\f(1－a＋b,2)＋eq\f(1－b＋c,2)＋eq\f(1－c＋a,2)>eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)，即eq\f(3,2)>eq\f(3,2)，這是不成立的，故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于eq\f(1,4).18．解：假設(shè)存在二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，使得對于?n∈N＋，都有eq\f(12＋22＋32＋…＋n2,n)＝f(n)成立．當(dāng)n＝1時(shí)，a＋b＋c＝1，①當(dāng)n＝2時(shí)，4a＋2b＋c＝eq\f(12＋22,2)，②當(dāng)n＝3時(shí)，9a＋3b＋c＝eq\f(12＋22＋32,3)，③聯(lián)立①②③式得a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(1,6)，則由以上可假設(shè)存在二次函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋eq\f(1,6)，使得對于?n∈N＋，都有eq\f(12＋22＋32＋…＋n2,n)＝f(n)成立．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，eq\