圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積「學(xué)習(xí)目標(biāo)」1.了解圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)及體積之間的關(guān)系,培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng).2.通過(guò)求圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積,培養(yǎng)直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).知識(shí)梳理自主探究幾何體側(cè)面展開(kāi)圖表面積公式圓柱S圓柱=2πr(r+l),r為

,l為

圓錐S圓錐=πr(r+l),r為

,l為

圓臺(tái)S圓臺(tái)=π(r′2+r2+r′l+rl),r′為

,r為

,l為

「知識(shí)探究」1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積底面半徑母線長(zhǎng)底面半徑母線長(zhǎng)上底面半徑下底面半徑母線長(zhǎng)2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積公式V圓柱=

(r是底面半徑,h是高);V圓錐=

(r是底面半徑,h是高);V圓臺(tái)=

(r′,r分別是上、下底面半徑,h是高).3.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式(1)柱體:柱體的底面積為S,高為h,則V柱體=

.(2)錐體:錐體的底面積為S,高為h,則V錐體=

.(3)臺(tái)體:臺(tái)體的上、下底面面積分別為S′,S,高為h,則V臺(tái)體=

.πr2hSh(4)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系.4.球的表面積和體積(1)S球=

(R是球的半徑).(2)V球=

(R是球的半徑).4πR2師生互動(dòng)合作探究探究點(diǎn)一圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積和側(cè)面積[例1](1)已知圓臺(tái)O1O上下底面圓的半徑分別為1,3,母線長(zhǎng)為4,則該圓臺(tái)的側(cè)面積為(

)A.32π B.26π C.16π D.8π√(2)(多選題)以長(zhǎng)為4cm,寬為3cm的矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱的表面積可以為(

)A.16πcm2 B.24πcm2C.42πcm2 D.56πcm2√解析:(2)當(dāng)圓柱底面半徑為4cm,高為3cm時(shí),表面積S=2π×4×3+2π×42=56π(cm2);當(dāng)圓柱底面半徑為3cm,高為4cm時(shí),表面積S=2π×3×4+2π×32=42π(cm2).故選CD.√3π方法總結(jié)求旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積及表面積的要點(diǎn)(1)因?yàn)檩S截面聯(lián)系著母線、底面半徑、高等元素,所以處理好軸截面中邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.(2)對(duì)于圓臺(tái)問(wèn)題,要重視“還臺(tái)為錐”的思想方法.(3)在計(jì)算圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積或表面積時(shí),應(yīng)根據(jù)已知條件先計(jì)算出它們的母線和底面圓半徑的長(zhǎng),而求解這些未知量常常需要列方程.[針對(duì)訓(xùn)練](1)以邊長(zhǎng)為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周,所得到的幾何體的表面積為(

)A.2π B.4π C.8π D.16π√解析:(1)由題意知,所得幾何體為高和底面半徑均為2的圓柱體,所以幾何體表面積為2π×22+2π×2×2=16π.故選D.√(3)一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)等于上、下底面半徑和的一半,且側(cè)面積是32π,則母線長(zhǎng)為

.

4探究點(diǎn)二圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積√(2)已知圓柱母線長(zhǎng)等于2,過(guò)母線作截面,截面的最大周長(zhǎng)等于8,則該圓柱的體積等于(

)A.π B.2π C.4π D.8π√解析:(2)當(dāng)過(guò)母線作截面,截面的周長(zhǎng)最大時(shí),此時(shí)截面為軸截面.設(shè)圓柱的底面半徑為r,則因?yàn)檫^(guò)母線作截面,截面的最大周長(zhǎng)等于8,所以2×(2+2r)=8,解得r=1.所以該圓柱的體積為π×12×2=2π.故選B.√方法總結(jié)求解圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積的關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面積和高,對(duì)于旋轉(zhuǎn)體要充分利用旋轉(zhuǎn)體的軸截面,將待求的量轉(zhuǎn)化到軸截面內(nèi)求.√√(3)已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其側(cè)面積為60π,則該圓錐的體積為

.

96π√探究點(diǎn)三球的表面積和體積[例3](1)已知正四棱錐各棱的長(zhǎng)度均為2,其頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則該球的表面積是(

)√√方法總結(jié)(1)求球的體積與表面積的方法①要求球的體積或表面積,必須知道半徑R或通過(guò)條件求出半徑R,然后代入體積或表面積公式求解.②半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素,把握這兩點(diǎn),計(jì)算球的表面積或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了.(2)有關(guān)球的截面問(wèn)題的解題技巧①有關(guān)球的截面問(wèn)題,常畫(huà)出過(guò)球心的截面圓,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問(wèn)題.②解題時(shí)要注意借助球半徑R、截面圓半徑r、球心到截面的距離d構(gòu)成的直角三角形,即R2=d2+r2.(3)常見(jiàn)的幾何體與球的切、接問(wèn)題的解決策略①處理有關(guān)幾何體外接球或內(nèi)切球的相關(guān)問(wèn)題時(shí),要注意球心的位置與幾何體的關(guān)系,一般情況下,由于球的對(duì)稱性,球心總在幾何體的特殊位置,比如中心、對(duì)角線的中點(diǎn)等.②解決此類問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)求球的直徑或半徑,關(guān)鍵是根據(jù)“切點(diǎn)”和“接點(diǎn)”,作出軸截面圖,把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)計(jì)算.[針對(duì)訓(xùn)練](1)如果兩個(gè)球的表面積之比為4∶9,那么這兩個(gè)球的體積之比為(

)A.8∶27 B.2∶13 C.4∶9 D.2∶9√√√「學(xué)海拾貝」圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面距離最短問(wèn)題[典例探究]如圖,圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為5cm,10cm,母線長(zhǎng)AB=20cm,從圓臺(tái)母線AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到A點(diǎn).求:(1)繩子的最短長(zhǎng)度;(2)在繩子最短時(shí),求上底面圓周上的點(diǎn)到繩子的最短距離.[應(yīng)用探究]如圖所示,有一圓錐形糧堆,母線與底面圓的直徑構(gòu)成邊長(zhǎng)為6m的正三角形ABC,糧堆母線AC的中點(diǎn)P處有一只老鼠正在偷吃糧食.此時(shí),小貓正在B處,它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠,求小貓所經(jīng)過(guò)的最短路程.(結(jié)果不取近似值)「當(dāng)堂檢測(cè)」1.若圓柱的底面半徑為2,母線長(zhǎng)為3,則圓柱的體積是(

)A.3π B.4π

C.8π D.12π解析:由題意可知,圓柱底面積為S=π×22=4π,母線即圓柱的高,則圓柱的體積為4π×3=12π.故選D.√2.底面積是π,側(cè)面積是3π的圓錐的體積是(

)√√4.已知圓臺(tái)的上、