第12講傾斜角與斜率5種常見考法歸類

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學(xué)習(xí)目標(biāo)

------V-------

1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.

2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點(diǎn)的

直線斜率的計(jì)算公式.

||磨基礎(chǔ)知識1

------------------IIIIII1III1IIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

知識點(diǎn)1直線的傾斜角

1.傾斜角的定義

當(dāng)直線I與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線I向上的方向之間所成的角a

叫做直線/的傾斜角.如圖所示，直線/的傾斜角是NAPx,直線的傾,斜角

是NBPx.7A

。X-

2.傾斜角的范圍

直線的傾斜角a的取值范圍是0°<?<180°,并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角

為0°.

注：①每一條直線都有一個確定的傾斜角

②已知直線上一點(diǎn)和該直線的傾斜角，可以唯一確定該直線

知識點(diǎn)2直線的斜率

1.斜率的定義

一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率.常用小寫字母k表示，即Qtana

(aw90°).

2.斜率公式

經(jīng)過兩點(diǎn)尸1(%1,y1),尸2(]2,p2)(%1#X2)的直線的斜率公式為％=含2^?當(dāng)％1=%2時(shí)，直線

P1P2沒有斜率.

注：①若直線/經(jīng)過點(diǎn)P1Q1,V）,尸2（X2,”）（X#X2）,則直線P1P2的方向向量下k的坐標(biāo)為

（X2-xi,yi-y\）,也可表示為（1,k）,其中左=；_；.

②傾斜角。不是90。的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同；當(dāng)斗=々時(shí)，直

線與x軸垂直，直線的傾斜角0=90。，斜率不存在；當(dāng)％=為時(shí)，斜率左=0，直線的傾

斜角。=0。，直線與x軸重合或者平行

③斜率公式與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無關(guān)，橫縱坐標(biāo)的次序可以同時(shí)調(diào)換

知識點(diǎn)3斜率與傾斜角的聯(lián)系

傾斜角a

。=0°0°<a<90°。=90°90°<?<180°

（范圍）

斜率k

k=0k>0人不存在k<Q

（范圍）

||圈解題策略:

------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIII-----------------------

1、求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意

⑴方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形（如直角三角形）求角.

⑵兩點(diǎn)注意：①當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，傾斜角為0°,當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，傾斜角為

90°.

②注意直線傾斜角的取值范圍是0°<a<180°.

2、利用斜率公式求直線的斜率應(yīng)注意的事項(xiàng)

⑴運(yùn)用公式的前提條件是“X1WX2”，即直線不與X軸垂直，因?yàn)楫?dāng)直線與X軸垂直時(shí)，斜率

是不存在的；

⑵斜率公式與兩點(diǎn)Pl,P2的先后順序無關(guān)，也就是說公式中的XI與X2,V與竺可以同時(shí)交換

位置.

3、在0°^a<180°范圍內(nèi)的一些特殊角的正切值要熟記.

45135

傾斜角a0°30°60°120°150°

00

斜率左01一小-1

坐3

4、斜率與傾斜角的關(guān)系

（1）由傾斜角（或范圍）求斜率（或范圍）利用定義式上=tana（aW90°）解決.

（2）由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率運(yùn)用兩點(diǎn)斜率公式左=”一義（%12初）求解.

X2—X1

l|Q考點(diǎn)剖析

---------------------llllllllllllllllllllillllllllllllllllllll-----------------------

考點(diǎn)一：求直線的傾斜角

在1例1.（2023秋?江西九江?高二校考階段練習(xí)）直線的傾斜角a的取值范圍是（）

A.（0,K）B.[0,兀）C.（。,兀ID.[0,7t]

【答案】B

【分析】利用直線傾斜角的定義得解.

【詳解】直線的傾斜角a的取值范圍是。兀）.

故選：B.

變式1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）對于下列命題：①若。是直線/的傾斜角，則0。＜6＜180。；

②若直線傾斜角為a,則它斜率左=tana；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一

直線都有斜率，但不一定有傾斜角.其中正確命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】通過直線的傾斜角的范圍判斷①的正誤；直線的斜率的定義，判斷②的正誤；直線的

斜率與傾斜角的關(guān)系判斷③和④的正誤.

【詳解】對于①：若夕是直線的傾斜角，則。。4，＜180。；滿足直線傾斜角的定義，則①正確；

對于②：直線傾斜角為a且。*90。，它的斜率々=tana；傾斜角為90。時(shí)沒有斜率，所以②錯誤；

對于③和④：可知直線都有傾斜角，但不一定有斜率；因?yàn)閮A斜角為90。時(shí)沒有斜率，所以③

正確；④錯誤；

其中正確說法的個數(shù)為2.

故選：B.

變式2.（2023春?上海黃浦?高二格致中學(xué)校考期中）若直線/的一個方向向量為卜1,6）,則它

的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】由題意，求出直線的斜率，從而得出結(jié)果.

【詳解】依題意，卜1，后）是直線/的一個方向向量，

所以直線/的斜率上=-6，

所以直線/的傾斜角為120。.

故選：C.

變式3.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知直線4的傾斜角%=15。，直線4與4的交點(diǎn)為A,直

線4和4向上的方向所成的角為120。，如圖，則直線4的傾斜角為.

【分析】根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，結(jié)合直線傾斜角的定義可得出直線4的傾斜角.

【詳解】設(shè)直線4的傾斜角為的,因?yàn)?和4向上的方向所成的角為120。，

所以，N54c=120。,故里=120。+%=12。。+15。=135，

故答案為：135。.

變式4.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）如圖，直線/的傾斜角為（）

A.60°B.120°

C.30°D.150°

【答案】D

【分析】根據(jù)圖形結(jié)合三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和可求得結(jié)果.

【詳解】由題圖易知/的傾斜角為45。+105。=150。.

故選：D

變式5.【多選】（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）若直線/與x軸交于點(diǎn)A,其傾斜角為々，直線

/繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。后得直線4,則直線4的傾斜角可能為（）

A.tz+45°B.a+135°C.a—45°D.1350-a

【答案】BC

【分析】由傾斜角的定義，分類討論作出圖形，數(shù)形結(jié)合分析即可.

【詳解】解析：當(dāng)［245。時(shí)，直線4的傾斜角為夕-45°（如直線AC旋轉(zhuǎn)至直線4。）；

當(dāng)0。4&<45。時(shí)，直線4的傾斜角為180。-（45。-&）=135。+a（如直線AD旋轉(zhuǎn)至直線A3）.

變式6.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）直線x+l=0與直線無+y-5=0的夾角為.

【答案】:

【分析】分析兩條直線的傾斜角，即可得夾角大小.

【詳解】直線x+l=0的傾斜角為方，直線》+>-5=0的斜率為T,傾斜角為彳,

所以兩條直線的夾角為李/三.

故答案為：土

考點(diǎn)二：求直線的斜率

例2.（2023秋?湖南婁底?高二統(tǒng)考期末）已知直線的傾斜角是:，則此直線的斜率是

()

A.B.-V3c.73D.±A/3

2

【答案】c

【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.

【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角是三，

所以此直線的斜率是tan臺后

故選:C.

變式1.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在？如果存在，求其

斜率.

（1）A（2,3）,5（4,5）；

⑵C（一2,3）,。（2,-1）；

⑶尸（-3,1）0-3,10）.

【答案】（1）存在，1

⑵存在，-1

（3）不存在

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出過兩點(diǎn)的直線斜率是否存在，以及斜率的值.

【詳解】（1）由題意，存在，直線A3的斜率配=14=1.

（2）由題意得，存在，直線CD的斜率%>=￡^=-1.

（3）:3=-3,

??.直線尸。的斜率不存在.

變式2.（2023秋?天津南開?高二崇化中學(xué)?？计谀┮阎本€/的一個方向向量為力

則直線/的斜率為（）

A.1B.后C乎D.Y

【答案】D

【分析】利用直線的方向向量與斜率的關(guān)系，即可求出答案.

【詳解】因?yàn)橹本€/的一個方向向量為/=（-1，回，所以直線/的斜率％=走=-0.

—1

故選：D.

變式3.（2023?全國?高二專題練習(xí)）如圖，已知直線中4的斜率分別為KK&，則（）

A.kx<k2<k3B.k3<k{<k2

C.k3<k2<kxD.kx<k3<k2

【答案】D

【分析】由題圖，利用直線的斜率和傾斜角的關(guān)系求解.

【詳解】解：設(shè)直線44,4的傾斜角分別為%，%，%,

由題圖知，直線4的傾斜角叫為鈍角，；《＜（）.

又直線的傾斜角的，%均為銳角，且4＞的,

,0V&<左2，

kx<k3<k2.

故選：D.

變式4.（2023秋?江西?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的斜

率為3,則該等腰直角三角形兩腰所在直線的斜率分別為,.

【答案】-23/0.5

【分析】由已知結(jié)合直線的傾斜角與斜率關(guān)系及兩角和與差的正切公式可求.

【詳解】解：設(shè)等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的傾斜角為貝Utana=3,

由題意得該等腰直角三角形兩腰所在直線的傾斜角分別為1+45。，a—45°,

rn>r/“c、tana+tan4503+1八/一、tana-tan45°\_

因?yàn)閠an(a+45°)=-------------=-------=-2,tan(a-45°)=--------------

l-tancrtan4501-3x11+tan?tan45°2

所以該等腰直角三角形兩腰所在直線的斜率分別為為-2,1.

故答案為：-2,，

變式5.【多選】（2023?全國?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形ABCD四邊

所在直線與x軸的交點(diǎn)分別為（。，0），（L0）,（2,0）,（4,0）,則正方形ABCD四邊所在直線中過點(diǎn)（0,0）

的直線的斜率可以是（）

331

A.2B.-C.-D.-

244

【答案】ABD

【分析】假設(shè)所在的直線過點(diǎn)（0，。），分類討論8所在的直線所過的點(diǎn)，結(jié)合圖象分析運(yùn)算.

【詳解】因?yàn)檫x項(xiàng)斜率均為正值，不妨假設(shè)A3所在的直線過點(diǎn)（。，0）,

設(shè)直線A3的傾斜角為ae/,J斜率為％,

①若CD所在的直線過點(diǎn)（1,0）,如圖，可得BC=sina,CZ）=2cosa,

因?yàn)?C=CD,即sintz=2cosor,貝|%=tana=2；

②若CD所在的直線過點(diǎn)（2,0）,如圖，可得BC=2sina,CD=3cosa,

3

因?yàn)?C=CD,即2sina=3cosa,則％=tano=］；

③若8所在的直線過點(diǎn)（4,0）,如圖，可得8c=4sin/CD=coso,

因?yàn)?C=CD,即4sina=cosa,則％=tana=一；

4

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：假設(shè)A3所在的直線過點(diǎn)（。，0）,分類討論8所在的直線所過的點(diǎn)，數(shù)形結(jié)

合處理問題.

考點(diǎn)三：斜率與傾斜角的關(guān)系

（-）由傾斜角求斜率值（范圍）

注1例3.【多選】（2023春?湖南衡陽?高二衡陽市一中?？茧A段練習(xí)）已知經(jīng)過點(diǎn)4（5,而和

3（2,8）的直線的傾斜角匹弓0],則實(shí)數(shù)機(jī)的可能取值有（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】ABC

【分析】根據(jù)斜率公式求解.、

【詳解】由題可得心B=F=tan6e

7

所以小e（8+g,8+36）,

結(jié)合選項(xiàng)可得實(shí)數(shù)機(jī)的可能取值有11,12,13,

故選:ABC.

變式1.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）過不重合的4療+2,療-3）,8（3-加-/2m兩點(diǎn)的直線/的

傾斜角為45°,則機(jī)的取值為^_______,

【答案】-2

【分析】由題意得.可求出加的取值.

m+2-（3-m-m）

【詳解】由題意知L=tan45°=l,

2

匚匚I、I—m—3—2m,

所以—2―一方27=］，即Hn一o―-―-------2=1>

m+2-（3-m-m）m-+2-3+m+m-

化簡得+3〃z+2=0,解得機(jī)=-1或m=-2

當(dāng)〃7=T時(shí)，A（3,-2）,8（3,-2）重合，不符合題意舍去，

當(dāng)加=-2時(shí)，A（6,-4）,符合題意，

所以=-2,

故答案為：-2

變式2.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）過兩點(diǎn)A（5,y）,3（3,—1）的直線的傾斜角是135。，則y等

于.

【答案】-3

［分析】利用直線斜率與傾斜角關(guān)系和斜率公式上=tana=胃g可得答案.

【詳解】因?yàn)樾甭首?tan135。=—1,所以氏=飪|=-1,得y=-3.

故答案為：-3.

變式3.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）若經(jīng)過點(diǎn)尸（1-。，1）和。（2“,3）的直線的傾斜角是鈍角，則實(shí)

數(shù)”的取值范圍是.

【答案】（-8,1）

【分析】根據(jù)傾斜角為鈍角斜率為負(fù)，結(jié)合直線的斜率公式，解不等式即可得到所求范圍.

【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角是鈍角，

所以斜率總?<0,解得

所以。的取值范圍是（-8,1）.

故答案為：J00,J）.

變式4.（2023秋?安徽六安?高二?？茧A段練習(xí)）若過點(diǎn)A（3,4）,Q（6,3a）的直線的傾斜角為銳

角，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

4444

A.〃<—B.a4—C.a>—D.—

3333

【答案】c

【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式求得斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.

【詳解】因?yàn)橹本€A。的斜率左

0—33

又因?yàn)橹本€4Q的傾斜角為銳角，

44

所以“-§>0，解得

故選：C

（二）由斜率求傾斜角的值（范圍）

六1例4.（2023春?上海普陀?高二上海市宜川中學(xué)校考期末）已知直線/經(jīng)過點(diǎn)

A（3,6）、8（6,1）.直線/的傾斜角是.

【答案】7/300

0

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)確定直線的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系列式求解即可.

【詳解】因?yàn)檫^43,6）、8（6,1）兩點(diǎn)的直線的斜率為：%=勺=坐，

3-V33

因?yàn)樽?tan&,&是直線的傾斜角，且1目0,兀）

所以直線的傾斜角為：?=^.

O

故答案為：7-

0

變式1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）若直線/的斜率左的取值范圍是則該直線的傾斜角a

的取值范圍是.

【答案】0°<a<60°

【分析】由k=tana￡[0,封，結(jié)合0°Wa<1800,即可得出。的取值范圍.

【詳解】因?yàn)榇?/p>

所以k=tanae[0,我，

因?yàn)?。<?<180°

所以0。Wa<60。

故答案為：00<a<60°

變式2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若直線的傾斜角。滿足曰<tana<6，則戊的取值范圍是

7171

【答案】

693

【分析】根據(jù)直線傾斜角的范圍解不等式即可.

【詳解】直線的傾斜角。耳。，兀）,

?<,<tana<,

3

7171

—<a<—

63

故答案為：

變式3.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）直線/的斜率為七且獲,則直線/的傾斜角的取

值范圍是.

【答案】mm，。

【分析】畫出直線的區(qū)域，由圖直觀看出直線的傾斜角范圍即可.

【詳解】如圖：

\

\\

\\

當(dāng)直線/的斜率可-"皆

直線/的傾斜角的取值范圍為：［。,鼻4^,。.

故答案為：卜，0

變式5.（2023秋?安徽六安?高二?？茧A段練習(xí)）將直線M2V繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60。得到直線若

直線的斜率為1,則直線MN的傾斜角是（）

A.105°B.165°C.15°或75°D.105°或165°

【答案】D

【分析】將繞原點(diǎn)逆時(shí)針或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到直線跖V,求得其傾斜角.

【詳解】因?yàn)橹本€MM的斜率為1,所以直線MN'的傾斜角是45。，

若將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到直線跖V,則直線MN的傾斜角是105。，

若將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到直線MN,則直線的傾斜角是165。，

故選：D

考點(diǎn)四：斜率公式的應(yīng)用

(一)利用直線斜率處理共線問題

例5.(2023秋?河南?高二校聯(lián)考階段練習(xí))判斷下列三點(diǎn)是否在同一條直線上:

⑴A(-3,l),B(2,-4),C(3,0)；

(2)0(5,-1),E(-l,2),F(-5,4).

【答案】(1)4B,C三點(diǎn)不在同一條直線上

(2)。，E,尸三點(diǎn)在同一條直線上

【分析】(1)計(jì)算心和心c，根據(jù)其是否相等即可判斷；

(2)計(jì)算和心一根據(jù)其是否相等即可判斷.

【詳解】(1)因?yàn)?=弋=-1,松=了=-[

-3-2-3-36

所以所刀%AC，

所以A,B,C三點(diǎn)不在同一條直線上.

(2)因?yàn)槠?=_；,k?F==

2)+1Z—d—DZ

所以kpE=kDF.

又直線DE與直線DR有公共點(diǎn)D,

所以D,E,尸三點(diǎn)在同一條直線上.

變式1.(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))已知三點(diǎn)A(3,l),3(-2,左),。(8,11)共線，貝必的值為—

【答案】-9

【分析】由條件可得如=七一結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式列方程求左的值.

【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)4(3,1),8(-2㈤,C(8,11)共線，

所以^AB=Kc，

所以笠二照

解得上=-9.

故答案為：-9.

變式2.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知直線/經(jīng)過三點(diǎn)A（5,-3）,3（4,y）,C（-l,9）,則直線/的斜

率k=y

【答案】-2-1

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式求出直線/的斜率，并根據(jù)列出方程，求出答案.

【詳解】由題意得上=心。=宜總=一2,

-1-5

由原B=3C可得與孕=一2,解得y=T.

4-5

故答案為：-2,-1

變式3.（2023春?上海松江?高二上海市松江二中校考期中）已知點(diǎn)4（0,-8）,8（2,-2）,C（4,/n）,

若線段A3,AC,不能構(gòu)成三角形，則機(jī)的值是

【答案】4

【分析】由線段A3,AC,8C不能構(gòu)成三角形知AB,C三點(diǎn)共線，由七B=L求得機(jī)的值.

【詳解】因?yàn)榫€段A3,AC,BC不能構(gòu)成三角形，所以4員C三點(diǎn)共線,

顯然直線A8的斜率存在，故磯=七八即三￥=安，解得機(jī)=4,

2—U4

故答案為：4

（二）斜率公式的幾何意義的應(yīng)用

例6.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知直線/過點(diǎn)A（L3）,且不過第四象限，則直線/的斜

率上的最大值是

【答案】3

【分析】由直線不過第四象限，可畫出所有符合要求的直線，數(shù)形結(jié)合可得答案.

y

【詳解】

如圖，只有當(dāng)直線落在圖中所示位置時(shí)才符合題意,

3

左no=丁=3,kr=0,

故獲［0,3］,即線/的斜率上的最大值是3.

故答案為：3.

變式1.（2023?全國?高二專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)X、y滿足y=f+3,-1<X<1,則代數(shù)式的

取值范圍為

【答案】*7

【分析】作圖，根據(jù)代數(shù)式注的幾何意義，結(jié)合圖象即可得出答案.

x+2

因?yàn)榱?三號，可表示點(diǎn)c與線段AB上任意一點(diǎn)”（x,y）連線的斜率,

由圖象可知，kAC<^MC—^BC，

所以有

3x+2

故答案為：］，7.

變式2.【多選】（2023?全國?高三專題練習(xí)）點(diǎn)加（冷》）在函數(shù)y=e*的圖象上，當(dāng)百目0,1）,

則產(chǎn)可能等于（）

Xj—1

A.-1B.-2C.-3D.0

【答案】BC

【分析】根據(jù)目標(biāo)式的幾何意義為y=e，在xe[o,l）部分圖象上的動點(diǎn)與點(diǎn)Ad）所成直

線的斜率左,即可求范圍.

【詳解】由FT表示"（&M）與點(diǎn)4L-1）所成直線的斜率左,

又加（石，兇）是＞=?！趚?（M）部分圖象上的動點(diǎn)，圖象如下：

如上圖，BQ,e）,則左e（-e,-2],只有B、C滿足.

故選：BC

變式3.（2023秋?廣東深圳?高二深圳中學(xué)校考期中）已知點(diǎn)4（-2,-1）,5（3,0）,若點(diǎn)M（x,y）在

線段A3上，則寧的取值范圍（）

A.1一。0,一；口[3,+⑹B.一；,3

C.H，-L]U[3,y）D.[-1,3]

【答案】A

【分析】設(shè)。（-1,2）,分別求出左”，kQB,根據(jù)表示直線QM的斜率即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)。（T2）,則3="猾=3,%=譽(yù)=-；

因?yàn)辄c(diǎn)”（x，y）在線段上，所以寧的取值范圍是1-8,一]63,+8）,

x+1I2」

故選：A.

考點(diǎn)五：直線與線段的相交關(guān)系求斜率的范圍

在1例7.（2023秋?廣東佛山?高二佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)

三點(diǎn)A（-l,1）,3（1,1）,C（2，V3+1）.

⑴求直線BC,AC的斜率和傾斜角；

⑵若。為AASC的邊A3上一動點(diǎn)，求直線CD的斜率和傾斜角a的取值范圍.

【答案】⑴直線3c的斜率代，傾斜角為三；直線AC的斜率半，傾斜角為￡

兀兀

⑵

03

【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式計(jì)算斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可；

（2）數(shù)形結(jié)合，根據(jù)斜率與傾斜角變化的規(guī)律分析即可.

【詳解】（1）由斜率公式得：磯=理導(dǎo)=6,凝,=電==f

2—12—（—1）3

因?yàn)樾甭实扔趦A斜角的正切值，且傾斜角的范圍是［0㈤,

直線3c的傾斜角為?，直線AC的傾斜角為￡；

36

（2）如圖，當(dāng)直線CD由C4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到時(shí)，

直線CD與線段AB恒有交點(diǎn)，即D在線段AB上，止匕時(shí)k由右c增大到曝，

???左的取值范圍為￥，出，傾斜角a的取值范圍為仁尚.

o|_o3_

變式1.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知兩點(diǎn)4-3,4）,3（3,2）,過點(diǎn)P（l,0）的直線/與線段有

公共點(diǎn).

（1）求直線/的斜率k的取值范圍；

⑵求直線/的傾斜角a的取值范圍.

【答案】（1）（-與T3L+“）.

（2）45°<cr<135°.

【分析】（1）由圖可知要使直線/與線段A3有公共點(diǎn)，只需直線/的斜率上滿足心1或“場,

從而可求得答案；

（2）由斜率與傾斜角的關(guān)系可求出直線/的傾斜角a的取值范圍.

【詳解】（1）因?yàn)锳（-3,4）,8（3,2）,P（l,0）,

4-02-0

所以原A=Y=T，怎B=H=1

—3—13—1

因?yàn)橹本€/與線段A3有公共點(diǎn)，

所以由圖可知直線/的斜率上滿足％或上2%,

所以直線/的斜率左的取值范圍是（y，T]"1，+"）.

（2）由題意可知直線/的傾斜角介于直線網(wǎng)與B4的傾斜角之間，

因?yàn)橹本€PB的傾斜角是45。，直線PA的傾斜角是135。，

所以a的取值范圍是45"。（135。.

變式2.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知A（3,3）,3（T,2）,C（0,-2）.

（1）求直線A3和AC的斜率；

⑵若點(diǎn)。在線段3C（包括端點(diǎn)）上移動時(shí)，求直線AD的斜率的變化范圍.

【答案】（1）直線A3的斜率為g,直線AC的斜率為g

【分析】（1）根據(jù)斜率公式運(yùn)算求解；

（2）根據(jù)傾斜角和斜率之間的關(guān)系分析求解.

【詳解】（1）由斜率公式可得直線A3的斜率心=9<-3=：1,

直線AC的斜率=；

故直線A3的斜率為g,直線AC的斜率為

（2）如圖所示，當(dāng)。由3運(yùn)動到C時(shí)，直線AD的傾斜角增大且為銳角,

直線AD的斜率由。增大到kAC,

所以直線的斜率的變化范圍是腎.

變式3.（2023秋?江西撫州?高二統(tǒng)考期末）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A（-M），8（1,1），C（2,6+1）,D

為AABC的邊AC上一動點(diǎn)，則直線8。斜率上的變化范圍是（）

A.af

B.S，。]。住,+°0]

C.D.（-co,0]u|^A/3,+<?^

【答案】D

【分析】作出圖象，求出的斜率，再結(jié)合圖象即可得解.

【詳解】如圖所示，

因?yàn)?。為AASC的邊AC上一動點(diǎn)，

所以直線3。斜率左的變化范圍是（f0］。］"+句.

故選：D.

變式4.（2023秋?安徽滁州?高二?？计谥校┮阎c(diǎn)A（T2）,3（2,-2）,C（0,3）,若點(diǎn)M（a,b）是

線段A3上的一點(diǎn)（。*。），則直線CM的斜率的取值范圍是（）

A.-plB._|>0）U（0,l］

C.T，|"D.u［l,+s）

【答案】D

【分析】利用圖像結(jié)合直線的斜率范圍求解即可.

【詳解】由斜率公式可得勉=書=1,得嚷==|=-4，

—1-U，一U，

當(dāng)M介于AD之間時(shí)，直線斜率的取值范圍為1,+8）,

當(dāng)/介于9之間時(shí)，直線斜率的取值范圍為［雙-3

所以直線CM的斜率的取值范圍為［凡-g31，+⑹，

故選：D.

變式5.（2023秋?安徽蕪湖?高二安徽省無為襄安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)網(wǎng)0,1）作直線/,

若直線/與連接A（2,3）,3（-1,2）的線段總有公共點(diǎn)，則直線/的斜率的取值范圍是.

【答案】1或0

【分析】根據(jù)給定條件，作出圖形，利用斜率坐公式結(jié)合圖形求解作答.

【詳解】如圖，直線/與線段A3總有公共點(diǎn)，即直線/以直線以為起始位置，繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)到直線PB即可，

直線/的斜率為左,直線尸AP8的斜率分別為a,心,于是心磯或上"PA,

而%M=="^=1，a=二：=T，因此％《一1或

2—U—1—U

所以直線/的斜率的取值范圍是kVT或

故答案為：ZW-1或左21

變式6.（2023秋?江蘇連云港?高二校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)人-2,3）,3（3,2）,若直線依+y+2=0

與線段48沒有交點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

54

C.2；3

【答案】B

【分析】求出直線CAC3的斜率，結(jié)合圖形得出。的范圍.

【詳解】???直線仆+>+2=0過定點(diǎn)C（0,-2）,且*=-。噎=g，

由圖可知直線與線段A3沒有交點(diǎn)時(shí)，斜率-。滿足-

解得a，

故選：B.

［域真題演練

----------------------lllllllllllllllllllllllllllllllilllllllll------------------------

1.直線，=2與直線x+y-2=0的夾角是（）

A.yB.gC.￡D.亨

4324

【答案】A

【分析】由斜率得傾斜角后求解，

【詳解】直線>=2的傾斜角為0,直線x+y-2=0的斜率為T,傾斜角為9,

4

兩條直線的夾角為：，

故選：A

2.圖中的直線4,44的斜率分別為勺生，%,則有（）

A.k{<k2<k3B.kx>k2>k3

C.k[<k3<k2D.左3<K<22

【答案】c

【分析】根據(jù)直線斜率的概念,結(jié)合圖象，可直接得出結(jié)果.

【詳解】由圖象可得，K<o<k3<k2,

故選：C

3.若三點(diǎn)A（2,2）,B（a,O）,C（O,b）,（歷工0）共線，則：的值等于^__________.

ab

【答案】1/0.5

【分析】由三點(diǎn)共線，利用斜率的公式可得。+6=：劭，進(jìn)而可求目標(biāo)式的值.

【詳解】由題知，直線AC的斜率存在，由三點(diǎn)共線可知aw2.

2-02-h1

J

由心B=&C得：--=T—；^a+b=-ab,又ab手0,

2-a2-02

.11_1

??----1———.

ab2

故答案為：

|］營過關(guān)檢測］|

----------------------lllllllllllllllllllllllllilllllllllllllll------------------------

一、單選題

1.（2023秋?貴州貴陽?高二統(tǒng)考期末）以下四個命題，正確的是（）

A.若直線/的斜率為1,則其傾斜角為45。或135。

B.經(jīng)過A（LO），鞏-1,3）兩點(diǎn)的直線的傾斜角為銳角

C.若直線的傾斜角存在，則必有斜率與之對應(yīng)

D.若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對應(yīng)

【答案】D

【分析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率的概念依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】A：直線的斜率為1,則直線的傾斜角為45。，故A錯誤；

3-03

B：過點(diǎn)A、3的直線的斜率為左=\=

-1-12

即tana=-B<O（a為直線的傾斜角），則a為鈍角，故B錯誤；

C：當(dāng)直線的傾斜角為90。時(shí)，該直線的斜率不存在，故C錯誤；

D：若直線的斜率存在，則必存在對應(yīng)的傾斜角，故D正確.

故選：D.

2.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知一直線經(jīng)過兩4L2）,B（a,3）,且傾斜角為135。，則。的值

為（）

A.-6B.-4

C.0D.6

【答案】C

【分析】由兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的斜率，再由斜率等于傾斜角的正切值列式求得。的值.

【詳解】直線經(jīng)過兩A（l，2）,.

又直線的傾斜角為135。，斜率一定存在，

則直線的斜率為左=士］

a-1

^-^=tanl350=-l,即a=0.

a-1

故選：c.

3.（2023秋?北京密云?高二統(tǒng)考期末）已知直線/：y=x-8.則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)（2,6）在直線/上B.直線/的傾斜角為］

C.直線/在〉軸上的截距為8D.直線/的一個方向向量為戶=（1,-1）

【答案】B

【分析】逐個分析各個選項(xiàng).

【詳解】對于A項(xiàng)，當(dāng)x=2,y=6時(shí)，代入直線方程后得6彳2-8,...點(diǎn)（2,6）不在直線/上，

故A項(xiàng)錯誤；

對于B項(xiàng)，設(shè)直線/的傾斜角為。，.?"=1,?■?8=1,又?.?<€［（）,萬），.?.，=：,故B項(xiàng)正確；

對于C項(xiàng)，令x=0得：>=-8,.?.直線/在,軸上的截距為-8,故選項(xiàng)C錯誤；

對于D項(xiàng)，,：直線/的一個方向向量為爐.,.4=—=-1,這與已知％=1相矛盾，故選項(xiàng)

D錯誤.

故選：B.

4.（2023秋?山西臨汾?高二統(tǒng)考期末）若三點(diǎn)4（2,-3）,3（4,3）,C（5,b）在同一直線上，則實(shí)數(shù)力等

于（）

A.-12B.-6C.6D.12

【答案】c

【分析】由題意得L=^c,列式求解即可.

【詳解】因?yàn)閍=廉，又KB=?*=3，KC=空空="，

4—ZJ—23

所以3=等，即6=6.

故選：C.

5.（2023春?山東濱州?高一?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)P[2,m）,Q（m,4）的直線的斜率為1,那么

m的值為（）

A.1或4B.4C.1或3D.1

【答案】D

【分析】利用直線的斜率公式求解.

【詳解】解：因?yàn)橹本€過點(diǎn)P「2,m），Q（m,4）,且斜率為1,

所以A=0=l,解得機(jī)=1,

故選：D

6.（2023春?河南安陽?高二安陽一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)A（2,3）,3（-l,x）,直線AB的傾斜

角為2牛7r，則行（）

A.3-373B.3+—C.3+36D.6

3

【答案】C

【分析】根據(jù)斜率公式列式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)橹本€A3的傾斜角為g,A（2,3）,B（-U）,

可得直線AB的斜率為如=三=tan4=-瓦

-1—ZJ

可得X=3+3A/L

故選：C

7.（2023秋?湖南湘潭?高二校聯(lián)考期末）若直線/的斜率為％,且/=3,則直線/的傾斜角為

（）

A.30°或150°B.45°或135°C.60?；?20。D.90°或180°

【答案】C

【分析】根據(jù)直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系求解即可.

【詳解】設(shè)直線/的傾斜角為/0。＜。＜180。

因?yàn)閍2=3,所以左=±VJ,

當(dāng)上=^3時(shí)，即tana=也,則<z=60°;

當(dāng)k=-6時(shí)，即tantz=-J^,則a=120。，

所以直線/的傾斜角為60?；?20。.

故選：C.

8.（2023秋?山西晉中?高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過點(diǎn)人0,2）,網(wǎng)-1,0）的直線的斜率為（）

A.—2B.——C.~D.2

【答案】D

【分析】利用斜率公式即可求得經(jīng)過點(diǎn)A（0,2）I（T0）的直線的斜率.

【詳解】由斜率公式可得：人生=2,

則經(jīng)過點(diǎn)4（0,2）,3（-1,0）的直線的斜率為2

故選：D

9.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）若直線/經(jīng)過點(diǎn)加（2,3）,N（4,3）,則直線/的傾斜角為（）

A.0°B.30°

C.60°D.90°

【答案】A

【分析】由M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，可直接得到直線的傾斜角.

【詳解】因?yàn)镸Q,3）,N（4,3）兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，

所以直線/平行于x軸，

所以直線/的傾斜角為0°.

故選：A

10.（2023秋?四川宜賓?高二四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校?？计谀┰O(shè)直線/的斜率為3且

-"<1,則直線/的傾斜角的取值范圍為（）

A._0,臥仁,兀）B.聞唔兀）

_715兀）「八兀1「5兀1

C.D.o,-u—,71

L46JL4；L6）

【答案】A

【分析】設(shè)直線/的傾斜角為。，?！丁！簇＃瑒t有左=tana,0<a<?i,作出y=tana（0Va<7t）的圖

象，由圖可得a的范圍，即可得答案.

【詳解】設(shè)直線/的傾斜角為名〈兀，

則有k=tanar,0<a<it,

作出，=1曲《（0?（/<兀）的圖象，如圖所示：

由此可得。以0,：）3m，江

故選：A.

H.（2023秋?江蘇連云港?高二校考期末）經(jīng)過兩點(diǎn)A。,間，3（租-1,3）的直線的傾斜角是銳角,

則實(shí)數(shù)機(jī)的范圍是（）

A.（-<?,-3）5-2,~H?）B.（-3,-2）

C.（2,3）D.（一*2）。（3,內(nèi)）

【答案】C

【分析】根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式，即可得答案.

【詳解】由題意經(jīng)過兩點(diǎn)A。，根），川加-L3）的直線的傾斜角是銳角，

可知〃L1H1,且？>。，

解得2〈加<3,即實(shí)數(shù)機(jī)的范圍是（2,3）,

故選：C

12.（2023春?上海浦東新?高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┮阎獌牲c(diǎn)入（2,-1）,3（-5,-3）,直線

/過點(diǎn)。，1）,若直線/與線段相交，則直線/的斜率取值范圍是（）

22

A.(-co,-2]|J—,+ooB.-'l

3

C.-1,2D.|U[2,+°o）

【答案】A

【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)尸（U），畫出圖形，再求出B4,依的斜率，然后利用數(shù)形結(jié)合求解.

【詳解】如圖所示：

則左或k>kPB,

因?yàn)榍稰A=~r=_2,kpB=----=—,

Z—1—J—1J

所以直線/的斜率取值范圍是（一雙-2]U

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線斜率的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

13.（2023秋?江蘇連云港?高二?？计谀┙?jīng)過點(diǎn)尸（0,-1）作直線/,且直線/與連接點(diǎn)A。,-2）,

川2,1）的線段總有公共點(diǎn)，則直線/的傾斜角。的取值范圍是（）

A.冷號B.[0,與3*，兀）

4444

C.嗚口烏㈤D.嶗]

244

【答案】B

【分析】畫出坐標(biāo)系，連接PB,AB,結(jié)合斜率變化可知，kPA<tana<kPB,聯(lián)立斜率與傾

斜角關(guān)系即可求解.

【詳解】由題知，直線/的傾斜角為仁則。目0㈤，

且直線,與連接點(diǎn)A（L-2）,3（2,1）的線段總有公共點(diǎn),

如下圖所示,

貝I]原AVtanaV左加，BP-l<tan(z<l,

c兀、「3兀、

??a￡[r0,—]D[——,71).

44

故選：B

二、多選題

14.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列四個命題中，錯誤的有（）

A.若直線的傾斜角為，，則sin”0

B.直線的傾斜角。的取值范圍為〈萬

C.若一條直線的傾斜角為。，則此直線的斜率為tan。

D.若一條直線的斜率為tan。，則此直線的傾斜角為。

【答案】ACD

【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的定義判斷即可.

【詳解】解：因?yàn)橹本€的傾斜角的取值范圍是［。0,即夕＜0㈤，所以sinONO,

當(dāng)。力事時(shí)直線的斜率Z：=tanO,故A、C均錯誤；B正確；

對于D：若直線的斜率上=tan與=6,此時(shí)直線的傾斜角為（，故D錯誤；

故選：ACD

15.（2023秋?廣西柳州?高二校考期末）下列說法正確的是（）

A.直線的傾斜角。取值范圍是OWcr〈兀

B.若直線的斜率為tana,則該直線的傾斜角為。

C.平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率

D.直線的傾斜角越大，其斜率就越大

【答案】AC

【分析】根據(jù)直線傾斜角和斜率關(guān)系判斷各項(xiàng)的正誤.

【詳解】A：直線傾斜角。范圍為0?/<兀，正確；

B：當(dāng)直線斜率為tan。，則該直線的傾斜角為［0㈤內(nèi)正切值為tana的角，錯誤；

C：平面內(nèi)所有直線都有傾斜角，當(dāng)傾斜角為90。時(shí)沒有斜率，正確；

D：傾斜角為銳角時(shí)斜率為正，傾斜角為鈍角時(shí)斜率為負(fù)，錯誤.

故選：AC

16.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))下列各組點(diǎn)中，共線的是()

A.(1,4),(1,2),(1,5)

B.(-2,-5),(7,6),(-5,3)

C.(1,0),［。，-：，(7,2)

D.(0,0),(2,4),(-1,3)

【答案】AC

【分析】確定兩點(diǎn)連線斜率是否存在，存在時(shí)求出每組中任意兩點(diǎn)的斜率可判斷.

【詳解】A中，三點(diǎn)都在直線x=l上，共線；

C中，-3~\1,共線;

0-130-73

43

D中，-=2,--=-3^2,不共線.

2—1

故選：AC.

17.(2023秋?遼寧葫蘆島?高三統(tǒng)考期末)已知點(diǎn)4(2,-3),川-3,-2),斜率為左的直線/過點(diǎn)尸(1,1),

則下列滿足直線/與線段A3相交的斜率左取值范圍是()

33

A.kN—B.k—4C.—4<左<0D.0幺k<—

44

【答案】AB

【分析】作出圖形，數(shù)形結(jié)合求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，在平面直角坐標(biāo)系中，作出A，民尸點(diǎn)，如圖，

3

當(dāng)直線，與線段A8相交時(shí)，k>kPB=-4—4=,k<kPA=-=-4,

1-(-3)4?1-2

3

所以，斜率左取值范圍是羥工或ZWT.

故選：AB

18.（2023春?上海靜安?高二上海市新中高級中學(xué)?？计谥校⒅本€繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60。得到

直線若直線的斜率1,則直線的傾斜角是（結(jié)果用角度制表示）.

【答案】105?；?65°

【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的概念求解.

【詳解】直線的斜率1,則直線的傾斜角為45。，

當(dāng)將直線"N繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。時(shí)，直線的傾斜角為60。+45。=105。；

當(dāng)將直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。時(shí)，直線的傾斜角為180。一（60。—45。）=165。，

故答案為：105?；?65。.

19.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）已知過點(diǎn)“（2祖+3,利）和N0”-2,1）的直線的傾斜角為鈍角，則

實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

【答案】（-5,1）