2025北京初三（上）期末數(shù)學(xué)匯編

解直角三角形（京改版）

一、單選題

2

1.（2025北京順義初三上期末）如圖，在AABC中，AB=4,ZB=6Q°,sinC=-,則AC的長為（）

B.3C.2上D.36

2.（2025北京通州初三上期末）為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識，某消防大隊進行了消防演習(xí).如圖，架在消

防車上的云梯可伸縮，也可繞點8轉(zhuǎn)動，其底部B離地面的距離BC為2m,當(dāng)云梯頂端A在建筑物EF

所在直線上時，底部B到跖的距離80為10m,若/ABD=（z,則此時云梯頂端A離地面的高度AE的長

是（）

A.10tan?+2B.+2C.+2D.10sintz+2

tanacosa

3.（2025北京平谷初三上期末）如圖，等邊△ABC中，點。是BC邊上一點（不與點8、點C重合），連

接AD,以AO為邊作等邊△AED.給出如下三個結(jié)論：?BE=DC；②ADBES^ADC；③

3S

<1.上述結(jié)論一定正確的是（）

4

A.①B.①③C.②③D.①②③

二、填空題

4.（2025北京房山初三上期末）如圖，甲、乙兩座建筑物間的距離8。為35m,甲建筑物的高A3為

20m,在甲建筑物的頂端A處測得乙建筑物的頂端C的仰角a為45。，則乙建筑物的高C。為m

c

MI''''IN

5.（2025北京昌平初三上期末）某小組同學(xué)為測樓高自制了仰角測量儀，觀測者的觀測視線與水平線夾角

如圖1所示，此時觀測視線與水平線的夾角為。，若觀測者與樓的距離9V為10m（如圖2）,則可測

算長為加.（結(jié)果精確到0.1,石土1.732）

□

M□

□

□

/r一

N

C

圖2

6.（2025北京平谷初三上期末）中國古代建筑中的斜脊結(jié)構(gòu)，既有利于排水，又有利于保溫，是古代工匠

智慧的體現(xiàn)..如圖，房屋的屋頂截面結(jié)構(gòu)為等腰三角形，若斜脊的坡度i為:1:2,房子側(cè)寬2C為12

三、解答題

3

7.（2025北京房山初三上期末）如圖，在AABC中，ZB=45°,tanC--,AD上3c于點。，若

AD=6,求BC的長.

8.（2025北京順義初三上期末）某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組開展測量“學(xué)校操場旗桿”的實踐活動，其中一個

設(shè)計方案如圖所示，旗桿48垂直于水平地面，在地面上選取C,。兩處（C,B,。在同一條直線上），

測得地面上C,。兩點的距離為30m,分別在點C和點。處測得旗桿頂端的仰角為61。和42。.請根據(jù)他

們的測量數(shù)據(jù)，求旗桿A8的高大約是多少？（結(jié)果精確到1m）.

（參考數(shù)據(jù)：sin42°?0.67,cos42°?0.74,tan42°?0.90,sin61°~0.87,cos61°?0.48,tan61°?1.80）

A

CBD

9.（2025北京通州初三上期末）如圖，菱形ABC。的對角線AC和8。交于點。，分別過點A、8作

AE//BD.BE//AC.AE和8E交于點E.

（2）連接EC,當(dāng)NABD=60。.AB=2班時，求tanNCEB的值.

10.（2025北京房山初三上期末）綜合實踐活動中，某小組用木板自制了一個測高儀測量樹高，測高儀

ABCD為正方形，AB=30cm,頂點A處掛了一個鉛錘如圖是測量樹高的示意圖，測高儀上的點

A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線4〃交于點X.經(jīng)測量，點A距地面L8m,到樹EG的距離

AF=llm,BH=20cm.求樹EG的高度（結(jié)果精確到Qlm）.

11.（2025北京昌平初三上期末）已知，在△ABC中，AB=AC,NA4C=0,點分別是的中

點，點尸是線段30上的動點，連接所，點。關(guān)于砂的對稱點是G.

（1）如圖1,若戊=60。，且點G恰好在線段BE上，求后；

⑵①如圖2,當(dāng)60。<0<180。時，依題意補全圖形；

②連接AG,OG,恰好4G=DG,用等式表示線段8尸,AC3c之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

12.（2025北京平谷初三上期末）湖光塔坐落在平谷區(qū)金海湖中心島的山頂，七層八角形樓閣式建筑掛滿

風(fēng)鈴，微風(fēng)吹過，玲聲悠揚，是金海湖景區(qū)的主要景觀之一.某校組織九年級學(xué)生到金海湖景區(qū)參加社會實

踐活動，數(shù)學(xué)小組的同學(xué)最初的目標(biāo)是測量湖光塔的高度，但是他們通過網(wǎng)絡(luò)搜索發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)上可以查到湖

光塔的塔高為30米，所以他們把任務(wù)確定為測量湖光塔所在的中心島小山的高度，數(shù)學(xué)小組設(shè)計的方案

如圖所示，他們在點C處用測角儀測得塔頂A的仰角為45。，此時，由于樹木的遮擋，看不清塔底，他們

延水平方向向后走64米在點。處用測角儀測得塔底B的仰角為26.5。.請根據(jù)他們網(wǎng)上查到的數(shù)據(jù)和測量

數(shù)據(jù)求中心島小山班的高度約為多少米.（參考數(shù)據(jù)：sin26.5°?0.45;cos26.5。。0.89;tan26.5。。0.50;）

13.（2025北京通州初三上期末）某學(xué)校物理實驗室有一種演示桌，收起時桌面與一支架的夾角

ZCAB=20°,打開時桌面與同一支架的夾角NGD3=63。（桌面bG〃EC）,已知支架54=%>=40cm,

求桌面上升的高度約為多少？（桌面的厚度與前后移動的距離等因素不用考慮）（參考數(shù)據(jù)：

sin20°?0.34,cos20°?0.94,tan20°?0.36,sin63°?0.89,cos63°?0.45,tan63°?1.96).

14.（2025北京房山初三上期末）如圖，在等邊△ABC中，點。是邊上一點（點。不與8,C重合）

BD<CD,連接AO,點。關(guān)于直線AB的對稱點為點E,連接OE交A2于點N.在AD上取一點尸，使

/EFD=/BAC,延長所交AC于點G.

（1）若的￡>=",求ZAGE的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）;

（2）用等式表示線段CG與OE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

參考答案

1.D

【分析】本題考查了解直角三角形，正確作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.過點A作ADIBC于點

AF）0

D,解直角三角形得4。=48?!18=2石，根據(jù)511。=弁=￡即可求解.

【詳解】解：過點A作于點。，

則ZAD3=ZAr)C=90°,

VZB=60°,AB=4,

AD=AB-sinB=4*sin60°=4x3=2百，

2

?sinC=—,

3

..AD_2

??osinC=-----=一,

AC3

即"2,

AC3

解得：AC=3百，

故選：D.

2.A

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，比較簡單，掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)—ABD的正切可得AD=BDtana=10tana,ffoDE=BC=2,進而即可求解.

4n

【詳解】解：在直角三角形ABD中，tan（z=—,

BD

AD=BD-tana=10tana,

根據(jù)題意可得：DE=BC=2,

AE=AD+Z）￡=10tana+2,

故選：A.

3.B

【分析】根據(jù)△ABC、是等邊三角形，得出/石4。=/衣4。=/。=/位）石=60。，

AE=AD=DE,AB=AC=BC,證明鉆且△ZMC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷①；根據(jù)當(dāng)

△ATXVzo歷時，N3a=NC=60。，但是NB￡D是變化的，得出△AQCgOBE不一定相似，即可判斷

②；根據(jù)題意得出當(dāng)點O,C重合時，於亞最大，此時沁=1,當(dāng)AD28c時，白膽最小，證明

^△ABCJ/XABC

S3

△AEDs/WC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出甘幽=1,結(jié)合點。是8C邊上一點（不與點8、點C重

■\ABC4

合），即可判斷③；

【詳解】解：:△ABC、△AED是等邊三角形，

/FAD=/BAC=/C=/ADE=60°,AE=AD=DE,AB=AC=BC,

：.NEAB=ZDAC=60°-/BAD,

,/AE=AD,ZEAB=ADAC,AB=AC,

：.AEAB^DAC(SAS),

:?BE=DC,故①正確；

*.?ZEDB=ACAD=120°-ZADC

故當(dāng)AADCSQBE時，ABED=/C=60°,

NBED是變化的，

.?.△ADCADBE不一定相似，故②錯誤；

當(dāng)點，C重合時，畜皿最大,此時沁=1,

%ABC^^ABC

當(dāng)4913c時，於亞最小，

3△ABC

此時BD=CD=-BC,AD=6BD=—BC,

22

AEAD

,?ZEAD=ZBAC,

AB~AC

：.AAEDSAABC,

.S.AED?仁丫r3

■■^C[ACJ"

:點。是8C邊上一點（不與點8、點C重合），

..《當(dāng)＜1,故③正確；

4JAABC

故選：B.

【點睛】該題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，解直

角三角形等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點.

4.55

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，過點A作AEJ_CD,垂足為E,根據(jù)題意可

得：AB=DE=20m,BD=AE=35m,然后在Rt^AEC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CE的長，從

而利用線段的和差關(guān)系進行計算即可解答.

【詳解】解：過點A作/1EJ.CD,垂足為E,

c

由題意得：AB=￡>E=20m,BD=AE=35m,

在Rt^AEC中，ZCAE=45°,

.?.CE=AE-tan45°=35（m）,

.".CD=CE+DE=35+20=55（m）,

，乙建筑物的高8為55m,

故答案為：55.

5.6017.3

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)圖1得到觀測視線與水平線的夾角為60。，解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】解：由圖1知，觀測視線與水平線的夾角為60。，

在RSACM中，■.■AC=BN=10m,/CW=60°,ZACM=90°,

.-.CM=ACtan60°=10xV3?17.3（m）,

答：MC長約為17.3m,

故答案為：60；17.3.

6.3#）

【分析】此題考查了坡度、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，過點A作于點則

ZAHB=ZAHC=90°,由等腰三角形的性質(zhì)得到8"=C"==6米，根據(jù)斜脊的坡度i為1:2得到

2

券=（，則AH=[BH=3米，利用勾股定理即可求出斜脊48的長.

BH22

【詳解】解：過點A作于點X,則Z4HB=NAHC=90。，如圖，

BH=CH==BC=6米,

2

???斜脊AB的坡度,為1:2,

.AH_1

??=~f

BH2

AH=-BH=3^z,

2

?*-AB=dAH?+BH。=V32+62=345>

故答案為：3辨

7.16

【分析】本題考查了解直角三角形，熟練掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)正切的定義得出3。的長，再利用/C的正切值得出CD的長，再計算3D+CD即可.

［詳解］解：伽AD±BC,ZB=45°,

tanB=A。=1

BD

'：AD=6,

：.BD=6,

=絲，

5CD

：.CD=10,

?.BC=BD+CD=6+10=16.

8.旗桿AB的高度大約是18m

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，利用銳角三角函數(shù)的定義解直角三角形是解題的關(guān)鍵.設(shè)

為am,分別在RdABC和RtZ\ABD表示出2C、BD,再利用CDuBC+BD列出方程，代入三角函數(shù)值

的數(shù)據(jù)解出x的值即可解答.

【詳解】解：設(shè)為加，

tanci

在Rt^ABC中,

BC

/C=61°,

x

tan61°=——?1.80,

BC

1.80

A3

在RtAlBQ中，tanD=—,

BD

???/D=42。，

Y

tan42°=——?0.90,

BD

0.90

又?.?CD=30,

,?含+念=3。，

解得：x=18,

答：旗桿A3的高度大約是18m.

9.（1）見解析

（2）tanZC￡B=—

6

【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握矩形的判定定理是解題的

關(guān)鍵.

（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形岫。是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到NAQB=90。，根

據(jù)矩形的判定定理得到四邊形曲。是矩形；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC2求得=君=豆，得到4。=立AB=3,根據(jù)三角函

222

數(shù)的定義即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）,：AE//BD,BE//AC,

...四邊形血。是平行四邊形，

?..四邊形ABC。是菱形，對角線AC和8。交于點0,

ZA0B=90°,

...四邊形曲。是矩形；

（2）VZAOB=90°,ZABD=60°,

：.sinZABO=—,cosZABO

ABAB

:.AO=BAB=2&B=3,B（9=-AB=2A/3X1=73,

2222

BE//AC,

：.ZCEB=NACE

:四邊形AE8。是矩形，四邊形A8C￡）是菱形，

AZEAC=9Q°,AO=OC,AE=BO,

**?AC-2AO=6,AE=^3,

/.tanZCEB=tanNACE.

AC6

10.樹EG的高度為9.1m

【分析】由題意可知，ZBAE=ZMAF=ZBAD=90°,FG=1.8m,易知NE4F=NBA"，可得

rp222

tanZ￡XF=——=tanZBAH=-,進而求得灰=一m,利用成?=石尸+尸G即可求解.

AF33

【詳解】解：由題意可知，ZBAE=ZMAF=ZBAD=90°,FG=L8m,

貝ljNE4F+44尸=44F+NB4H=90。，

:.NEAF=NBAH,

AB=30cm,BH=20cm,

貝”tanNBAH==—,

AB3

EF2

tanZ.EAF==tan/BAH=—,

AF3

FF7

AF=llm,則—=-,

22

EF=—m,

3

22

EG=EF+FG=—+1.8~9.1m,

3

答：樹EG的高度為9.1m.

【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，得到NE4F=N54”是解決問題的關(guān)鍵.

11.⑴6

（2）①見解析；@2BF+AC=BC,見解析

【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得NABC=/A=60。.再由三角形中位線的性質(zhì)得出DE〃AB.得出

ZEDC=ZABC=60°.再證明產(chǎn)忠AEG廠.再得/BFG=90。.最后解直角三角形即可得出答案；

（2）①按題意補全圖形即可；

②先證明EG垂直平分AD.可得GE〃FD,從而得出N1=N2,再證明△GEM/可得Z）尸=EG且

GE//FD,再證明平行四邊形GFDE是菱形，得出=。尸=gAC.最后可得結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖，連接。E;

:AB=AC,ABAC=a=60°,

?.△ABC是等邊三角形.

■.ZABC=ZA=6O°.

點D,E分別是8cAe的中點，

?.￡?是△ABC的中位線，NEBF=30。.

■.DE//AB.

\ZEDC=ZABC=6O°.

NED尸=120°.

,?點D關(guān)于EF的對稱點是G,

.'.AEDF^AEGF.

/.FD=GF,ZEGF=ZEDF=120。.

.\ZBGF=60°.

:.ZBFG=9Q°.

BFI-

在I^XABGF中，tan/3G/—-y/3.

GF

.?竺=5

DF

(2)解：①補全圖形如下；

連接DEAD,設(shè)EF、DG交于點M,如圖;

■.■AB=AC,點￡）是BC的中點，

又是AC中點，

.,.在RtA/UX；中，ED=AE=-AC.

一2

又?.?AG=DG,

.?.EG垂直平分AD.

即AD_LEG,

,?ADJ.BC.

:.GE//FD,

.-.Z1=Z2,

??,點D關(guān)于EF的對稱點是G,

:.GE=ED,DM=MG,

■：/GME=ZDMF,

:AGEM經(jīng)功FM,

DF=EG,

GE//FD,

，四邊形GFDE是平行四邊形，且EG=ED,

，平行四邊形GTOE是菱形，

：.DE=DF,DF=^-AC.

2

5L-：BF+DF=BF+-AC=-BC,

22

即28尸+AC=3C.

【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，解直角三角形，三角形中位線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與

判定，等腰三角形的性質(zhì)，以及線段垂直平分線的性質(zhì)，表示出BEAC,的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

12.小山高度約為94米

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意可設(shè)的=x米，則EC=(x+30)米，由名名=tanNB￡?E

ED

列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)班二1米，

由題意，ZAED=90°,ZACE=45°,NBDE=265。,AB=30,CD=M,

Vtan26.5°?0.50,

BE

----=tanZ.BDE,

ED

x

?0.50,

x+30+64

解得，x~94,

答：小山高度約為94米.

13.桌面上升的高度約為22cm

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵.

做輔助線，過點8作BMLPG于點交EC于點、N,由三角函數(shù)求出3N、8M的值，即可得出答案.

【詳解】解：過點8作于點交EC于點N,

FG//EC,

：.BMLEC,在RtzWVB中，ZANB=90°,54=40,

???si■n4/NWADB--N--B-,

AB

??"=黑

???NB=sin20°x40?0.34x40?13.6,

在RSDV田中，ZDMB=90°,30=40,

sinZMDB=—,

BD

：.sin63°=—

40

???MB=sin63°x40比0.89x40p35.6,

MN=M