高一上數學暑假測試密卷（三）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.

3

1.設集合4={-2,-1,0,1,2},B={x\--<x<G],A3=（）

A.{-1,0}B.{1,2}C.{-2,-1,0}D.{0,1,2）

【答案】A

【分析】根據交集的概念即可求解.

【詳解】因為集合4={-2,-1,0,1,2},B=[x\-^<x<0],

由交集的定義可得：ACB={-1,0},

故選:A.

2.已知cosa+cos/7=；,sin?！猻in夕=g,則cos（a+0的值為（）

13135959

A.-----B.—C.-----D.—

72727272

【答案】C

【分析】將條件中兩式平方相加后整理即可得答案.

2|

【詳解】(cosa+cos尸)=cos2a+2cosacos)3+cos2f3=—,

21

(sina-sin,)=sin2a-2sinasin/?+sin2p=—,

i113

兩式相加得2+2(cosacos6一sinasin〃)=2+2cos(a+m=—+—=—

4936

COS(6Z+y0)=59

72

故選：C.

2]tn

3.已知a>0,b>0,如果不等式4+^^^^恒成立，那么加的最大值等于（）

ab2a+b

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

m21

【詳解】2+4---------=^>m<[(—+—)(2Q+b)]

ab2a+b-----------ab.

.2l...,__2b2a__

(—+一)(2〃+b)=5+——+——>5+2=9:.m<9,選C.

abab

4.下列函數中，最小值為2的是()

A.f^x)=x+]-

122

B./(x)=—sinx+.2(xwkn,keZ)

C.〃x)=e"+er

D.〃x)=x+~^(x>l)

【答案】C

【分析】利用基本不等式以及等號的成立條件逐一判斷即可.

【詳解】對于A：當》=-1時，〃-1)=-2,A錯誤；

對于B：f(x)=—sin2xH----—>2./—sin2xx——=2,

、)2sin2xV2sin2x

當且僅當*療1=三，即sir?兀=2時等號成立，故等號不能成立，「"(x)>2,B錯誤；

2sinx

對于C：/(x)=ex+e-x>2y/ex-e~x=2,當且僅當已三匕一"，即x=0時等號成立，C正確；

對于D：當x>l時，/(x)=x+—^—=x-l+———1-1>2A/(x-l)--^—+1=3,當且僅當％—1=—^―,即％=2

x-1x-1Vx-1x-1

時等號成立，D錯誤；

故選：C.

【分析】本題首先根據判斷函數的奇偶性排除A,D,再根據。〈%vl,對應y<0,排除C,進而選出正確答案

B.

【詳解】由函數丁=上，可得XW±1,

X-1

故函數的定義域為(一雙―l)u(-l，l)u(l，+x),

又〃-X)==*="x),所以y=J山是偶函數，

(H-X)-1x-IX-1

其圖象關于y軸對稱，因此A,D錯誤；

當0<x<l時，x2-l<0,y=<0,所以C錯誤.

x~H-1

故選：B

6.葉廣泥是一種相對新興的物理吸附材料，有多孔隙結構特點的除甲醛材料，它有微小的孔隙能夠收

納甲醛、甲苯等有害氣體分子，因此是除甲醛的一種新材料，用來除甲醛基本上立竿見影.經研究發(fā)

現(xiàn)，葉廣泥除甲醛的量。與葉廣泥的質量〃z的關系是Q=21og?%,當除甲醛的量為8個單位時，其質

量加為多少個單位()

4

A.2B.210g2MC.160D.6

【答案】C

【分析】由題意8=21og?卡，由指數與對數的關系求解即可

【詳解】由題意有：8=21og*,

所以log2r4

所以2,啖，

所以徵=24x10=160,

故選：C

TTTT

7.已知奇函數y=/(元)的圖像關于點(：,0)對稱，當xe[0,q)時，/(x)=l-cosx,則當尤e(1,3劃時，

/⑺的解析式為

A./(x)=-1-sinxB.f(x)=1-sinxC./(%)=-1-cosx

D.=1—cosx

【答案】C

【分析】當xe(三,3m時，3;r-xe]0，B，結合奇偶性與對稱性即可得到結果.

【詳解】因為奇函數y=/(x)的圖像關于點?對稱，所以/(萬+x)+/(f)=O,

且/(r)=-/(x)，所以/(萬+x)=/(x),故/(X)是以萬為周期的函數.

5萬兀J，故/（3?—x）=l—cos（3?—x）=l+cosx

當xe,3?時，371-xe0,—

因為〃司是周期為萬的奇函數，所以/(3乃—力=/(一。=一/(力

故一/（司=1+COSX,即/（x）=-l-cosx,

故選c

【點睛】本題考查求函數的表達式，考查函數的圖象與性質，涉及對稱性與周期性，屬于中檔題.

8.已知函數的定義域是R,函數/(x+1)的圖象的對稱中心是若對任意的與，&e(O,+s),

且X產尤2,都有無2〃?：；"(無2)>0成立,41)=1,則不等式〃x)r>0的解集為()

A.(^o,-l)u(l,+oo)B.(-1,1)

C.u(O,l)D.田)

【答案】D

【分析】利用函數/(%+1)的圖象的對稱中心是(-1,0)可得“X)是R上的奇函數，由空(6M包>0

%一工2

/(X,)/(x2)/\

可得r二〉0，故可得g(x)=/(D在(。,+向上單調遞增，然后分x=0,x>0和》<0三種情

xl—x2X

況進行求范圍即可

【詳解】因為/(X+1)是/(尤)向左平移1個單位長度得到，且函數/(x+1)的圖象的對稱中心是(-1,0),

所以“X)的圖象的對稱中心是(。,。)，故"X)是R上的奇函數，所以/(-1)=-/。)=-1,

對任意的玉，X2G(0,+CO),且工產馬，都有>0成立,

—

所以%工2>0

玉工2(%1一々)xi-x2

令g(x)=W，所以根據單調性的定義可得g(x)在(o,+8)上單調遞增,

由是R上的奇函數可得g(x)是(-8,0)U(0,+w)上的偶函數

所以g(x)在(-8,0)上單調遞減,

當x=0時，不等式〃尤)—X〉。得到0一0>0,矛盾；

當x>。時，/(x)-x>0轉化成但>1=四即g(x)>g(l),所以x>l；

X1

當x<0時，F(xiàn)(x)-x>0轉化成=g(x)<g(_l),所以T(尤<0,

X-1

綜上所述，不等式〃x)-x>o的解集為(TO)5L”)

故選：D

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

77

9.已知函數/(x)=2sin(3x-：),則()

6

JT

A./⑺的最大值是2B./⑶的最小正周期為§

C./⑺在10,可上是增函數D.小)的圖像關于點J。)對稱

_6」6

【答案】AC

【分析】對A,由函數的解析式即可求出函數的最大值，對B,D根據正弦函數的周期與對稱中心公式,

整體代入即可判斷；對C,先求出"%)的單調遞增區(qū)間，即可判斷.

TT

【詳解】解：對A,/(x)=2sin(3x--),

6

TTTT

故當sin(3x-z)=l時，/(x)=2sin(3x-")=2,故A正確；

O1Omx

T2乃2%

對B,的最小正周期7=時=？-，故B錯誤；

對C,^-—+2k7i<3x-—<—+2k7i,kGz,

262

?力/口n,2k/r

解得：--+—^<x<—+—^,k7^z,

故/(x)的單調遞增區(qū)間為：—1+21￡,吾+2|￡，左￡Z,

712萬

當左=0時，“X）的一個單調遞增區(qū)間為:

TT

故/（X）在0,-上單調遞增，故C正確;

O

JI

對D,令3%----=k7i,kwz,

6

ATT/口7Ck/c,

解何：X=+GzJ

lo3

兀k7i?)

故“X）的對稱中心為:l8+

令T

口n兀兀k7l7

艮口一=—+——，左WZ,

6183

解得：k=z,

故（。0）不是“X）的對稱中心，故D錯誤.

O

故選：AC.

10.下列計算正確的是（）

人田=一代B.cos’22.5?！猻in’22.5。=正

2

C.sinl50sin45°sin75°=^-

D.tan37°+tan23°+6tan37°tan23°=1

8

【答案】ABC

【分析】根據兩角和的正切公式、二倍角公式、誘導公式求得正確答案.

【詳解】因為器1=一詈晶盤=一36。。=一6,故A正確;

cos422.5°-sin422.5°=(cos222.5°+sin222.5°)(cos222.5°-sin222.5°)=cos45°=彳故B正確;

sin15°sin45°sin75°=sin150cos150sin45°=—sin30°sin45°=—,故c正確;

28

因為360』皿37。+23。）=墨：；；黑〉石,

所以tan37°+tan23°+石tan37°tan23°=百，故D錯誤.

故選：ABC

2a~xx>1

11.已知函數=..二產圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）

B.a=—1

c.函數y=〃x+i)是偶函數

D.關于尤的不等式〃尤)的解集為(0,2)

【答案】ACD

【分析】根據函數圖象可得函數圖象的對稱軸，進而求得參數a的值，判斷A,B；根據圖象的平移結

合偶函數的性質可判斷C；分段解不等式可得不等式/(x)>g的解集，判斷D.

【詳解】由函數圖像可知x=l為函數””的對稱軸，即函數滿足/(2-x)=/(x),

貝IJ當無>1時，貝！J2—X<1,i^22-x-a=2a^,:.2-x-a=a-x,則a=l,

同理當x<l時，貝！J2—X>1,故2"-2+x=2i,;.a-2+x=;t-。，則。=1,

綜合可知a=l,A正確；B錯誤.

ax

f2~尤>[

將〃x)=的圖象向左平移1個單位，即得函數y=〃x+i)“R的圖象，

則y=，(x+l)的圖象關于y軸對稱，故y=/(x+l)為偶函數，C正確；

當時，/(x)=21-\令解得x<2,故l4x<2；

當x<l時，/(x)=2'-1,令2I>g,解得x>0,故0<x<l,

綜合可得。<x<2,即不等式的解集為(0,2),D正確，

故選：ACD

【點睛】方法點睛：解答本題，要注意數形結合的思想方法，同時要結合函數圖像的特征，利用相應

的定義去判斷解答，即可求解.

12.若函數“X)同時滿足：(1)對于定義域內的任意x,有〃X)+〃T)=0；(2)對于定義域內的任

意玉，巧，當X產無2時，有'<0,則稱函數〃元)為"理想函數”.給出下列四個函數是"理想

函數”的是()

A./(x)=x2B.f(x)=-x3

U/⑺…：D-"x)=R：；°

【答案】BD

【解析】滿足(1)可得，〃x)是奇函數，滿足(2)可得，/(x)在定義域內是減函數，問題轉化為判

斷以下函數是否滿足這兩個性質；根據選項，逐項判斷函數奇偶性與單調性，即可得出結果.

【詳解】由(1)對于定義域內的任意X,恒有/(X)+〃T)=O,即〃T)=-"x),所以“X)是奇函

數；

由(2)對于定義域內的任意毛，%,當X產X?時，恒有〃?：；伍)<0,所以或

%>x2

，則“X)在定義域內是減函數；

/&）</（尤2）

對于A：由/(X)=f可得〃_尤)=(_城=尤2=〃力所以=f是偶函數，故不是"理想函數”；

對于B：*/(x)=-x3f(-x)=-(-x)3=x3=-/(x),所以〃弓=一二是奇函數，又y=3在R上是增函

數，所以/■(X)=f3在R上是減函數，所以是"理想函數”；

對于C：由〃尤)=%一工得/(-月=一升,=一1一」=一〃耳，所以/(x)=無一,是奇函數；又丁=龍在定

XX\X)X

義域上增函數，在(-8,0)和(0,+8)上是減函數，所以〃x)=x」在(-8,0)和(0,+8)上都是增函

%X

數，故不是"理想函數"；

對于D：〃尤)=]："；°=-尤Mf(-x)=x|x|=-fO),所以是奇函數；

[X,x<0[X,x<0

根據二次函數的單調性，易知/(X)在(-8,0)和(0,+8)都是減函數，且在X=0處連續(xù)，所以

_尤2%〉0

,'.二在R上是減函數，所以是"理想函數

x,x<0

故選：BD.

【點睛】思路點睛:

求解函數新定義問題時，一般根據函數的新定義，結合函數基本性質(單調性、奇偶性、對稱性等),

確定新定義下的函數的性質，即可求解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數/(x)=2'—5的零點所在區(qū)間為［加，加+1］(加3N),則，"=.

【答案】2

【詳解】試題分析：因為f⑵=22—5=-1<0,f⑶=23—5=3>0,f⑵f⑶<0,且/(x)是增函數

所以函數f(x)=2x-5在區(qū)間［2,3］上存在零點，所以m=2.

考點：函數的零點；零點存在性定理.

點評：零點存在性定理只能判斷函數是否存在零點，而不能判斷函數零點的個數.要想判斷零點的個

數，還需要判斷函數的單調性.

14.函數/(x)=o用+2(a>0且"1)的圖象必過定點，則定點坐標為.

【答案】(-13)

【分析】由4°=1可得當產-1時，/(-1)=?-1+1+2=1+2=3,可得答案.

【詳解】由a°=l有當》=-1時，a^=a°=l.

所以當x=—1時，/(-1)=^1+1+2=1+2=3

所以/⑺恒有/(-I)=3,即〃尤)得圖像必過點(一1,3)

故答案為:(T，3)

【點睛】本題考查指數函數的圖像性質，屬于基礎題.

15.已知函數/■(*)=2/+改一1(4€?,若Vx?l,2),f(x)<0,貝心的取值范圍是.

【答案】卜

【分析】Vx?l,2),f(x)<0,分離參數得到aV-2尤+：,求出-2元+1,xe(l,2)的范圍，即可得出

結論.

【詳解】Vxe(l,2),〃x)=2f+改_140恒成立，

即〃<-2x+L%￡(1,2)恒成立，

1,7

設g(x)=-2x+—在(1,2)單調遞減，所以-；<g(x)<-1,

x2

7

所以Q4一萬.

故答案為：.

16.若函數“力滿足=則稱“尤)為滿足唯］負"變換的函數，在下列函數中，所有滿足"倒

負”變換的函數序號是.

①『(無卜^-；②/(%)=/；③/(x)=x+,；(4)/(%)=%--.

LI-XXX

【答案】④

【分析】求得了(口的解析式，再與-〃尤)的解析式進行比較即可得到滿足"倒負”變換的函數

【詳解】①/［.］二±=±,一占二一/(",不符合要求；

1H--

②=?尤2=_〃力不符合要求；

③(曰=:+心-卜+￡|=-〃"，不符合要求;

④/11=;7=-上一￡|=一〃⑼，符合要求

故答案為：④

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知sin/?+cos4=g,/?G(0,7L).

⑴求tan1的值;

(2)求sin(2￡的值.

4

【答案】⑴

產

50

【分析】(1)聯(lián)立同角三角函數的平方式，根據角的取值范圍，利用三角函數的商式關系，可得答案;

(2)由(1)求得三角函數，利用正弦的差角公式以及二倍角公式，可得答案.

【詳解】⑴由sin?+cos?=l,貝U-m'+cos/=M,消去儂,，可得25sin?-5sin〃-12=0,

Sin2y0+COS2y0=1

分解因式可得（5sin￡-4）（5sin￡+3）=0,解得sin#=或g，

由赤(。㈤，則si"1,即8s月=-|,故tan/=1^=[.

43

(2)由(1)可知sin夕=《，cos^=--,

sin24cos；-cos2￡sin；=(2sinPcos0-cos20+sin20)

17A/2

50

九+]

18.已知函數/(x)=log0——~(a>0,且awl).

x-1

（1）求〃%）的定義域;

（2）判斷函數“X）的奇偶性，并求函數的單調區(qū)間.

【答案】（1）（》,T）（1,—）;（2）函數為奇函數；當時，函數在（-8,-1）,（1,+8）上為減

函數；當。<”1時，函數“X）在（-8,-1）,（1,+00）上為增函數.

【分析】（1）根據對數函數真數大于零，由一>。求解.

X-1

r+12

（2）利用函數奇偶性的定義判斷，設==",則"=1+。在（-8,-1）和（1,+00）上均為減函數，再

X-L尤一1

分0<?<1,利用復合函數的單調性求解.

Y+1

【詳解】(1)回/(Mog.一(?！?且"1),

X-1

I1

回tr>0,即(x+l)(x-l)>0,

解得犬>1或x<-l,

故函數/（X）的定義域（-8,-1）°（1,+00）,

（2）由（1）知，函數的定義域關于原點對稱,

回〃-x）=log。=Tog。==-/（x），

—X—1X—L

回函數為奇函數，

Y+12

設二=〃，貝iJ-1+二，

x-1x-1

因為函數U在(y>,T)和(1,改°)上均為減函數,

當時，函數y=iog“"在(。,+8)為增函數,

所以函數/(X)在(-°°，T),(L+00)上為減函數，

當0<°<1時，函數y=iog“w在(。,+8)為減函數，

故函數”X)在(-°°，T),(L+8)上為增函數.

【點睛】方法點睛:對于復合函數y=/[g(x)],若t=g(x)在區(qū)間(a,b)上是單調函數，且y=/(t)在區(qū)間(g(a),

g(b))或者(g(b),g(a))上是單調函數，若t=g(x)與y=/(t)的單調性相同(同時為增或減)，則y=/[g(x)]為增

函數；若t=g(x)與y=/(t)的單調性相反，則y=/Ig(x)]為減函數.

19.已知函數/(x)=百sin(—+x)sin(——x)+sin尤cosx.

44

⑴求函數的最小正周期；

Ajr

(2)在ABC中，若“5一日)=晨求sin8+sinC的最大值.

【答案】⑴兀;

(2)73.

【分析】(1)利用三角恒等變換化簡函數“X),再利用正弦函數性質求出周期作答.

(2)由(1)中函數式求出A,再利用差角的正弦公式、輔助角公式結合正弦函數性質求解作答.

【詳解】(1)依題意，/(x)=A/^sin('+x)sin['-(二+x)]+，sin2x=J^sin('+x)cos('+X)+Lsin2x

4242442

=sin(—+2x)+—sin2x=—sin2尤H———coslx=sin(2x+—)，

22223

,IT

所以函數/(幻的周期為T=T=九

⑵由(1)知，/g—$=sin[2g—^1)+m]=sin(A+*=l,

在，ABC中，0<A<7i,—<A+—<--,于是A+?=f,解得A=則B+C=亭，

6666233

sinB+sinC=sinB+sin(--B)=sinB+^-cosB+—sinB=—sinB+^-cosB=y/3sin(B+—),

322226

顯然。<5<W，2<5+2<高，因此當3+?=即3=J時，(sin3+sinC)max=有，

3666o23

所以sinB+sinC的最大值為0

20.某小區(qū)要在一塊扇形區(qū)域中修建一個矩形的游泳池.如圖，在扇形0尸。中，半徑OP=HX)(m),圓心

角/POQ=；,C是扇形弧上的動點，矩形ABC。內接于扇形.記NPOC="，矩形ABCD的面積為S(m)

Q

⑴將面積S表示為角a的函數；

⑵當角a取何值時，S最大？并求出這個最大值.

【答案】(1)5=5000&sin(2a+：)-5000,0<a<￡；

(2)a=J,=5000V2-5000(m2).

【分析】(1)根據給定的圖形，用a的正余弦函數表示矩形的一組鄰邊即可列式作答.

(2)利用(1)中函數，結合正弦函數的性質求解作答.

TT

【詳解】(1)依題意，在Rt^OBC中，ZOBC=-,貝ljAD=5C=OCsin/POC=100sina,

jrjr

OB=OCcosZPOC=lOOcoscr,在Rt^OAD中，ZOAD=-,ZPOQ=-,貝!JOA=A￡),

24

因止匕AB=OB—OA=100(cosa-sina),S=AB?BC=100sin6Z-100(cosa-sina)

=10000(sinacosa—sin2a)=5000(sinla+cos2a—l)=5000后sin(2a+—)—5000,

4

所以面積S表示為角a的函數是5=5000V2sin(2a+-)-5000,0<a<-.

44

(2)由(1)知，當0<&<丁時，?<2c+J〈學，則當2a+J=J,即a=J時，[sin(2a+^)]_=1,

44444284

所以當a=2時，5^=500072-5000(m2).

21.已知函數=2T(a為常數，aeR).

⑴討論函數〃x)的奇偶性，并說明理由；

(2)當為偶函數時，若對任意的天目-2,0),不等式〃2司-〃礦(x)-2,0恒成立，求實數機的取值

范圍.

【答案】⑴答案見解析

⑵,'6「1,7+ooJ'.

【分析】(1)求出閆(f)和-/(x)=/(r)時。的具體值,即可判斷奇偶；

(2)由(1)可得/(x)=-2*-2：題意可轉化成加22，+2T對xe[-2,0)恒成立，設f=2*e],1

°Q)=f+1，利用單調性的定義判斷。⑺在上為減函數，即可求解

xx

【詳解】(1)函數/(》)=。2-2-工的定義域為R,f(-X)=a-2~-2,

當寸(一x)時，口.2，一2-，=。2，一2，即(。+1乂2，-2-工)=0,解得。=-1,

所以a=-l時，函數/(尤)是偶函數，

當一〃x)=時，。?2,一2T=-儂2一，一2工)即(“一1)(2,2一工)=0,解得a=1,

所以。=1時，函數/(X)是奇函數，

綜上所述，當”=1時，函數/a)是奇函數；

當。=-1時，函數/(X)是偶函數；

當。片±1時，函數/(尤)是非奇非偶函數

(2)/⑴為偶函數，根據(1)可知a=TJ(x)=—2'-2T.

對于任意的xe[-2,0),都有/(2x)-〃礦(x)-22。成立，故一22工一2小一根(一2,一2一，)一220即

(2*+2-工)2v加(2*+2一)

因為2"+2一”＞0,所以加之2"+2一工對工￡[-2,0)恒成立，

設，=2"G，。⑺=/+；,

任取。丁1]，且。＜%2，即:＜6＜[2＜1，

./\/\f1)(1)/\fl1)/\ty—t,(0—，2)(%%2—1)

貝!)。(%)一。(，2)=?+丁—r2+—=(。一才2)+=(Z1~12)+~~~=---------------，

In7\12)VI^2/印2印2

因為[斗＜弓＜1,所以不一2＜。，他＜1，可得001)-。&)＞。，即。(4)＞。&)

所以。⑺在Ji]上為減函數，夕⑺max=夕(；)=[，故

所以實數機的取值范圍是?，+8]

【點睛】方法點睛：函數存在性和恒成立問題，構造新函數并利用新函數的性質是解答此類問題的關

鍵，并注意把握下述結論：

①/(X)<g(a)存在解O/(^)min<g(a)；f(x)<g(4)恒成立O/(無)max<g(。)；

②/(X)<g(a)存在解O/(元)1nhivg(a)；f(x)<g(a)恒成立o/(x)max<g(a)；

③/W>g(a)存在解O/(?max>g(a)；f(x)>g(a)恒成立o/(x)血_>g(a)；

④f(x)>g(a)存在解o/(x)max>g(a)；f(x)>g(a)恒成立o>g(a)

22.設函數，(x)=lg(x+〃z)(mwR)；

(1)當m=2時，解不等式/(J〉：!；

(2)若〃0)=