2025年秋季高三開(kāi)學(xué)摸底考試模擬卷（廣東專(zhuān)用）

數(shù)學(xué)?全解全析

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

3-i0

1.已知z=H，則|z『=（）

A.2B.3C.5D.7

【答案】C

3-i(3-i)(l+i)4+2i

【詳解】貝=22+12=5.

(l-i)(l+i)-2

故選：C

2.已知集合/=卜卜2-5》一62。}5={-3,-2,-1,0,1,2,3},則()

A.卜1,-2,-3}B.{-2,—3}C.{1,2,3}D.{2,3}

【答案】A

【詳解】對(duì)于不等式X2-5X-6N0,解得XW-1或XN6,即集合4={X|XVT或X26}.

已知8={-3,-2,-1,0,1,2,3},在集合B中滿足-1的元素有一3,-2,-1,所以4C8={-3,-2,-1}.

故選：A.

3.已知雙曲線（=1（。>0,6>0）的離心率為乎，則其漸近線方程為（）

A.x+42y=QB.V2x±v=0C.x+2y=0D.2x+y=0

【答案】A

【詳解】雙曲線U=l（a>0,6>0）的離心率為當(dāng)，

可得e=二="，即°=兒,

a22

可得6=Vc2—a2=a，

由題意得雙曲線的漸近線方程為y=±2x,即為y=±Y2x,

a2

即為x±=0

故選：A.

4.已知奇函數(shù)/（x）的圖象的一條對(duì)稱軸為直線x=1,那么/（無(wú)）的解析式可以為（）

1/15

A.y=sin(37uc)B.y=cos[x+：

C.J=sin^x+^D.y=tan(nx)

【答案】A

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)了=/(耳=5出(3?)的定義域?yàn)榭冢?/p>

因?yàn)?(-x)=-sin(3m)=-/(x),所以/(x)為奇函數(shù)，

因?yàn)?所以工=；是了=$也(3")的圖象的一條對(duì)稱軸，故A符合題意；

對(duì)于B,函數(shù)y=/(x)=cos[x+?的定義域?yàn)镽,

因?yàn)樗院瘮?shù)>=。。5“+￡|不是奇函數(shù)’故B不符題意；

對(duì)于C,函數(shù)了=/(x)=sin[5x+]J的定義域?yàn)镽,

因?yàn)?(2)=sin(7r+]J=_曰,/(_2)=sin(_7r+]]=一￥，

所以函數(shù)、=41115》+弓]不是奇函數(shù)，故C不符題意；

對(duì)于D,函數(shù)y=tan(欣)的圖象不是軸對(duì)稱圖形，故D不符題意.

故選：A.

5.若〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=r-4,則不等式/(x)20的解集為()

A.[-2,2]B.[—2,0]O[2,+oo)

C.[-2,0)U[2,+?)D.(-8,-2]U[2,+8)

【答案】B

【詳解】因?yàn)锳x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(0)=0,

結(jié)合題意作出Ax)的大致圖象，如圖所示，

由圖可知，不等式f(x)20的解集為[-2,0]u[2,+?).

2/15

故選：B.

6.如圖所示，質(zhì)點(diǎn)P從點(diǎn)/出發(fā)，沿48,BC,CD運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)。，已知48//。,48=4,3。=2,。。=3,

ABRC^-2,則質(zhì)點(diǎn)尸位移的大小是（)

C.2713D.746

【答案】D

【詳解】由題意可得質(zhì)點(diǎn)P位移為同=方+南+無(wú)，

因?yàn)?8=4,8。=2,CD=3,ABBC^-2，所以詬?麗=12,

設(shè)AB,BC的夾角為。，所以AB-BC=|5C|cos0=-2=cos0=——,

所以西=而.

故選：D

7.若直線/：息-y+2-左=0與圓。：/+「-4》_2>+1=0交于43兩點(diǎn)，且直線/不過(guò)圓心C,則當(dāng)V/2C

的周長(zhǎng)最小時(shí)，V/8C的面積為（）

A.V2B.2C.4D.372

【答案】B

【詳解】由C:x2+r-4x-2y+l=（^Wy+（y-l『=4,

故圓心C（2,l）,半徑r=2,

直線/：息-y+2-左=0的方程可化為了-2=才（尤-1）,

所以直線/恒過(guò)定點(diǎn)。（1,2）,

H^l2+22-4xl-2x2+l=-2<0

所以點(diǎn)。在圓內(nèi),

由圓的性質(zhì)可得當(dāng)CD_!_/時(shí)，|/刈最小，V48c周長(zhǎng)最小,

3/15

又C(2,l),￡>(1,2)

所以砧=T，此時(shí)左=1,即直線/：x7+l=0,

12-1+11廠

所以圓心C(2,l)到直線/的距離d=曠=Y2,

所以|48k24_屋=2V4T2=2A/2,

所以S△皿c=g|/2H=；x272x拒=2,

故選：B

8.已知函數(shù)〃無(wú))=i二'若關(guān)于X的方程|/(x)卜加(加為實(shí)常數(shù))有四個(gè)不同的解否,馬，七,七,

log3(x-l),x>l,

且X]</<X3<X4,貝!J1—?—](三+%)的取值范圍為()

IX]x2J

A.卜1)B.(8,16)C.(8,+⑹D.(-?,-8)

【答案】A

【詳解】根據(jù)函數(shù)解析式，可得函數(shù)大致圖象如下，

-5-4-3-2-10

由圖知，Xj<0<x2<1<x3<2<x4fl.me(0,1),

,X}Xrr,,11^

由"j-----=----7-,得再一項(xiàng)々=再次2-％2，即演+、2=2再%2，故—H---=2,

1X][X?X]"2

由log3(退-1)=-能，則工3=1+3-'"，由log?@4-1)=加，則匕=1+3'",

mm

(X3+X4)=4+2(3-+3),且在〃1€(0,1)上？=3-"+3"，單調(diào)遞增,

所以

故選：A

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖，點(diǎn)尸在正方體-44GA的面對(duì)角線8G上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是()

4/15

A.三棱錐/-2PC的體積隨P的運(yùn)動(dòng)而變化

B.4尸〃平面NCR

C.DP'BC、

D.平面尸OBJ平面NCR

【答案】BD

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?D"A8G，4D]U平面ADC，而3C；（Z平面AD。,

所以8G〃平面gC,故2cl上任意一點(diǎn)到平面AD.C的距離均相等，

△40。的面積為定值，則三棱錐4-。尸。的體積不變，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)可得/C〃4G且力。"/3。，

又/CIGu平面48G，/C，他都不在平面48G內(nèi),

所以NC//平面43G，/，//平面42G，

X^CIADt=A,u平面NCR,

所以平面NCR〃平面//「，又4Pu平面48G，

所以4P//平面4c口，故B正確；

C選項(xiàng)，當(dāng)P與3重合時(shí)，DP=BC\=DC、=①,所以ADBCJ為等邊三角形,

則DP與BG的所成角為三，所以DP-8G不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，因?yàn)樵?_L平面/BCQ,4Cu平面45。。，故

又因?yàn)槠ぃL4C,BDRBB[=B,BD,BB、u平面AD4,

5/15

所以/C_L平面,5Qu平面AQ8],故NC_LZ)4，

因?yàn)?e_L平面AA}DTD,ADXu平面AAtDtD,AtBt.LADt,

又因?yàn)?DJ4。，4及;瓦4口/田產(chǎn)平面/百。，所以4D1,平面4與0,

因?yàn)閁平面44。，所以

因?yàn)锳Dtn/C=44D],/Cu平面ACDlt所以。片，平面ACD,,

又。qu平面。所以平面。為平面/C2,故D正確.

故選：BD.

10.已知拋物線少：y2=2px(p>0)與圓W：(x-6『+(y-4)2=64相交于A,B兩點(diǎn)，線段48恰為

圓”的直徑，且直線過(guò)拋物線〃的焦點(diǎn)尸，又C。是拋物線少過(guò)焦點(diǎn)廠的另一動(dòng)弦，則以下結(jié)論正確

C./M的周長(zhǎng)可以為14D.當(dāng)S△加=35讖。尸時(shí)，|CD|=12

【答案】AC

分別過(guò)A,B,M作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為4，與，Mx,

由于圓的直徑過(guò)焦點(diǎn)尸，則河(6,4)到準(zhǔn)線的距離為

\AA^+\BB^_\AF\+\BF\_\AB\

111222

又|7Wj=6+4,；.6+K=8,解得夕=4,故A正確；

1122

對(duì)于B,設(shè)直線CD的方程為x=my+2,C(XQi),。(乙,％),

6/15

x=my+2.

又拋物線W：/=8無(wú)，由2C可得y—8my-16=0,

歹=8%

22

貝1%+%=8〃？，XX,=^--^-=4,

88

|CF|+9|DF|=X+2+9（X+2）=X+^+20>2

121二32

xi

（當(dāng)且僅當(dāng)再=6時(shí)等號(hào)成立），故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,；M（6,4）,F（2,0）,：.\MF\^4S/2,設(shè)的周長(zhǎng)為/,

過(guò)點(diǎn)C向拋物線準(zhǔn)線作垂線，垂足為C「

則1=\CF\+\FM\+\CM\=4V2+|CF|+|CM|=442+\CQ\+\CM\>4也+pWj=472+8,

周長(zhǎng)的最小值為4逝+8<14，故C正確；

2

x{x2=4,則（3工2+4）%2=4,解得％2=^或一2（舍），

232

；.%=6,|CZ）|=xr+x2+p=6+―+4=,故D錯(cuò)誤.

故選：AC

11.記V48c的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且2（a-3cosC）=csin5,b=2c,3c邊上的高

為2,則（）

A.tang=2B.6=2/

7/15

C.V/BC的周長(zhǎng)為3+3出D.V/5C的面積為3

【答案】AB

【詳解】對(duì)A,已知2（Q—/）cosC）=csin5,由正弦定理得到2何以一5111灰05。）=5抽。51曲，

因?yàn)閟irU=sin（%一（B+C））=sin（B+C）=sinScosC+cos5sinC,

代入上式可得：2（sin5cosC+cos5sinC-sin5cosC）=sinCsinS,

2cosBsinC=sinCsinfi,因?yàn)?。￡?,乃），所以sinCwO,得到2cosB=sin5,則tan5=2,故選項(xiàng)A正確.

對(duì)B,由taiR=2=1^,且sin2B+cos23=l,因?yàn)閠arR〉0,所以BE/］）,

可得cosB=，sinB=.

已知b=2c,由正弦定理得sinS=2sinC,貝（JsinC=——，cosC=

5

因?yàn)?e（O/）,所以/=].

設(shè)8c邊上的高為九=2,因?yàn)镹=工,h=csinS,已知〃=2,sio5=-----，貝!1°=布，b=2c=2#>,選

25

項(xiàng)B正確.

對(duì)C,因?yàn)?=1,6=20，C=V5，根據(jù)勾股定理0="2+°2=J(2遙＞+(病2=5,

VABC的周長(zhǎng)為0+Hc=5+2若+右=5+3石，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

對(duì)D,VA8C的面積S==L5x2=5,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

22

故選：AB.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，其中14題第一空2分，第二空3分.

12.若函數(shù)=的圖象在點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)(2,4),貝.

【答案】2

【詳解】因?yàn)?(x)=ax-『所以r(x)=a+j,則/'⑴=a+3,又〃1)=°-3,

所以切線方程為：y-a+3=(a+3)(x-l),

因?yàn)榍芯€方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4),

8/15

所以4—〃+3=(。+3乂2—1),

解得a=2.

故答案為：2

z.1n+1n

13.已知數(shù)列｛%｝滿足%=：,--------=2",則其通項(xiàng)公式為_(kāi)____.

2an+\an

【答案】?jī)?cè)吟

【詳解】不妨設(shè)1=一*則6—,

an

由6〃=6〃~bn_x+bn_l-bn_2+--+b2-bi+bx

―—2*…兀2(1-2〃T)

1-2

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)〃=1時(shí)滿足，故一=2",解得%=*,

an2

即數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式為％寧.

故答案為：見(jiàn)專(zhuān).

14.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另

外兩人中的任何一人.設(shè)第"次傳球后球在甲、乙、丙手中的概率依次為4，紇，G，〃eN*,則第3次傳

球后球在甲手里的概率4=，第〃次傳球后球在丙手里的概率G=.

【答案】：/。25

【詳解】由題設(shè)，當(dāng)球在甲手中，則傳給甲的概率為0,當(dāng)球不在甲手中，則傳給甲的概率為

11111

且4=0,4+1=AnxO+(l-An)x-=-(l-An)f即4+1=_§)，

又4-g=-g,即數(shù)列｛4-g是首項(xiàng)為-5公比為的等比數(shù)列，

所以4十一，"則故"W，

當(dāng)球在丙手中，則傳給丙的概率為o,當(dāng)球不在丙手中，則傳給丙的概率為

111111

且Q+1=CnxO+(l-CJx-=-(l-CJ,即=C),

又即數(shù)列｛C,「3是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，

36362

所以，易得。,一；=：(一；尸，則C"=；+：?(―!"[

9/15

故答案為：?g+g

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)幸得三月櫻花舞，從此阡陌多暖春.又到春暖花開(kāi)時(shí)，校園的櫻花如約而至.浸潤(rùn)在春風(fēng)里的櫻

花，絢爛柔美，青春美好，盡顯春日浪漫.師生共賞櫻花盛景，不負(fù)這盛世春光.每年櫻花季，若在櫻花樹(shù)下

流連超10小時(shí)，則稱為“櫻花迷”，否則稱為“非櫻花迷”.從全校隨機(jī)抽取30個(gè)男生和50個(gè)女生進(jìn)行調(diào)查,

得到數(shù)據(jù)如表所示:

櫻花迷非櫻花迷

男5m5

女402m

(1)求加的值；

(2)根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷“櫻花迷”與性別是否有關(guān)聯(lián)？

(3)現(xiàn)從抽取的50個(gè)女生中，用分層抽樣的方法抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中“非

櫻花迷”的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

2n[ad-bc^~

附：參考公式:,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中w=a+b+c+d.

a0.100.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【詳解】(1)由題意可得5機(jī)+5=30,解得m=5；......................................................................................1分

(2)零假設(shè)〃“櫻花迷”與性別無(wú)關(guān)聯(lián),

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到：2=80X(25X]0_5X40).=$0]37<6.635,.......................3分

30x50x65x15117

根據(jù)小概率值c=0.01的z2獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷〃。不成立，

即“櫻花迷”與性別無(wú)關(guān)聯(lián)；................................................................5分

(3)用分層抽樣方法抽取10人，貝廣櫻花迷”有8人，“非櫻花迷”有2人，

故X的可能取值為0,1,2,

3

則尸(X=0)=/C°C7尸(X=l)=舍d=57,尸(X=2)=c；c；1

...................................................7分

jo?0C1015

所以X的分布列為

X012

10/15

771

P

151515

11分

7713

故E（X）=0x—+lx—+2x—=—13分

V71515155

16.（15分）已知數(shù)列｛4｝滿足％=1,%=6,且對(duì)任意的〃22,WGN\都有%+I+%T=2%+3

⑴設(shè)6“=《用-?！埃笞C：數(shù)列｛，｝是等差數(shù)列，并求出其的通項(xiàng)公式;

⑵求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

213

（3）^cn=-an+-n-2f求的前〃項(xiàng)和&

（詳解]⑴由%+??_1=2%+3有an+1=2an-%+3,

所以%=2%+3,又q=1,a3=6,解得出=2,

又因?yàn)?=an+x-an=2an-an_x+3-a“=an-an_x+3=bn_t+3,即“一bn_x=3,3分

所以數(shù)列也｝是以公差為3,首項(xiàng)為4=%-q=2-1=1的等差數(shù)歹U,

所以4=1+（〃-1）x3=3〃-2,6分

（2）由⑴有6“=a“+]-a“=3〃一2,

所以a”_=3（〃—1）—2,a”——an_2=3（〃—2）—2,—a?=3x2—2,%—4=3x]—2,8分

上式相力口有%—%=3（〃一1）—2+3（〃一2）—2+…+3x2—2+3x1—2=

2

（77-1）（3H-4）3"-7〃+6

所以%=+1=-2—

2

*1、[3〃2—7〃+6

所以?！岸?——10分

,八七213c23〃2一7〃+613,/

（3）由⑵^c=-a+-n-2=-x---------------+——n-2=n（n+2）,

nn323v7

所以'=1111

12分

C”〃（〃+2）2nn+2

1IL111_____l_+j__1

所以??H-----二-1-------1------「J」++

g232435n-1H+1nn+2

3〃（/+3）

1+1-J

22〃+ln+22（幾+1）（〃+2），

所以心可3〃力（〃+3馬）

15分

17.（15分）如圖，在四棱錐尸—中，尸/，平面NBC。，BCLCD,ABIIDC,BC=CD=2,AB=4,

11/15

M,N分別為尸3,PC的中點(diǎn).

(1)若平面與直線PD交于點(diǎn)“，求器PH的值;

(2)若平面AMN和平面PCD所成角的余弦值為平，求點(diǎn)C到平面AMN的距離.

【詳解】(1)在平面48CA內(nèi)作ZS_L/B,

因?yàn)槭?_1_平面N8CD,48u平面/BCD,4s*u平面48CA,

所以尸N_LAB,尸/_L/S,2分

所以以A為原點(diǎn)，AB,AS,/P所在直線分別為x軸，了軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)P4=2a,AB//DC,BC=CD=2,AB=4,BCJ_CD,

8（4,0,0）,C（4,2,0）,尸（0,0,2a）,￡＞（2,2,0）,PD=（2,2,-2a）,

又；M,N分別為PB,尸C的中點(diǎn)，

：.AM^（2,0,a）,訴=（2,1,a）,設(shè)配=7而，

=AP+/LP5=（0,0,2a）+/l（2,2,-2a）=（2/l,2/l,2（l-A）a）,

AM)不共面，二存在實(shí)數(shù)x,V,使得屈=xN應(yīng)+y不，........................4分

即（22,2/1,2（1—2）a）=x（2,0,a）+y（2,1,a）=（2x+2y,y,ax+ay）,

2A=2x+2y

npH7

所以v22=y,解得石"所以訪十................................................................................7分

=ax+ay

(2)設(shè)平面4W的法向量為為=(r,s,f),

12/15

n-AM=2r+at=Q

，解得s=0,令"-a得/=2,

n-AN=2r+s+at=0

萬(wàn)=（一。,0,2）,......................................................................................................................................................9分

又?.?友=(2,0,0),DP=(-2,-2,2a),

設(shè)平面CDP的法向量為麗=（x,y,z）,

,解得x=0,令z=i得y="，

m?DP=-2x-2y+2az=0

.?.玩=(0，〃,l),......................................................................................................................................................11分

設(shè)平面ZMN和平面CD尸所成的角為e,

八\fi'm\2而"

???cos3=,,=,-----,

同HVa2+4>/a2+l5

整理得+5。2—6=o,,??a>()，:.a=\,........................................................................................................13分

■.■AC=(4,2,0),.-.t^=A=lV5，

\n\455

故點(diǎn)C到平面/AW的距離為g店.........................................................15分

22

18.（17分）已知橢圓E：=+J=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)為/（一2,0）,8（2,0）,焦距為2百.。為坐

ab

標(biāo)原點(diǎn)，分別過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)片，石作兩條平行直線，與E在x軸上方的曲線分別交于點(diǎn)P,Q.

（1）求橢圓E的方程；

（2）求四邊形尸耳鳥(niǎo)。的面積的最大值.

【詳解】（1）由已知得a=2,c=5則〃=/-c2=i,

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為片+廿=1.

.......................................................................................................................3分

4

(2)

如圖，設(shè)過(guò)點(diǎn)耳，巴的兩條平行線分別交橢圓于點(diǎn)尸，R和。，S,

利用對(duì)稱性可知，四邊形尸尺5。是平行四邊形，且四邊形的面積是口尸及S0面積的一半.....5分

13/15

顯然這兩條平行線的斜率不可能是0（否則不能構(gòu)成四邊形），可設(shè)直線網(wǎng)的方程為/：x=my-

代入￡：—+y2=1,整理得(小+4)/-20卯-1=0,顯然A>0,...........................................................7分

4'

2>/3m

m+4

設(shè)P（x”必），R（x2,y2）,則，9分

1

y^2=--

m+4

于是，IPR|=J]+冽2?J(必+%)2=J1+/?12m??4

(m2+4)2m2+4

+164(m2+l)

=J1+加2.11分

+4)2m2+4

—my+A/3=0的星巨離為d=/".

點(diǎn)鳥(niǎo)到直線/：尤

vm2+1

+

則四邊形PF內(nèi)。的面積為S=口尸劃，=！x4（"：+1）x*=4⑸、14分

22

22m+4yjm+1m-+4

,_____4^_4V34V3_

令:47萬(wàn)，貝心21,且蘇=?-1,代入得，=云萬(wàn)=5

當(dāng)/=/時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)Smax=2.17分

19.（17分）若定義域?yàn)?。的函?shù)y=/（x）滿足：非空集合/1。，Vxe/,若/⑺川，則稱/（X）是一個(gè)

/上的“非負(fù)函數(shù)"；若/'（xb。，則稱/（x）是一個(gè)/上的“非正函數(shù)”.

⑴分別判斷工（無(wú)）=lnx+5x+10,6（x）=e2-4x是否為定義域上的“非負(fù)函數(shù)”，并說(shuō)明理由.

⑵已知函數(shù)Mx)=；x3+4sinx-4x+a為[-1川上的“非負(fù)函數(shù)”，求a的取值范圍.

、*212231

(3)設(shè)〃EN*,且〃22,證明：cosl+cos—+cos—+cos—+???+cos—<n——+------.

325n2n+1

【詳解】(1)對(duì)于工(x)=lnx+5x+10,

定義域(0,+s),找一個(gè)x值代入看函數(shù)值正負(fù).

mx=e-2S<(。2)=1“2+563+