專題08絕對值

目錄導航

\________________/

預習目標.......................................................................................1

新課輕松學.....................................................................................1

新知速通.......................................................................................2

題型探究.......................................................................................3

題型1、求已知數的絕對值..............................................................3

題型2、已知絕對值求數或未知數.......................................................6

題型3、已知絕對值求參數的范圍.......................................................9

題型4、絕對值的概念及意義辨析.......................................................12

題型5、絕對值的非負性...............................................................15

題型6、絕對值的化簡求值.............................................................19

題型7、利用絕對值比較有理數的大小..................................................27

題型8、絕對值的實際應用.............................................................30

題型9、利用絕對值的幾何意義求最值..................................................36

基礎通關......................................................................................46

拓展提優(yōu)......................................................................................59

預習目標

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1.從數形兩方面理解絕對值的意義（代數意義和幾何意義）；

2.會求已知數的絕對值；會根據已知絕對值求未知數；體會分類討論思想；

3.運用絕對值的非負性解決問題；

4.能利用絕對值的幾何意義求最值，體會數形結合思想。

新課輕松學

\；_________________/

【思考1】下圖中點/與原點之間的距離是多少？點8與原點之間的距離是多少？

1/71

一3—2—1012

【思考2】在同一條數軸上畫出表示以下幾對數的點，從你所畫的數軸中觀察，這幾對點到原點的距離是多

少？你發(fā)現了什么？

①5與-502.5和-2.5

【思考3］一個數的絕對值與這個數有什么關系？

【絕對值的歷史起源】提起絕對值的起源，就需要從“現代分析學之父”的德國大數學家魏爾斯特拉斯

<iWeierstrass,1815-1897)說起，他于1841年提出絕對值的定義，距今不到200年的歷史。當然，你可能

覺得這個時間已經夠久遠了吧，但是我可以告訴你，我們所崇拜的歐拉，生于1707年，逝于1783年，就

是說，那個把無窮級數玩得賊溜，寫出了數學史上最多論文的大神，一輩子都沒有接觸過絕對值。比照這

些年份可以看出來，絕對值算是一個出現得非常晚的數學概念了。

新知速通

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L絕對值的概念

一般地，數軸上表示一個數〃的點與原點的距離叫做這個數的絕對值，記作問。

2.絕對值的非負性

1)取絕對值的結果總是正數或0.即：|?|>0o

2)任何數的絕對值總是非負數，如果幾個數的絕對值的和為0,則這幾個數都等于0,BP|a|+|b|+|c|=0,則

a=b=c=0.

3.絕對值的幾何意義

一個數。的絕對值就是數軸上表示數。的點與原點的距離。

離原點距離越遠，則這個數的絕對值就越大.離原點距離越近，這個數的絕對值就越小。

注意：①|a|=|a-0|表示數軸上點a的到原點的距離;@|a+b|=|a-(-b)|表示數軸上點a到點(-b)的距離。

4.絕對值的代數意義

一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。

2/71

即：（1）如果Q>0,那么同=。；（2）如果Q=0,那么同=0；（3）如果〃<0,那么同二—。.

q(q>0)

6Z(6Z>0)jq(q〉0)

可整理為：\a\=<0(a=0),或|。|或同

-a(q<0)[-6Z(6Z<0)

-a(Q<0)

注意：①若同=〃（或同-q=0）,則若同=-a（或|M+〃=0），則aW0.

②互為相反數的兩個數的絕對值相等.如：若|a|=|b|,則&4或2=上.

5.歸納

①絕對值等于它本身的數是：非負數;②絕對值大于它本身的數是：負數；

③絕對值等于它的相反數的數是：非正數;④絕對值最小的有理數是：_0_；

⑤絕對值最小的正整數是：_L；⑥絕對值最小的負整數是：二L.

引入絕對值這個概念，是為以后的數學轉化思想做準備，通過絕對值，將負數轉化為正數，這樣有理數加

法計算問題就可用小學時學的加法進行運算了

6.利用絕對值比較有理數大小的方法：

兩個數比較大小，按數的性質符號分類，情況如下:

同為正號：絕對值大的數大

兩數同號

同為負號：絕對值大的反而小

兩數異號正數大于負數

正數與0：正數大于0

一數為0

負數與0：負數小于0

注意：利用絕對值比較兩個負數的大小的步驟：

（1）分別計算兩數的絕對值；（2）比較絕對值的大??；（3）判定兩數的大小.

4=1

題型探究

題型1、求已知數的絕對值

4(4>0)

【解題技巧】數軸上表示數。的點與原點的距離叫做數。的絕對值，同=?0(Q=0)o

-a(a<0)

2023

例1.（2024七年級上?全國?專題練習）-部的絕對值是（）

2024

.2023c202320242024

A______B_____________D.-

2024,2024'20232023

3/71

【答案】B

【分析】本題主要考查了絕對值的定義，解題的關鍵是熟練掌握絕對值的定義.

根據絕對值的定義進行判斷即可.

【詳解】解：一息的絕對值是嵋,

故選：B.

例2.（2025?江蘇宿遷二模）下列說法正確的是（）

A.2025的絕對值是-2025B.2025的相反數是-2025

C.2025的倒數是D.2025的相反數的絕對值是-2025

【答案】B

【分析】本題考查了相反數、倒數、絕對值，熟練掌握這幾個定義是解題的關鍵.

根據相反數、倒數、絕對值的定義判斷即可.

【詳解】解：A.2025的絕對值是2025,故該選項錯誤；

B.2025的相反數是-2025,故該選項正確；

C.2025的倒數是圭，故該選項錯誤；

D.2025的相反數的絕對值是2025,故該選項錯誤.

故選B.

例3.（2025湖南株洲?三模）下列四個數中，絕對值最小的數是（）

A.—2B.—C.0D.1

2

【答案】C

【分析】本題主要考查有理數的絕對值，有理數大小的比較，解題的關鍵是掌握有理數絕對值的求法.

先求出各數的絕對值，然后進行比較即可得答案.

【詳解】解：?.?卜2|=2,-；=；,|0|=0,|1|=1,且2＞1＞（＞0,

絕對值最小的數是0.

故選：C.

例4.（24-25七年級上?福建漳州?期中）下列各組兩個數互為相反數的是（）

A.—（―3）和卜3|B.—（―3）和—1+3|

C.3和;D.—（+3）和—卜3|

4/71

【答案】B

【分析】本題考查相反數概念，化簡多重符號，化簡絕對值，解題的關鍵在于熟練掌握相關概念.先化簡

多重符號與絕對值，再結合相反數概念判斷各項，即可解題.

【詳解】解：A、-（-3）=3和卜3|=3,不互為相反數，不符合題意;

B、-（-3）=3和-|+3|=-3,互為相反數，符合題意;

C、3和!互為倒數，不符合題意；

D、-（+3）=-3和-卜3|=-3,不互為相反數，不符合題意；

故選：B.

變式1.（2025?江西撫州?二模）-/2025|的相反數是（）

B?/

A.-2025D.2025

【答案】D

【分析】本題考查了相反數與絕對值，掌握絕對值與相反數的意義是解題的關鍵；選求出絕對值，再求出

相反數即可.

【詳解】解：-|-2025|=-2025,而-2025的相反數為2025,

故選：D.

變式2.（2025?河南平頂山?三模）下列數軸上各點表示的數中絕對值最大的是（）

ABCD

i.i]I11i.ii.i1A

-5-4-3-2-1012345

A.點AB.點8C.點CD.點Z）

【答案】A

【分析】本題考查了絕對值的性質，屬于簡單題，熟悉絕對值的概念是解題關鍵.

根據絕對值的性質，一個數的絕對值表示這個數到原點的距離，即可解題.

【詳解】解：由圖可知N到原點的距離最大，

，數軸上各點表示的數中絕對值最大的是點4

故選：A.

變式3.（24-25七年級上,貴州遵義?階段練習）下列各式中，正確的是（）

A.|—5|=-15|B.|—5|=—5C.|—5|=|5|D.—卜5]=5

【答案】C

5/71

【分析】本題考查了絕對值的性質，根據絕對值的性質計算即可判斷求解，掌握絕對值是性質是解題的關

鍵.

【詳解】解：A、卜5卜凡該選項錯誤，不合題意；

B、|-5|=5,該選項錯誤，不合題意；

C、|-5|=|5|,該選項正確，符合題意；

D、-|-5|=-5,該選項錯誤，不合題意；

故選：C.

變式4.（24-25七年級上?江蘇南通?階段練習）下列各數中，互為相反數的是（）

A.-3）和/3|B.0.6和-

。.一-3和一（+^］D.-2和一卜2）

【答案】D

【分析】本題考查了多重符號的化簡，絕對值的化簡，相反數的概念，根據“奇負偶正”進行符號化簡，再根

據相反數的概念“只有符號不同的兩個數互為相反數”，由此即可求解.

【詳解】M：A.（-）-3=3,|-3|=3,原選項的兩個數不是相反數，不符合題意；

B、-（-|-0.6|）=0.6,原選項的兩個數不是相反數，不符合題意；

c、一一；=一；，一［+；］=一；原選項的兩個數不是相反數，不符合題意；

D、-（-2）=2,原選項的兩個數是相反數，符合題意；

故選：D.

題型2、已知絕對值求數或未知數

【解題技巧】若國=。，當。＞0時，x=+a當。=0時，x=0。

根據絕對值的意義，去掉絕對值，轉化為兩個一元一次方程，解方程即可。

例1.（24-25七年級上廣東廣州期中）若同=2025,貝lja=.

【答案】±2025

【分析】本題考查了絕對值的意義，掌握絕對值的意義是解題的關鍵.

根據絕對值的意義即可求解.

6/71

【詳解】解：?.?同=2025,

a=±2025,

故答案為：±2025.

例2.（2024七年級上?全國?專題練習）若同=5,且a<0,貝心=；若國=卜9|,貝卜=

【答案】-5±9

【分析】本題考查絕對值的意義，熟練掌握絕對值的意義是解題的關鍵；

根據絕對值的意義進行化簡計算即可求解；

【詳解】解：?.?問=5,

.'.47—5或—5,

<2<0,

a=—5/

,小HT，

二.國=9,

/.x=±9；

故答案為：-5；±9

例3.（24-25七年級上?河北保定?期末）若卜時=-；，則機的值為（）

A.；或-1B.；C.2或一2D.-2

222

【答案】A

【分析】本題主要考查了絕對值的意義，掌握絕對值的意義成為解題的關鍵.

根據絕對值的意義即可解答.

【詳解】解：

=,即冽的值為;或一;.

故選A.

例4.（23-24七年級上?河南鄭州?階段練習）已知|x-5|=|-3],則x的值為.

【答案】8或2/2或8

【分析】本題考查了絕對值方程，根據絕對值等于一個正數的數有2個求解即可.

【詳解】解:???|X-5H-3|,

7/71

|x—5|=3,

尤—5=3或x—5=-3,

，x=8或2.

故答案為：8或2.

變式1.（24-25七年級上山東濟南?階段練習）若同=6,貝1Jx=；|3-TT|=.

【答案］±6萬-3

【分析】直接根據絕對值的意義進行求解即可.

【詳解】解:??-|x|=6,.-.x=±6；

|3-司=萬-3;

故答案為±6；乃-3.

【點睛】本題主要考查絕對值，熟練掌握求一個數的絕對值是解題的關鍵.

變式2.（23-24七年級上?江蘇無錫?階段練習）若同=-“，貝。是；若|-x|=|-8|,則x

【答案】負數或零x=±8

【分析】根據絕對值的性質即可解決問題.

【詳解】若同=-口則a是負數或零；

若卜x月一8|,則尤=±8.

故答案為：負數或零；±8.

【點睛】本題考查了絕對值，解題的關鍵是記?。赫龜档慕^對值是它本身，負數的絕對值等于它的相反數,

0的絕對值等于0.

變式3.（23-24六年級下?黑龍江哈爾濱?階段練習）若卜2尤貝ljx=.

【答案】3或-3

【分析】本題考查了絕對值的意義，正確熟練掌握知識點是解題的關鍵.

直接取絕對值即可.

【詳解】B：|-2X|=|-6|

|2x|=6

|x|=3

8/71

「?X=3或-3.

故答案為：3或-3.

變式4.（23-24七年級上?江蘇無錫?期中）已知=貝心=.

【答案】2或0/0或2

【分析】本題考查絕對值方程，解題的關鍵是熟記絕對值的意義.

根據絕對值的意義即可求解.

【詳解】|a-l|=l

?,a—1—1a—1——1

「?a=2或0.

故答案為：2或0.

變式5.（24-25六年級下?黑龍江大慶期中）如果H=〃，則見〃的關系是（）

A.互為相反數B.m=±n,且〃>0

C.相等且都不小于0D.冽是〃的絕對值

【答案】B

【分析】本題主要考查絕對值，根據絕對值的非負性，結合等式帆|=〃，分析加與幾的關系.

【詳解】M：■.■\m\=n,

/.m=±n,且〃20,

故選：B.

題型3、已知絕對值求參數的范圍

【解題技巧】若間（或同-a=0）,則a，0,若|a|=-a（或同+a=0）,則aWO.

例1.（24-25七年級上?湖北十堰?期末）如果|a|=a,那么。是（）

A.正數B.非負數C.負數D.非正數

【答案】B

【分析】此題考查絕對值，解題關鍵在于掌握若。>0,則同=。；若a=0,則同=0；若a<0,則同直

接根據絕對值的意義求解即可.

【詳解】解：?.[a]=a,

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二。是非負數，

故選：B.

例2.（24-25七年級上?四川南充?期中）已知數。滿足|。-1卜1-貝心不可能為（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】本題考查了絕對值的意義，根據非負數的絕對值等于其本身，負數的絕對值等于其相反數，即可

解答，掌握絕對值的意義是解題的關鍵.

【詳解】解：=1-a,

a<\,

由選項可知A,B,C符合，D不符合，

故選：D.

例3.（24-25七年級上訥蒙古烏蘭察布期末）如|尤-5|+工-5=0,那么x的取值是.

【答案】x<5

【分析】本題考查了絕對值的化簡，求不等式的解集，正確理解絕對值的概念是解答本題的關鍵，絕對值

化簡方法為何.移項得卜-5|=5-X,根據絕對值的化簡方法，即可得到答案.

11[~a（a<0）?1

【詳解】v|x-5|+x-5=0

/.|x—5|=5—x

x-5<0

/.x<5.

故答案為：x<5.

例4.（24-25七年級上?北京?期中）若國-3=卜-3|成立，那么x的取值范圍是.

【答案】x>3

【分析】此題考查了絕對值的性質，根據題意得出國學3,得至卜23或xV-3,然后分情況驗證即可.

【詳解】?.?忖-3邛-3已0成立，

|x|>3

x>3^X<-3

10/71

.?.當x23時，國一3=x-3,上一3|=》一3,等式成立；

當xV-3時，國一3=一工一3,卜一3|=r+3,等式不成立；

綜上所述，x的取值范圍是x23.

故答案為：x>3.

變式1.（24-25八年級上?黑龍江綏化?期末）若x+|x|=O,貝卜一定是（）.

A.正數B.負數C,正數或零D.負數或零

【答案】D

【分析】本題考查絕對值的知識，根據一個數的絕對值是非負數，即可求解.

【詳解】解：?.?x+W=O

|x|=-x>0,

???X40,即無一定是負數或零

故選：D.

變式2.（23-24七年級上?陜西漢中,階段練習）若卜司=-優(yōu)，下列機的取值能使這個式子成立的是（）

A.-1B.1C.2D.m取任何數

【答案】A

【分析】根據絕對值的性質得到-加>0,即可判斷.

【詳解】解：?.[-同=-加，

-m>0,

'''m<0,選項中只有-1符合，

故選：A.

【點睛】此題考查了絕對值的性質：正數的絕對值是它本身，零的絕對值是零，負數的絕對值是它的相反

數，正確掌握絕對值的性質是解題的關鍵.

變式3.（24-25七年級上?浙江杭州?階段練習）如果|2-x|=x-2,那么x的取值范圍是（）

A.x>2B.x>2C.x<2D.x<2

【答案】B

【分析】此題考查了絕對值的非負性，根據絕對值的非負性求解即可.

【詳解】解:???|2-x|=x-2

11/71

??x—220

??x>2.

故選：B.

變式4.（23-24七年級上,全國?單元測試）若|。-4|=回+卜4|,貝IJ°的值是（）

A.任意有理數B.任意一個非負數C.任意一個非正數D.任意一個負數

【答案】C

【分析】本題考查絕對值性質.根據題意分三種情況，當a24時，當0<。<4時，當a40時，結合絕對值

性質討論求解，即可解題.

【詳解】解:當aN4時,|a-4|=a-4,|a|+|-4|=?+4,此時卜-4國a|+|-4|;

當0<a<4時，|tz-4|=-a+4,|a|+|-4|=tz+4,此時|a-4國4+|-4|;

當aW0時，|?-4|=-a+4,|a|+|-4|=-a+4,此時|a-4|=問+|-4];

所以當|。-4|=同+卜4|則a的值是任意一個非正數；

故選：C.

題型4、絕對值的概念及意義辨析

【解題技巧】絕對值的幾何意義：一個數。的絕對值就是數軸上表示數。的點與原點的距離。

絕對值的代數意義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；°的絕對值是°。

例1.（24-25七年級下?四川樂山?期中）下列表述中，正確的個數是（）

①任何數都有相反數；②0是最小的有理數；③存在絕對值最小的數；④絕對值是同一個正數的數有兩個，

它們互為相反數；⑤絕對值等于它相反數的數只有負數.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】本此題考查有理數，由相反數的定義、絕對值的定義和性質逐一分析，即可得出正確答案.相反

數的概念：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數；正數的絕對值是它本身，。的絕對值是0,負數的絕對

值是它的相反數.

【詳解】解：①相反數：數值相同，符號相反的兩個數，從而可知任何數都有相反數，故①正確；

②沒有最小的有理數，故②錯誤；

③絕對值最小的數是0,故存在絕對值最小的數，故③正確；

12/71

④負數的絕對值是正數，正數的絕對值是它本身，所以絕對值是同一個正數的數有兩個，它們互為相反數,

故④正確；

⑤絕對值等于它相反數的數是?；蜇摂?，故⑤錯誤；

所以正確說法有①③④，共3個.

故選：B.

例2.（24-25七年級上?江蘇宿遷?期中）下列說法正確的是（）

A.如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數相等

B.有理數a的倒數是工

a

C.一個數的絕對值一定大于或等于這個數

D.一個數的相反數一定小于或等于這個數

【答案】C

【分析】本題考查倒數，相反數，絕對值，根據倒數，相反數，絕對值的定義逐項判斷即可，熟練掌握相關

定義是解題的關鍵.

【詳解】解：如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數相等或互為相反數，則A不符合題意；

當。=0時，。沒有倒數，則B不符合題意；

一個數的絕對值一定大于或等于這個數，則C符合題意；

-2的相反數是2,而2>-2,則D不符合題意；

故選：C.

例3.（24-25七年級上?河北石家莊期末）下列說法：①。一定是非負數；②-卜。|一定是負數；③相反數

等于它本身的數是0；④絕對值大于它本身的數是負數.其中正確的序號為（）

A.（TX2）B.（2X3）C.①③D.③④

【答案】D

【分析】本題考查了正負數，相反數，絕對值等概念，根據正負數，相反數，絕對值等概念的意義和性質

求解即可.

【詳解】解：①。不一定是非負數，例如。=-1時，a是負數，故說法錯誤；

②-卜,不一定是負數，例如0=0時，-卜。|是0,故說法錯誤；

③相反數等于它本身的數是0,正確；

④絕對值大于它本身的數是負數，正確.

13/71

故選：D.

例4.（23-24七年級上.山東青島.期中）一個數的絕對值是它的倒數，這個數是（）

A.1B.-1C.0D.1^-1

【答案】A

【分析】根據絕對值和倒數的定義判斷即可.

【詳解】解：絕對值是它的倒數是L

故選A.

【點睛】本題考查了倒數和絕對值的定義，要注意乘積是1的兩數互為倒數.

變式1.（24-25七年級上?遼寧丹東期末）下列說法：①有理數的絕對值一定比0大；②如果兩個數相等,

那么這兩個數的絕對值一定相等；③如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數相等；④有理數絕對值越大,

離原點越遠.其中正確的有（）

A.2個B.1個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】本題考查了絕對值的性質，根據絕對值的性質進行判斷即可，掌握絕對值的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：①正數和負數的絕對值一定比0大，0的絕對值等于0,故①不符合題意；

②如果兩個數相等，那么這兩個數的絕對值一定相等，說法正確，故②符合題意；

③如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數不一定相等，也可能互為相反數，故③不符合題意；

④有理數絕對值越大，離原點越遠，說法正確，故④符合題意；

綜上，符合題意的有②④，共2個，

故選：A.

變式2.（2024七年級上?全國?專題練習）給出下面四種說法：①如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數

可能不相等；②一個數的絕對值等于它本身，這個數不是負數；③若阿|>加，則〃z<0；④如果|。|>同，那

么a>b.其中正確的是（）

A.①03）B.0X2）④C.①（M）D.②

【答案】A

【分析】本題考查了絕對值的意義和相反數的意義.根據相反數的性質，絕對值的意義逐項分析判斷即可

求解.

【詳解】解：①互為相反數的兩個數絕對值相等，那么這兩個數可能不相等，故①正確，符合題意；

②一個數的絕對值等于它本身，這個數不是負數，故②正確，符合題意；

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③若|司>",則機<0,故③正確,符合題意;

④若a>0,6>0,\a\>\b\,則a>b,若a<0,6<0,料>1,則a<6,故④不正確，不符合題意；

故選A.

變式3.（24-25七年級上山東濱州期末）下列結論中正確的是（）

A,正數和負數互為相反數B.絕對值是它本身的數是正數

C.有絕對值最小的有理數D.在數-1和0之間沒有負數

【答案】C

【分析】本題考查了正數和負數、相反數、絕對值和有理數的知識，掌握以上知識是解題的關鍵；

本題根據正數和負數、相反數、絕對值和有理數的知識，進行作答，即可求解.

【詳解】解：A、正數和負數互為相反數，錯誤，相反數要求數值相等且符號相反，例如3和-3,但任意

正數和負數（如2和-5）不一定互為相反數；

B、絕對值是它本身的數是正數，錯誤，非負數（包括0和正數）的絕對值等于自身，因此0也符合條件,

但0不是正數；

C、有絕對值最小的有理數，正確，絕對值最小的有理數是0,因為任何非零有理數的絕對值都大于0；

D、在數-1和0之間沒有負數，錯誤，-1和0之間的數（如-0.5）仍然是負數；

故選：C.

變式4.（23-24七年級上?江蘇南京?階段練習）已知小表示有理數，則網-機一定是（）

A,非正數B,非負數C.正數D.零

【答案】B

【分析】本題考查了絕對值.根據負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0,可得答案.

【詳解】解：羽是有理數，則國|-機一定是?；蛘龜?，

故選：B.

題型5、絕對值的非負性

【解題技巧】（1）同20。（2）根據絕對值的非負性“若幾個非負數的和為0,則每一個非負數必為0”,

即若|a|+|b|=0,則|a|=0且|6|=0。

例1.（24-25七年級上?山東威海?期末）若。是有理數，則下列說法正確的是（）

A.一。一定是負數B.同一定是正數C.十一定是負數D.同+1一定是正數

15/71

【答案】D

【分析】本題考查有理數的相關概念，絕對值的性質，關鍵是要牢記正負數的定義和絕對值的性質.根據

正負數的概念及絕對值的性質即可得出答案.

【詳解】解：A.若。是有理數，當。=0時，-°=0,0既不是正數，也不是負數，故本選項不合題意；

B.若。是有理數，則同20,故本選項不合題意；

C.若。是有理數，則-卜”歸0,故本選項不合題意；

D.因為同“，所以同+1>0,即時+1一定是正數，故本選項符合題意.

故選：D.

例2.（24-25七年級上?湖南長沙期末）卜+1|+（6-3）2=0,則a和6各為（）

A.-1,-3B.1,3C.1,-3D.-1,3

【答案】D

【分析】本題考查了絕對值的非負性，先根據|。+1|+伍-3）2=0,得|a+l|=0,（6-3）2=0,則0=-1/=3,

即可作答.

【詳解】解：小+1|+（6-3）2=0,

|a+l|=0,（Z>-3）2=0,

。+1=0,6—3=0,

/.a=-l,b=3,

故選：D.

例3.（24-25七年級下?北京期中）已知實數a,6滿足（a+6-1丫+|2a-6-@=。則a+b=.

【答案】1

【分析】本題考查了絕對值的非負性，根據（。+。-1）2+|2"。-?=。得〃+6=1,2"6=8,即可作答.

【詳解】解：（a+b-X^+\la-b-^=0

（a+b-以=0,|2"6-8|=G

a+b=lf2a-b=8,

故答案為：1

例4.（23-24七年級上?浙江杭州期中）式子心-7|-3的值可能是（）

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A.-10B.-7C.-4D.0

【答案】D

【分析】本題考查了絕對值的實際意義，關鍵是要結合選項來判斷結果.

根據絕對值的實際意義，非負數的性質，得到|X-7|-3±-3,結合四個選項，從而得到結果.

【詳解】M：Q|x-7|>0,

/.|x—71—3N—3,

根據四個選項中，前三項-10,-7,一4均小于-3,只有D選項。大于-3,

故選：D.

例5.（24-25七年級上福建龍巖?期末）如果x為有理數，式子2025Tx+4|存在最大值，這個最大值是（）

A.2025B.2024C.2023D.2022

【答案】A

【分析】本題考查的是絕對值的非負性的含義，理解卜+4上0是解本題的關鍵.

根據卜+4的最小值是0即可求解.

【詳解】解：???x為有理數，式子2025Tx+4|存在最大值，

，當歸+4|=0時，式子2025-歸+4|最大值為2025,

故選：A.

變式1.（23-24七年級上甘肅慶陽?階段練習）如果x,y表示兩個有理數，且忖+忖=0,則（）

/X.x,y互為非零的相反數B.x,y的符號相反

C.x,y的值有無數個D.x=y=0

【答案】D

【分析】本題考查絕對值的非負性，熟練掌握其性質是解題的關鍵.根據絕對值的非負性即可求得答案.

【詳解】解：?.?國+3=0,|x|,0,3」0,

x=y=0,

故選：D.

變式2.（2024七年級上?全國?專題練習）已知|尤-2|+61|=0,則x+y的相反數的絕對值為.

【答案】3

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【分析】本題考查了利用絕對值的非負性求參數，代數式求值.首先根據絕對值的非負性，列出方程求出X、

y的值，代入所求代數式計算，再根據相反數和絕對值的定義即可求得.

【詳解】解:■.■\x-2\+\y-l\=0,|x-2|>0,|y-l|>0,

x—2=0,y—1=0,

解得：x-2,y=1,

貝尤+y=2+1=3,

:3的相反數為-3,

的相反數為-3.

則x+y的相反數的絕對值為卜3|=3.

故答案為3.

變式3.（2024七年級上?全國?專題練習）已知|x-2|+|y-3|+|z-4|=0,則x,八z的值分別是.

【答案】x=2,y=3,z=4

【分析】本題主要考查了絕對值的非負性，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵.

任何數的絕對值都是非負數，若幾個非負數的和為零，則每個非負數分別為零，據此即可求解.

【詳解】V|x-2|>0,|y-3|>0,|z-4|>0,且,_2|+卜_3|+歸_4|=0,

|^-2|=0,|y-3|=0,|z-4|=0,

x=2,y=3,z=4.

故答案為：x=2,y=3,z=4.

變式4.（24-25七年級上,四川德陽期末）當日機+7卜5的值最小時，機=.

【答案】、7

【分析】此題主要考查了絕對值的非負性.根據絕對值的非負性可知|2機+7,0即可解答.

【詳解】I?：???|2m+7|>0,

|2/H+7|—5>—5,

7

此時倡刃+7|=0時，|2加+7卜5的值最小，貝

7

故答案為：一萬.

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變式5.（2024七年級上?全國?專題練習）如果x為有理數，式子2026Tx-2026|存在最大值，這個最大值

是（）

A.2026B.4049C.20D.0

【答案】A

【分析】本題考查的是非負數的性質-絕對值，根據絕對值的非負性，可知卜-2026|20,得出式子

2026Tx-2026|存在最大值，即可選出答案.

【詳解】解：因為絕對值具有非負性，

所以|x-2026,0,

所以2026Tx-2026區(qū)2026,

所以當卜-2026|=0時，式子有最大值，此時的值是2026.

故選：A.

題型6、絕對值的化簡求值

【解題技巧】絕對值化簡步驟：①判斷絕對值符號里式子的正負；②將絕對值符號改為小括號：若正數，

絕對值前的正負號不變（即本身）；若負數，絕對值前的正負號改變（即相反數）；③去括號：括號前是

“十”，去括號，括號內不變；括號前是“一”，去括號，括號內各項要變號；④化簡。

注意：注意去絕對值符號時與去括號時是否需要變號，及變號的正確性。

例1.（23-24七年級下?湖北孝感?階段練習）若0Va<l,貝力4+|。-1|=.

【答案】1

【分析】本題考查絕對值的化簡，先根據題意確定1<0,然后化簡絕對值即可求解.

【詳解】解：

Q—1<0,

.,.阿+,—1|—+1—4=1,

故答案為：1.

例2.（23-24七年級上廣東廣州?階段練習）若。<3,化簡4-|2a-6|二

【答案】2a-2.

【分析】在解題中根據a<3,2a<6,2a-6<0,然后去掉絕對值符號，即可得出結果.

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【詳解】-.-aO,2a<6,2a-6<0

■--4-|2a-6|=4-（6-2a）=2a-2

故答案為2a-2.

【點睛】此題考查絕對值，解題關鍵在于判斷式子的大小.

例3.（2025?河北唐山?二模）若代數式卜-2|+|3-x|可以按照如下的方式化簡，則x的值可以是（）

|x-2|+13-x|=x-2+3-x=1.

A.41B.V3C.45D.Ji

【答案】C

【分析】本題主要考查絕對值的化簡規(guī)則以及無理數的估算.根據絕對值內式子的正負性來去掉絕對值符

號，是解題的關鍵.

先依據絕對值性質，分別分析匕-2|與|3-x|在何種情況下可化為給定化簡式中的形式，確定尤的取值范圍，

再據此判斷選項中符合該范圍的x值.

【詳解】原式|x-2|+|3-x|的化簡過程為：

|x—2|+13—x|=（x—2）+（3—x）=1

要使該化簡成立，需滿足以下兩個條件：

x-220且3-xNO解得，24尤43

A：1<72<2,不滿足條件.

B：1<V3<2,不滿足條件.

C：2<V5<3,介于2和3之間，滿足條件.

D：3<K<4,不滿足條件.

故選：C

例4.（23-24七年級上,山西忻州?期末）數a,b,c在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡卜-c|的結

果為（）

A.—a+b—cB.—a—Z?+cC.a+6—cD.ci—b+c

【答案】B

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【分析】此題考查了運用數軸上的點表示實數和絕對值化簡的應用能力，關鍵是能準確理解并運用以上知

識進行變形、求解.運用數軸上的點表示實數和絕對值的性質進行化簡、計算.

先確定Ac的符合以及大小，然后再取絕對值即可.

【詳解】解：由題意得，a<0<b<c,-a>0,b—c<0,

+=-a-(b-c)=-a-b+c,

故選：B.

例5.(24-25七年級上?江蘇泰州?期中)有理數〃、b、c在數軸上的位置如圖所示.

ba0c

⑴用‘>”、"<"或‘'="填空：ab,ac；

(2)則,“-|c-N+卜-c|化簡后=.

【答案】(1)><

(2)-2a

【分析】(1)根據點在數軸上的位置及有理數大小比較方法即可得到兩個數的大小關系；

(2)由(1)的結論可確定絕對值符號里各式的符號，從而可脫去絕對值，最后化簡即可.

【詳解】(1)解：由數軸可知：b<a<O<c,

所以a>b,a<c,

故答案為：>,<；

(2)由(1)知，a+Z><0,c—b>0,a-c<0,

;Ja+Z>]一|c—母+|a—4

——(a+b)—(c—6)—(q—c)

二-a—b—c~\~h—Q+C

=—2a；

故答案為：—2a.

【點睛】本題考查了絕對值的化簡，有理數大小的比較，有理數加減運算，整式的加減等知識，根據數軸

確定式子的符號是關鍵.

例6.(2025八年級下?全國?專題練習)如果x<"0,那么化簡田+⑷的結果是()

xxy

A.0B.-2C.2D.3

【答案】A

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【分析】此題主要考查絕對值的化簡和分式的運算，先根據絕對值的性質去掉絕對值，再約分化簡即可.

【詳解】解：,；x<y<0,

.,.盯>0,

...區(qū)+⑷=二+丑=_1+1=0

xxyxxy

故選：A.

abab

例7.（23-24七年級上?浙江紹興?階段練習）如果口30,那么向+網+同的值是（）

A.±l或3B.-1或3C.1或3D.±1或-3

【答案】B

【分析】本題考查的絕對值的應用，以及化簡求值.根據曲片0,即°、6全為正數時，或0、6為一正一負

時，或.、6全負時分類討論計算即可.

【詳解】解：?.?油片0,

...設。>0,6>0時,

abab

---1----1----=1+1+1=3,

|a|\b\|ab\

Q>0,6<0或。<0,b>0時,

abab、<，<abab

——+——+=1-1-1=-1-1+1-1=-1

|a||b||ab\

Q<0,Z?<0時,

abab,

二.——+——+---=-14-14+1=-1

|a||b||ab\

abab^

綜上可得:---1----1----=3或—1

\a\\b\\ab\

故選:B.

例8.（23-24七年級上?山東濰坊?期末）已知有理數Q,b,c滿足〃+b+c=