2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新1卷）

★祝大家學(xué)習(xí)生活愉快*

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)，試室號(hào)，座位號(hào)填寫

在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型和考生號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再填涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)

位置上：如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按

以上要求作答的答案無(wú)效.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)

選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.（l+5i）i的虛部為（）

A.-1B.0C.1D.6

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則以及虛部的定義即可求出.

【詳解】因?yàn)椋╨+5i）i=i+5i2=-5+i,所以其虛部為1,

故選：C.

2.設(shè)全集。=卜卜是小于9的正整數(shù)},集合/={1,3,5},則令/中元素個(gè)數(shù)為（）

A.0B.3C.5D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義即可求出.

【詳解】因?yàn)椤?{1,2,3,4,5,6,7,8},所以用2={2,4,6,7,8},①/中的元素個(gè)數(shù)為5,

故選：C.

3.若雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為實(shí)軸長(zhǎng)的J7倍，則C的離心率為（）

A.V2B.2C.V?D.242

第1頁(yè)/共31頁(yè)

【答案】D

【解析】

【分析】由題可知雙曲線中的關(guān)系，結(jié)合/+〃=C2和離心率公式求解

【詳解】設(shè)雙曲線的實(shí)軸，虛軸，焦距分別為2a,2d2c,

由題知，b=5a，

于是/+〃=c~=a2+IcT=8a2,貝1Jc=2>/2tz,

即e=￡=2A/2.

a

故選：D

4.若點(diǎn)(a,0)(a>0)是函數(shù)y=2tan的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，則。的最小值為()

兀714兀

B.-D.

32T

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱中心的結(jié)論求解.

-7TJTKTT

【詳解】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，y=2tan(x-])的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)滿足x-1=萬(wàn),比eZ,

即y=2tan(x—y)的對(duì)稱中心是+—,0J,A:GZ,

即日n。=—兀I---，1JeZ1,

32

TT

又a>0,則左=0時(shí)。最小，最小值是一，

3

即a=巴.

3

故選：B

5.設(shè)/'(x)是定義在R上且周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)24xW3時(shí)，/(x)=5-2x,則/

【答案】A

【解析】

第2頁(yè)/共31頁(yè)

【分析】根據(jù)周期性和奇偶性把待求自變量轉(zhuǎn)化為［2,3］的范圍中求解.

【詳解】由題知/(%)=/(-x),/(x+2)=/(x)對(duì)一切xeR成立，

于是/(一一3)=/(31)=/(171)=5—2x171=—1

44442

故選：A

6.帆船比賽中，運(yùn)動(dòng)員可借助風(fēng)力計(jì)測(cè)定風(fēng)速的大小和方向，測(cè)出的結(jié)果在航海學(xué)中稱為視風(fēng)風(fēng)速，視風(fēng)

風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量之和，其中船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)

應(yīng)的向量大小相等，方向相反.圖1給出了部分風(fēng)力等級(jí)、名稱與風(fēng)速大小的對(duì)應(yīng)關(guān)系.已知某帆船運(yùn)動(dòng)員在

某時(shí)刻測(cè)得的視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量如圖2(風(fēng)速的大小和向量的大小相同)，單位(m/s),

則真風(fēng)為()

等級(jí)風(fēng)速大小m/s名稱

21.6?3.3輕風(fēng)

33.4?5.4微風(fēng)

45.5?7.9和風(fēng)

58.0?10.7勁風(fēng)

A.輕風(fēng)B.微風(fēng)C.和風(fēng)D.勁風(fēng)

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合題目條件和圖2寫出視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量和船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，求出真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量,

得出真風(fēng)風(fēng)速的大小，即可由圖1得出結(jié)論.

【詳解】由題意及圖得，

視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為：n=(0,2)-(3,3)=(-3,-1),

視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量之和，

第3頁(yè)/共31頁(yè)

船速方向和船行風(fēng)速的向量方向相反，

設(shè)真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為，，船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為%,

，船行風(fēng)速：％=-［（3,3）-（2,0）］=（-1,一3）,

*,?=〃-%=（-3,-1）-（-1,-3）=（-2,2）,

同=^（-2）2+22=2艮2.828，

...由表得，真風(fēng)風(fēng)速為輕風(fēng)，

故選：A.

7.若圓_?+3+2）2=/&＞（））上到直線了=屈+2的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，則r的取值范圍是

A.(0,1)B.(1,3)C.(3,+QO)D.(0,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】先求出圓心￡（0,-2）到直線^=瓜+2的距離，然后結(jié)合圖象，即可得出結(jié)論.

【詳解】由題意，

在圓/+（y+2）2=/任〉0）中，圓心￡（0,—2）,半徑為廠，

到直線y=6x+2的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，

|0xV3-(-2)xl+2|

?.?圓心￡（0,—2）到直線了=瓜+2的距離為：d=

+(-

當(dāng)尸二1時(shí),

圓x2+（y+2『=/&〉（））上有且僅有一個(gè)點(diǎn)（人點(diǎn)）至U直線》=屈+2的距離等于1；

第4頁(yè)/共31頁(yè)

當(dāng)尸=3時(shí),

圓/+（了+2）2=/位〉0）上有且僅有三個(gè)點(diǎn)（B,C,D點(diǎn)、）到直線^=瓜+2的距離等于1；

當(dāng)則，一的取值范圍為（1,3）時(shí)，

圓Y+（y+2）2=/位〉o）上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線y=瓜+2的距離等于1.

故選：B.

8.若實(shí)數(shù)x,y,z滿足2+log2X=3+log3y=5+log5Z,則x,修z的大小關(guān)系不可能是（）

A.x>y>zB.x>z>y

C.y>x>zD,y>z>x

【答案】B

【解析】

【分析】法一：設(shè)2+log2X=3+log3歹=5+log5Z=加，對(duì)用討論賦值求出x,y,z,即可得出大小關(guān)系，

利用排除法求出；

法二：根據(jù)數(shù)形結(jié)合解出.

【詳解】法一：設(shè)2+log2X=3+log3y=5+log5z=加，所以

.1,1

令加=2,則x=l,y=3T=—,2=5'=一，此時(shí)x〉y〉z(mì),A有可能；

3125

令加=5,則x=8,y=9,z=1,此時(shí)歹>%>z,C有可能；

令m=8,則x=26=64,y=35=243,z=53=125,此時(shí)>>z>x,D有可能；

故選：B.

法二：設(shè)2+log2X=3+log3y=5+log5Z=加，所以，x=2m~2,y=3m~3,z=5m~5

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，易知各方程只有唯一的根，

作出函數(shù)>=214=3尸3,y=5廠5的圖象，以上方程的根分別是函數(shù)歹=2廠2,>=3、-3,y=5,5的圖象與

直線X=7"的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，如圖所示：

第5頁(yè)/共31頁(yè)

x>y>z,y>x>zty>z>x,z>y>x,

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在正三棱柱48C—44G中，。為5c中點(diǎn)，則（）

A.AD±AXCB.平面24。

C.ADHA.B,D,。。"/平面力4。

【答案】BD

【解析】

【分析】法一：對(duì)于A,利用空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算即可判斷；對(duì)于B,利用線面垂直的判定與

性質(zhì)定理即可判斷；對(duì)于D,利用線面平行的判定定理即可判斷；對(duì)于C,利用反證法即可判斷；法二：根

據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐一分析判斷各選項(xiàng)即可得解.

【詳解】法一：對(duì)于A,在正三棱柱48C—44cl中，44],平面45。,

又4Du平面48C,貝則4^彳方=0,

因?yàn)閂/BC是正三角形，。為中點(diǎn)，則則①.而=0

=A^A+AD+CD,

所以而.赤=（聾+赤+畫）?而=有.赤+4?+函.而=而2w0,

第6頁(yè)/共31頁(yè)

則4c不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)樵谡庵鵑BC—44G中，44],平面ABC,

又BCu平面/BC,則Z4,8C,

因?yàn)閂/8C是正三角形，。為8c中點(diǎn)，則ZD18C,

又幺4口/。=4四,/Qu平面力4。，

所以5C,平面故B正確；

對(duì)于D,因?yàn)樵谡庵?BC—44G中，CCJ/AA,

又U平面440，。。1仁平面幺4。，所以CC"/平面幺4。，故D正確;

對(duì)于C,因?yàn)樵谡庵鵄BC—44G中，A.BJ/AB,

假設(shè)2。〃4片，則4D//45,這與=z矛盾，

所以用不成立，故C錯(cuò)誤；

故選：BD.

法二：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正三棱柱的底邊為2,高為力，

則力（0,0,0）,/（8,0,0），4（60,〃）,。（0,-1,0）,。1（0,-1,A\B（0,1,0Ml（,1,/z）,

對(duì)于A,AD=（-V3,0,0），4C=,

則礪.4=（一百）x（—網(wǎng)+0=3w0,

則4c不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于BD,5C=（0,-2,0）,CC；=（0,0,/z）,石=（0,0,/z）,AD=（—6,0,0）,

設(shè)平面NZQ的法向量為乃=（x,y,z）,

第7頁(yè)/共31頁(yè)

AA.-n=hz=0/、

則｛___,廠，得x=z=O,令y=l,則萬(wàn)=(0,1,。),

4D?萬(wàn)=-j3x=0

_____?UUULX

所以BC=(O,—2,0)=—2方,CG.〃=(),

則8CL平面44]。，。。"/平面44/）,故BD正確;

對(duì)于c,而=卜月,0,0）,福=（—G/,o卜

顯然2?！?與不成立，故C錯(cuò)誤;

故選：BD.

3

10.設(shè)拋物線C:y2=6x的焦點(diǎn)為尸，過尸的直線交C于/、B,過尸且垂直于48的直線交/：X=—-于

2

E,過點(diǎn)/作準(zhǔn)線/的垂線，垂足為。，則（）

A.\AD^AF\B.\AEy\AB\

C.MS|>6D.\AE\-\BE^

【答案】ACD

【解析】

3

【分析】對(duì)于A,先判斷得直線/：x=—-為拋物線的準(zhǔn)線，再利用拋物線的定義即可判斷；對(duì)于B,利用

2

三角形相似證得N/EB=90。，進(jìn)而得以判斷；對(duì)于C,利用直線的反設(shè)法（法一）與正設(shè)法（法二），聯(lián)

立直線48與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理與焦點(diǎn)弦公式可判斷C；利用利用三角形相似證得

|^|2=|^F|-|^5|,=\BF\-\AB\,結(jié)合焦半徑公式可判斷D.

【詳解】法一：對(duì)于A,對(duì)于拋物線C:/=6x,

則0=3,其準(zhǔn)線方程為x=—焦點(diǎn)/||,o],

則|40|為拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，|4F|為拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，

第8頁(yè)/共31頁(yè)

由拋物線的定義可知，\AD\^AF\,故A正確；

對(duì)于B,過點(diǎn)5作準(zhǔn)線/的垂線，交于點(diǎn)尸，

由題意可知，/,EFLAB,則NADE=ZAFE=90°,

又|ZD|=|Z尸|AE|=|AE|,所以YADE虢AFE,

所以ZAED=ZAEF,同理NBEP=NBEF,

又ZAED+/AEF+ZBEP+ZBEF=180°,

所以ZAEF+ZBEF=90°，即ZAEB=90°,

顯然45為AZBE的斜邊，貝U|/￡|<|48],故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,易知直線48的斜率不為0,

設(shè)直線48的方程為x=+g,2（再,必）,8（%2，%），

[3

x=mv+—,

聯(lián)立彳-2,得「―6掰7—9=0,

y=6x

易知A>0,則％+y2=6”仍=-9,

033

又X]=myx+—,x2=my2+—,

所以|AB|=X]+》2+）=加（必+%）+3+3=6掰2+626,

當(dāng)且僅當(dāng)加=0時(shí)取等號(hào)，故C正確；

對(duì)于D,在RtZ\48E與Rb/E尸中，NBAE=NEAF,

AE瞿，^\AE^\AF\.\AB\,

所以PAAABE?,則——

AB

同理忸=忸下卜]48|,

第9頁(yè)/共31頁(yè)

X\AF\-\BF\=+1J[2+1]=（吵+3乂叼2+3）

222

=myry2+3加（必+）^）+9=-9m+18m+9=9（加？+1）,

\AB\—6m2+6=6（加2+1）,

222

所以|第2.忸￡/二忸司.恒/H叫2=9（m+l）x36（m+l）,

]_3

則|第,|即=3"+1）八6"+1）=18"+呼218,故D正確.

故選：ACD.

法二：對(duì)于A,對(duì)于拋物線C:/=6x,

則0=3,其準(zhǔn)線方程為x=—9，焦點(diǎn)/]|,o]，

則|40|為拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，|/刊為拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,

由拋物線的定義可知，|40|=|/尸1，故A正確；

對(duì)于B,過點(diǎn)3作準(zhǔn)線/的垂線，交于點(diǎn)P,

由題意可知ADLl,EFLAB,則ZADE=ZAFE=90°,

又|ADHN尸I，|AE|=|AEI,所以Y4DE@Y4FE,

所以NAED=ZAEF,同理NBEP=ZBEF,

又ZAED+ZAEF+ZBEP+ZBEF=180。，

所以ZAEF+ZBEF=90°，即ZAEB=90°,

顯然48為A4BE的斜邊，貝故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)直線48的斜率不存在時(shí)，|/理=20=6；

第10頁(yè)/共31頁(yè)

當(dāng)直線45的斜率存在時(shí)，設(shè)直線48方程為y="x-g

尸不一]

/、9

聯(lián)立,消去V,得產(chǎn)——(3左2+6卜+1左2=0,

,2=6x

69

易知A>0,貝X]+%2=3+必~,石工2=~

所以,同=左左2

J1+2|%1—%2|=J1+2X+x2)-4XJX2

2

=Jl+\2X3+-9=6>6，

綜上，|48|26,故C正確;

對(duì)于D,在RtZ148E與RG/E尸中，NBAE=NEAF,

軍一唱，即ME「=”H四，

所以RtA48￡?RS4E/，則

AB

同理忸=忸外|2同,

\AB\^6,|^|=|^|=||^5|=3

當(dāng)直線48的斜率不存在時(shí),;

所以|ZE「?忸￡/=忸司.以外以8「=3x3x62,即以斗忸國(guó)=18；

當(dāng)直線48的斜率存在時(shí)，以同=61+

西+|*

\AF\-\BF\=

93+屋9

——I—3+

424

2

所以|ZE0忸=\BF\-\AF\-\AB^=9\1+x36

13

2

則|‘斗忸￡|=31+X6二18>18；

綜上，［4￡|?忸￡歸18,故D正確.

第11頁(yè)/共31頁(yè)

故選：ACD.

11.已知V4SC的面積為,，若cos2/+cos25+2sinC=2,cos/cosBsinC=工，則()

44

A.sinC=sin2A+sin2BB.AB=6

c.sin^+sin5=—D.AC2+BC2=3

2

【答案】ABC

【解析】

JT

【分析】對(duì)cos2/+cos28+2sinC=2由二倍角公式先可推知A選項(xiàng)正確,方法一分情況比較Z+8和一

2

的大小，方法二亦可使用正余弦定理討論解決，方法三可結(jié)合射影定理解決，方法四可在法三的基礎(chǔ)上，

利用和差化積公式，回避討論過程;，然后利用cosZcosBsinC=L算出43取值，最后利用三角形面積

4

求出三邊長(zhǎng)，即可判斷每個(gè)選項(xiàng).

【詳解】cos2^+cos25+2sinC=2,由二倍角公式，l-2sin2^4+l-2sin25+2sinC=2，

整理可得，sinC=sin2A+sin2B?A選項(xiàng)正確；

由誘導(dǎo)公式，sin(4+5)=sin(7i-C)=sinC,

展開可得sin/cos5+sin5cos4=sin2^4+sin25，

即sin/(sinA-cosB)+sin5(sinB-cosZ)=0,

下證C=4.

2

方法一：分類討論

7T

若/+5=—,貝1Jsin4=cosB,sin8=cos4可知等式成立；

2

JT7T

若/+5<—,即/<——B,由誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，siny4<cos5,同理sinBvcos/,

22

又sin/>O,sinB>0,于是5m/(5吊4一(：058)+51118(5吊5-005/)<0,

7T

與條件不符，則4+5〈一不成立；

2

TT7T

若Z+5〉一，類似可推導(dǎo)出sinZ(sinZ—cos8)+sin8(sinB-cosZ)〉0,則/+8〉一不成立.

22

JTJT

綜上討論可知，A+B=-,即。=—.

22

方法二：邊角轉(zhuǎn)化

第12頁(yè)/共31頁(yè)

sinCusidZ+sidB時(shí)，由Ce(O,兀)，貝〕JsinCe(0,1],

于是1xsinC=sir?Z+sin282sin2c，

222

由正弦定理，a+b>c^

TT

由余弦定理可知，cosC>0,則。€(0,萬(wàn)可

若。€(0,女)，則2+8〉巴，注意到cosZcosBsinC=!，貝!Icos/cos5>0,

224

于是cosZ〉0,cos8〉0(兩者同負(fù)會(huì)有兩個(gè)鈍角，不成立)，于是

717r71I71i

結(jié)合2+8〉一=/〉一一B,而4——3都是銳角，貝!]sinZ〉sin|——B=cos5>0,

22212)

于是sinC=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，這和sinC<1相矛盾,

TTTT

故Ce(0,g)不成立，則

22

方法三：結(jié)合射影定理(方法一改進(jìn))

由sinC=sin2A+sin2B，結(jié)合正弦定理可得，c=asinZ+bsinB，由射影定理可得。=acosB+bcos/，

于是asinA+bsmB=acosB+bcosA,

jr

則。6吊2-(：058)+6缶E8-(：052)=0,可同方法一種討論的角度，推出Z+3=—，

2

方法四：和差化積(方法一改進(jìn))

續(xù)法三：

tz(sinA-cosB)+6(sinB-cos^4)=0,可知sin/-cos8,sin8-cosZ同時(shí)為0或者異號(hào)，即

(sinA-cos5)(sinB-cos74)<0,展開可得，

sinAsinB-sinAcosA-cos5sin5+cosAcosB<0*

即cos(Z—8)—g(sin2Z+sin2B)<0,結(jié)合和差化積，cos(Z—5)(1—sin(4+5))<0,由上述分析，

則N—Be]—名3，則cos(N—8)20,則1—sin(Z+8)<0,即sinCNl,于是sinC=l,

可知C=巴.

2

1兀1

由cosZcosBsinC=—=cosZcosB,由Z+8=—,則cos8=sinZ,即sinZcosZ=—,

424

第13頁(yè)/共31頁(yè)

則sin2/=^,同理sin28=L,由上述推導(dǎo)，0,-,則2423e（0,7r）,

22k2j

TTSjT7TSjT

不妨設(shè)/<5,則2Z=2,28=H,即Z=2B=H,

661212

由兩角和差的正弦公式可知sin土+sin2=避二史+固上2="，C選項(xiàng)正確

1212442

由兩角和的正切公式可得，tan—=2+V3,

12

設(shè)5C=/,ZC=（2+G）/,則28=（挺+布），

由S“BC=L（2+G）/=1,則/=4—2」=［正』,則（=

aABC24422

\7

于是AB=函+6）t=也,B選項(xiàng)正確，由勾股定理可知，AC2+BC2=2，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.

12.若直線y=2x+5是曲線y=e'+x+a的切線，則。=.

【答案】4

【解析】

【分析】法一：利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算求得切點(diǎn)，進(jìn)而代入曲線方程即可得解；法二：利

用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算得到關(guān)于切點(diǎn)(為,%)與。的方程組，解之即可得解.

【詳解】法一：對(duì)于y=e'+x+a,其導(dǎo)數(shù)為了=e'+l,

因?yàn)橹本€y=2x+5是曲線的切線，直線的斜率為2,

令y'=e'+l=2,即e，=l,解得x=0,

將x=0代入切線方程y=2x+5,可得歹=2x0+5=5,

所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5),

第14頁(yè)/共31頁(yè)

因?yàn)榍悬c(diǎn)(0,5)在曲線y=d+x+a上,

所以5=e°+0+a，即5=1+。，解得a=4.

故答案為：4.

法二；對(duì)于y=e*+x+a,其導(dǎo)數(shù)為y'=e'+l,

假設(shè)y=2》+5與^=e*+x+a的切點(diǎn)為(須),%)),

d。+1=2

則<NO=2XO+5,解得。=4.

x

Jo=e°+x0+a

故答案為：4.

13.若一個(gè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前4項(xiàng)和為4,前8項(xiàng)和為68,則該等比數(shù)列的公比為.

【答案】2

【解析】

【分析】法一:利用等比數(shù)列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和的定

義，得到關(guān)于q的方程，解之即可得解；法三：利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和性質(zhì)得到關(guān)于q的方程，解之即可

得解.

【詳解】法一：設(shè)該等比數(shù)列為｛%｝,S"是其前〃項(xiàng)和，貝|S4=4,S8=68,

設(shè)｛%｝的公比為q(q>o),

當(dāng)q=l時(shí)，54=4^=4,即q=1,則S8=8%=8W68,顯然不成立，舍去；

,,,名(l-q,)a,(l-o8)

當(dāng)qw1時(shí)，則s=』-----4,風(fēng)=—---------=68，

\-q\-q

兩式相除得上M=竺，即

1-/41-/

則1+/=17,所以q=2,

所以該等比數(shù)列公比為2.

故答案為：2.

法二：設(shè)該等比數(shù)列為｛%｝,J是其前〃項(xiàng)和，則邑二與以=68,

設(shè)｛%｝的公比為q(q>0),

第15頁(yè)/共31頁(yè)

所以5*4=%+%+%+。4=4,

58=4]+。2+。3+。4+。5+。6+。7+。8

4444

=%+%+%+%+。狩+a2g+。3g+44g

=(%+/+%+%)(]+/)=68,

所以4(1+/)=68,則1+/=17,所以q=2,

所以該等比數(shù)列公比為2.

故答案為：2.

法三：設(shè)該等比數(shù)列為｛%｝,s〃是其前〃項(xiàng)和，則54=4,1=68,

設(shè)｛%｝的公比為q(q>0),

因?yàn)镾g—5=%+%+%+W=(%+%+%+%)/=68_4=64,

又邑=%+%+%+%=4,

所以啖1=4=7=16,所以q=2,

4

所以該等比數(shù)列公比為2.

故答案為：2.

14.一個(gè)箱子里有5個(gè)相同的球，分別以1?5標(biāo)號(hào)，若每次取一顆，有放回地取三次，記至少取出一次的球

的個(gè)數(shù)X,則數(shù)學(xué)期望E(X)=.

【答案】—##2.44

25

【解析】

【分析】法一：根據(jù)題意得到X的可能取值，再利用分步乘法原理與古典概型的概率公式求得X的分布列，

從而求得E(X)；法二，根據(jù)題意假設(shè)隨機(jī)變量X,,利用對(duì)立事件與獨(dú)立事件的概率公式求得￡(X,),進(jìn)

而利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)求得E(X).

【詳解】法一：依題意，X的可能取值為1、2、3,

總的選取可能數(shù)為53=125，

其中X=l：三次抽取同一球，選擇球的編號(hào)有5種方式，

第16頁(yè)/共31頁(yè)

故尸（x=i）=￡='-,

12525

X=2：恰好兩種不同球被取出（即一球出現(xiàn)兩次，另一球出現(xiàn)一次）,

選取出現(xiàn)兩次的球有5種方式，選取出現(xiàn)一次的球有4種方式,

其中選取出現(xiàn)一次球的位置有3種可能，故事件X=2的可能情況有5x4x3=60種,

故P（X=2）=:V

X=3：三種不同球被取出,

由排列數(shù)可知事件X=3的可能情有況5x4x3=60種,

故”唱言

所以￡（X）=lxP（X=l）+2xP（X=2）+3xP（X=3）

=ixA+2xll+3xll=fl

125252525

61

故答案為:

25,

法二：依題意，假設(shè)隨機(jī)變量X,,其中/.=：!,2,3,4,5：

I,這3次選取中，球z?至少被取出一次

其中％=0,這3次選取中，球L次都沒被取出‘人?"

由于球的對(duì)稱性，易知所有￡[x,]相等,

55

則由期望的線性性質(zhì)，得

E[X]=E=YE[X,]=5E[Xi],

i=\

4

由題意可知，球i在單次抽取中未被取出的概率為

4

由于抽取獨(dú)立，三次均未取出球力的概率為尸（亂=0）=卷

因此球，至少被取出一次的概率為：P（X,=1）=1-言=9

故司*

所以E[X]=5E國(guó)]=5x卷=||

故答案為：—.

25

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了1000人，得到如下列

第17頁(yè)/共31頁(yè)

聯(lián)表:

產(chǎn)波檢查結(jié)果

正常不正常合計(jì)

組別

患該疾病20180200

未患該疾病78020800

合計(jì)8002001000

（1）記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為尸，求尸的估計(jì)值；

（2）根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).

n(ad-be)。

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

p(x2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

9

【答案】（1）—

10

（2）有關(guān)

【解析】

【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；

（2）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想,求出力2,然后與小概率值&=0.001對(duì)應(yīng)的臨界值10.828比較，即可判

斷.

【小問1詳解】

根據(jù)表格可知，檢查結(jié)果不正常的200人中有180人患病，所以。的估計(jì)值為效=2；

20010

【小問2詳解】

零假設(shè)為H。：超聲波檢查結(jié)果與患病無(wú)關(guān)，

第18頁(yè)/共31頁(yè)

1000x(20x20-780x180/

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，力2=765,625>10,828=“0.001

800x200x800x200

根據(jù)小概率值a=0.001的/2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷笈0不成立，即認(rèn)為超聲波檢查結(jié)果與患該病有關(guān),

該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001.

a

16.設(shè)數(shù)列｛4｝滿足%=3,常%?1

n+1〃(〃+1)

(1)證明：｛〃4｝為等差數(shù)列；

m

(2)設(shè)/(x)=+出爐+L+amx,求/'(-2).

【答案】(1)證明見解析；

(2)/，(_2)=白(3%臼

【解析】

aa1

【分析】(1)根據(jù)題目所給條件‘n包+｝=—齊化簡(jiǎn)，即可證明結(jié)論；

(2)先求出｛4｝的通項(xiàng)公式，代入函數(shù)并求導(dǎo)，函數(shù)兩邊同乘以x,作差并利用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和得出導(dǎo)

函數(shù)表達(dá)式，即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

由題意證明如下，〃￡N*，

在數(shù)列｛4｝中，%=3,=-77+->

IJnn+1+

(〃+1)%=nan+1,即(〃+1)--nan=1,

.??｛〃%｝是以外=3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

【小問2詳解】

由題意及(1)得，〃￡N*,

在數(shù)列｛〃%,｝中，首項(xiàng)為3,公差為1,

2

=3+1x(〃-1),即%=1+—,

n

第19頁(yè)/共31頁(yè)

1m

在f(x)=axx+a^xH----Famx中,

2ffl

/(x)=3x+2x+---+|^l+—jx,/'(x)=3+4x+…+(加+2)%加-1

./'(x)=3+4x+—b(加+2)廿t

??xf\x^=3x+4x2+—b(加+2)x"'

當(dāng)xwl且xwO時(shí),

???(l-x)/,(x)=3+x+x2+---+xw-1-(m+2)xw=3+-(加+2)x加

1-x

3xl-xn,-1m+2)xm

/'(力=0+

(if1-x

七+-2[T-2)；(加+2)(0

???/'(-2)=

1-(-2)

(-2巾-(-2/[(加+2)(_2『

1n------------------------------------------

93

12(0(加+2)(0

993

7(3陽(yáng)+7)(—2)'"

99

17.如圖所示的四棱錐尸—4BS中，尸/工平面Z8CD,BC//AD,AB1AD.

(1)證明：平面上45_1_平面尸4D；

(2)PA=AB=41,AD=1+y/3,BC=2,P,B,C,。在同一個(gè)球面上，設(shè)該球面的球心為O.

G)證明：O在平面48CD上；

(ii)求直線ZC與直線P。所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

第20頁(yè)/共31頁(yè)

(2)(i)證明見解析；

,V2

(ii)--.

3

【解析】

【分析】(1)通過證明,APLAD,得出48_1_平面尸40,即可證明面面垂直；

(2)(i)法一：建立空間直角坐標(biāo)系并表達(dá)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)P,民。,。在同一球面。上，在平面xZy中，

得出點(diǎn)0坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)O在空間中的坐標(biāo)，計(jì)算出10H=|。a=即可證明結(jié)論；

法二：作出△BCD的邊BC和CD的垂直平分線，找到三角形的外心求出尸。「求出出外心已到尸，

B,C,。的距離相等，得出外心已即為尸，B,C,。所在球的球心，即可證明結(jié)論；

(ii)法一：寫出直線ZC和P。的方向向量，即可求出余弦值.

法二：求出zc的長(zhǎng)，過點(diǎn)。作zc的平行線，交5。的延長(zhǎng)線為G，連接/G，pg,利用勾股定理求

出ACX的長(zhǎng)，進(jìn)而得出PCA的長(zhǎng)，在△尸0G中由余弦定理求出cosZP0Q,即可求出直線AC與直線P0

所成角的余弦值.

【小問1詳解】

由題意證明如下，

在四棱錐尸中，尸/，平面48CD,AB1AD,

48u平面45cD,40€=平面45。。，

/.AP1AB,AP1AD,

平面「40,4Du平面P4D,APc4D=A,

IBJ_平面尸40,

,/ABu平面PAB,

平面平面尸40.

【小問2詳解】

(i)由題意及(1)證明如下，

法一：

在四棱錐尸一48。￡>中，AP1AB,AP1AD,AB1AD,BC//AD,

PA=AB=桓,AD=\+M，

建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示,

第21頁(yè)/共31頁(yè)

Z卜

凡△一一"

^（O,O,O）,5（V2,O,O）,C（^,2,O）,D（0,1+6,0），尸（0,0,間,

若尸，B,C,D在同一個(gè)球面上，

^\OP\=\OB\^\OC\=\OD\,

在平面xAy中，

.?.）（0,0）,B（60）,C（62）￡?（0,1+6）,

線段CD中點(diǎn)坐標(biāo)F,~~

A/3-I

直線CD的斜率：k="「■亞'

0-V2

,41V6+V2

直線CD的垂直平分線EF斜率：…一「2’

二直線EF的方程：了一，乎=y/~6+5/2V2

212J

即"逅建［x-正］+昱卜3

212）2

.A/6+y/2（團(tuán)V3+3八

當(dāng)y=l時(shí)，1=2%一2+2，斛得：xo—09

7

第22頁(yè)/共31頁(yè)

在立體幾何中，0(0,1,0),

\OB\=^(0-V2)2+l2+02

\OC\=J(0-V2)2+(l-2)2+02

\OD\=^02+(1-1-A/3)2+02

解得：|0P|=|05]=|0C|=p￡?|=JL

，點(diǎn)。在平面48c。上.

法二：

'：P,B,C,。在同一個(gè)球面上，

球心到四個(gè)點(diǎn)的距離相等

在△BCD中，到三角形三點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是該三角形的外心,

作出和CD的垂直平分線，如下圖所示，

由幾何知識(shí)得，

OE=AB=V2,BE=CE=AO=GO=；BC=1,OD

XXXXAD-AO、=也

OQ-BOX-COX,

???點(diǎn)a是△BCD的外心，

在RtANOP中，APLADAP=叵,

由勾股定理得，

第23頁(yè)/共31頁(yè)

p

...點(diǎn)即為點(diǎn)p，B,C,。所在球的球心O,

此時(shí)點(diǎn)O在線段4D上，4Du平面48CD，

...點(diǎn)O在平面45CD上.

就=("2,0)歷=(0,1,-^),

設(shè)直線/C與直線PO所成角為凡

ACPO|0+2xl+0|V2

.cos0=________=II=V

"AC^P