2025北京初三（上）期末數(shù)學(xué)匯編

圖形的旋轉(zhuǎn)

一、單選題

1.（2025北京朝陽初三上期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中的這兩個格點三角形的旋轉(zhuǎn)中心是（）

A.點AB.點BC.點CD.點。

2.（2025北京大興初三上期末）如圖，在AABC中，ZC4B=70°,在同一平面內(nèi)，將AABC繞點A逆時

針旋轉(zhuǎn)a得到公AB'C'，且CC//AB,則?的度數(shù)為（）

3.（2025北京海淀初三上期末）風(fēng)能是一種清潔無公害的可再生能源.圖1是風(fēng)力發(fā)電機，它一般由風(fēng)

輪、發(fā)電機、調(diào)向器、塔架和儲能裝置等構(gòu)件組成.圖2為風(fēng)輪葉片示意圖，在轉(zhuǎn)動的過程中，某一葉片

Q1B繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60。后到達(dá)Q4E處，則下列選項錯誤的是（）

圖1圖2

A.AB=ABB.OA^OA

B.C./BOB'=60°D.AB±AB'

二、填空題

4.（2025北京大興初三上期末）如圖，拋物線y=-f+4與x軸正半軸交于點A,點B為y軸上一點，將

線段AB繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段2C,若點C恰好落在拋物線上，則點C的坐標(biāo)為

5.（2025北京西城初三上期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系x°y中，點3（2,0）,ZABO=90°,NA=30。，

將，ABO繞點。順時針旋轉(zhuǎn)c（0°<a<90。）得到CDO,若點A的對應(yīng)點C恰好在x軸上，則點C的坐標(biāo)

是，點8的對應(yīng)點。的坐標(biāo)是.

6.（2025北京東城初三上期末）如圖，在△ABC中，Za4C=100°,將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a,得到

△ADE,ZE=60°.若點8,C,。恰好在同一條直線上，則。=

7.（2025北京東城初三上期末）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)42。得到AADE,點B的對應(yīng)點。

恰好落在邊BC上，則ZADE=.

8.（2025北京朝陽初三上期末）在正方形ABC。中，E為射線上一點（不與點A,8重合），將線段

DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段E尸，連接CP,作FGLCF交射線于點G.

（1）如圖1,當(dāng)點E在線段48上時，

①依題意補全圖形，并證明/ADE=NFEG；

②用等式表示線段AE和EG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)已知/R=l,EFG能否是等腰三角形？若能，直接寫出使EFG是等腰三角形的AE的長度；若不

能，說明理由.

9.(2025北京大興初三上期末)在AA8C中，ABC=90,AB=CB,將邊8C繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)

2c(0<a<45),得到線段8尸，連接CP,AP,過點8作"的垂線交AP于點E,交CP延長線于點”,

連接All.

(1)求的度數(shù)；

(2)用等式表示線段AM,BM,CM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

10.(2025北京大興初三上期末)如圖，點A,點8在由邊長為1的小正方形組成的3x3網(wǎng)格的格點上.

(1)將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90,畫出旋轉(zhuǎn)后的線段AB'；

(2)在網(wǎng)格格點上除點E外取一點C,使AA8C為等腰三角形，請標(biāo)出所有滿足條件的點C的位置.

11.(2025北京密云初三上期末)如圖，在下面正方形網(wǎng)格中小正方形的邊長為1,A,B,。都是格點

(小正方形的頂點)，將繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到，4月。，點A,點8的對應(yīng)點分別為A，B-

(1)補全圖形;

(2)求4A長；

0

（3）ZB{AO+AABXO=.

12.（2025北京平谷初三上期末）RtABC中，ZACB=90°,ZB=a,點。是AB邊中點，點E是BC邊

上一點（不與點8、點C重合），連接DE,將線段DE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)2a,得到線段連接EF、

AF.

⑴如圖1,若夕=30。，點下剛好落在BC邊上，BE=1,則AF=,AC=

圖1

⑵判斷AF、3E和BC的數(shù)量關(guān)系，從圖2、圖3中任選一種情況進(jìn)行證明.

圖2圖3

13.（2025北京密云初三上期末）如圖，線段AB=10cm,點C是線段A3上一點（不與A,8重合）.將

線段CB繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到線段CD.設(shè)BC=xcm,ACD的面積為ycm2.

（1），關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為一，自變量x的取值范圍是二

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出（1）中函數(shù)的圖象;

⑶當(dāng)x=_cm時，ACD的面積取得最大值是_cm,

14.（2025北京豐臺初三上期末）尸是正方形ABC。邊BC上一點，連接PO,PA.將線段繞點P順時

針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PE,將線段E4繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PF,連接CE,BF.

(1)如圖1,當(dāng)點P為BC中點時，直接寫出線段CE與線段即的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,當(dāng)點尸為線段上任意一點時，依題意補全圖形，用等式表示線段CE與8尸的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

15.(2025北京通州初三上期末)在AABC中，ZB=ZC=a(O°<a<45°),A〃_LBC于點。是線段

8C上的動點(不與點8,C,M重合)，將線段DM繞點。順時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DE.

圖I圖2

(1)如圖1,如果點E在線段AC上，求證：ME±AC；

(2)如圖2,如果。在線段上，在射線MB上存在點E滿足D^=DC,連接AE,AF,EF,求證：

AE±FE.

16.(2025北京西城初三上期末)如圖，△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,點。是邊AC上一點，連接

BD,將△DC3繞點C旋轉(zhuǎn)得到△EG4,點E,C,3在同一條直線上，延長交AE于點F.

⑴求NB莊的度數(shù)；

(2)若/3DC=67.5。，求證：AF=EF.

17.(2025北京東城初三上期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系初丁中，點A,B,C的坐標(biāo)分別為(-2,1),

(1,2),(2,1),將△A3C繞點尸逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到工A'3'C',點A的對應(yīng)點A的坐標(biāo)為(-2,-1),點B的

對應(yīng)點？的坐標(biāo)為(-3,2).

(1)點尸的坐標(biāo)是；(填寫正確的選項)

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,-1)

(2)畫出旋轉(zhuǎn)后的AB'C,并寫出C'的坐標(biāo)是；

(3)線段BA的延長線與線段Aff交于點M,直接寫出ZBMA的度數(shù).

18.(2025北京三帆中學(xué)初三上期末)如圖，等邊ABC,在BC邊延長線上取點。，連接AD,將線段AD

繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段DE,連接CE,AE.

⑴求/ECD的度數(shù)；

⑵若AB=6,CD=2,求=E的長.

19.(2025北京三帆中學(xué)初三上期末)如圖，在△ABC中，AB=AC,Z&4C=a(90°<a<120°),D為

BC的中點，E是線段CO上的動點(不與點C,。重合).連接AE,將線段AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a得到

線段AF,連接跖交AC于點G,過點B作AC的平行線交EE的延長線于點H.

⑴求證：ZACF=NCBH；

(2)若M為線段FH的中點，連接。0,用等式表示線段。以與PG之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

20.（2025北京門頭溝初三上期末）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,將AABC繞

點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，DEC,使點A的對應(yīng)點。落在3C邊上，點B的對應(yīng)點為￡,求線段8D,DE的

長.

參考答案

1.C

【分析】此題重點考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識，觀察圖形并且找出到兩個格點三角形的每一組對應(yīng)

頂點的距離都相等的點是解題的關(guān)鍵.觀察圖形可知，點c到兩個格點三角形的每一組對應(yīng)頂點的距離都

相等，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行驗證即可.

【詳解】解:如圖，兩個格點三角形分別為和-QR4,連接C4、CQ、CP、CB、CR,

設(shè)正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為1,

由勾股定理得CA=CP=CQ=Vl2+22=非，CB=CR==垃，

AB尸和aQRA的每一組對應(yīng)頂點到點C的距離都相等，

??.兩個格點ABP和的旋轉(zhuǎn)中心是點C,

故選：C.

2.C

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC',ABAB=ZCAC'=a,可得NACC=NAC'C=70。，即可求解.

【詳解】解：

.?.NC4S=ZACC'=70°,

將^ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)?得到△AB'C,

AC=AC,ZBAB=ZCAC'=a,

.-.ZACC,=ZAC,C=70o,

NC4C'=180。-70°一70。=40°=a,

故選：C.

3.D

【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AB=AB，/309=60。，

而得不到AB_LA'3',

故選：D.

4.(-2,0)或(1,3)

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì).

過8作軸，CNLMN于■N,AMLMN于M,進(jìn)而證明AC8N三A84W,求的C點的值

把C點的坐標(biāo)代入解析式，即可求得C點坐標(biāo).

【詳解】解：如圖，過8作軸，CN1MN千N,AM，MN于M,

解得：％=2或尤=-2,

A(2,0),

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，AB=BC,/ABC=90。，

ZABM+ZCBN=90°,ZBCN+NCBN=90°

:.ZABM=ZBCN,

ZABM=/BCN,ZCNB=ZBMA=90,BA=BC,

:-CBN”BAM(AAS),

設(shè)BN=AM=t,CN=BM=2,

C(-1,2-r),

將C(f,2T)代入y=-f+4得，

解得，f=2或f=-1,

r.C點坐標(biāo)為(-2,0)或(1,3).

故答案為:(-2,0)或(1,3).

5.(4,0)(1,-73)

【分析】本題考查了直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)，30度直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，先由30度直角三角

形的性質(zhì)得。4=203=4,AB=y/3OB=2y/3,再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△ABO四△CDO,進(jìn)而得

OC=OA=4,OD=OB=2,NA=NOCD=30。，/ABO=NO=90。，再由30度直角三角形的性質(zhì)得

MD=^OD=\,OM=6MD=6,繼而可得答案.

【詳解】解：：點8(2,0),ZABO=90°,NA=30。，

/.OB=2,04=203=4,AB=43OB=2A/3,

如圖，點A的對應(yīng)點C恰好在x軸上，過點。作。V軸于點

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得/XABO2△80,

AOC=OA=4,OD=OB=2,ZA=NOCD=30。，ZABO=ZD=90°f

：.ZCOD=60°,NM8=30。，

：.MD=^OD=1,OM=6MD=6，

C(4,0),O(l,-⑹，

故答案為：(4,0),(1,-V3).

6.140

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到45=4),

ZACB=ZE=60°,NBAD=a,再利用三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合等邊對等角求得/A4D=140。即可.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得AB=A￡),ZACB=ZE=60°,ZBAD=a,

：.ZADB=ZB=180°-ZBAC-ZACB=20°,

a=140。，

故答案為：140.

7.690/69度

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵；

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得=ZADE=ZB,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得=即可求出答案.

【詳解】解：將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)42。得到△ADE,

AD=AB,ZADE=NB,440=42°,

ZADB=ZB=I(180-ZBAD)=69°,

ZADE=69°.

故答案為：69°.

8.⑴①見解析，②AE=EG,證明見解析

(2)A￡=2

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的

判定和性質(zhì)等知識.

(1)①由NA=90。得出NADE+NA￡D=90。，由NDEF=90。得出NAED+/FEG=90。，從而

ZADE=ZFEG；

②作CH，DE,交A。于X,交DE于R,可證得..，小如二"。。"，從而得出CH=DE,DH=AE,可證

得CH〃EF,從而得出四邊形班CH是平行四邊形，進(jìn)而推出/Z)EH=/EFG,進(jìn)而證得

DEH沿二EFG,從而DH=EG,進(jìn)一步得出結(jié)果；

(2)可推出當(dāng)點E在上時，EFG不能是等腰三角形；當(dāng)點E在A5的延長線上時，作EHLCE于

H,當(dāng)防=bG時，可推出E"=G//=；EG=gAE,從而得出AE=2AB=2.

【詳解】(1)解：①如圖1,

圖1

四邊形ABCD是正方形，

.-.ZA=90°,

:.ZADE+ZAED=9G0,

線段DE繞點、E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF,

:./DEF=90°,

:.ZAED+ZFEG=90°,

:.ZADE=ZFEG-

②如圖2,

圖2

作CH交AD于X,交DE于R,

：.NDRC=90°,

..ZDCR+NRDC=90°,

.四邊形ABCD是正方形，

.-.ZA=ZADC=90°,AD=CD,

:.ZADE+NCDR=90。,

:.NDCR=ZADE,

ADE^DC"(ASA),

CH=DE,DH=AE,

線段DE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF,

:.DE=EF,ZDEF=90°,

:.DE.LEF,CH=EF,

CH//EF,

，四邊形EFCH是平行四邊形，

:.ZHEF+ZCFE=18Q°,

Z.DEH+ZDEF+Z.CFG-NEFG=180°,

CF1FG,

:.ZCFG=90°,

ZDEH+900+90°-ZEFG=180°,

:.ZDEH^ZEFG,

由①知，ZADE=NFEG,

DEH^.EFG（ASA）,

:.DH=EG,

:.AE=EG-,

（2）解：如圖2,

當(dāng)點E在AB上時，

由（1）②得，ADEHmEFG,

:.EH=FG,/DHE=/EGF,

AE=EG,EH>AE,

:.FG>EG,

NDHE=ZA+ZAEH=90°+ZAEH>90°,

:.ZEGF>90°,

：.ZEGF>NFEG,

EF^FG,

.?.△￡FG不能是等腰三角形，

如圖3,

F

圖3

當(dāng)點￡在A3的延長線上時,

作FH_L.CE于H,

ZA=ZFHE=90°,

ZADE=/EFG,DE=EF,

.._ADEqHEF(AAS),

:.FH=AE=EG,EH=AD=AB,

FG>FH,

FG>EG,

當(dāng)EF=FG時，EH=GH=-EG=-AE,

22

AB=-AE,

2

AE=2AB=2，

.?.當(dāng)AE=2時，EFG是等腰三角形.

9.(1)45°

(2)AM+CM=-J2BM,見解析

【分析】(1)作于點。由旋轉(zhuǎn)得PB=CB,^]NPBQ=NCBQ=：NPBC,因為-ABC=90,

AB=CB,所以尸3=而于點￡,貝ijNPBM=NABM=gNPBA,貝ij

ZMBQ=^ZABC=45,所以尸=90-ZMBQ=45；

(2)由==,得BQ=MQ,所以BM=0MQ,則=而尸。=CQ=：PC,

22

AM=PM,所以MQ=g(AM+CM),則可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：作30_LC尸于點。，則NBQM=90,

將邊BC繞點2逆時針旋轉(zhuǎn)2a(0<<z<45),得到線段BP,

:.PB=CB,

ZPBQ=ZCBQ=|ZPBC,

NABC=90,AB=CB,

:.PB=AB,

于點E,

ZPBM=ZABM=-NPBA,

2

ZMBQ=ZPBQ+ZPBM=|(NPBC+ZPBA)=；ZABC=45,

ZBMP=90-ZMBQ=45,

.?./BMP的度數(shù)是45.

(2)解：AM+CM=y/2BM,

證明：ZMBQ=ZBMP=45,

..BQ=MQ,

BM={BQ。+MQ2=eMQ,

:.PB=CB,BQ,CP于點。，

:.PQ=CQ=^PC,

PB=AB,于點E,

:.AE=PE,

BM垂直平分AP,

:.AM=PM,

:.MQ=PM+PQ

=AM+-PC

2

=AM+^CM-PM)

=AM+1(CM-AM)

=1(AM+CM),

:.AM+CM=y/2BM.

【點睛】此題重點考查等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的“三線合一”、線段的垂直平分

線的性質(zhì)、勾股定理等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換、等腰三角形的判定，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定是解答本

題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可.

(2)結(jié)合等腰三角形的判定確定點C的位置，即可得出答案.

【詳解】(1)解：如圖，線段AB'即為所求.

(2)解：如圖，點G，G,c3,C4均滿足題意.

CL

⑵2石

(3)45

【分析】本題考查作旋轉(zhuǎn)圖形、勾股定理與網(wǎng)格問題，

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可.

(2)利用勾股定理計算即可.

(3)在線段瓦。的延長線上取點C,根據(jù)網(wǎng)格的特點可得N4AO+NA4O=NAOC=45。，即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，4瓦。即為所求.

(2)解：B,A=y/22+42=2A/5

(3)在線段瓦。的延長線上取點C,

由圖可得，ZAOC=45°,

：.ZBjAO+ZABjO=ZAOC=45°.

故答案為：45.

12.⑴2,y/3

(2)BE+AF=BC,證明見解析

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)可得：DE=DF,ZEDF=2a=60°,得到ADEF是等邊三角形，推出

DE=EF=DF,NDEF=NDFE=60°,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可推出/3=/BDE=30。，進(jìn)而得到

ZBDF=90°,BE=DE,得到M=2BE=2,推出。尸垂直平分AB,得到A/=B尸=2,推出

ZG4F-300,可求出CF=gAF=l,最后根據(jù)勾股定理即可求解;

(2)連接CD,由直角三角形的斜邊中線定理可得：BD=CD=AD9推出NB=N5CD=&,得到

ZADC=2a,由旋轉(zhuǎn)可得：DE=DF,NEDF=2a,

推出N￡Z?=NADC=2a,可得/EDC=NFDA,證明△?)石ZZkADF,得到CE=AF,即可證明.

【詳解】(1)解：由旋轉(zhuǎn)可得：DE=DF,ZEDF=2a=60°,

。斯是等邊三角形，

DE=EF=DF,ZDEF=ZDFE=60°,

NB=a=30。，

ZBDE=Z.DEF-ZB=60°-30°=30°,

AZB=ZBDE=30°,

AZBDF=ZBDE+ZEDF=3Q0+60°=90o,BE=DE,

BE=DE=EF,DF±AB,

BF=2BE=2,

點。是AB邊中點，

「?DF垂直平分AB,

AF=BF=2,

??.ZBAF=ZB=30°,

ZACB=90°,ZB=30°,

...Z^4C=60°,

ZCAF=ABAC-ZBAF=60°-30°=30°,

CF=-AF=l

2f

AC=YIAF2-CF2=V22-12=V3，

故答案為：2,名；

(2)BE+AF=BC,證明如下：

選擇圖2,連接CD,

圖2

.ZACB=90°,點。是AB邊中點,

?.BD=CD=AD,

4B=ZBCD=a,

ZADC=ZB+ZBCD=2a,

由旋轉(zhuǎn)可得：DE=DF,NEDF=2a,

：.NEDF=ZADC=2a,

ZEDF+Z.CDF=ZADC+NCDF,即ZEDC=ZFDA,

在和△AM中，

DE=DF

"ZEDC=ZFDA,

CD=AD

.CDE^AADF(SAS),

CE=AF,

BE+CE=BE+AF=BC,

即3E+A/=3C；

選擇圖3,連接CO,

A

圖3

.ZACS=90°,點。是AB邊中點，

BD=CD=AD，

NB=/BCD—CL,

ZADC=AB+ZBCD=2a,

由旋轉(zhuǎn)可得：DE=DF,NEDF=2a,

??./EDF=ZADC=2a,

../EDF-/CDF=ZADC—NCDF,即N￡OC=/FDA,

在.CD￡和△AD廠中，

DE=DF

</EDC=/FDA,

CD=AD

CDE^AADF(SAS),

，CE=AF,

BE+CE=BE+AF=BC,

即3E+AF=3C.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性

質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的斜邊中線定理，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握

相關(guān)知識.

1

13.(l)y=—/X9+5x,0<vt<10

(2)見解析

⑶5,y

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)：

(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到2C=CD=xcm,NBCD=NACD=90。，則AC=AB—BC=(10—x)cm,根據(jù)2CD

的面積為>=；ACCD即可解答；

(2)根據(jù)(1)所求列表，描點，連線畫出對應(yīng)的函數(shù)圖象即可；

(3)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到8c=C￡>=xcm,ZBCD=NACD=90。，

AS=10cm,

AC=AB—BC=(10-x)cm,

???AC。的面積為y=；ACCO=gx(10—*=—g/+5M0<x<10),自變量犬的取值范圍是0<x<10；

2

(2)解：Vy=--x+5x(<0<x<10^f

列表得：

X34567

212521

y

~212~212T

???(1)中函數(shù)的圖象為:

(3)解：Vy=——x2+5x=-—(x-5)2+—(0<x<10),

--<0,

2

25

?,.當(dāng)x=5cm時，ACD的面積取得最大值是Jem?.

2

14.(1)CE=BF

Q)CE=BF,理由見解析

【分析】(1)根據(jù)SAS證明oDC咤ABP,得出/DPC=NARB,DP=AP,結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出

NCPE=NBPF,PE=PF,再根據(jù)SAS證明.CPE烏ABPE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(2)結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和SAS可證明,APEWDPF,得出AE=DF,ZAEP=ZFDP,結(jié)合三角形外角的性

質(zhì)可得出ZDGK=4PE=90。，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AC=BD,ZAOD=90°,結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可

得出廣，根據(jù)SAS證明“C4E鄉(xiāng)ABDF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：CE=BF,

理由如下：

???四邊形A5CD是正方形，

AAB=CD,ZDCB=ZABC=90°,

???點尸為BC中點，

CP=BP,

：..DCP烏ABP(SAS),

:.NDPC=ZAPB,DP=AP,

:旋轉(zhuǎn),

:.DP=EP,ZDPE=ZAPF=90°,AP=PF,

：.ZDPE-ZDPC=ZAPF-ZAPB,即NCPE=ZBPF,PE=PF,

又CP=BP,

；._CPEWBPE(SAS),

：.CE=BF；

(2)解：CE=BF

理由如下：

連接AC,8。相交點。，連接AE,相交于點G,AE與30、ZJP相交點H、K,

E

???旋轉(zhuǎn)，

:?DP=EP,ZDPE=ZAPF=90°,AP=PF,

AZDPE+ZDPA=ZAPF+ZAPD,BPZAPE=ZDPF,

：.APE咨ADPF(SAS),

:?AE=DF,ZAEP=ZFDP,

ZDKE=ZKDG+ZDGK=AKPE+ZPEK,

ZDGK=ZKPE=90°,

?/四邊形ABCD是正方形，

AAC=BD,AC±BD,即NAC?=90。，

ZAOD=ZDGK,

又ZAHD=ZAOH+ZHAO=ZDGH+ZHDG,

：.ZHAO=ZGDH,即ZCAE=NBDF,

又AC=BD,AE=DF

：.^CAE^_BDF(SAS),

CE=BF.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，明確題意，添加合適

輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

15.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線定理等知識點，掌握相關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論即

可.

(1)由旋轉(zhuǎn)可知：DM=DE,ZMDE=2a,進(jìn)而得=NOME；根據(jù)

ZMDE=ZDEC+ZC=2?,ZC=a,可得NDEC=NC；結(jié)合在,MFC中，

Z.DME+ZMED+/DEC+ZDCE=180°,即可求證；

(2)延長EE到點N,使EN=FE,連接CMAN,可推出E>E〃OV,DE=-CN,證

2

△ABF咨AACN(SAS),即可求證;

【詳解】(1)證明：??,線段DM繞點。順時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段

ADM=DE,ZMDE=2a,

:./DEM=/DME,

ZMDE=ADEC+AC=la,NC=a,

Z.DEC=a,

：./DEC=/C,

在,MFC中，?；NDME+ZMED+ZDEC+NDCE=180。,

：.ZMED+ADEC=90°,

ZMEC=90°,

即Affi_LAC；

(2)證明：如圖，延長正到點N,使EN=FE,連接CMAN,

*：DF=CD,

:,DE〃CN,DE=-CN,

2

JZDCN=180°-ZMDE=180°-2cr,

???ZACN=ZACB+ZDCN=180?！猘,

ZABF=180°-ZABC=180°-a,

：.ZABF=ZACN,

VAB=AC,AM±BC,

：.CM=BM,

,:DF=DC,

:?BF+BD=DM+CM,

：.BF+BM-DM=DM+CM,

：.DM=-BF,

2

DE=-CN,

2

：?DM=DE,

：.BF=CN,

在Z^ABF和AAGV中,

AB=AC,

v]ZABF=/ACN,

BF=CN,

：.AABF^AACA^(SAS),

???AF=ANf

?:EF=EN,

:.AE±FE.

16.⑴/BFE=90。

⑵證明見解析

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是：

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出DCBWECA,則NDBC=NE4C,結(jié)合NCDB=Nm4可得出

ZACB=ZAFB,即可求解；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NACE=NACB=90。，ZAEC=ZBDC=67.5°,則可求出

ZEAC=22.5°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求出NB4C=45。，貝！J

ZBAE=ZAEB=67.5°,根據(jù)等角對等邊可得出AB=班，然后根據(jù)三線合一即可得證。

【詳解】(1)解：???將△OC5繞點。旋轉(zhuǎn)得到△EC4,

ADCB^ECA.

：.ZDBC=ZEAC.

?:ZCDB=ZFDA,

：.ZACB=ZAFB.

?.?ZACS=90°,

：.ZAFB=9Q°.

：.ZBFE=90°.

(2)證明：:△EC4g△OCB,

AZACE=ZACB=90°,ZAEC=ZBDC.

丁ZBDC=61.5°,

：.ZAEC=67.5°,

：.ZEAC=22.5°.

???AAC3中，ZACS=90°,AC=BC,

：.NBAC=45。，

/.ZBAE=ZAEB=67.5°,

:.AB=EB.

???ZBFE=90°,

：?BF上AE,

JAF=EF.

17.(1)A

(2)圖見解析，(-2,3)

⑶/3M4'=90°

【分析】此題考查了坐標(biāo)與圖形-旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，尋找旋轉(zhuǎn)中心，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是理解題意，畫出圖形，結(jié)合有關(guān)性質(zhì)正確求解.

(1)線段A'A，88'的垂直平分線的交點P即為所求；

(2)根據(jù)要求作出圖形，根據(jù)圖形可得C'坐標(biāo)；

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可解決問題.

【詳解】(1)解：如圖，旋轉(zhuǎn)中心尸的坐標(biāo)為(一1,0),

故選：A.

(2)解：如圖，A'3'C即為所求作，點C，坐標(biāo)為(-2,3),

故答案為：(-2,3)；

(3)解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，ZAPA=ZBPB'=90°,AP^AP,BP=B'P

,APB^,A'PB'(SAS)

ZABP=ZAB'P,又NBAP=NB'AM,

：.ZB'MA=NBPA=90°,

則ZBW=180°-ZB'MA=90°.

18.(1)60°

⑵2舊

【分析】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理及直

角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=OE,NAZ)E=60。，再由等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC,/BAC=60。,再證明

.ABD^ACE(SAS),再由全等三角形的性質(zhì)求解即可；

(2)過點E作E"LCD交C。的延長線于點H,由全等三角形的性質(zhì)可得CE=30=8,再求得

NCEH=30°,由直角三角形的性質(zhì)可得CH=4,EH=心最后由勾股定理求解即可.

【詳解】(1)解：將線段AO繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段DE,

AD=DE,ZADE=60°,

即.ADE是等邊三角形，

.-.ZZME=60o,AD=AE,

ABC是等邊三角形，

AB=AC,ABAC=60°,

:.NBAC=/DAE,

ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

/.NBAD=NCAE,

在△ABD于△ACE中，

AB=AC

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