4<15解三龜形（四人考點(diǎn)，44

一十年考情-探規(guī)律―

考點(diǎn)十年考情(2016-2025)命題趨勢(shì)

2024年全國(guó)甲卷：正弦定理與余弦定理結(jié)合；2024

1.正弦定理常與余弦定

年上海卷：正弦定理應(yīng)用；2023年北京卷：正弦定

理、三角恒等變換結(jié)合

理邊角變換；2023年全國(guó)乙卷：正弦定理邊化角；

考查，涉及邊角互化。

考點(diǎn)1:正弦定2022年全國(guó)乙卷：雙曲線與正弦定理結(jié)合；2021

2.實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景（如三

理年全國(guó)甲卷：三角高程測(cè)量中正弦定理應(yīng)用；2020

角高程測(cè)量）及與其他知

年山東卷：正弦定理與兩角和正切公式結(jié)合；2019

識(shí)（如雙曲線）的綜合考

年全國(guó)I卷：正弦定理與余弦定理結(jié)合；2017年

查是趨勢(shì)。

全國(guó)I卷：正弦定理與誘導(dǎo)公式結(jié)合

2024年北京卷：平面區(qū)域面積與距離最大值；2023

年全國(guó)甲卷：四棱錐中三角形面積計(jì)算；2022年浙1.面積計(jì)算常與余弦定

江卷：秦九韶“三斜求積”公式應(yīng)用；2021年全理、基本不等式結(jié)合，

考點(diǎn)2：三角形國(guó)乙卷：三角形面積與余弦定理結(jié)合；2019年全國(guó)涉及公式直接應(yīng)用或變

面積公式II卷：余弦定理與面積計(jì)算；2018年全國(guó)III形。2.實(shí)際問(wèn)題及幾何

卷：面積公式與余弦定理結(jié)合；2018年江蘇卷：角綜合場(chǎng)景中面積求解是

平分線與面積、基本不等式結(jié)合；2017年浙江卷：重點(diǎn)。

三角形面積與余弦定理結(jié)合

2025年全國(guó)二卷：余弦定理直接計(jì)算；2023年新

1.余弦定理常單獨(dú)考查

課標(biāo)I卷：圓的切線與余弦定理結(jié)合；2023年全

或與正弦定理、向量、

國(guó)乙卷：空間幾何中二面角與余弦定理結(jié)合；2023

考點(diǎn)3：余弦定空間幾何結(jié)合。2.幾何

年全國(guó)乙卷：正方形中向量與余弦定理結(jié)合；2021

理圖形（如正方形'圓、三

年全國(guó)甲卷：余弦定理求邊長(zhǎng)；2020年全國(guó)III

棱錐）中的邊長(zhǎng)、角度計(jì)

卷：余弦定理求角；2018年全國(guó)II卷：余弦定理

算是高頻考點(diǎn)。

求邊長(zhǎng)；2016年全國(guó)I卷：余弦定理求邊長(zhǎng)

1.實(shí)際應(yīng)用多結(jié)合古代

2021年全國(guó)乙卷：《海島算經(jīng)》中測(cè)高問(wèn)題；2021測(cè)量問(wèn)題或幾何場(chǎng)景，

考點(diǎn)4：解三角

年浙江卷：三角形中邊長(zhǎng)與余弦定理應(yīng)用；2019年考查定理的實(shí)際運(yùn)用。

形的實(shí)際應(yīng)用

浙江卷：三角形中線段長(zhǎng)度計(jì)算2.與地理、物理等學(xué)科

的綜合應(yīng)用可能進(jìn)一步

拓展。

■分考點(diǎn)?精準(zhǔn)練?

考點(diǎn)01：正弦定理-單選題

7TQ

1.(2024.全國(guó)甲卷.高考真題)在VABC中，內(nèi)角A,民。所對(duì)的邊分別為。也。，若3b1=-ac,則

sinA+sinC=

2A/393>/13

L>---------

1313

【答案】C

113

【分析】利用正弦定理得sinAsinC=；,再利用余弦定理有/+c?=丁比，由正弦定理得到sir?A+sin2c的

34

值，最后代入計(jì)算即可.

-TT-QA1

【詳解】因?yàn)閯t由正弦定理得sinAsinC=gsin28=§.

9

由余弦定理可得:廿=a2+c2-ac=—ac,

131313

即:/+。2=，a。，根據(jù)正弦定理得sin2A+sin2C=—sinAsinC=—

4412

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=一,

因?yàn)锳,C為三角形內(nèi)角,則sinA+sinC>0,則sinA+sinC=^

2

故選：C.

2.(2023?北京?高考真題)在VABC中,(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),則/C=()

【答案】B

【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.

【詳解】因?yàn)?a+c)(sinA-sinC)=6(sinA-sinB),

所以由正弦定理得(。+c)(。—c)=b(a-b),n\la2-c2=ab-b2,

TT

X0<C<7t,所以c=§.

故選：B.

2

TT

3.（2023?全國(guó)乙卷?高考真題）在NABC中，內(nèi)角A,民C的對(duì)邊分別是〃也。，若acosB-bcosA=。，且C=5，

則4=（）

.n一乃一3兀-2兀

A.—B.-C.—D.—

105105

【答案】C

【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得/A的值，最后利用三角形

內(nèi)角和定理可得NA的值.

【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得sinAcosB-sin3cosA=sinC,

即sinAcosB-sinBcosA=sin（A+8）=sinAcosB+sinSeosA,

整理可得sin3cosA=0,由于3?0㈤,故sinB>0,

TT

據(jù)此可得cosA=0,A=-,

2

rtc,兀兀3兀

貝ij3=兀-A—。=兀------=—.

2510

故選：C.

4.（2021?全國(guó)甲卷?高考真題）2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86

（單位：m）,三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A,

C三點(diǎn)，且A,B,。在同一水平面上的投影滿足NAC=45。，NA宣。=60。.由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)

的仰角為15。，與CC的差為100；由5點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45。，則A,C兩點(diǎn)到水平面AbC的高度

差A(yù)4'-CC約為（代°1.732）（）

A.346B.373C.446D.473

【答案】B

【分析】通過(guò)做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，借助正弦定理，求得4/，進(jìn)而得到答案.

過(guò)C作CH_L班，，過(guò)B作

故A4'-CC'=A4'-(38'—BH)=A4'-班'+100=AD+100,

由題，易知_ADB為等腰直角三角形，所以AD=DB.

所以A4'—CC'=r?+100=A'8'+100.

因?yàn)?C"=15。，所以綏=。歹=上也一

tanl50

在《A'B'C'中，由正弦定理得：

A'8'_C?_100_100

sin45°sin75°tanl50cosl5°sin15°'

、后一、歷

而sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=、/

即以100x4x變

到I以A，B，=__-J-=100(^+1)~273,

V6-V2

所以A4'—CC'=A'3'+100a373.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于如何正確將A4-CC的長(zhǎng)度通過(guò)作輔助線的方式轉(zhuǎn)化為A'B'+100.

5.(2019?全國(guó)I卷?高考真題)△ABC的內(nèi)角A,B,5的對(duì)邊分別為mb,c,已知asinA—加in8=4csinC,

1b

cosA=--,貝！J一二

4c

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【分析】利用余弦定理推論得出。，b9c關(guān)系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.

【詳解】詳解：由已知及正弦定理可得二公2,由余弦定理推論可得

4

b2+c2-a2c2-4c23

=—x4=6,故選A.

4284c2

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用.

6.(2017?全國(guó)I卷?高考真題)及45。的內(nèi)角A、B、。的對(duì)邊分別為b、c.已知

sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=收,則C=

71—兀一兀一兀

A.—B.-C.-D.一

12643

【答案】B

【詳解】試題分析：根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計(jì)算即可

詳解：sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

VsinB+sinA(sinC-cosC)=0,

sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,

cosAsinC+sinAsinC=0,

VsinC^O,

/.cosA=-sinA,

/.tanA=-1,

..兀/A/

?一VA〈7l,

2

由正弦定理可得

sinCsinA

Va=2,c=&,

a>c,

故選B.

點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，正弦定理、余弦

定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理,有時(shí)也可用余弦定理,應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、

簡(jiǎn)捷一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)仍及〃、/時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)

交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.

222

7.(2020?山東?高考真題)在VA3C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是。，b,c,^a+b=c+absinC,

且asin5cosc+csinBcosA=——b,則tanA等于()

2

A.3B.—C.3或—D.-3或一

333

【答案】A

［分析］利用余弦定理求出tanC=2,并進(jìn)一步判斷C>",由正弦定理可得sin(A+C)=與nsinB=與,

最后利用兩角和的正切公式，即可得到答案；

222

■、斗比萬(wàn)、a+b-csinC廠入廠兀

【詳角?！縞osC=---------------=-------=>tanC=2,C>—,

lab24

3=上=二=2尺，

sinAsinBsinC

..,.o.RA版…

..sinA,sinBR,cosC+sinC,sinB,cosA-----sinB，

2

/.sin(A+C)=nsin5二,：.B=^,

tanB=l,

tanB+tanC

tanA=—tan(3+C)=—=3,

1-tanBtanC

故選：A.

8.（2017.山東?高考真題）在AABC中，角A民。的對(duì)邊分別為a,b,J若AABC為銳角三角形,

且滿足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是

A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A

【答案】A

【詳解】sin（A+C）+2sinBcosC=2sinAcosC+cosAsinC

所以2sinBcosC=sinAcosC=2sin3=sinA=2&=a,選A.

【名師點(diǎn)睛】本題較為容易，關(guān)鍵是要利用兩角和差的三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形.首先用兩

角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有A,B,C的式子，用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，得到a=2&.解答三

角形中的問(wèn)題時(shí)，三角形內(nèi)角和定理是經(jīng)常用到的一個(gè)隱含條件，不容忽視.

考點(diǎn)01：正弦定理-多選題

9.（2022?全國(guó)乙卷?高考真題）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為耳耳，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為。，過(guò)K作。的

3

切線與。交于N兩點(diǎn)，且cos則。的離心率為（)

A.6B.-C.叵

222

6

【答案】AC

【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)過(guò)片作圓O的切線切點(diǎn)為G,利用正弦定理結(jié)合三角變換、

雙曲線的定義得到助=3°或。=?,即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類(lèi)討論.

【詳解】［方法一］:幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在無(wú)軸，設(shè)過(guò)可作圓。的切線切點(diǎn)為B,

3

所以O(shè)BL耳N,因?yàn)閏osN可意=]>0,所以N在雙曲線的左支，

34

|OB|=a,|O7\|=c,閏B|=b,設(shè)N與N&=a,由即cosa=g,貝Usina=g,

35

|NA|=-fl,|NF2|=-a

513。八。

—a—\—a—2b=2a,

2【2)

2b=a,e=

2

選A

情況二

3

若M、N在雙曲線的兩支，因?yàn)閏osN￡NK=g>0,所以N在雙曲線的右支,

所以|OB|二〃，|0周二C,忖B|=b,設(shè)/F\NF?=a,

由cosN4即cosa=g,貝！Jsina=g,

3s

|NA|=-a,|NE|=-a

|N^|-|NI^|=2a

—Q+2b—ci—2Q,

22

b3

所以2b=3〃，即2==,

a2

所以雙曲線的離心率e=￡

a

選C

［方法二］:答案回代法

A選項(xiàng)e=好

2

特值雙曲線

2

=1,.-.11(-75,0),F2(75,0),

過(guò)耳且與圓相切的一條直線為y=2(x+6)，

,兩交點(diǎn)都在左支,，

;.|用|=5,|匹卜1,|耳國(guó)=2君，

3

則cosAFXNF2=—,

C選項(xiàng)匕=巫

2

22

特值雙曲線=卜而,0),且(屈,0),

過(guò)耳且與圓相切的一條直線為y=|(x+W),

■.?兩交點(diǎn)在左右兩支，N在右支，

.?.|用|=5,|師|=9,|耳劇=2而，

3

則cosZF{NF2=—,

［方法三］:

依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在龍軸，設(shè)過(guò)^作圓。的切線切點(diǎn)為G,

若M,N分別在左右支，

8

3

因?yàn)?。G，N6，且cos/EN6=(>0,所以N在雙曲線的右支,

又困=a,\OF}\=c,\GF\=b,

設(shè)/耳Ng=a,ZF2FXN=/3,

質(zhì)即|_2c

在AGN8中,yH----------------------------------------------------------------------------

sin/3sin(a+￡)sina

MH陽(yáng)_2c_______?_______=」_

sin(cr+y0)-sin/?sinasin(a+/)—sin/?sina

sinacos(3+cosasin4一sin/3sina

3ab4

而rcosa=—,sin4=一,cos/?=—,故sina=一,

同理有品IAKI="\N)E\=品2C？其中夕為鈍角，故8sM工b，

|^|-R|2ca_c

即

sin/7-sin(a+/)sinasin/?-sinacos尸一cosasin)3sina

代入3。二|，si”=?sina=g,整理得到：益%=：，

一好,

故。=勸，故

2，

故選：AC.

考點(diǎn)01：正弦定理-填空題

10.（2024?上海?高考真題）已知點(diǎn)8在點(diǎn)C正北方向，點(diǎn)。在點(diǎn)C的正東方向，3C=CD,存在點(diǎn)A滿足

NBAC=16.5。,N￡>AC=37。，貝"36=(精確到0.1度)

【答案】7.8°

r\CD

【分析】設(shè)“04=6,在△DC4和V3C4中分別利用正弦定理得到」）=一^；

sinDsinACAD

CACB

sin（e+16.5）=ZI^y，兩式相除即可得到答案?

【詳角軍】設(shè)N5CA=a/ACD=90-6,

CACD

在△OC4中，由正弦定理得

sinDsin/CAD

__________CA__________CD

即sin[180一(90-6+37.0)]sin37.0

_______CA________CD

即sin(90-0+37.0廠sin37.0①

CACB

在V3G4中，由正弦定理得

sinBsinZCAB

________CA________=CBCA_CB

即sin[180—(8+16.5)]sin16.5，即sin(<9+16.5)-sin16.5'②

10

②（）

zsin90-0+37.0sin37.0

因?yàn)镃D=C3,①倚sin（6+16.5）

sin16.5

利用計(jì)算器即可得〃。7.8,

故答案為：7.8.

11.（2023?全國(guó)甲卷?高考真題）在VABC中，ZBAC=60°,AB=2,BC=y/6,ZSAC的角平分線交BC于，

貝！JAD=.

【答案】2

【分析】方法一：利用余弦定理求出AC,再根據(jù)等面積法求出AO；

方法二：利用余弦定理求出AC,再根據(jù)正弦定理求出3,C,即可根據(jù)三角形的特征求出.

【詳解】

如圖所示：記AB=c,AC=6,BC=。，

方法一：由余弦定理可得，22+〃—2X2X6XCOS60=6,

因?yàn)閎>0,解得：b=l+6，

由SABC=SABD+SACD可得,

—x2xZ?xsin60=—x2xADxsin30+—xADxZ?xsin30,

222

，八四2君（1+⑹

=2

解得:H3+6

故答案為：2.

方法二：由余弦定理可得，22+Z?2-2x2xfexcos60=6,因?yàn)閎>0,解得：b=1+6，

由正弦定理可得，X—=—也=°—,解得：sinB=&+壺,sinC=立,

sin60sinBsinC42

因?yàn)?+6＞花＞應(yīng)，所以C=45,8=180-60-45=75,

又/瓦10=30°,所以NAD3=75,即AD=M=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題壓軸相對(duì)比較簡(jiǎn)單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問(wèn)題，也可以用角平分定義

結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識(shí)技能考查常規(guī).

12.（2023?全國(guó)乙卷?高考真題）已知點(diǎn)S,A,3,C均在半徑為2的球面上，VABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,

SA_L平面A3C,則&4=.

【答案】2

【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運(yùn)算求解.

【詳解】如圖，將三棱錐S-ABC轉(zhuǎn)化為正三棱柱SMN-ABC,

設(shè)VA5C的外接圓圓心為。1,半徑為人

2r=_—_=_2_=2百

則sinZACB也，可得r=白，

~2

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球球心為。，連接。4OQ,則OA=2,OO|=；SA,

因?yàn)镺A2=OO：+OJA2,即4=3+；&4?,解得&4=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問(wèn)題的求解方法

（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線作截面，

把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解；

（2）若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的三條線段以、PB、PC兩兩垂直，且朋=mPB=b,PC=c,一般

把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，根據(jù)4R2=/+抉+°2求解；

（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)；

（4）球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)；

（5）利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位

12

置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.

13.（2018?全國(guó)I卷?高考真題）AABC的內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

bsinC+csinB=4osinBsinC,b2+c2-a2-S>則△ABC的面積為.

【答案】空.

3

【分析】方法一：由正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,化簡(jiǎn)求得sinA=；,利用余弦定理，

結(jié)合題中的條件，可以得到26ccosA=8,由A為銳角，求得cosA=立，bc=距,利用三角形面積公式

23

即可解出.

【詳解】［方法一］:【最優(yōu)解】邊化角

因?yàn)閎sinC+csinB=4asinBsinC,由正弦定理得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,

因?yàn)閟inBsinCwO,所以sinA=1.又因?yàn)椤?

2

由余弦定理a2=b2+c2-2Z?ccosA,可得2bccosA=8,

所以cosA>0,即A為銳角，且cosA=",從而求得兒=延，

23

所以VABC的面積為S=.Z?csinA=L8石.J_=

22323

故答案為：空.

3

［方法二］:角化邊

「CL

因?yàn)榧觟nC+csinB=4asinBsinC,由正弦定理得Z?c+Z?c=46i/?sinC,即c=2asinC,又----=-----,所以，

sinCsinA

sinA=1.又因?yàn)椤?。2-。2=8，

由余弦定理/-h2+c2-2.hccosA,可得2》ccosA=8,

所以cosA>0,即A為銳角，且cosA=且，從而求得6c=還，

23

所以VABC的面積為S=LcsinA=L8?,=.

22323

故答案為：巫.

3

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：利用正弦定理邊化角，求出sinA,再結(jié)合余弦定理求出反，即可求出面積，該法是

本題的最優(yōu)解；

方法二：利用正弦定理邊化角，求出sinA,再結(jié)合余弦定理求出歷，即可求出面積.

14.（2019?全國(guó)II卷?高考真題）VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知加inA+acos2=0,

則B=.

【答案】9

4

【分析】先根據(jù)正弦定理把邊化為角，結(jié)合角的范圍可得.

【詳解】由正弦定理，得sin3sinA+sinAcosB=0.Ae（O,7r）,Be（O,7r）,.,.sinAwO,得sin3+cosB=0,

3IT

即tanB=-l,/.B=——.

4

故答案為：可3兀.

4

【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理轉(zhuǎn)化三角恒等式，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取定理法，利用轉(zhuǎn)

化與化歸思想解題.忽視三角形內(nèi)角的范圍致誤，三角形內(nèi)角均在（0,萬(wàn)）范圍內(nèi)，化邊為角，結(jié)合三角函數(shù)

的恒等變化求角.

45

15.（2016?全國(guó)H卷?圖考真題）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosA=『cosC=—,

a=l,則片

【答案】看21

【詳解】試題分析：因?yàn)閏osA=?4,cosC=5白，且A,C為三角形的內(nèi)角，所以sinA3ugsinCn12^,

513513

sinB=sin［萬(wàn)一（A+C）］=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=—,又因?yàn)橐?-=---，所以6=".

65sinAsinBsinA13

【考點(diǎn)】正弦定理，兩角和、差的三角函數(shù)公式

【名師點(diǎn)睛】在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，或是兩個(gè)定理都要用，要抓

住能夠利用某個(gè)定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；如

果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都

有可能用到.

16.（2017?全國(guó)HI卷?高考真題）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知C=60。，b=46,c=3,

則A=.

【答案】75

【詳解】由正弦定理芻=白；，得.RbsinC顯弋近，結(jié)合b<c可得8=45,貝U

sinBsinCsin〃=---------=-----------=——

c32

A=180°-B-C=75°.

【名師點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理，結(jié)

合已知條件靈活轉(zhuǎn)化為邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.其基本步驟是：

第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方

14

向.

第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.

第三步：求結(jié)果.

17.（2018?浙江?高考真題）在aABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若。=不，6=2,A=60°,

貝UsinB=,c-.

【答案】叵3

7

【詳解】分析:根據(jù)正弦定理得5%仇根據(jù)余弦定理解出c

詳解：由正弦定理得：=注，所以s/B=2xs歷三=叵，

bsmB,737

由余弦定理得a?=〃+，-20ccosA/.7=4+/一2°,「.。=3（負(fù)值舍去）.

點(diǎn)睛：解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化為邊和

角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

考點(diǎn)02：三角形面積公式-單選題

18.（2024?北京?高考真題）已知M=｛（x,y）|y=x+r（d-x）,14x42,04/41｝是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集.

設(shè)d是M中兩點(diǎn)間距離的最大值，S是M表示的圖形的面積，則（）

A.d=3,S<1B.d=3,S>1

C.d=VwfS<1D.d—Vw，5>1

【答案】C

\<x2

【分析】先以/為變量，分析可知所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域12元,結(jié)合圖形分析求解即可.

1<%<2

【詳解】對(duì)任意給定xe[l,2],貝I]X2—X=X（X—1）N0,且

可知無(wú)4尤+f（無(wú)2—x^<x+x2—x—x2,x<y<x1,

y<x2

再結(jié)合x(chóng)的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域,yzx,

l<x<2

如圖陰影部分所示，其中A（1,1）,B（2,2）,C（2,4）,

可知任意兩點(diǎn)間距離最大值4=\AC\=7（1-2）2+（1-4）2=回，

陰影部分面積S<S5c=gxlx2=L

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是“以形助數(shù)”，在解題時(shí)要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，做到心中有圖，見(jiàn)

數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維.使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時(shí)要準(zhǔn)確把

握條件、結(jié)論與幾何圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解.

19.（2023?全國(guó)甲卷?高考真題）已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，PC=PD=3,ZPCA=45°,

則△尸3c的面積為（）

A.272B.30C.4近D.60

【答案】C

【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得PDO=PCO,PDB=PCA,從而得到=

再在-24（7中利用余弦定理求得PA=從而求得PB=&7,由此在△PBC中利用余弦定理與三角形面

積公式即可得解；

法二：先在%C中利用余弦定理求得PA=J"，cosZPCB=1,從而求得P4PC=_3,再利用空間向量

的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于尸氏/3尸。的方程組，從而求得尸8=由此在△P3C中利用余弦定理

與三角形面積公式即可得解.

【詳解】法一：

連結(jié)AC,B￡）交于。，連結(jié)尸0,則。為AC,8。的中點(diǎn)，如圖，

16

因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，48=4,所以AC=3。=40，則OO=CO=20,

又PC=PD=3,PO=OP,所以，,PDOvPCO,則ZPr>O=ZPCO,

又PC=PD=3,AC=BD=4垃,所以〃PZ汨三PCA,則上4=PB,

在,2C中，PC=3,AC=4A/2,ZPCA=45°,

貝1J由余弦定理可得PA?=AC?+PC?-2AC?尸CeosNPCA=32+9-2x40x3x^=17,

2

故PA=VI7,則尸

故在△P3C中，PC=3,PB=y[n,BC=4,

PC?+BC?一PB?9+16-17_1

所以cosZPC8=

2PCBC2x3x4-3

又0<NPCB<n,所以sinNPCB=Jl一cos?NPCB=—,

3

所以△PBC的面積為S=!pC-BCsinNPCB=L3x4x3g=40.

223

法二:

連結(jié)4C,B￡）交于。，連結(jié)尸。，則。為AC,8。的中點(diǎn)，如圖,

B

因?yàn)榈酌鍭BCZ>為正方形，AB=4,所以AC=30=40，

在,R4c中，PC=3,ZPCA=45°,

貝1J由余弦定理可得「發(fā)=Ac2+pc2-2AC?尸Ccos/PCA=32+9-2x4后x3x逝=17,故尸4=小，

2

PA?+PC?-AC?17+M32一姮,則

所以cos/APC=

2PA?PC2xV17x317

PA-PC=\PA|IPC|COSZAPC=V17x3x一號(hào)=-3,

不妨記PB=m,NBPD=9,

因?yàn)镻0=g(PA+PC)=：(P8+PD),所以(而+尸？/=(PB+PD^,

2222

即Rn尸A+PC+2PAPC=PB+PD+2PBPD，

貝!117+9+2x(—3)="+9+2x3x〃2cos6,整理得nr+6mcos?！?1=0①，

又在APBZ)中，BD2=PB2+PD2-2PB-PDcosZBPD,即32=+9—6根cos。，貝U—6MCOS6—23=0②,

兩式相力口得2m2-34=0，故PB=m=后，

故在△P3C中，PC=3,PB=EBC=4,

PC?+BC2-PB?9+16-17_1

所以cos/PC8=

2PCBC2x3x4-3

又0<NPCB<n,所以==

3

所以△P8C的面積為5=工/5。&311/尸。8=\3義4*2叵=4后.

223

故選：c.

20.（2018?全國(guó)in卷.高考真題）VABC的內(nèi)角A,5,C的對(duì)邊分別為。，b,。，若VABC的面積為

"W,則C=

4

、兀C兀c冗C兀

A.—B.-C.—D.一

2346

【答案】C

【詳解】分析：禾煙面積公式sABC=:應(yīng)《加C和余弦定理/+62一°2=2McosC進(jìn)行計(jì)算可得.

222

1Z7_|_A_r

詳解：由題可知SABC=QabsinC=-------------

所以+/一/=2absinC

由余弦定理/+〃_，:2abcosC

所以sinC=cosC

CG（0,71）

:.C=-

4

故選C.

點(diǎn)睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理.

21.（2019?北京?高考真題）如圖，A,5是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，尸為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，ZAP5是銳角,

大小為民圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為

18

A

B

A.4￡+4cos￡B.第+4sin￡C.2￡+2cos￡D.2￡+2sin￡

【答案】B

【分析】由題意首先確定面積最大時(shí)點(diǎn)尸的位置，然后結(jié)合扇形面積公式和三角形面積公式可得最大的面

積值.

【詳解】觀察圖象可知，當(dāng)尸為弧的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積S取最大值，

止匕時(shí)