2024-2025學(xué)年北京市通州區(qū)高一下學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知向量五=（1,一2）,b=（4,1）,貝展4=（）

A.2B.4C.6D.9

2.如圖，在平行四邊形48CD中，連結(jié)8。，下列運(yùn)算正確的是（）

AD

A.AB+RD=DXB.BX+BC=RD

C.AB-AD=~BDD.JD-BA=DA

3.若復(fù)數(shù)z滿足＞z=l-2i,則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率為（）

1515

'%B.&C.-D.-

5.在I34BC中，角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知a=2,b=，后，c=4,則cosB=（）

53715

A-§ByC.-D.-

6.已知平面向量出b,則“a=另或胃=-*是“同=同”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知平面向量?jī)?yōu)3是不共線的兩個(gè)向量，AB=a+2b,AC=4a-4b,CD=-a+2,b,貝！|（）

A.A,B,C三點(diǎn)共線B.A,B,。三點(diǎn)共線

C.A,C,D三點(diǎn)共線D.B,C,。三點(diǎn)共線

8.一個(gè)盒子里裝有除顏色外完全相同的四個(gè)小球，其中黑球有兩個(gè)，編號(hào)為1、2；紅球有兩個(gè)，編號(hào)為

3,4.從盒中不放回的依次取出兩個(gè)球，力表示事件“第一次取出的是紅球”，B表示事件“取出的兩球同

色”，C表示事件“取出的兩球不同色”，則下列說(shuō)法正確的是（）

人.2與8互斥：6.4與0互斥C.PQ4UB）屋D.P（4C）=1

9.在團(tuán)ABC中，角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）

①若acosA=bcosB,則回ABC一定為等腰三角形

②若前?同＞0,則團(tuán)ABC一定為銳角三角形

③若c=2,則回ABC面積的最大值為VI

A.0B.1C.2D.3

10.在I3A8C中，角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知b=sin4=3cosBsinC,貝帆ABC面積的最

大值為()

35113

A*B.[C.蘭D.7

88164

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.在13ABe中，角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知a=3,A=\sinB=貝！.

43

12.已知復(fù)數(shù)Z]=m+(zn-l)i,z2-2-2i,若Zi+z2為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m.

13.為銘記歷史、緬懷先烈，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義情懷，某學(xué)校開(kāi)展共青團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).在最后一輪晉級(jí)比賽

中，甲、乙兩名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問(wèn)題，每名同學(xué)回答正確與否互不影響.已知甲回答正確的概率

為甲、乙兩人都回答正確的概率是拷甲、乙同學(xué)都回答這個(gè)問(wèn)題，則乙回答正確的概率為；

甲、乙兩名同學(xué)中至少有1名同學(xué)回答正確的概率為.

14.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)

全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示.若|荏|=2，虧，AF=^AE,則向量

比在加上的投影向量的模為；設(shè)瓦？=灑DC=b^若荏=48+N]，則4+〃=.

15.在銳角回力BC中，AC=y/~5,BC=3,且tan4—]=若點(diǎn)用為平面內(nèi)一點(diǎn)，且就=近+

cosAcosB

2瓦？QeR),給出下列四個(gè)結(jié)論：

①|(zhì)畫(huà)=4；

②回48M的面積為3；

③忸的最小值為當(dāng)2；

④若BC=CM,貝版的值為一牛或牛.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

16.(本小題12分)

在團(tuán)ABC中，A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=5,b=2.

(1)若cosC=3求c及團(tuán)ABC的面積；

(2)若，5b—2csinB=0,求C,

17.(本小題12分)

已知平面向量R,b,其中|初=2,|方|=，2且N與3的夾角為％

(1)求1-Q+E)的值；

(2)求|2五—同的值；

⑶若向量(kN-1)與位+人母互相垂直，求實(shí)數(shù)k的個(gè)數(shù).

18.(本小題12分)

甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8,乙的中靶概率為0.9,甲、乙射擊中靶與否互

不影響.甲、乙每次射擊中靶與否也互不影響.

(1)甲、乙各射擊1次，兩人都脫靶的概率；

(2)甲射擊2次恰有1次中靶的概率；

(3)甲、乙各射擊2次，記“4次射擊中至少有1次中靶”為事件M,記“4次射擊中至多有1次中靶”為事件

M判斷M與N是否相互獨(dú)立.(結(jié)論不要求證明)

19.(本小題13分)

設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bG7?).

(1)若z=i(2+i),求a、b的值.

(2)若z與復(fù)數(shù)zi=2+i是互為共輾復(fù)數(shù)，求z『i；

(3)當(dāng)bHO時(shí)，右z+』=t(teR),求|z|.

20.(本小題13分)

在團(tuán)ABC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=7,A=^.

(1)再?gòu)南旅娼o出的條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得回4BC存在，求團(tuán)

ABC的面積；

條件①：6=10；

條件②：c=8；

條件③：cosB=一；.

(2)若方?前＞0,求團(tuán)A8C周長(zhǎng)的取值范圍.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(1)問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答

計(jì)分.

21.(本小題13分)

如圖，已知正方形48CD的邊長(zhǎng)為2,圓。內(nèi)切于正方形4BCD,點(diǎn)E,F為切點(diǎn)，點(diǎn)P為劣弧那上的一點(diǎn)，

過(guò)P作PGJ.OE,垂足為G,過(guò)P作PN1OF,交OF于交圓。于N,設(shè)乙POE為9.

⑴若8屋，求3??赤的值；

(2)設(shè)巾=詼?德，n=CO-CM.

①求TH-71的最小值；

②求JTO1的最大值.

參考答案

1.71

2.5

3.C

4.B

5.C

6.A

7.D

8.D

9.B

10.0

11.72

12.-2

”2.二

3'12

2

14.4；——/—0.4

15.②③④

16.(1)因?yàn)?<C<兀，cost*=，所以sinC=V1—cos2C=J1—(3)=fl

由余弦定理可得c?=a2+b2—2abeosC,

所以02=52+22-2X5X2X|=25+4-16=13,所以C=AA13,

11Q

所以團(tuán)ABC的面積為四sinC=^x5x2x|=3；

(2)由—2csinB=0,可得，^sinB—2sinCsinB=0,

又因?yàn)?<8<兀，所以sinB力0,所以sinC=苧，

又0<C<7T,所以C=1或C=".

17.(1)由|則=2,\b\=42,且d與3的夾角為［得N?另=2x，lx，=2,

4Z

所以N-(a+b)+a-b=6.

(2)123—31=4a2+b2-4a-b=J4x22+(72)2-4x2=VTo.

⑶由向量(k4—為與C+kE)互相垂直，

得(kW—尤)-(a+kb)^ka2-kb2+(fc2-1)a-2fc2+2k-2?0,

解得人=節(jié)生，所以k的值有2個(gè).

18.(1)設(shè)甲1次中靶為事件4乙1次中靶為事件B,

設(shè)甲1次脫靶為事件&,乙1次脫靶為事件&,

兩人都脫靶為事件4/1，且當(dāng)相互獨(dú)立，

由題意得PQ4)=0.8,P(B)=0.9,

則甲1次脫靶的概率為P(4)=1-P(A)=1—0.8=0.2,

乙1次脫靶的概率為P(BJ=1-P⑻=1-0,9=0.1,

故兩人都脫靶的概率為PQ4/1)=0.2x0.1=0.02.

(2)由題意得甲射擊2次恰有1次中靶可以分類如下，

第一次中靶，第二次脫靶，第一次脫靶，第二次中靶，

而第一次中靶，第二次脫靶的概率為0.8x(l-0.8)=0.16,

第一次脫靶，第二次中靶的概率為(1-0.8)x0.8=0.16,

由分類加法計(jì)數(shù)原理得恰有1次中靶的概率為0.16+0.16=0.32.

(3)不獨(dú)立，證明如下，

由題意得記“4次射擊中至少有1次中靶”為事件M,

則事件M的對(duì)立事件Mi為“4次射擊中全部脫靶”，

得到P(Mi)=(1-0.8)x(1-0.8)x(1-0.9)x(1-0.9)=0.0004,

故P(M)=1-P(MJ=1-0.0004=0,9996,

而記“4次射擊中至多有1次中靶”為事件N,

可分類為4次射擊中全部脫靶，甲1次中靶，乙全部脫靶或甲全部脫靶，乙1次中靶，

而4次射擊中全部脫靶的概率為0.0004,

甲1次中靶，乙全部脫靶的概率為廢X0.8x(1-0.8)x(l-0.9)X(1-0.9)=0.0032,

乙1次中靶，甲全部脫靶的概率為戲x(1-0.8)x(1-0.8)x0.9x(1-0.9)=0.0072,

由分類加法計(jì)數(shù)原理得P(N)=0.0004+0,0032+0,0072=0.0108,

而MN表示4次射擊中恰好1次中靶，可分類如下，

為甲1次中靶，乙全部脫靶或甲全部脫靶，乙1次中靶，

得到P(MN)=0.0032+0.0072=0.0104,

則P(MN)KP(M)-P(N),不滿足獨(dú)立事件的定義，故M與N不獨(dú)立.

19.(1)因?yàn)閦=i(2+i)=—1+2i=a+bi{a,bGR),故a=-1,b=2.

(2)因?yàn)閦與復(fù)數(shù)zi=2+i是互為共鈍復(fù)數(shù)，則z=2-i,故z?Z]=(2-i)(2+i)=4+1=5.

7

(3)因?yàn)閎40,z+|=t(teR),

則'=。+萬(wàn)+磊=。+兒+五篝超而(a+2a\+b2b\.

由J(-都+射川

(a2+b2-2)h

故人券=0,

a2+b2

因?yàn)閎W0,故小+卜2=2,所以|z|=Va2+b2=V-2.

20.(1)選條件①：b=10,由正弦定理得芻=3,

、'smBsinA

即當(dāng)=},解得sinB=*>l,

smBV_37

2

故B無(wú)解，所以團(tuán)ABC不存在；

選條件②：c=8,由余弦定理得a?=+c2-26CCOS4,

則49=b2+64-8/7,解得b=3或b=5,

當(dāng)6=3時(shí)，SBABC—|fecsinX=|x3x8x^=6-\/~3；

當(dāng)6=5時(shí)，SMBC=\bcsmA=gx5x8x?=10<3.

選條件③：cosB=—<0,則sinB=V1—cos2B—號(hào)國(guó)

7X學(xué)

由正弦定理得葛白，貝防=asinB

sinX吏二8,

T

又sinC=sin(A+8)=sin/cosB+cos/sinB

￡1

+4V3_3V3

-2X-X

(-2"7~~

1等

所以X7X8X

-2

(2)由4B?BC=QC?(一COSB)>0,則cosBV0,則B為鈍角,

因?yàn)?=所以

則回ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=7+^^sinB+岑^sinC=7+晉包[sinB+sing+B)]

=7+尹廣(sinB+苧cosB+gsiriB)—7+14sin(B+巳)，

因?yàn)锽C&豹,所以B+仁得片)，則sin(B+9e停學(xué),

所以7+14sin(B+ge(14,7+7門)，

即團(tuán)ABC周長(zhǎng)的取值范圍為(14,7+773).

21.(1)

因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為2,則內(nèi)切圓。的半徑為1,如圖所示，以圓心為原點(diǎn)，以。E為%軸，以。F為y軸，建立

平面直角坐標(biāo)系.

當(dāng)6=狎,貝UP(cos,sin》O(0,0),N(—cos?sin,C(l,l),

可得沆=(1,1),OlV=(-cos1,sing),則雙-W=-cosg+sing=-?+：=匕

ooooZZZ

(2)

如(1)建立坐標(biāo)系，則此時(shí)。(0,0),C(l,l),G(cos0,0),M(0,sin。),

可得C。=(—1,—1),CG—(cosO—1,-1),CM—(—1,sin。-1),

可知zn