2024-2025學年廣東省深圳市某校高二(下)期末數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知a,8是兩個不同的平面，m,n是兩條不同的直線，下列命題中正確的是()

A.若m1a,n//a,則m1n

B.若al￡,mca,nu0,則m1n

C.若m〃7i,nca,則zn〃a

D.若mua,nca,m//p,n//p,則￡￡〃0

2.2025年蛇年春晚的武漢分會場地點設在黃鶴樓，樓的外觀有五層而實際上內(nèi)部有九層,為營造春節(jié)的喜

慶氣氛，主辦方?jīng)Q定在黃鶴樓的外部用燈籠進行裝飾.這五層樓預計共掛186盞燈籠，且相鄰兩層中的下一

層燈籠數(shù)是上一層燈籠數(shù)的2倍，則最中間一層需要掛燈籠的數(shù)量為()

A.12盞B.24盞C.36盞D.48盞

3.根據(jù)變量丫和％的成對樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型｛藍J瑟;]J得到經(jīng)驗回歸模型y=bx+

a,求得殘差圖.對于以下四幅殘差圖,滿足一元線性回歸模型中對隨機誤差假設的是()

4.函數(shù)f(x)=Inx-的單調遞增區(qū)間為()

A.(—8,—1)與(1,+oo)B.(0,1)U(1,+oo)

C.(0,1)D.(1,+8)

5.某市計劃開展“學兩會，爭當新時代先鋒”知識競賽活動.某單位初步推選出3名黨員和5名民主黨派人

士，并從中隨機選取4人組成代表隊參賽.在代表隊中既有黨員又有民主黨派人士的條件下，黨員甲被選中

的概率為()

6.將4個編號為1,2,3,4的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子中，下列說法錯誤的是()

A.恰有一個空盒，有324種放法

B.把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有12種放法

C.有256種放法

D.每盒至多兩球，有204種放法

7.若半徑為2門的球與正六棱柱的各個面均相切，則該正六棱柱外接球的表面積為()

A.487rB.56兀C.96兀D.1127r

8.若點P是曲線y=e*+x+a上任意一點，且點P到直線y=2x的距離的最小值，則a的值為()

A.0B.4C.-6D.4或一6

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.甲公司從某年起連續(xù)7年的利潤情況如下表所示.

第X年1234567

利潤y(億元)2.93.33.64.4m5.25.9

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為y=0.5%+23,則以下正確的是()

A.m=4.8B.相關系數(shù)r>0

C.第8年的利潤預計大約為8.3億元D.第6個樣本點的實際值比預測值小0.1

10.下列說法正確的有()

A.若隨機變量f?N(2,d),且P(§<4)=0.8,則P(0<f<4)=0.6

B.若隨機變量X?B(6,g),Y=2X+3,則以丫)=7,D(Y)=|

C.已知事件4,B,若4UB,且PQ4)=0.4,P(B)=0.7,則P(B|4)=0.5

D.有2個白球和4個黑球，從中一次摸三個球，記摸得白球數(shù)為X,貝忸(X)=l

11.如圖所示，正方體4BCD-的棱長為2,點P為側面力。DM】內(nèi)的一個動點(含邊界)，點E,F,

G分別是線段BC、CQ、BBi的中點，則下列結論正確的是()

A.直線4G〃平面4EF

B.平面2EF截正方體所得的截面面積為當

C.西■前的最小值為日

D.若PF，BDi，則點P的運動軌跡長度為2/1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在(/+|)(2x-的展開式中，/項的系數(shù)為.

13.南宋數(shù)學家楊輝為我國古代數(shù)學研究做出了杰出貢獻，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要

著作群解九章算法》，該著作中的“垛積術”問題介紹了高階等差數(shù)列，以高階等差數(shù)列中的二階等差

數(shù)列為例，其特點是從數(shù)列的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數(shù)列.若某個二階等差數(shù)列的前4

項為1,3,7,13,則該數(shù)列的第10項為.

14.Vx1；乂26[1,e],且不等式與>根恒成立，則機的取值范圍為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數(shù)/'(x)=|x—sinx+1.

(1)求函數(shù)y=/(x)在(0,/(0))處的切線方程；

(2)當無e[0,兀]時，求函數(shù)f(x)的極值.

16.(本小題15分)

n-1

已知數(shù)列｛an｝中，的=4,an=an_1+2+3(n>2,neN*)

(1)證明數(shù)列｛%,-2"｝是等差數(shù)列，并求的通項公式

(2)設垢=$-1，求9的前n項和

17.(本小題15分)

深圳一高中為了解學生周末使用手機的情況，統(tǒng)計了全校所有學生在一年內(nèi)周末使用手機的時長，現(xiàn)隨機

抽取了60名同學在某個周末使用手機的時長，結果如下表：

周末使用手機時長(八)0123456>7合計

男生人數(shù)1245654330

女生人數(shù)4556432130

合計579111086460

(1)若將周末使用為3小時及3小時以上的，稱為“經(jīng)常使用”，其余的稱為“不經(jīng)常使用

請完成以下2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.1的獨立性檢驗，能否認為性別因素與使用的經(jīng)常性有關

系;

使用手機

性別合計

不經(jīng)常經(jīng)常

男生

女生

合計

(2)對于周末使用手機6小時及以上的同學，學校想要為進一步了解他們的手機使用情況：

(i)在樣本的10名周末使用手機6小時及以上的同學中，隨機抽取3人進行訪談，求恰好抽中1名男生的概

率；

(ii)在和小明的訪談中得知，他有5款喜愛的手機游戲，并且在周五周六周日三天中，每天隨機選擇一款玩

一個小時，每天的選擇互相獨立.記至少選中過一次游戲的數(shù)目為丫，求丫的分布列和數(shù)學期望.

2

附：/—(a+b)(￡d)(a+)c)(b+?n-a+b+c+d.

a0.10.050.01

2.7063.8416.635

18.(本小題17分)

如圖，四邊形4BCD是正方形，平面PABE_L平面ABC。，PA1AB,EB//PA,AB=PA4,EB=2.

(1)求證：BD〃平面PEC；

(2)求二面角。-PC-E的大小.

(3)點Q在直線BD上，直線PQ與直線CE的夾角為a,二面角D—PC—E為0,是否存在點Q,使得a+。=

兀.如果存在，請求出|BQ|；如果不存在，請說明理由.

R

19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ax-e-x,g(x)=x2+xlnx.

(1)討論”x)的單調性；

(2)證明：g(x)＞一,；

(3)若g(%)之/(%),求a的取值范圍.

參考答案

1.71

2.5

3.D

4.C

5.C

6.A

7.D

8.B

9.ABD

10.ACD

11.AC

12.-319

13.91

14.(—oo,e]

11

15.(1)由于函數(shù)f(%)=-%-sinx+1,因此/(0)=-x0-sinO+1=0-0+1=1,切點為(0,1),

_iiii

由于導函數(shù)/(%)=--cos%,因此k=1(0)=2~cosO=--1=

根據(jù)直線的點斜式方程，得切線為丫-1=一^久，即y=—?x+l.

(2)根據(jù)第一問可知，有導函數(shù)/''(X)=|-cosx,

當工€[0,兀]時，令導函數(shù)((久)=2一cosx=0,得x=?

當x變化時，導函數(shù)((尤)和函數(shù)/(%)的變化情況如下表：

nn71

X

[。㈤3卬兀]

(⑺—0+

fix)單調遞減極小值單調遞增

因此當xe[0,用時，函數(shù)/⑶無極大值，有極小值法)=卜尹5嗚+1屋—號+1.

n1n71-1

16.(1)證明：???。九=an_r4-2~+3(n>2,neN*),(an-2)——2)=3,

???數(shù)列也九-2九｝是等差數(shù)列，公差為3,首項為2.

rl

ctn—2=2+3(ri-1)=3zi—1.

n

ctn=2+3n—1.

(2)解：〃l=親一1=—^n~

：■bn的前九項和%=1+§+,+—卜~^n~

22，

1T_1I51,3n-7,3n-l

必…+丁+^P

13n-l

lrnAIZ111X-3)2—1c

2^=1+3(^2+^3+…+/)^I+T=3X一2一市，

Tr3n+5

Tn=5

17.（1）根據(jù)統(tǒng)計表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下:

使用手機

性別合計

不經(jīng)常經(jīng)常

男生72330

女生141630

合計213960

零假設為兒：性別與使用手機情況獨立，即性別因素與學生使用手機的經(jīng)常性無關;

2

根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計算可得f==察=3.590>2.706=%,

6。寄ZJ.X蕓07X;0;UX鬻0U）oy01；

根據(jù)小概率值a=0.1的獨立性檢驗，推斷不成立,

即性別因素與學生使用的經(jīng)常性有關系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.L

（2）（回）設抽取的三人中男生的人數(shù)為X,易知10名周末使用手機6小時及以上的同學中有7名男生，3名女

生,

所以X的所有可能取值為0、1、2、3,

且X服從超幾何分布：P（x=l）=竽12=2，

C10包

則恰好抽中1名男生的概率為，；

4U

（ii）由題意得，y的所有可能取值為1、2、3,

則p（y=i）=2=5p（y=2）=在竽=||,p（y=3）=步

則y的分布列如下:

18.(1)證明：如圖，以4為原點，而、荏、Q為無軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系,

依題意，得2(0,0,0),B(0,4,0),C(4,4,0),D(4,0,0),P(0,0,4),E(0,4,2),

取PC的中點M,連接EM,則M(2,2,2),EM=(2,-2,0),~BD=(4,-4,0)，

所以麗=2的，貝UBD〃EM,又EMu平面PEC,BDC平面PEC,

所以BD〃平面PEC.

(2)取PD中點F,貝!|)(2,0,2),又an=4B=P4則2F1PD,

由481PA,ABLAD,5.PACtAD=A,PA,力Du平面PAD,

則4B_L平面PAD,

由CD//4B,貝！|CD1平面PAD,4Fu平面PAD,故CO14F,

由PDnCD=D,PD、CDu平面PCD,

所以4F，平面PCD,

故都=(2,0,2)為平面PCD的一個法向量.

設平面PCE的法向量日=(x,y,z),且麗=(4,4,一4),PE=(0,4,-2),

貝忙累所以長笈"即知么L

令y=—1,得元=(―1,—1,-2).

所以cos證㈤=熹浣=一苧

由圖，二面角D—PC—E為鈍二面角，

所以二面角D-PC-E的大小為號.

6

(3)設的=2前，由(2)可知二面角?！狿C—E的大小為￡=即，a+p=n.

所以直線PQ與直線CE的夾角為a=I，

B(0,4,0),￡>(4,0,0),則Q(44,4—44,0),PQ=(42,4-42,-4).CE=(-4,0,2).

-兩函_|T6"8|_73

IPQHCEIJ(4A)2+(4-4A)2+(-4)2-720，

化簡可得7"-234+13=0,

解得"WF

此時|前|=4近，JQ=X~BD

即存在點Q,由QI=空誓曳X4，w="警?

1aex+l

19.(l)/z(x)=a—e~x-(—1)=a+e~x=a+—=

當a>0時，/'(%)>0恒成立,/(%)在R上單調遞增,

1

當aVO時，令「(%)=0,得久=

所以在(―8/n(—5)上>0,f(x)單調遞增,

1

在(皿一》+8)上1(%)V0,/(%)單調遞減,

綜上所述，當時，/(%)在R上單調遞增,

當aVO時，/(%)在(一8,皿一；))上單調遞增，在(ln(-；),+8)上單調遞減.

(2)證明：g(x)=x2+xlnx,%>0,

]

g'(x)=2%+Inx+x--=2%+Inx+1,

令h(x)=2%+Inx+1,%>0,

則h(%)在(0,+8)上單調遞增,

1

當％T0時，/l(%)->-00;又八(：)>0,

4

1

所以存在久0e(0,-