2021北京初二（下）期中數(shù)學匯編

四邊形章節(jié)綜合1

一、單選題

1.（2021?北京市第十七中學八年級期中）在團力BCD中，若乙4=40。，則NC的度數(shù)是（

A.20°B.40°C.80°D.140°

2.（2021?北京市第十七中學八年級期中）如圖，已知矩形A3CZ）中，R、尸分別是DC、上的點，E、尸分別是

AP、RP的中點，當尸在BC上從&向C移動而R不動時，那么下列結(jié)論成立的是（）

B.線段EF的長逐漸減小

D.線段的長不能確定

3.（2021?北京師范大學附屬實驗中學分校八年級期中）已知,如圖長方形ABC。中，42=3,AO=9,將此長方

形折疊，使點B與點。重合，折痕為EF貝必8EP的面積為（)

C.12D.15

4.（2021?北京師范大學附屬實驗中學分校八年級期中）如圖,。是矩形A2C。的對角線的交點，M是的中

()

C.3D.4

5.（2021?北京師范大學附屬實驗中學分校八年級期中）菱形A8CQ的邊長為5,一條對角線長為6,則菱形面積

為（）

A.20B.24C.30D.48

6.（2021.北京師范大學附屬實驗中學分校八年級期中）平行四邊形ABC。中，若則/C的度數(shù)為

)

A.120°B.60°C.30°D.15°

7.（2021?北京?和平街第一中學八年級期中）如圖，點A,B為定點,定直線IIIAB,尸是/上一動點，點M,N分

別為PA,依的中點，對下列各值：①線段跖V的長；②的周長；③△PMN的面積；④直線MN,AB之間

的距離；⑤NAP8的大小.其中不會隨點P的移動而變化的是（）

A.①②③B.①②⑤C.①③④D.①④⑤

8.（2021?北京J01中學八年級期中）如圖，矩形48CD中，對角線AC、8。相交于點O,若AB=2,AAOB=

C.4D.6

二、填空題

9.（2021?北京市第十七中學八年級期中）三角形的各邊長分別是8、10、12、則連接各邊中點所得的三角形的周

長是一.

10.（2021?北京廣渠門中學教育集團八年級期中）如圖，公路AC,8C互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖

隔開，若測得AM的長為1.2km,則跖C兩點間的距離為—km.

a

11.（2021?北京育才學校八年級期中）如圖，Rt^ABC中，ZBAC=90°,D,E,E分別為AB,BC,AC的中點,

己知。F=3,則AE=—.

12.（2021?北京師范大學昌平附屬學校八年級期中）如圖，在矩形4BCD中，AB=5,BC=4,將矩形2BCD翻

折，使得點B落在CD邊上的點E處，折痕4F交BC于點F,貝“FC=

13.（2021?北京?北方工業(yè)大學附屬學校八年級期中）如圖，在平行四邊形A8CD中，ACLBC,E為A8中點，若

CE=3,貝UCD=

14.（2021?北京育才學校八年級期中）如圖，點尸是矩形ABC。的對角線AC上一點，過點尸作EF//8C,分別交

AB,于點￡、F,連接尸2、PD,若A￡=2,PF=9,則圖中陰影面積為；

15.（2021?北京?首都師范大學附屬中學八年級期中）如圖，在RtAABC中，AACB=90°,。為AABC外一點，使

^DAC=ABAC,E為BD的中點.若NA8C=60°,貝!U4CE=.

16.（2021.北京廣渠門中學教育集團八年級期中）如圖，點A、B、C為平面內(nèi)不在同一直線上的三點.點。為平

面內(nèi)一個動點.線段AB,BC,CD,ZM的中點分別為M、N、P、Q.在點。的運動過程中，有下列結(jié)論：

①存在無數(shù)個中點四邊形MNP。是平行四邊形；

②存在無數(shù)個中點四邊形MNP。是菱形

③存在無數(shù)個中點四邊形MNP。是矩形

④存在無數(shù)個中點四邊形MNP。是正方形

所有正確結(jié)論的序號是一.

?A

?B

'C

三、解答題

17.(2021.北京JOI中學八年級期中)已知點E、尸分別為平行四邊形ABCD的邊A。、BC的中點，求證：四邊形

即尸。為平行四邊形.

18.(2021?北京?101中學八年級期中)如圖，在平行四邊形ABC。中，BE1AD,BF1CD,垂足分別為E,F,且

AE=CF.

(1)求證：平行四邊形ABC。是菱形；

(2)若DB=10,AB=13,求平行四邊形ABC。的面積.

19.(2021?北京師范大學昌平附屬學校八年級期中)如圖，已知四邊形A8CD是平行四邊形，P、。是對角線8。

上的兩個點，請在題目中添加合適的條件，就可以證明：AP=CQ.

(1)你添加的條件是

(2)請你根據(jù)題目中的條件和你添加的條件證明2P=CQ

20.(2021?北京市昌平區(qū)第二中學八年級期中)如圖，在平行四邊形ABCD中，E、尸是對角線AC所在直線上的

兩點，且AE=CF.求證：四邊形即即是平行四邊形.

BC

21.(2021?北京師范大學附屬實驗中學分校八年級期中)已知：如圖，在回4BCD中，E,尸是對角線AC上的兩

點，且AP=CE.求證：BEaDF.

22.(2021?北京.和平街第一中學八年級期中)在平面直角坐標系xOy中，若P,。為某個菱形根鄰的兩個頂點，

且該菱形的兩條對角線分別與x軸，y軸垂直，則稱該菱形為點P,。的“相關(guān)菱形”.圖1為點P,。的“相關(guān)菱形”

的一個示意圖.

八

6

5

4

3-

2-

1-

-7-6-5-4-3-2-1。1234567891011x

-1-

-2-

-3-

已知點A的坐標為(1,4),點8的坐標為(b,0),

⑴若6=2,則R(1,-4),S(3,4),T(5,4)中能夠成為點A,8的“相關(guān)菱形”頂點的是；

(2)若點A,8的“相關(guān)菱形”為正方形，求6的值；

(3)點C的坐標為(4,4).若在線段AC上存在點使點2的“相關(guān)菱形”為正方形，請直接寫出b的取值范

圍.

23.(2021?北京J01中學八年級期中)在△ABC中，CD_LAB于點。.

(1)如圖1,當點。是線段A3中點時，延長AC至點E,使得CE=CB,連接E8.

①按要求補全圖1；

②若AB=2遮，AC=V7,求助的長.

（2）如圖2,當點。不是線段A3的中點時，作/BCE（點￡與點。在直線8C的異側(cè)），使/BCE=2/CAB,CE=

CB,連接AE,用等式表示線段AB,CD,AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

24.（2021?北京廣渠門中學教育集團八年級期中）如圖，在正方形ABC。中，E是邊A8上的一動點（不與點A,B

重合），連接。E,點A關(guān)于直線。E的對稱點為尸，連接C尸并延長交。E延長線于點K.

⑴根據(jù)題意，補全圖形；

⑵求/CKD的度數(shù)；

（3）請用等式表示線段AB、KF、CK之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

25.（2021?北京.北方工業(yè)大學附屬學校八年級期中）如圖，已知菱形ABCD的對角線相交于點。，延長至點

E,?BE=AB,連接CE.

⑴求證：BD=EC.

⑵若/E=57。，求的大小.

26.（2021?北京?北方工業(yè)大學附屬學校八年級期中）下面是小明設(shè)計的“利用已知矩形作一個內(nèi)角為30。角的平行

四邊形”的尺規(guī)作圖過程.

已知：矩形ABCD

求作：口AGHD,使/GAZ）=30。.

作法：如圖，

①分別以A,8為圓心，以大于豹8長為半徑，在A8兩側(cè)作弧，分別交于點E,F；

②作直線EF-

③以點A為圓心，以AB長為半徑作弧，交直線所于點G,連接AG；

④以點G為圓心，以長為半徑作弧，交直線E尸于點H,連接

則四邊形AG/TO即為所求作的平行四邊形.

根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，填空：

(l)ZBAG的大小為；

(2)判定四邊形AGHD是平行四邊形的依據(jù)是；

(3)用等式表示平行四邊形AGHD的面積Si和矩形ABCD的面積&的數(shù)量關(guān)系為.

27.(2021?北京市師達中學八年級期中)已知四邊形A8CD為凸四邊形，點M、N、P、。分別為A3、BC、CD、

D4上的點(不與端點重合)，下列說法正確的是(填序號)

①對于任意凸四邊形ABC。，一定存在無數(shù)個四邊形MNP。是平行四邊形；

②如果四邊形ABCD為任意平行四邊形，那么一定存在無數(shù)個四邊形MNPQ是矩形；

③如果四邊形ABC。為任意矩形，那么一定存在一個四邊形為正方形；

④如果四邊形ABCD為任意菱形，那么一定存在一個四邊形為正方形.

28.(2021.北京師范大學附屬實驗中學分校八年級期中)在平面直角坐標系xOy中，對于兩個點P,。和圖形W,

如果在圖形印上存在點M,N(M,N可以重合)使得PM=QN,那么稱點尸與點。是圖形W的一對平衡點.

3

2

1

A--------B3

-2-4-3-2用1234x

r-2

O1-3

-4

圖1圖2圖1

(D如圖1,已知點4(0,3),8(2,3).

①設(shè)點0與線段上一點的距離為d,則d的最小值是,最大值是；

②在P/(|,0),P2(l,4),PX-3,0)這三個點中，與點。是線段A8的一對平衡點的是；

⑵如圖2,已知正方形的邊長為2,一邊平行于x軸，對角線的交點為點0,點。的坐標為(2,0).若點E(x,2)在

第一象限，且點。與點E是正方形的一對平衡點，求尤的取值范圍；

⑶己知點尸(-2,0),G(0,2),某正方形對角線的交點為坐標原點，邊長為a(?<2).若線段FG上的任意兩個點

都是此正方形的一對平衡點，直接寫出。的取值范圍.

29.(2021?北京市師達中學八年級期中)如圖①，在正方形ABCD中，點E為8c邊上任意一點(點E不與8、C

重合)，點廠在線段AE上，過點P的直線MN1AE,分別交A3、于點M、N.

(1)求證：MN=AE

(2)如圖②，當點尸為AE中點時，其他條件不變，連接正方形的對角線B。、MN與BD交于氤G,連接3足求

證：BF=FG.

參考答案

1.B

【分析】

利用平行四邊形的對角相等即可選擇正確的選項.

［詳解：］

解：???四邊形4BCD是平行四邊形，

Z-A=乙C,

???Z.A=40°,

???乙C=40°,

故選：B.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是記住平行四邊形的性質(zhì)，屬于中考基礎(chǔ)題.

2.C

【分析】

因為R不動，所以AR不變.根據(jù)中位線定理，不變.

［詳解：］

解：連接AR

因為E、"■分別是AP、RP的中點，

貝UEP為4/lPR的中位線，

所以EF=（aR,為定值.

所以線段EF的長不改變.

故選：C.

【點睛】

本題考查了三角形的中位線定理，只要三角形的邊AR不變，則對應的中位線的長度就不變.

3.B

【分析】

根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，BE=DE,設(shè)則Er>=2E=9-x,在直角△ABE中，根據(jù)勾股定理可得3?+/=

（9-尤）2,即可得到BE的長度，由翻折性質(zhì)可得，NBEF=NFED,由矩形的性質(zhì)可得/產(chǎn)皮>=/瓦芭，即可得出

△8EF是等腰三角形，BE=BF,即可得出答案.

【詳解】

解：設(shè)AE=x,貝ij￡?=BE=9-x,

根據(jù)勾股定理可得，32+/=(9-X)2,

解得：％=4,

由翻折性質(zhì)可得，乙BEF=』FED,

:AD[IBC,

.,./FED=/BFE,

???/BEF=』BFE,

?.BE=BF=5,

i

，S/BFE=；x5x3=7.5.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了翻折的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，熟練應用相關(guān)知識進行求解是解決本題的關(guān)鍵.

4.C

【分析】

首先由O是矩形ABC。對角線AC的中點，可求得AC的長，然后由勾股定理求得的長，即C。的長，又由M

是的中點，可得是△AC。的中位線，繼而求得答案.

【詳解】

解：是矩形ABC。對角線AC的中點，。2=5,

.,.AC=2OB=10,

CD=AB=y/AC2-BC2=6，

是A。的中點，

：.OM=-CD=3.

2

故選：C.

【點睛】

此題考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì).注意利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

的一半，求得AC的長是關(guān)鍵.

5.B

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)利用勾股定理求得另一條對角線，再根據(jù)菱形的面積等于兩對角線乘積的一半求得菱形的面積.

【詳解】

解：如圖，當3。=6時，

B

?.?四邊形ABC。是菱形，

..AC1BD,AO=CO,B0=D0=3,

'.'AB—5,

?.AO=7AB?-3。2=4,

：.AC=8,

???菱形的面積是：6x8+2=24,

故選：C.

【點睛】

本題主要考查菱形的面積公式，以及菱形的性質(zhì)和勾股定理，關(guān)鍵是掌握菱形的面積等于兩條對角線的積的一半.

6.A

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出BC//A。，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出/A+/B=180。，代入求出即可.

【詳解】

解：,?,四邊形ABC。是平行四邊形，

：.BC//AD,

.?.ZA+ZB=180°,

把/A=2/B代入得：3/8=180。，

.,.ZB=60°,

.,.ZC=120°

故選：A.

【點睛】

本題主要考查對平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能推出/A+NB=180。是解此題的關(guān)

鍵.

7.C

【分析】

根據(jù)三角形中位線定理判斷①；根據(jù)P是/上一動點判斷②；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)判斷③；根據(jù)三角形中位線定

理判斷④，結(jié)合圖形判斷⑤.

【詳解】

解：①：點M,N分別為PA,尸8的中點，

■.MN=lAB,即線段MN的長不會隨點尸的移動而變化；

②PA、尸2隨點尸的移動而變化，

???△PAB的周長隨點P的移動而變化；

③YlIlAB,同A,B為定點,

.?.△PMN的面積為定值，

?.?點M,N分別為尸4,PB的中點，

：.MN=抑,MNIIAB,

???△PMNs^PAB,

-1

?..△PMV的面積=-xZkPMN的面積，

4

則△PMV的面積不會隨點P的移動而變化；

??.直線MN,AB之間的距離不會隨點尸的移動而變化；

⑤/APB的大小隨點P的移動而變化；

故選：B.

【點睛】

本題考查的是三角形中位線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的

一半是解題的關(guān)鍵.

8.C

【分析】

由矩形的性質(zhì)得OA=O8=OC=O。，繼而證明AABC為等邊三角形，解得/AC8=30。，最后根據(jù)含30。角的直角

三角形的性質(zhì)：30。角所對的直角邊等于斜邊的一半解題.

【詳解】

解：??,矩形ABC。為矩形，

■.OA=OB=OC=OD,ZABC=90°,

???ZAOB=60°,

「.△ABC為等邊三角形，

.1.ZBAC=60°,

.,.ZACB=30°,

■：AB=2,

：.AC=2AB=^.

故選：C.

【點睛】

本題考查矩形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知

識是解題關(guān)鍵.

9.15

【分析】

由中點和中位線定義可得新三角形的各邊長為原三角形各邊長的一半，即可求其周長.

【詳解】

解：如圖，D,E,尸分別是△ABC的三邊的中點，

-1-1-1

貝|JOE=/C,DF=：BC,EF^AB,

-I1

???ADEF^]^^z=DE+DF+EF=^(AC+BC+AB)=jx(8+10+12)cm=15cm.

故答案為15.

【點睛】

本題考查了三角形的中位線定理，熟記三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得中點三角形的周長

等于原三角形的周長的一半是解題的關(guān)鍵.

10.1.2

【分析】

根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得解答即可.

【詳解】

解：rM是公路AB的中點，

：.AM=BM,

■.AC1BC,

CM=AM=BM,

rAM的長為1.2km,

','M,C兩點間的距離為1.2km.

故答案為：12

【點睛】

本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.3

【分析】

根據(jù)已知條件可得OF是△ABC的中位線，進而求得BC,根據(jù)E是BC的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜

邊的一半即可求得力E的長.

【詳解】

解：??,RtZXABC中，ZBAC=90°,D,E,尸分別為AB,BC,AC的中點，

.■.DF=\BC,AE=\BC

DF=AE

???DF=3

/.AE=DF=3

故答案為：3

【點睛】

本題考查了三角形中位線的性質(zhì)與判定和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等內(nèi)容，理解和掌握相關(guān)概念是

解題的關(guān)鍵.

12.-

2

【分析】

在RfZxADE中，AD2+DE-=AEr,可得。E=3,CE=CD-DE=2,設(shè)尸C=x,貝UEF=BC-FC=4-x,itRt/\ECF41，

EF2=EC2+FC2,可得(4-x)2=22+尤2,解方程即可.

【詳解】

AABF=AAEF,

：.AE=AB=5,

在矩形ABC。中，AD=BC=4,

在RtAADE中，

AD2+DE2=AE2,

.-.DE=3,CE=CD-DE=2,

設(shè)PC=尤，貝！JEF=BC-FC=4-x,

在RfAECF中,

EF2=EC2+FC2,

即(4-x)2=22+x2,

8x=12,

故此答案為|.

【點睛】

本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

13.6

【分析】

由ACJ_BC,E為A8中點，若CE=3,根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可求得AB的長，然后由平行

四邊形的性質(zhì)，求得答案.

【詳解】

解：.ACIBC,E為48中點，

-'-AB=2CE=2y<3=6,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

CD=AB=6.

故答案為：6.

【點睛】

此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì).注意平行四邊形的對邊相等.

14.18

【分析】

作PM1AD于交BC于N,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得S/EB=S#FD即可求解.

【詳解】

解：作于〃，交BC于N.

則有四邊形AEPM,四邊形。PPM,四邊形CPPN,四邊形BEPN都是矩形,

S^ADC-^AABC'^t^AMP=^^AEP'^hPBE=^APBW>^APFD=^^PDM'^^PFC=

'S矩OFPM=S矩BEPN，

S^DFP=SAPBE=~x2x4—4,

折9+9=18,

故答案為：18.

【點睛】

本題考查矩形的性質(zhì)、.三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是證明SADFP=SAPBE-

15.30°（30度）

【分析】

延長BC、A。交于凡通過全等證明C是的中點，然后利用中位線的性質(zhì)即可.

【詳解】

解：延長BC、交于F,

在△ABC和△AFC中

乙BAC=^FAC

ACAC,

.^ACB=NACF=90°

AABC=AAFC(ASA),

：.BC=FC,

???C為B尸的中點,

??,E為8。的中點,

??.CE為尸的中位線，

CE//AF,

；.4ACE=4CAF,

???ZACB=90°,ZABC=60°,

.■.ZBAC=30°,

ZACE=ZCAF=ZBAC=30°,

故答案為：30°.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的定義與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，作出正確的輔助線是解題

的關(guān)鍵.

16.①②③

【分析】

根據(jù)中點四邊形的性質(zhì)：一般中點四邊形是平行四邊形，對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形，對角線垂線的

中點四邊形是矩形，對角線相等且垂直的四邊形的中點四邊形是正方形，由此即可判斷.

【詳解】

解：.??一般中點四邊形是平行四邊形，對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形，對角線垂線的中點四邊形是矩

形，對角線相等且垂直的四邊形的中點四邊形是正方形，

???存在無數(shù)個中點四邊形MNP。是平行四邊形，存在無數(shù)個中點四邊形MNP。是菱形，存在無數(shù)個中點四邊形

MNPQ是矩形.

故答案為：①②③

【點睛】

本題考查中點四邊形，平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題

意，靈活運用所學知識解決問題.

17.見解析

【分析】

由平行四邊形的性質(zhì)得AO=BC,AD//BC,再由中點的定義得BF=3BC,貝ij尸，DE//BF,即可得

出結(jié)論.

【詳解】

證明：???四邊形A2C。是平行四邊形，

：.AD=BC,ADIIBC,

■.?點￡、產(chǎn)分別為平行四邊形ABC。的邊A。、的中點，

:.DE=/D,BF=[BC,

：.DE=BF,DE//BF,

二四邊形EBFD為平行四邊形.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.⑴見解析

(2)120

【分析】

(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得乙4=NC,利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出AABE*CBF,AB=CB,依據(jù)菱

形的判定定理(一組鄰邊相等的平行四邊形的菱形)即可證明；

(2)連接AC,交BD于點、H,利用菱形的性質(zhì)及勾股定理可得AC=24H=24,再根據(jù)菱形的面積公式求解即可

得.

(1)

證明：..?四邊形A8CD是平行四邊形，

?,?乙4=Z.C,

,.'BE1AD,BF1CD,

."AEB=(CFB=90°,

在△48￡*和4CBF中，

乙4=“

AE=CF，

/AEB=乙CFB

**?△ABE=△CBF9

-'-AB=CB,

???平行四邊形ABC。是菱形；

(2)

解：如圖所示：連接AC,交BD于點、H,

?.?四邊形ABC。是菱形，

.,.AC1BD,

■.'AB=13,BD=10,

：.BH=DH=5,

在中，

AH=yjAB2-BH2=V132-52=12，

.'.AC=2AH=24,

11

平行四邊形ABC。的面積為：S=-AC-BD=-x24x10=120.

【點睛】

題目主要考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)及其面積公式，勾股定理等，理解

題意，熟練掌握各個性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

19.(1)BP=DQ；

(2)見解析

【分析】

(1)添加條件

(2)由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=C。，ABIICD,得出由SAS證明即可得出結(jié)

論.

(1)

解：添加條件是：BP=DQ-,

故答案為：BP=DQ-,

(2)

證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,

：.AABP=ACDQ,

-AB=CD

在△ABP和△C。。中，\^ABP=乙CDQ,

、BP=DQ

：.AABP=ACDQ(SAS),

.-.AP=CQ.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

20.見解析

【分析】

連接BD交AC于點。，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可證四邊形防FD是平行四邊形.

【詳解】

解：證明：如圖，連接8。交AC于點O,

-'-OA=OC,OB=OD,

又.：AE=CF,

：.OA-AE=OC-CF,

即OE=OF,

二?四邊形EBFD是平行四邊形.

【點睛】

此題主要考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵.

21.見解析

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得4。//BC,4。=8。，推出/D4C=/ACB,根據(jù)SAS證明聲△C8E,推出/A0=

4BEC,即可得到結(jié)論.

【詳解】

證明：在團4BCD中，ADI/BC,AD=BC,

：.￡DAC=￡ACB,

.AF=CE.

：./\ADF=^CBE(SAS),

：.AAFD=￡BEC,

：.BE“DF.

【點睛】

此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.S

⑵-3或5

⑶一3@W0或5<fe<8

【分析】

(1)由A(1,4)、B(2,0)、R(1,-4)、S(3,4),可判斷點B在AR的垂直平分線上，也在AS的垂直平

分線上，由“相關(guān)菱形”的定義，可判斷點R、S能成為點A、B的“相關(guān)菱形”的頂點；

(2)作點A關(guān)于x軸的對稱點E,連接AE交了軸于點N,由“相關(guān)菱形”的定義和正方形的性質(zhì)，可得3N=AN=4,

然后按點2在AE左側(cè)及點B在AE右側(cè)，分點求出6的值；

(3)分別作點A、C、加關(guān)于x軸的對稱點4、C、F,連接AV、CC、AP分別交x軸于點G、H、Q,當點。與

點G重合時，6的值最?。划旤c。與點”重合時，6的值最大；由“相關(guān)菱形”的定義和正方形的性質(zhì)，可得

BQ=MQ=4,按點B在A尸左側(cè)及點8在AB右側(cè)分別列出不等式組求出b的取值范圍.

(1)

解：當6=2時，則3(2,0).

如圖1、圖2,連接AR、AS,

ffll

','A(1,4)、8(2,0)、R(1,-4)、T(3,4),

??.點B在AR的垂直平分線上，點2也在AS的垂直平分線上,

二點R、S能成為點A、B的“相關(guān)菱形”的頂點.

故答案為：R,S.

(2)

解：過點A作A8垂直x軸于8點.

???點42的“相關(guān)菱形”為正方形，

為等腰直角三角形.

A(1,4),

BH=AH=4.

=-3或5.

(3)

解：如圖4,作分別作點A、C、M關(guān)于x軸的對稱點4、。、F,

連接A4'交x軸于點G,連接CC咬x軸于點則G(1,0)、H(4,0)；

連接板交無軸于點Q,

■.?點M、B的“相關(guān)菱形”為正方形，

：.BQ=MQ^.

當點B在MF左側(cè)時，則。(6+4,0),

由題意，得l<b+4<4,解得-3@W0；

當點B在敏右側(cè)時，則Q(64,0),

由題意，得1WA-4W4,解得5W/8.

綜上所述，b的取值范圍是-3WbS0或5<Z?<8.

-3W6W0或5<Z?<8.

【點睛】

此題考查菱形了的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、一元一次不等式組的應用、圖形與坐標等知識，解題的關(guān)鍵

是正確地畫出圖形并且能綜合運用有關(guān)知識和方法；涉及求點的坐標及動點的坐標的取值范圍，要分類討論，求出

所有符合條件的值和取值范圍，以免丟解.

23.(1)①見解析；②2應；

(2)4C￡)2+AB2=A￡2,見解析

【分析】

(1)①按要求畫圖即可；

②根據(jù)線段垂直平分線，得出AC=CB,根據(jù)CE=C8,得出。是△A8E的中位線，根據(jù)AE=2AC=2夕，利用

勾股定理BE=7AE2-AB?=J(2V7)2-(2V5)2=迎=2&；

(2)如圖2所示：先證四邊形AOC"是矩形，再證(SAS),根據(jù)勾股定理&/+4爐=8/，得出

(2CD)2+AB2=AE2即可.

(1)

①延長AC,在AC延長線上，截取CE=C2,補全圖形如圖1,

E

②解：\'CD±AB,。為A3的中點，

..AC=CB,

：CE=CB,

.t.AC=CE,

「.CD是△ABE的中位線，

：.CDIIBE,

：.ABlBEf

/.ZABE=90°,

-AB—AC=y[79

：.AE=2AC=2小,

，BE=TAE2-AB2=J（2V7）2-（2V5）2=V8=2V2：

（2）

如圖2所示：

線段AB,CD,AE的數(shù)量關(guān)系為：4CD2+AB2^AE2.

證明：如圖2中，在AC的上方作△ACT,使得CT=C4,NACT=/BCE,過點C作CWJ_AT于H.

；CA=CT,CH1AT,

:.AH=HT,4ACH=/TCH,

?:4BCE=2』CAB,NECB=/ACT,

：.AACH=ACAB,

.'.CHIIAB,

：.ACHA=AHAB=90°,

：CDLAB,

.,.ZA￡）C=90o,

一?四邊形ADCH是矩形，

:.CD=AH=HT,

:.AT=2AH=2CD,

：4ACT=/ECB,

:.2ACE=/TCB,

：CA=CT,CE=CB,

：./\ACE=/\TCB(SAS),

.■.AE=BT,

■.■AT^+AB^BT2,

???(2CD)2+AB2^AE2,

即4CD2+AB2^AE2.

【點睛】

本題考查畫圖，垂直平分線的性質(zhì)，三角形的中位線，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，掌握垂直平分線的性質(zhì)，三

角形的中位線，勾股定理，矩形判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

24.(1)見解析

(2)45°

⑶K/2+C群=2人所，見解析

【分析】

(1)按題意要求出畫出圖形即可；

(2)過點。作。于點由軸對稱的性質(zhì)得出/，AADE=AFDE,由正方形的性質(zhì)得出/

ADC=90°,AD=DC,證出/瓦歸=45。，由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；

(3)連接AC,由軸對稱的性質(zhì)得出AK=KF,/AKE=/CKD=45。,由正方形的性質(zhì)得出/B=90。，/B4C=45。，

由等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可得出結(jié)論.

0)

如圖，

(2)

過點。作。HLCK于點”，

■.?點A關(guān)于DE的對稱點為點F,

：.DA=DF,4ADE=LFDE,

1.四邊形ABCD是正方形，

ZADC=90°,AD=DC,

：.DF=DC,

：DH1CK,

ZFDH=ZCDH,ZDHF=90°,

ZADE+ZFDE+ZFDH+ZCDH=9Q°,

；./FDE+/FDH=45°,

即/EDH=45°,

.,.ZCKD=90°-ZEDH=45°；

(3)

線段A3、KF、CK之間的數(shù)量關(guān)系為：KF2+CK2=2AB2.

證明：連接AC,

點A關(guān)于DE的對稱點為點F,

：.AK=KF,NAKE=/CKD=45。,

...四邊形ABCD是正方形，

ZB=90°,ZBAC=45°,

在放ZiABC中，ZB=90°,

-,-AC=y/2AB,

在MZXAKC中，zLAKC=9Q°,

.-.AI^+C^AC2,

，K產(chǎn)+C爛=2AB2.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈

活運用所學知識解決問題.

25.⑴見解析

(2)33°

【分析】

(1)由菱形的性質(zhì)可得AB=Cr>=8E,AB//CD,可證四邊形BEC。是平行四邊形，可得BO=EC；

(2)由平行四邊形的性質(zhì)可得BD//CE,可得/ABO=/E=57。，菱形的性質(zhì)可求/氏4。的大小.

(1)

證明：??,四邊形ABC。是菱形，

:.AB=CD,AB//CD

又,：BE=AB,

：.BE=CD,BEUCD,

，四邊形BECD是平行四邊形

：.BD=EC

(2)

.??四邊形BECD是平行四邊形，

■■.BD//CE,

：.Z.ABO=￡E=5T

又,??四邊形ABC。是菱形，

..AC1BD,

ZAOB=90°

.,.ZBAO+ZAB(9=90o

ZBAO=90°-ZABO=33°

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練運用菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

26.(1)60°

(2)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

(3)52=25；

【分析】

(1)連接BG,由作圖知，EF是線段A8的垂直平分線，得至I]AG=8G,推出AABG是等邊三角形，于是得到結(jié)

論；

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到/54。=90。，推出GH//AD,得到四邊形AGH。是平行四邊形；

(3)設(shè)跖與AB交于M,根據(jù)矩形和平行四邊形的面積公式即可得到結(jié)論.

(1)

連接BG,

：.AG=BG,

：AB=AG,

.-.AB=AG=BG,

??.△ABG是等邊三角形，

?,.ZBAG=60°；

故答案為：60°；

(2)

■.,四邊形ABC。是矩形，

ZBAD=90°,

：EFLAB,

.-.GH//AD,

?：GH=AD,

二四邊形AGHD是平行四邊形，

故答案為：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

(3)

設(shè)跖與AB交于M,

-：S2=AD^AB,SI=HG'AM=AD-^AB^AD-AB,

-'-S2=2SI,

故答案為：S2=2SJ.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

27.④

【分析】

根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定和性質(zhì)，逐一判斷各個選項，即可.

【詳解】

解：①對于任意凸四邊形A8。，當點M、N、P、。分別為A3、BC、CD、ZM上的中點時，四邊形MNP。是平行

四邊形，故原說法錯誤；

②如果四邊形A8CO為任意平行四邊形，那么一定存在無數(shù)個四邊形MNP。是平行四邊形，故原說法錯誤；

③如果四邊形ABCO為任意矩形，不一定存在一個四邊形為正方形，故原說法錯誤；

④如果四邊形ABCO為任意菱形，那么一定存在一個四邊形為正方形，原說法正確.

故答案是：④.

【點睛】

本題主要考查四邊形綜合，熟練掌握平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

28.(1