專題01集合與常用邏輯用語

y揀題型-沖高分4

題型1判斷元素與集合的關(guān)系問題

1-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

匕

找到元素與集合關(guān)系的兩個方法：

1、若集合中元素使直接給出的，直接判斷元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可；

2、若集合中元素沒有直接給出，判斷元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可;

i注意：要先明確集合中的元素滿足哪些條件.

i

1.（2025?河北滄州?模擬預(yù)測）已知集合人=何尤3_8<0},則（）

A.leAB.2eAC.OiAD.{0,l,2}cA

【答案】A

【解析】由題可知0eA,leA,2eA,故A正確，BC錯誤，

集合{0,1,2}不是集合A的子集，故D錯誤.故選：A.

2.（2025?陜西漢中?二模）已知集合4={2帆+,則（）

A.垂，史AB.-2+534C.4eAD.-l+2^eA

【答案】C

【解析】因為A={2根+6川加￡2,〃￡]\},

設(shè)6=2^+^〃,則：有理數(shù)部分：0=2m=m=0,無理數(shù)部分:括==>幾=1,

m=OeZ,〃=1EN,符合條件，所以GEA,故A錯誤；

設(shè)一2+54=2加+百〃，則有理數(shù)部分:-2=2%=9=-1,無理數(shù)部分：5/=百〃=>〃=5，

m=-leZ,〃=5EN,符合條件，故-2+56￡4，故B錯誤；

設(shè)4=2加+則：有理數(shù)部分：4=2%=>%=2,

無理數(shù)部分：O=VJ〃n〃=O￡N，故4EA,故C正確；

設(shè)-1+26=2m+J“廁有理數(shù)部分：-1=2m^>m=-0.5（非整數(shù)，矛盾），

故—1+2君gA,故D錯誤.故選：C.

3.（2025?遼寧?三模）已知集合4={1,2},5=卜2一N],”金，則下列判斷錯誤的是（）

A.leBB.OGBC.3GBD.-3eB

【答案】A

【解析】依題意可得5={—3,0,3},所以—3￡民0￡民3￡81任反故選：A.

Y

4.（2025?河南新鄉(xiāng)?三模）（多選）已知非空數(shù)集/具有如下性質(zhì)：①若則一eM；②若

y

x,yeM,則x+ye”.下列說法中正確的有（）

A.-l&M.B.2025GM.

C.若則沖eM.D.若尤,yeM,貝！

【答案】BC

%

【解析】對于A,若—leM,令％=y=—l,則一二l￡",x+y=-2￡M,

y

令x=—l,y=1,則一=一1wM,x+y=0EM,

y

X

令x=l,y=。，不存在一，即yw。，矛盾，所以一1e故A錯誤，

y

對于B,由于集合M非空，取任意元素xeM,根據(jù)性質(zhì)①，得土=leM,

x

再根據(jù)性質(zhì)②，得l+l=2eM,進而l+2=3e〃，，2024e",2025eM,故B正確，

對于C,因為所以工eM,因為所以與二沖^加，故c正確，

X%一

X

對于D,若x=Ly=2,則=故D錯誤，故選：BC.

題型2求集合中元素的個數(shù)問題

求集合中元素個數(shù)的三步法模型

（）確定集合的類型，是數(shù)集，點集還是其他類型的集合；

I1

（2）看集合中元素滿足什么限制條件；

（3）根據(jù)條還能確定集合中的元素個數(shù)或利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

5.（24-25高三上?河南周口?期中）已知集合”={-1,1,2},則集合N={y|xeMy-xe〃}中元素的個數(shù)

是（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解析】當(dāng)x=-l時，y可能取值為-2,0,1,

當(dāng)x=l時，y可能取值為。,2,3,

當(dāng)x=2時，y可能取值為1,3,4.

故y可能取值為-2,0,1,2,3,4,共6個.故選：A

6.（2024?四川樂山三模）已知集合4={（羽刈尤2+/410,無€北知e},則集合A的元素個數(shù)為（）

A.9B.8C.6D.5

【答案】C

【解析】A={（U）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（3』）},共6個元素.故選：C.

7.（2025.湖北.模擬預(yù)測）己知集合4={0,。,〃},B={a-1,3a-2},awR,則A3中的元素個數(shù)至少

為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】由A中元素的互異性，得aw。,。。4,即QWO且awl,

13

而a?—a+l=（a—）2H—>0,貝！J當(dāng)aw0且aw1時，a—1與0,。,片均互異，

24

因此A5中至少有4元素，取〃=2,此時A={O,2,4},B={1,4},A5有4個元素，

A3中的元素個數(shù)至少為4個.故選：C

8.（24-25高三上?山西晉城?期末）已知集合4=卜3,-亞，若，石,3},8={尤|尤至Z且dez},則AcB的

元素個數(shù)為（）

【答案】C

【解析】在集合A中xeZ且fez，有-忘,6,正三個元素，

所以AcB=卜&，也,&},則Ac3的元素個數(shù)為3.故選：C

題型3根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)問題的2個破題點

1、根據(jù)元素與集合的關(guān)系列出參數(shù)滿足的方程或不等式求解;

2、注意校驗集合中的元素是否滿足互異性.

9.（24-25高三下?云南昭通?階段練習(xí)）設(shè)集合&=卜％2-5了+根=0},若I.,則a=（）

A.{1}B.{1}C.{1,2}D.{1,4}

【答案】D

【解析】IwA,所以1?—5+相=0=相=4,機=4時，X2-5JT+4=0,

解得x=l或x=4,即4={1,4}.故選：D.

10.（2025?河南?一模）已知集合&={邪依-240},若leA且2色4,則（）

B.a<0

【答案】C

f3a—2W0,12

【解析】由題可知leA且2%4=,°八解得故選：C.

6a—2>0,

11.（2025.遼寧*二模）設(shè)集合A={x|2x-1）/}.若2eA,則m的取值范圍是（）

A.m<3B.m>3C.m<3D.m>3

【答案】C

【解析】因為2EA,所以2x2-l>m,所以加<3.故選：C

12.（2024?北京?三模）已知集合4={鄧1次<1},若貝U〃可能是（）

A.-B.1C.2D.3

e

【答案】D

【解析】由lnx<l,得0<x<e,則A={無|0<尤<e},\A={x|x<0或Ne},

由aeA,得顯然選項ABC不滿足，D滿足.故選：D

題型4判斷集合間的關(guān)系問題

i判斷集合間關(guān)系的三個方法

I

1、列舉法：先根據(jù)題中限定條件把集合中元素列舉出來，然后比較集合中元素的異同，從而判斷集合

之間的關(guān)系；

2、結(jié)構(gòu)法：先對集合化簡變形，然后從集合中元素的結(jié)構(gòu)上找差異，再進行判斷；

3、先用數(shù)軸或Venn圖表示集合，然后通過數(shù)形結(jié)合判斷集合之間的關(guān)系.

13.(2025?北京?二模)已知集合4={尤*+2苫=0},集合3={#+1>。},那么()

A.AB=0B.AcBC.B^AD.(<JRA)nB0

【答案】D

【解析】A={x|d+2尤=0}={0,-2},B={x|x>-1}

A8=0錯誤，錯誤，31A錯誤，

々A=(F,-2)(-2,0)(0,+w),

所以低A)c3=(-1,0)(0,心)，D正確，故選:D

14.（2025?四川?模擬預(yù)測）己知集合A=xk=,B=xx=gweZ,則（）

A.A=BB.A<^BC.AoBD.AB=0

【答案】B

【解析】由胃=?5eZ）,則A=瓦故選：B.

15.（24-25高三下?云南昆明?階段練習(xí)）設(shè)集合A=[x尤=，卜臼，8+暴臼，則

（）

A.A=BB.A呈8C.B是AD.AB=0

【答案】B

竺擔(dān)，左eZ

4

B=x=—+—,^GZ>=<XX=

lI42J[4

因A={#=2k+l?eZ}為奇數(shù)集，4={y|y=A2,leZ}為整數(shù)集,

則A￡_B],故A用從故選：B

16.（24-25高三下?山西晉中?階段練習(xí)）己知全集"=1<,集合M={x|2-x>0},

N=卜卜則下列關(guān)系中正確的是（）

A.McN=0B.MuN=U

C.McND.翔N三VM

【答案】B【解析】由題意可得M={x|2r>0}={x|x<2},

由爐+2無一820可得或xW-4},

對于A,McN={x|xWT},故A錯誤；

對于B,MuN=U,故B正確；

對于C,N不包含M,故C錯誤；

對于D,0N={x|*4<x<2},={x\x>7],故D錯誤.故選：B

題型5有限集合的子集個數(shù)問題

0OG式

如果集合A中含有n個元素，則有

(1)A的子集的個數(shù)有2"個.(2)A的非空子集的個數(shù)有2"-1個.

;(3)A的真子集的個數(shù)有2"—1個.(4)A的非空真子集的個數(shù)有2"-2個.

17.(2025?江西景德鎮(zhèn)?模擬預(yù)測)滿足{0}屋M{-L。/}的集合M的個數(shù)為()

A.3B.4C.7D.8

【答案】A

【解析】解：由題意可得M={0},{0,T},{。/},共3個.故選：A

18.(2025?河北保定二模)己知集合4={5切y=(x-l)(x-5)},B={(x,y)|V=4x},則AcB的真子集

的個數(shù)為()

A.3B.4C.7D.15

【答案】D

【解析】因為y=(尤-l)(x-5)的對稱軸為x=3,頂點為N(3,Y),且過點M(LO),尸(5,0),

當(dāng)x=3時，V=4尤上的點為(3,±2石)，

作y=(x-l)(x—5),產(chǎn)二曲的圖象，如圖，

由圖可知，y=(x-1)(%-5)的圖象與拋物線V=?有4個不同的交點，

則AcB有4個元素，從而AcB的真子集的個數(shù)為2J1=15.故選：D

19.(24-25高三下?廣東東莞?階段練習(xí))設(shè)集合4={尤eN|4x<2026<x}則集合A的非空真子集的個數(shù)

為()

A.2500-1B.2500-2C.2499D.2499T

【答案】B

。八。二

【解析】由4%<2026,xeN,則％<----=506.5,即尤<506,xeN,

由犬〉2026,xeN,64=1296,74=2401,則谷7,

所以A={xeN|7VxW506},共有506-7+1=500個元素,

所以集合A的非空真子集的個數(shù)為25°°-2.故選：B.

20.（24-25高三下?重慶沙坪壩平介段練習(xí)）已知集合4={1,2,3,4,5},8=[{限€乙》€(wěn)4卜則集合B的

真子集個數(shù)為（）

A.3B.5C.7D.15

【答案】C

【解析】.門為奇數(shù)，.?.3={1,3,5},.?.集合8中有3個元素，

.??集合3的真子集個數(shù)為：23-1=7.故選：C

題型6根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)

利用兩個集合之間的關(guān)系確定參數(shù)的取值范圍

第一步：弄清兩個集合之間的關(guān)系，誰是誰的子集；

第二步：看集合中是否含有參數(shù)，若且A中含參數(shù)應(yīng)考慮參數(shù)使該集合為空集的情形;

第三步：將集合間的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）或不等式（組），求出相關(guān)的參數(shù)的值或取值范圍.

常采用數(shù)形結(jié)合的思想，借助數(shù)軸解答.

21.（2025.河南.模擬預(yù)測）已知集合4={01},B={0,a+l,a-l）,若則。=（）

A.2B.0C.0或2D.—2或2

【答案】C

【解析】①當(dāng)4+1=1時，解得。=0,止匕時8={0,1,-1},滿足題意，

②當(dāng)。一1=1時，解得a=2,此時8={0,3,1},滿足題意，故選：C.

22.（2025?山西?三模）已知集合4={d0Vx43},B={x|m-l<x<m+l）,且31A,則加的取值范圍

是（）

A.[1,2]B.(-co,l]u[2,+8)C.(1,2)D.[2,+oo)

【答案】A

【解.析,】因為tEA,所以I。m—+11>403,解得1<7.所以加的取值范圍是r［臼1故選：A.

23.(2025?江西新余?模擬預(yù)測)已知集合A=32x+3<5},B=|x|x2-(2a+l)x+a2+a<01,若腐

A,則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(-oo,-2]B.(-oo,-2)C.(-<?,0]D.(-oo,0)

【答案】C

【解析】依題意，A=[x\x<l],B={x\(x-a)(x-a-\)<O\={x\a<x<a+Vi,

因為8星A,所以a+l4l,解得a<0,

所以實數(shù)。的取值范圍為(—,0].故選：C.

24.(2025?全國?模擬預(yù)測)己知集合4=-2<x<2p-^,B^^A,則P的取值范

圍是()

D.(-1,+oo)

A.C,(-3-'-2))

【答案】D

(x+3)(x-2)>0所以$3或x>2,

【解析】因為=x+230,所以)

x-2九一2。0

所以A={x|xW-3或x>2},所以={x|-3<%<2},

當(dāng)8時，3p-2>2p-l,解得p>l,滿足B=

3p-2<2p-l

當(dāng)BH。時，要使則2p-l<2,解得

3,-2>-3'

綜上，P>-；,即P的取值范圍是(-3,+°0).故選：D

題型7集合的交、并、補運算

；集合運算的常用方法

I

1、若集合中的元素是離散的，常用Venn圖求解;

2、若集合中的元素是連續(xù)的實數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況.

X

25.（2025?福建泉州?模擬預(yù)測）已知集合4=乂<0,B=xy=<l-x2,則AB=

x-1

A.[0,1]B.[0,1)C.[-1,1]D.[-1,1)

【答案】B

Y

【解析】對于集合A,二VO,解得

對于集合8,1-x2>0,解得一IWXWL

所以集合4={刈04》<1},集合3={x|-lWxWl}.

所以AcB={x[0<x<l}.故選：B.

26.(2025?河北唐山三模)己知集合”=伊尤2+3尤wo},N={.d(1-司41},則()

A.{xlx>-21B.{xlx>-3}

C.{x|-2<x<l}D.{x|-3<x<l}

【答案】D

【解析】M={x|-3<^<0},

A^={x|0<l-x<3}={x|-2<x<l},

故MuN={x|-3Wx<l},故選：D.

27.（2025?遼寧?模擬預(yù)測）已知R為全體實數(shù),則為A=（)

A.[0,2]B.(-<?,0)u(2,+oo)C.(-oo,0)u[2,+co)D.(-oo,0]u[2,+co)

【答案】C

【解析】A='尤|工4。［={尤［04x<2},

則\A={x|xN2或x<0}.故選：C.

28.(2025?山西忻州?模擬預(yù)測)已知全集。={2,3,4,5,6,7},A={2,4,6},3={3,6,7},貝|即4人8=

()

A.{3,6}B.{3,7}C.{3,6,7}D.{6,7}

【答案】B

【解析】因為哈4={3,5,7},5={3,6,7},所以（哈4）門3={3,7}.故選:B.

題型8已知集合運算結(jié)果求參數(shù)

利用集合的運算求參數(shù)的值或取值范圍的方法

1、與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值能否取到；

2、若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，再列方程（組）求解.

29.（24-25高三上?河北滄州?期末）已知集合&={-2,1,4},集合日也叫，若AB=B,則實數(shù)

（）

A.2B.-2C.±2D.0

【答案】C

【解析】由A3=3得到由子集的性質(zhì)可知儲w{-2,1,4}.

對于任意的實數(shù)。，/20,/不能等于-2,由集合元素的互異性，“2=1不成立，

故只能是々2=4；求出a=±2.故選：C

30.（2025?重慶九龍坡?三模）已知集合"={*）<x<a},N={x|_?_6x+5<0},若NM=M,則實數(shù)

。的取值范圍是（）

A.[5,+co）B.（5,+oo）C.[3,+oo）D.（3,+co）

【答案】A

【解析】由一一6X+5<0,可得（X-5）（X-1）<0,解得1<X<5,

所以N={x|l<x<5},由NM=M,可得Na",

又知={尤|0<》<〃},所以a25,

所以實數(shù)a的取值范圍是[5,M）.故選：A.

31.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）已知集合4={祖<》<2},集合3={x|x>機},若Ac&3）=0,則

m的取值范圍為（）

A.mW1B.m<2C.m<1D.m^2

【答案】A

【解析】因為集合3={X|X＞M},所以48={x|xW根},

由于Ac（4B）=0,所以機W1.故選：A.

32.（2025.新疆喀什.二模）已知集合A={x|x42},B=（x|x2-2x-3＞o},C={x\x＞a}S.

A（4町C=R,則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.（-l,+oo）B.（-oo,3）C.D.（-co,3]

【答案】B

【解析】因為8={12一2》一3叫，所以3=卜|尤＜一1或x23},

所以43=3-1＜工＜3},所以Au僅8）={?。?},

因為Aa3）C=R,所以。＜3,所以實數(shù)。的取值范圍為（-*3）.故選：B.

題型9集合中的計數(shù)問題

i關(guān)于集合中的計數(shù)問題，常借助Venn圖或用公式card(A1.B)=card(A)+card(B)-card(A?B),

I

card(AB,C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(AC)-card(5C)-card(ABC)

(card(A)表示有限集合A中元素的個數(shù))求解.

33.（2025?江蘇?一模）我市某校共有1500名學(xué)生在學(xué)校用午餐，每次午餐只能選擇在樓上或樓下的一個

食堂用餐，經(jīng)統(tǒng)計，當(dāng)天在樓上食堂用午餐的學(xué)生中，有10%的學(xué)生第二天會到樓下食堂用午餐：而當(dāng)天

在樓下食堂用午餐的學(xué)生中，有15%的學(xué)生第二天會到樓上食堂用樓午餐，則一學(xué)期后，在樓上食堂用午

餐的學(xué)生數(shù)大約為（）

A.700B.800C.900D.1000

【答案】C

【解析】設(shè)一學(xué)期后，在樓上食堂用午餐的學(xué)生數(shù)大約為尤，

則樓下食堂用午餐的學(xué)生數(shù)大約為1500-x,

原本在樓上食堂且留下的學(xué)生：占比1-10%=90%,即0.9x,

從樓下食堂轉(zhuǎn)來的學(xué)生：樓下食堂人數(shù)的15%,即0.15（1500-力，

所以x=0.9尤+0.15（1500-解得x=900.

所以一學(xué)期后，在樓上食堂用午餐的學(xué)生數(shù)大約為900.故選：C

34.（24-25高三上?廣東廣州?階段練習(xí)）學(xué)校舉辦運動會，高三⑴班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人

參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，

同時參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽.若從該班參加比賽的同學(xué)中隨機抽取1

人進行訪談，則抽取到的同學(xué)只參加田徑一項比賽的概率為（）

A.±B,Ac.1D,

1428728

【答案】A

【解析】設(shè)同時參加田徑比賽和球類比賽的人數(shù)為x,只參加田徑比賽的人數(shù)為y,

只參加球類比賽的人數(shù)為z,

只參加游泳比賽的有15-3-3=9人，

作出韋恩圖，

'3+x+y=8

由韋恩圖得3+X+Z=14,解得x=3,y=2,z=8,

9+3+3+x+y+z=28

???只參加田徑一項比賽的人數(shù)為2.

所以從該班參加比賽的同學(xué)中隨機抽取1人進行訪談，

21

則抽取到的同學(xué)只參加田徑一項比賽的概率為三=上?故選：A

35.（24-25高三上?重慶渝中?階段練習(xí)）今年高二（1）班的同學(xué)參加語文和數(shù)學(xué)兩個學(xué)科的結(jié)業(yè)水平考

試，每科滿分為100分.考試成績非常優(yōu)秀，每個同學(xué)都至少有一科成績在90分以上，其中語文90分以

上的有45人，數(shù)學(xué)90分以上的有48人，這兩科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（）個同

學(xué).

A.45B.48C.53D.43

【答案】C

【解析】設(shè)集合A表示語文在90分以上的學(xué)生，則集合中有45個元素，

集合B表示數(shù)學(xué)在90分以上的學(xué)生，則集合中有48個元素，

AcB表示兩科均在90分以上的學(xué)生，則集合AcB中有40個元素，

A3表示至少有一科成績在90分以上的學(xué)生，由題意可知3中有個45+48-40=53元素，

又因為每個同學(xué)都至少有一科成績在90分以上，所以高二（1）班共有53人，故選：C.

36.（24-25高一上?湖北?階段練習(xí)）向50名學(xué)生調(diào)查對兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)

是全體的五分之三，其余的不贊成；贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A,8都不贊成

的學(xué)生數(shù)比對A3都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人.則下列說法錯誤的是（）

A.贊成A的不贊成8的有9人

B.贊成8的不贊成A的有11人

C.對A8都贊成的有21人

D.對A8都不贊成的有8人

【答案】B

3

【解析】贊成A的人數(shù)為50x1=30,贊成B的人數(shù)為30+3=33.

記50名學(xué)生組成的集合為U,贊成事件A的學(xué)生全體為集合A,

贊成事件B的學(xué)生全體為集合B.如圖所示，

設(shè)對事件A,B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,

X

則對A,B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為§+1.贊成A而不贊成B的人數(shù)為30-x,

贊成B而不贊成A的人數(shù)為33T.依題意（30-尤）+（33-到+彳+仁+1：=50,解得x=2L

所以贊成A的不贊成B的有9人，贊成B的不贊成A的有12人，

對A,B都贊成的有21人，對A,B都不贊成的有8人.故選：B

題型10集合中的新定義問題

1-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

解決集合新定義問題的關(guān)鍵：緊扣新定義，分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚,

結(jié)合題目所給定義和要求進行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同己有概念或定義混淆.

I

37.（23-24高三上.重慶南岸.階段練習(xí)）定義集合A,2的一種運算：A?B={x\x=b1-a,a^A,b^B},

若4={1,4},3={-1,2},則A區(qū)3中的元素個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】因為吊=因4},5={-1,2},

2

當(dāng)Q=1,0=-1時，x=b-a=0,

當(dāng)〃=1/=2時，x=b2-a=39

當(dāng)。=4,Z?=-1時，x=廿一a=—3,

當(dāng)a=4,6=2時,x=b2-a=0?

所以A（8）B={0,—3,3},

故A（g）3中的元素個數(shù)為3.故選：C.

38.（24-25高三上?四川成都?期中）給定集合M,N,定義M-N={x|xeM且xeN},若

M={^-2<x<2\,N=1yy.+￡,尤>一11,下列選項錯誤的是（）

A.N={y|yNl}B,M-?/=|x|-2<x<1|

C.N-M={x\x>i\D.N-（N-加）={鄧三兀42}

【答案】C

【解析】由已知當(dāng)%>-1時，％+1>0,

貝!Jy=兀H——--=（x+1）H——----1>2/（x+1）--------1=1,

x+1x+1AVx+1

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=<，即x=0時，等號成立，即"=卜僅之1},A選項正確；

XM={x|-2<x<2},則M-N={H-2VX<1},B選項正確；

N-M={x\x>?},C選項錯誤；

N-（N-M）={x[l<x<2},D選項正確；故選：C.

39.(2024?廣東?模擬預(yù)測)對于非空數(shù)集43,定義AxB=｛伍y)|xeA,ye可，將Ax3稱為“A與8的

..|AXA|+4|BXB|

笛卡爾積”.記非空數(shù)集M的元素個數(shù)為明|,若4,3是兩個非空數(shù)集，則J_的最小值是

()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】設(shè)網(wǎng)=m,忸|=〃，m,HeN,,

22

|AxA|+4|BxB|_m+4nm4〃m4H，

則=—+—>2--------=4,

mnnmnm

當(dāng)且僅當(dāng)匕=絲皿=2〃時等號成立,

nm

|AxA|+4|BxB|

所以的最小值是4.故選：B

|AxB|

40.（24-25高三上?北京?開學(xué)考試）已知集合/a{a|a=（x,y）,x,yeR},若對于任意相,“e/,以及任意

實數(shù)4目0,1],滿足力〃+（1-孫ze/,則稱集合/為“封閉集”.下列說法正確的是（）

A.集合4={4<2=（工,了）,”*3}為“封閉集，，

B.集合B={4。=（尤,y）,yWInx}為“封閉集”

C.若Ac8是“封閉集”，則A,B都是“封閉集”

D.若A,8都是“封閉集”，則A3也一定是“封閉集”

【答案】B

【解析】設(shè)m=OM,n=ON,OD=Zm+（1-2）?=WM+（l-X）ON,2e[0,l]；

J^OD-CW=/lOM-CW,；le[（M],即可得ND=/lMW,；le[0,l],則點D在線段肱V上，

由題意可得，若對于任意OM,ONe/,線段MV上一點。，都有ODe/,則集合/為“封閉集”,

3

對于A,集合A={0|a=（x,y）,y>x},若對于任意的「（占，%）,Q（x2,%）滿足％2年,必后，

貝l」OP,OQeA,

函數(shù)y=V如下圖，顯然線段PQ上任意一點。（三，力）,不一定滿足為2只，

圖中所示為<無；，即。。任人；

故集合4={a1。=（M丫），'2/}不為“封閉集”，即A錯誤；

對于B,若8=⑷。=（x,y）,yWlnx},對于任意的GQ”，y”），H（三,%）滿足％V卜1叫，力.11%,則

OG,OH&B,

函數(shù)y=lnx如下圖，顯然線段G”上任意一點E??），都有y641nx6，即OOeB；

故可得集合3={。1。=。，7）,>4111_￥}為“封閉集”，即B正確；

對于C,由選項A可知集合4={41"=（蒼'）<2?？}不是“封閉集”，

根據(jù)對稱性，如圖1可知B={a|a=（x,y）,yN-尤〃不是，，封閉集，，，

則ACB表示集合為陰影部分表示的點構(gòu)成的區(qū)域如圖2,顯然任意的OP,OQeAc8,

則線段尸。上任意一點￡>,都有ODeAcB,故AC3是“封閉集”，故C錯誤，

圖?圖2

對于D,若A,B都是“封閉集”，不妨取A={a|a=（x,y）,y=x},B={a\a=（x,y\y=-x］；

對于任意的耳（西'，才），。式*%'）滿足，%'="，則O/?,OQ|CA,

函數(shù)y=x如下圖，顯然線段上任意一點分",%'）都有為'="，即。ReA；

故4=伍|“=（羽〉）,丫=R為“封閉集”，同理可得8={。1。=（乂丫），丫=-引也為“封閉集”；

而AJB的圖象如下：顯然Q&o“A8,但線段尺向上任意一點l不滿足y=x,

也不滿足y=_x，即OTJFA|8,

即A8不一定是“封閉集”，即D錯誤.故選：B.

題型11充分條件與必要條件的判斷

充分、必要條件的三種判斷方法

（1）定義法：根據(jù)0今q,進行判斷.

（2）集合法：根據(jù)0,q成立對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷.

（3）等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判

斷.這個方法特別適合以否定形式給出的問題，如“肛#1”是“樣1或歸1”的何種條件，即可轉(zhuǎn)化為判斷

“x=l且y=l”是“孫=1”的何種條件.

41.（2025?天津?二模）已知a,6e（0,+oo）,則“a＞b”是“°-工＞6-：的（）

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】令〃x）=尤-工（尤＞0）,.y=x,y=-工在（0,+巧上都為增函數(shù)，

XX

二."%）=%-,在（0,+8）單調(diào)遞增，

X

又a,Z?G（O,-HX））,所以

即是“a-卜的充要條件，故選：C

ab

42.（2025?重慶?三模）已知直線加，〃和平面a,其中機ua,則“機_1_””是“〃J_a”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】由小ua,加，〃，則可能有〃ua,〃//a或者"與a相交，不能推出〃」a,

若〃J_ar,mua,則有〃J_%,

所以“〃△〃”是的必要不充分條件.故選：C

43.（24-25高三下?廣東?階段練習(xí)）已知集合4=卜?肉*2=m｝,8=｛xeR|d+xVm+2｝,貝仁―2eA”

是“A3=A”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若-2eA,貝卜九=4,則人=｛2,—2｝,B=｛xeR|x2+%<6）=[-3,2],此時AB=A,

當(dāng)m=0時，也能得到AB=A,

所以“-2EA”是“A3=A”的充分不必要條件.故選：A.

44.（2025?江蘇淮安?模擬預(yù)測）已知P：數(shù)列｛4｝滿足：對任意的左eN*,?eN\n>k,都有

%,=?。弧?q：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)歹U.則。是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】當(dāng)P成立時，對任意的正整數(shù)上,對任意的〃eN*,n>k,

都有an=,貝Uan+k-an=an-an_k,

a=Cla

所以當(dāng)左=1時，^n+l~nn~n-\，對任意的〃EN*，都成立，

所以｛“〃｝是等差數(shù)列，故夕=/

當(dāng)鄉(xiāng)成立時，即數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

貝!Jan=q+-l）d,an+k=q+（"+々-1）1,an_k=ax-\-｛n-k-i）d,

:.an+k-\-an_k=q+（〃+左一l）d+4+（〃一人一l）d=2。］+2（〃-l）d=2a〃,

即a,=恒成立，:.q=p.

綜上得，P是4的充要條件.故選：C.

題型12根據(jù)充分與必要條件求參數(shù)

G0

根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的思路方法

根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的值或取值范圍的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化條件，常通過有關(guān)性質(zhì)、定理、圖象將恒

成立問題和有解問題轉(zhuǎn)化為最值問題等，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式（組），然后通過解方程或不等式

;（組）求出參數(shù)的值或取值范圍.

45.（2025?河北?模擬預(yù)測）已知集合4={尤|爐<1},8={x|2a<尤<2。+1},若“teg”是成立的充

分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍為（）

A?卜叫B.[-則C■D-[°4_

【答案】A

【解析】由％2<1解得—1V%V1,故A=（-U）,

因為“tGB”是“t￡A”成立的充分不必要條件,

{2a>-\1

所以3星A,所以有{,解得一二工。<0,故選：A.

\2a+l<l2

46.（2025?河北秦皇島?一模）已知4>0,集合4={無產(chǎn)_5》_6<。},8=卜卜-/1）（》-2/1）<0},若xeA

是xe3的必要不充分條件，則4的取值范圍為（）

A.（0,3）B.（0,3]C.（0,2）D.（0,2]

【答案】B

【解析】A={X\X2-5X-6<ol={元卜1<x<6},

B=|x|（x-2）（x-2/l）<o}={x憶<x<22},

因為尤eA是xeB的必要不充分條件，所以8是A的真子集，

f-l<2

可得等號不同時成立，結(jié)合4>0,解得°</lW3,

[22<6

所以2的取值范圍為（0,3],故選：B

47.（2025?河南?模擬預(yù)測）己知p:|2—3x|W7；^:x2-4x+4-9m2<0（m>0）,若4是P的充分不必

要條件，則實數(shù)機的取值范圍是.

【答案】（。，；

【解析】由p：|2—47可得—7W2—3x（7,即一gw九W3,

由4：12一41+4—9加2<0（W>0）可得（1-2）2<9m2（m>0）,

gp-3m+2<j;<3m+2（m>0）,

又因為4是P的充分不必要條件,所以[―3加+2,3